TÊN ĐỀ TÀI PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH QUA CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài Như biết, chuyên đề hệ phương trình, chiếm lượng lớn chương trình tốn học phổ thơng Tuy nhiên số tập có lượng lớn tập mà ta khơng thể giải phương pháp thơng thường giải gặp nhiều khó khăn phức tạp Nhưng ta biết hệ phương trình hàm số có mối liên hệ chặt chẻ với nhau, định nghĩa phương trình người ta dựa khái niệm hàm số, nên biết sử dụng kiến thức hàm số để giải tốn phương trình, hệ phương trình lời giải nhanh gọn đơn giản nhiều Tuy nhiên khơng phải tốn sử dụng hàm số để giải ứng dụng đạo hàm hàm số để giải phương trình, hệ phương trình…, lớn chon đề tài “ Phát triển tư hàm cho học sinh qua toán hệ phương trình ” nhằm giúp em học sinh có thêm phương pháp khi giải toán hệ phương trình tìm điều kiện cho hệ phương trình có nghiệm II Mục đích u cầu -Trang bị cho học sinh phương pháp giải hệ phương trìnhỉ tìm điều kiện cho hệ phương trình có nghiệm mang lại hiệu cao -Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán Qua học sinh nâng cao khã tư duy, sáng tạo giải toán III Đối tượng nghiên cứu -Các dạng tốn hệ phương trình chương trình tốn học phổ thơng - Phân loại dạng tốn thường gặp phương pháp giải IV Phương pháp nghiên cứu Phương pháp chung dạng tập này: Sử dụng tính chất tính đơn điệu hàm số để giải hệ phương trình B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Các mệnh đề tính chât thường dùng 1) Cho phương trình f ( x)  g ( x) xác định  a; b  Nếu hai hàm số f ( x) g ( x) hàm đơn điệu, hàm lại hàm số đơn điệu ngược lại với hàm phương trình có nghiệm nghiệm 2)Nếu hàm số f ( x) đơn điệu D tồn u, v �D cho f (u)  g (v) u  v 3)Phương trình f(x) = m có nghiệm m thuộc tập giá trị hàm số y = f(x) số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m 4) Các hệ phương trình giải cách làm xuất hàm đại diện f (u )  f (v) Khi hàm đại diện phương trình f (t ) với t �T  Tu �Tv Tu , Tv miền giá trị biến u v Có nghĩa tập giá trị biến t phải xác định hợp tập giá trị biến u tập giá trị biến v Trong ta chứng minh f hàm đơn điệu T (T khoảng, nửa khoảng ) Khi ta có u = v Còn T  (�; ) �(  ; �) phải u v thuộc (�; ) thuộc (  ; �) LOẠI Biến đổi phương trình hệ để đưa hàm đại diện 3 � �x  12 x  y  y  16  � 4x   x2  y  y2   Bài Giải hệ phương trình � Lời giải ĐK : x �[  2; 2], y �[0; 4] 3 PT(1) : ( x  2)  6( x  2)  y  y Hàm số : f (t )  t  6t , t �[0;4] , ta có f '  3t (t  4) �0, t �[0; 4] � f (t ) nghịch biến [0;4] mà f ( x  2)  f ( y ) � x   y Thay vào phương trình (2) ta KQ : (0;2) �x  3x  x  22  y  y  y (1) � �2 �x  y  x  y  (2) Bài Giải hệ phương trình � Lời giải Coi (2) pt bậc x, y sử dụng điều kiện có nghiệm pt bậc hai ta x �[ 1 3 ; ], y �[ ; ] 2 2 (3) 3 PT(1) : ( x  1)  12( x  1)  ( y  1)  12( y  1) Xét hàm f (t )  t  12t với x,y thỏa mãn (3) suy Khi f '(t )  3(t  4)  t �[ 3 ; ] 2 1 3 ( ; ),( ; ) KQ : 2 2 3 � �x  x   y  y (1) � x   y  y (2) � Bài Giải hệ phương trình � Lời giải �x �2 �x  �1 �� � y � � �y  �3 ĐK 3 PT(1) � ( x  1)  3( x  1)  ( y  3)  y  Hàm số f (t )  t  3t , t �1 suy f đồng biến [1;+∞) x3 � x  x3  x  17 x   � �3 x  x  x   0(3) � Thế vào pt(2) ta Nếu sử dụng máy tính để giải (3) ta thấy có nghiệm lẻ nhỏ Do ta khơng giải trực tiếp (3) mà ta chứng minh (3) vô nghiệm [2;+∞) 2 Thật xét hàm g ( x)  x  x  x  2, có g '  3x  x   x Mà g(2) = 13 nên g ( x) �13 x �2 (3) vơ nghiệm [2;+∞) KQ (3 ;1) � (4 x  1) x  ( y  3)  y  � � 2 Bài Giải hệ phương trình �4 x  y   x  Lời giải x� ,y � Đk 3 Pt (1) đưa dạng (2 x)  x  (  y )   y Hàm số f (t )  t  t có f '(t )  3t   0, t �R nên f đồng biến R � x   y vào (2) : 4x2  ( Lại xét hàm  4x2 )   4x    4x2 )   4x   x �[0; ] với g '  x(4 x  3)   0, x �(0; )  4x ta có g ( x)  x  ( x �(0; ) Xét g( )  KQ (1/2;2) �x  y   y  x  (1) � � x3  3x  y   x 2 x   (2) � Bài Giải hệ phương trình � Lời giải ĐK x �1, y �0 3 PT(1) có dạng u  u   v  v  với u  x, v  y  Hàm đại diện f (t )  t  t  1, t  có 3t f '  1 t3 1  0, t  3 Vậy (1) � x  y  � x   y vào (2) ta có x3  x   x 2 x   � ( x  1)( x  x  1)  x( 2 x    x) � ( x  1)( x  x  1)  x � ( x  1)( x  x  1)  x x2  2 x  1 2x    x 0 x  x   4(2 x  1) ( 2 x    x)( x   2 x  1) 0 � ( x  x  1)G ( x)  � x  x   � x   (do x > nên G(x) > 0) � x2 y  y3  x  x6 � � ( x  2) y   ( x  1) Bài Giải hệ phương trình � Lời giải Ta thấy x = không thỏa mãn y y 2( )  ( )3  x  x x Xét x �0 phương trình (1) : x y x f ( t )  t  t Hàm số đồng biến � x Thế vào (2) ta có kq : ( 3;3),( 3;3) � ( x  x  1)( y  y  1)  � � y   3x   12 x  12 y  � Bài Giải hệ phương trình � Lời giải ĐK x  �0, y �1 2 PT(1) � x  x   ( y )  ( y )  Hàm đại diện f (t )  t  t  Dễ thấy f '  suy x   y Thế vào pt(2) ta có 3x   3x   12 x  12  x � � 1 x � 12  x  4(2   x )  x  12 x   �  x � 12    x ( x  3) � �   3x � 2 x 1 35 1 x � � 3( x  3)  x � (2  x)( x  3)  f ( x) �f ( )  2 3 Ta có 12  1 x 35   x ( x  3) �12   3   3x Suy KQ : (1 ;-1) 2 � �x y  x  y  y   � y   x  y  xy  x  ( x  y )   y Bài Giải hệ phương trình � Lời giải Đk : x �y �0 Phương trình (2) : y   y  y  ( x  y)2   x  y  ( x  y)2 Hàm số : f (t )  t   t  t , t �[0; �) có 2 f '  t( t2 1  2)  t  0, t  Suy hàm f nghịch biến (0;+∞) KQ (4;2) Bài Giải hệ phương trình