1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Hàm số mũ hàm số lôgarit phần kiến thức bản, sâu vào việc tính tổng, tích tốn cực trị chúng lại phần kiến thức khó chương trình mơn Tốn lớp 12 đa số học sinh khơng xác định hướng giải Đặc biệt năm gần đề thi THPT Quốc gia dạng tốn lại phổ biến Để học sinh lớp 12 tự tin giải xác dạng tốn điều khơng dễ cần phải kết hợp nhiều mảng kiến thức, đòi hỏi lập luận, suy luận cao, tư lơgic cộng với việc tính tốn nhanh Đó thách học sinh khiến tơi ln trăn trở tìm tòi cách giảng dạy hiệu cách đưa số toán tổng quát vạch bước giải cụ thể Từ lý với kinh nghiệm giảng dạy định chọn đề tài: “Một số phương pháp giải nhanh tốn tính tổng, tích cực trị hàm số mũ, hàm số lôgarit nhằm giúp học sinh đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018 – 2019 Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài tập trung vào mục đích nghiên cứu hình thành cách giải nhanh, xác số tốn hàm số mũ lơgarit khó chương trình Giải tích 12 nhằm rèn luyện kỹ toán học định hướng phát triển cho học sinh lực sau: - Năng lực tư duy, lực tính tốn, lực tự học giải vấn đề - Năng lực sử dụng cơng nghệ thơng tin (máy tính cầm tay casio) - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học - Kỹ vận dụng kiến thức phương pháp tính tổng, tích cực trị hàm số mũ, hàm số lôgarit 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài cách giải tốn tổng, tích, cực trị hàm số mũ hàm số lôgarit - Chương II – Giải tích 12 để rèn luyện kỹ phát triển lực Toán học học sinh 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao Cơ bản, sách tập Giải tích 12 - Nâng cao Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: + Điều tra, khảo sát, vấn, dự dạy học phần hàm số mũ hàm số lôgarit trường THPT Triệu Sơn để từ thấy tầm quan trọng việc áp dụng phương pháp việc nâng cao chất lượng dạy học + Thống kê, phân loại, đánh giá kết khảo sát thực nghiệm + So sánh, đối chiếu lí luận thực tiễn dạy học, thể nghiệm đối chứng để qua thấy hiệu đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp để giải vấn đề vô quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm lời giải lớp toán Trong dạy học giáo viên người có vai trò thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì trang bị phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong phần “Hàm số mũ hàm số lôgarit” (Chương II sách giáo khoa Giải tích lớp 12) đưa tính chất, tính đồng biến nghịch biến đồ thị hàm số mũ hàm số lơgarit, việc khai thác tổng, tích, cực trị Vì vậy, tơi nhận thấy cần bổ sung thêm số tốn tổng quát tổng, tích cực trị giúp học sinh biết cách giải dạng toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Triệu Sơn trường nằm phía tây huyện, có nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, có nhiều học sinh em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư học sinh chậm, điều kiện kinh tế khó khăn, đường học xa khó nên ảnh hưởng nhiều đến kết học tập em Trong trình dạy học tơi nhận thấy điều để biết làm làm tốt tổng, tích, cực trị hàm số mũ hàm số lơgarit cần phải nắm vững nhiều kiến thức, đòi hỏi học sinh phải có khả phán