Lời giải � ( x  2) x  x   y y   x  y   � � � � x  y 1  x  y 1 Đk x  y  �0 2 Phương trình (1) : ( x  2) ( x  2)   ( x  2)  ( y ) ( y)   (  y) Hàm số : f (t )  t t   t có f '  t2   t2 t2    t �R Suy hàm số đồng biến R � x    y KQ (-1; -1) Bài 10 Giải hệ phương trình Lời giải Đk �x, y �1 � 1 y x   x  y 1 � 1 1 x 1 y � � �1 x   y  2 1 y x x 1 y   x   (1  y ) phương trình (1) : f (t )  t t 1 1 t có f '  t �(0;1) � x   y Hàm KQ : (1/2 ;1/2) Bài 11 Giải hệ phương trình Lời giải � xy (1   y )  (1) � x 1  x � �x (9 y  1)  4( x  1) x  10 (2) � PT(1) tương đương với y  y (3 y )2   1  ( )2  x x x (1) suy x  0, y  Hàm số : y  f (t )  t  t t  1, t  Dễ thấy f’ > nên f đồng biến � 3y  2 2 x vào (2) : x  x  4( x  1) x  10 Vì hàm số g ( x)  x  x  4( x  1) x PT đồng biến (0 ;+∞) mà g(1) = 10 nên phương trình có nghiệm x = KQ : (1 ;1/3) �2 x  x2  x   � y2  � 2y � x   x  y   x3  x  y  Bài 12 Giải hệ phương trình: � Lời giải Điều kiện x  y  �0, x �2 Nhận thấy x không thỏa mãn hệ phương trình (1) � x � Xét : Ta có Xét hàm số x2  x  2x 1  y2  � 2y (2 x  1)2  2x 1  t2  f '(t )    t �0 , (t �0) 2 t t  t có  �;0   0; � f (t )  Suy hàm số f(t) nghịch biến khoàng y2  (3) y �;  Từ (1) ta thấy 2x+1 y dấu, tức thuộc khoảng  thuộc khoảng  0; � Do (3) � f (2 x  1)  f ( y ) � x   y Lại y  x  vào (2), ta : x    x  x3  x  x  � � �   x    x   x3  x  x  � 2�  x     x   4� � �  x   3 x 3   x  2   x   2   x2  x  2  x   3 x 3 � �  x  x   �x   � � �    x  2   x  2 x   3 x 3     x  2   x   2  x   3 x 3   x  1  x     x  1  x     x  2  x  x  2 � � �  x  2   x   � �  x 2 Do  x   3 x    x  2   x     x � 2;3 x2 � x2  x   � � x  1 � Suy x; y    2;5  x; y    1; 1 Vậy nghiệm hệ phương trình   Bài 13 Giải hệ phương trình Lời giải 3x  � �x  y   y  y  x  � � y   7x  y   y  � �x  1 � � �y � ĐK : � Phương trình (1) 1  y  y    y x 1 � x 1 x 1  f  t   t  3t  Xét hàm đặc trưng : � � ; �� � � � t 2t  3t   2t  1  t  1 f  t   �0 t � 2 t t Có với � � ; �� � � f  t � đồng biến �9 /  Mà :   có dạng f   x 1  f  y � x   y � x  y 1 Thế vào (2) ta : y   y  y   y  � y    y    y  y    y  1  y2  y  �  9y   y  y3  y2  y   y  y  5   y  1 y  y    y  1 x3 �y  � �� �� x  (t/m) �y  � Vậy : hệ có nghiệm  x; y     3;  ;  8;3  � 3x  y   y  � � x   3xy y   � Bài 14 Giải hệ phương trình � 0 Lời giải x  y  �0 � � � 1 x� � � ĐK Nếu y �0 3x  y   y �2  nên hệ vô nghiệm Nếu y < (2) suy x > Khi �3 � �3 � (2) � � �  � �  ( y)  ( y ) � 3x � � 3x � Xét hàm f (t )  t  t , t �R � f '(t )  f( suy f đồng biến R mà 2  2t  t2  t �R 3 )  f ( y ) � x  y vào (1) ta có 3x  y   y 1  y2 (4) g ( y)   y   y  (�;0) � g '  y2 18 1 y3   0, y   y6 y2 Xét hàm suy hàm số đồng biến (-∞ ;0) mà g(-3) = nên y = -3 KQ : (1/3 ;-3) Bài 15 Giải hệ phương trình Lời giải Ta thấy y ≠ �x y   ( xy  y )(20 xy  38 y  20) � �3 �x  y  ( xy  1)( x  y )  12 1 � x5  20 x  38 x  ( )5  20( )  38( ) y y y PT(1) hàm đại diện f (t )  t  20t  38t có f '(t )  5t  40t  38 f ''(t )  20t  40, f ''(t )  � t  Bảng biến thiên t f ''(t ) f '(t ) -∞ - +∞ + f '( 2) ( Lê Minh) 3 3 ta có f '( 2)  5( 2)  40  38  38  30  � f '(t )  0, t �R suy hàm f đồng biến từ x y 3 3 3 3 ; );( ; ) 2 2 KQ ( Nhận xét : Đây tốn hay khó mà hàm đại diện phải sử dụng đạo hàm bậc hai chứng minh tính đơn điệu 2.Nhóm Phối hợp hai phương trình (cộng đại số, thế) để tạo hàm đại diện Loại Hệ đối xứng loại PP : Ta cộng trừ hai phương trình để làm xuất hàm đại diện � �x  x   x   y �3 Bài Giải hệ phương trình �y  y   y   x 1 x, y � Lời giải ĐK Trừ hai phương trình theo vế ta x3  3x  x   y  y  y  1 f (t )  t  3t  2t  1, t � Xét hàm 1 f '(t )  0, t  Do x = y Dễ thấy Ta có phương trình x  x   x   1 g '(t )  3t    t  g (t )  t  2t   2t  1, t � 2t  có Lại xét hàm 1 [ ; �) Do g(t) đồng biến mà g(0) = Vậy hệ có nghiệm (0;0) Bài Giải hệ phương trình Lời giải 2 � � ( x  1)  21  y  ( y  1) � 2 � � ( y  1)  21  x  ( x  1) ĐK x, y �0 Ta thấy xy  � ( x, y ) không nghiệm hệ Với x  0, y  Trừ hai phương trình xét hàm ta x = y 2 Phương trình ( x  1)  x  ( x  1)  21  2 Hàm số g ( x )  ( x  1)  x  ( x  1)  21 có g(1) = Vậy hệ có nghiệm (1;1) g '  2x   x x 1  ( x  1)  21  2 x 1 0 | x  1| Loại Hệ tổng hợp 2 � �x  x  x   y  y  �2 Bài Giải hệ phương trình �x  y  3x  y   Lời giải Cộng hai phương trình ta có ( x  1)2  ( x  1)   y  y  f (t )  t  t  4, t �0 � f '    0, t �0 t4 Mà f ( x  1)  f ( y ) � x   y Xét hàm Thay vào (2) ta KQ : (1/2;-1/2), (3/4;1/4) � ( y  1)  y y   x  � � �x  x  x    2 x  y  � Bài Giải hệ phương trình Lời giải ĐK : x  y  �0 Phương trình (1) tương đương với : x  y   ( y  1)  y y   y � x  y   ( y   y )2 Thay vào phương trình (2) ta có : x   ( x  1)   2( y   y ) � Hàm số : f (t )  t  t  có f '  1 x 1 x 1  ( ) 1  2 t t 1  t  t2 1 t 1  t | t | t2 1 R KQ : (5/2;3/2) � x2  x  x   y  y  y  � �2 Bài Giải hệ phương trình �x  y  x  y   Lời giải 1 x �2, y � Đk 2 (1) – (2) ta có : ( x  1)  ( x  1)  x   y  y  y  Xét hàm số : f (t )  t  t  t  , t �1 Với t  1 ta có 10 y2 1  y �0, t �R nên f đồng biến 1  2(t  1)    1(Cauchy ) �    2 t 1 t 1 t 1 2 (1; 2), ( ; ) Suy hàm f đồng biến (-1 ;+∞) Từ x   y Kq : f '  2t   �xy ( y  x )  x   �3 3 Bài Giải hệ phương trình �x  x   x  y  y  Giải 3 PT(2) – 3xPT(1) ta ( x  y)  ( x  y )  (1  x)   x Hàm đại diện f (t )  t  t KQ (1 ;-1) Bài Giải hệ phương trình �3 y 1 3y4 x    � y y 1 � � ( x  1)(9 y  12 y  4)   � ( Lê Minh) Lời giải ĐK y > Từ phương trình thứ hai ta có Từ phương trình đầu : Hay Xét hàm số có Vậy Ta giải pt : suy y = 4/3 Vậy hệ có nghiệm (3/4;4/3) Một số sai lầm thường gặp sử dụng hàm đại diện � 2 y  y   2 � x � � x   xy y   � Bài Giải hệ phương trình Ta xét lời giải sau : đk 1 �x �0 Ta thấy x �1, y �0 Phương trình (2) : x 4  � x 1   x 1 y y  x 1 11 y y2   y2  y y 1 f ( x  1)  f ( ) � x 1  f (t )  t  f '  1  y  t Do t Hàm số mà y y2  (*) Có khơng ? Khơng Ta có hàm số f đồng biến khoảng (- �;0) (0 ;+∞) ta chưa y khẳng định x  y  có thuộc hai khoảng khơng ? Nếu y > (*) Nếu y < chưa thể khẳng định (*) Do ta phải tìm cách khác Bài Giải hệ phương trình Lời giải � �x   y  (1) y � x � y  x  1(2) � ĐK xy �0 1 f '(t )    t �0 t có t Xét hàm suy hàm f đồng biến R\{0} Do từ PT(1) suy x  y vào (2)… f (t )  t  Hỏi lời giải có khơng ? ? Trả lời : lời giải sai ta kết luận hàm số đồng biến khoảng (- ∞,0) (0;+∞) không kết luận hàm f đồng biến R\{0} Do : x y âm dương suy x = y, x, y trái dấu từ f(x) = f(y) không suy x = y �x  16 y   (1) � y � 8x �2 Bài Giải hệ phương trình �x  xy  y  8(2) Lời giải x � ( )3  ( )  y  x y ĐK xy �0 PT(1) 1 f (t )  t  f '  3t   t có t Hàm đại diện suy f đồng biến tập xác định Do PT(1) � x  y ? Đúng khơng ? Ta xét tiếp tốn sau Bài Giải hệ phương trình Một bạn giải sau 3 � �x  x  y  y � � x 1  y  12 Lời giải Đk x �1, y �0 Xét hàm số f (t )  t  3t , t �1 ta có f '  3t  �0 t �1 nên hàm f đồng biến [1 ;+ ∞) Do (1) suy x = y từ vào (2) giải x y Liệu lập luận có khơng ? ? Hệ sử dụng hàm không đưa hàm đại diện Một số hệ không sử dụng hàm đại diện lại sử dụng cơng cụ hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến để giải �f ( x )  g ( y ) � Các hệ thường có dạng �H ( x, y )  Trong từ (2) ta tìm điều kiện ràng buộc x,y (sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc 2) xét hàm f(x), g(y) � (2 x  3x  4)(2 y  y  4)  18 (1) � �2 Bài Giải hệ phương trình �x  y  xy  x  y  14  (2) Lời giải Coi phương trình (2) phương trình bậc hai ẩn x, phương trình bậc hai ẩn y sử dụng điều 10 �x � ,1 �y � 3 kiện có nghiệm ta có Hàm số f (t )  2t  3t  đồng biến [1;+ �) f ( x) f (� y ) 18 18 f (2) f (1) 6.3 18 (1) � Vậy nghiệm hệ (2;1) Bài Giải hệ phương trình Lời giải x 2, y 1 � x  3x  ( y  1) y   (1) � � � x  x   y (2 y  1)  (2) � 1 �y �0 ĐK Viết phương trình (1) x  x  ( y  1)3  y   (3) Từ (2) ta có x  x   y (2 y  1)  � x  x �0 � 1 �2 x �0 Và �2 y  �1 Xét hàm số f (t )  t  3t , | t |�1 f '(t )  3(t  1) �0 suy f nghịch biến [-1;1] Phương trình (3) : f (2 x)  f ( y  1)  x  1 � 1 �� �x y y 1  � Mặt khác f (2 x)  f ( y  1) �f (1)  f (0)  Vì (3) 1 1 ; ) Vậy hệ có nghiệm ( 2 13 � x  x  y  y  y  32  (1) � 2 Bài Giải hệ phương trình �2 x  y  x  y  (2) Lời giải Từ phương trình (2) sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ta có �1 �x � � �2 � �3 �y �1 �2 Xét hàm số f ( x)  x  x , x �[ 1 ; ] 2 Ta tìm max, hàm số đoạn 1 1 1 1 63 f (0)  0, f ( )  , f ( )  , f ( )  54 2 2 Ta có 63 1 max f ( x )  f ( )  x �[ ; ] 2 với 2 Suy 3 g ( y )  y  y  y  32, y �[ ; ] 2 Tiếp theo ta xét hàm số f '  24 x  x  � x  0, x  Có g '  12 y  y  1, g '  � y  Ta có Suy g( 1 ,y  3 79 1 63 1733 63 ) , g( )  , g( )  , g( )  2 2 54 2 max g ( y )  g ( 1 63 63 63 )  g( )  � f ( x)  g ( y ) �  0 2 2 � �x  � � 1 f ( x )  g ( y )  � �� y � �� �� y �� thử lại phương trình (2) ta � Do 1 ( ; ) KQ 2 � ( x  y  3) x3   16(4 x  3) � � (2 x  y  3) y   (2 xy  x  x ) x  � Bài Giải hệ phương trình Lời giải � ( x  9)( x  y )  22( y  1)2 � �2 x   4y y 1  Bài Giải hệ phương trình � Lời giải 14 � ( x   x)( y   y )  � � (2 y  5)3   y  x   10 x � Bài Giải hệ phương trình � Lời giải � y   y   x3   x � � 2 � ( y  4)(2 y  12)   x  y  ( x  2)( x  y) Bài Giải hệ phương trình � Lời giải 3 � �x( y  x )  �4 3 2 Bài Giải hệ phương trình �x  x y  y  y x  x y  x Sau em nghiên cứu kỹ phần trình bày trên, lúc em áp dụng để giải hệ tương tự Nhớ tốn có thú vị riêng nên em phải giải hết trình bày cẩn thận vào chuyên đề BÀI TẬP VẬN DỤNG 2 � �x  3x   ( y  2)  y  � 2 � 2x  x   y  x 1 Bài Giải hệ phương trình � � ( x  1) x  ( y  4)  y  � � 2 Bài Giải hệ phương trình �22 x  y  18  3x  76 � 4x  y  y  y   x2  x 1 � � 2 � y 1  x   x  x  y  Bài Giải hệ phương trình � Bài Giải hệ phương trình � x( x  3)  y ( y  3)  3xy ( x  y) � �2 ( x  2)  4(2  y ) � � ( y  2) x   x y  � � � x  1.( y  1)  ( y  3)(1  x  y  x ) Bài Giải hệ phương trình � 15 11 10 11 22 � �x  xy  y  y � y  13 x   y 3 x  xy  x � Bài Giải hệ phương trình 2 � �x y  16  y x  16  16 � ( x  y )3  x   y  ( y  2) y  � Bài Giải hệ phương trình � 2 � �xy ( x   1)  y   y � (3x  1) x y  xy   x  3x y  x  � Bài Giải hệ phương trình � Bài Giải hệ phương trình 2 � �y  y  y   3x  3x  x   � y  x  y  3x  � 2 � �x  x y  x y  12 xy  y   �4 y  ( x3  y )2   x   x3 y Bài 10 Giải hệ phương trình � � �x x  y y  xy  y  y  x   � 3x  y  x  y  xy  Bài 11 Giải hệ phương trình � � x y 3 y 7 x  � � � (2 y  1)  y xy  (2 x  1)2  x xy � Bài 12 Giải hệ phương trình � ( x  y ) x  x   ( x  2) x  xy  y   � � 2 2 Bài 13 Giải hệ phương trình �x  y ( x  y )  2(1  x  y ) �  y2 1  � 2 �x  x  x   y ( x  1) � 2 Bài 14 Giải hệ phương trình �4 y x   x  y  3x   � (2 x   x )(2 y   y )  � � � x   y 3x  6( y    x ) Bài 15 Giải hệ phương trình � � (17  x)  x  (3 y  14)  y  � � x   19  y  x  Bài 16 Giải hệ phương trình � � x3  x  3x   x (2  y )  y � � � x   14  x  y Bài 17 Giải hệ phương trình � � xy  y  x  y x  x  x  � � x y  x  x  x  x3 y y  � Bài 18 Giải hệ phương trình � 16 � ( x   x y  2)( y   1)  x y � � 2 Bài 19 Giải hệ phương trình �4 y x   y  x  26 y  13 y  2 2 � �xy   (2 y  x) x  y  � Bài 20 Giải hệ phương trình �( y  x)( y  1)  ( y  2) x   Bài 21 Giải hệ phương trình � ( x  x  x  1)( y  y  y  1)  � �2 �x  y  4 � �y ( x  y )  ( x  1)  x  x � ( x   y  8)( y  2)  2( x  4) � Bài 22 Giải hệ phương trình �2 x  x2  x   � � 2y y2  � �3 x (3 y  11)   ( xy  x  2)3 Bài 23 Giải hệ phương trình � Bài 24 Giải hệ phương trình � ( x  y ) y  xy   ( y  x ) 3x  x( y   3x )  y  � � 3x  xy  y  � � �x  y   y  17 � ( y  24 y  18  2  2 y  2)( x   x)  � Bài 25 Giải hệ phương trình � Bài 26 Giải hệ phương trình � 11 y2    y3  7  �x  x � 2x �x  y  xy  x  y  14  � C KẾT LUẬN Hàm số có nhiều ứng dụng ứng dụng sử dụng vào việc giải hệ phương trình tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiêm Đề tài nêu phương pháp giải cho dạng toán loại hệ phương trình , đồng thời đưa hệ thống tập tương đối đầy đủ với mực độ khác Tuy nhiều nguyên nhân khác nhau, chủ quan khách quan nên đề tài khơng tránh khỏi sai sót định Rất mong nhận góp ý bạn đồng nghiệp, hội đồng khoa học trường THPT Nông Cống 1, Hội đồng khoa học sở GD & ĐT Thanh Hố để đề tài hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 17 TÁC GIẢ LÊ TRỌNG VŨ 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Tuyển tập phương trình – Hệ phương trình Tác giả: Nguyễn Văn Nho – NXB ĐHQG Hà Nội - Rèn luyện tư sáng tạo qua tốn phương trình – Hệ phương trình Tác giả: Nguyễn Kim Chung – NXB TP Hồ Chí Minh – 2013 - Các tốn phương trình – Hệ phương trình chọn lọc Tác giả: Lê Hồng Đức – Lê Đình Hùng – NXB ĐHQG Hà Nội 19 ... sử dụng vào việc giải hệ phương trình tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiêm Đề tài nêu phương pháp giải cho dạng toán loại hệ phương trình , đồng thời đưa hệ thống tập tư ng đối đầy đủ với... � � 2 Bài 19 Giải hệ phương trình �4 y x   y  x  26 y  13 y  2 2 � �xy   (2 y  x) x  y  � Bài 20 Giải hệ phương trình �( y  x)( y  1)  ( y  2) x   Bài 21 Giải hệ phương trình. .. 8)( y  2)  2( x  4) � Bài 22 Giải hệ phương trình �2 x  x2  x   � � 2y y2  � �3 x (3 y  11)   ( xy  x  2)3 Bài 23 Giải hệ phương trình � Bài 24 Giải hệ phương trình � ( x  y ) y 