đốn, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ trình bày chặt chẽ tư logic cao, kỹ phân tích dạng tốn Nhưng thực tế điều lại điểm yếu khơng học sinh, kể học sinh giỏi, dẫn đến tâm lý chán, ngại làm dạng tốn khó 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Ôn tập số kiến thức cần dùng cho học sinh +) Tính chất hàm số mũ hàm số lơgarit +) Bất đẳng thức Cauchy +) Định lí Viét +) Sử dụng tính đơn điệu hàm số: 1.1 Nếu hàm số f ( x) liên tục đơn điệu (a ; b) ta có: f (u ) = f (v) ⇔ u = v ∀ u , v ∈ (a ; b) 1.2 Nếu hàm số f ( x) liên tục đơn điệu (a ; b) phương trình f ( x) = k (k số) có nhiều nghiệm khoảng (a ; b) 1.3 Nếu hai hàm số f ( x) ; g ( x) liên tục đơn điệu (a ; b) phương trình f ( x) = g ( x) có nhiều nghiệm khoảng (a ; b) 2.3.2 Hướng dẫn rèn luyện số dạng tổng, tích hàm số mũ lôgarit thường gặp thông qua toán tổng quát giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh, xác ax (a > 0) (1) ax + a Ta có tính chất: f ( x) + f (1 − x) = Bài toán tổng quát 1: Với hàm số f ( x) = Thật vậy: ax a1− x ax a ax a f ( x) + f (1 − x) = x + 1− x = x + = x + x a + a a + a a + a ax ( a + a) a + a a a + a ax ax a = x + x = a + a a + a 25 x Bài 1: Cho hàm số f ( x ) = x Tính giá trị biểu thức: 25 + 2019 S= f( )+ f ( ) + + f ( ) 2019 2019 2019 6059 2019 A B 1009 C D 1010 Hướng dẫn: - Đây hàm số dạng (1) - Có 2019 số hạng (số lẻ), suy có 1009 cặp cộng với f (1) 25 6059 = Chọn A 30 2019 x Tính giá trị biểu thức: Bài 2: Cho hàm số f ( x) = 2019 x + 2019 2018 S= f( )+ f ( ) + + f ( ) 2019 2019 2019 6011 2019 A B 1009 C D 1011 - Đáp số 1009 + Hướng dẫn: - Đây hàm số dạng (1) - Có 2018 số hạng (số chẵn), suy có 1009 cặp - Đáp số 1009 Chọn B *Nhận xét: Khi học sinh nắm tốn tổng qt việc giải tốn trở nên dễ, đơn giản nhiều không nhiều thời gian cho việc tính tốn Vấn đề lại kiểm tra xem đề cho số hạng số lẻ hay số chẵn học sinh tính kết 9t với m tham số thực Gọi S tập hợp tất 9t + m tham số m cho f ( x) + f ( y ) = với số thực x, y thỏa mãn: e x + y ≤ e( x + y ) Tính số phần tử S Bài 3: Xét hàm số f (t ) = A B C Vô số D (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2017 - Câu 50 - Mã đề 103) Hướng dẫn: 9t ta nghĩ đến y = − x 9t + m 2 Dựa vào toán tổng quát ⇒ m = ⇔ m = ⇒ m = ± ⇒ S = ± Từ hàm số f (t ) = { } Chọn D Cách giải thơng thường: Theo giả thiết ta có: e x + y ≤ e( x + y ) ⇔ e x + y − e( x + y ) ≤ Đặt u = x + y ⇒ g (u ) = eu − eu , g '(u ) = eu − e, g '(u ) = ⇔ eu = e ⇔ u = Bảng biến thiên: u −∞ g’(u) g(u) +∞ - + +∞ +∞ Từ BBT ta có: g (u ) ≥ g (1) = 0, ∀u ∈ R ⇔ e x + y ≥ e ( x + y ) ∀x, y ∈ R ⇒ e x + y = e( x + y ) ⇔ x + y = ⇔ y = − x 9t 91− x 9x + 1− x =1⇔ x + =1 Mặt khác: f ( x) + f (1 − x) = ⇔ t 2 +m +m + m + x m2 9t 91− x ⇔ t + = ⇔ 9.9 x = x.m ⇔ m = ⇔ m = ± ⇒ S = ± 1− x +m +m { } Chọn D * Nhận xét: Lời giải tương đối dài khó, nhiều thời gian a2x − a + (a > 0) (2) Bài toán tổng quát 2: Với hàm số f ( x) = x a +a Ta có tính chất: f ( x) + f (1 − x) = a Thật vậy: a2 − a +1 a − a +1 a − a + a − a + a2x f ( x) + f (1 − x) = x + 2(1− x ) = 2x + = a +a a +a a +a a2 +a a2x a x − a + a − a.a x + a x a.a x − a + a + a − a.a x + a x a2x + a = 2x + = = = 2x 2x 2x a +a a + a.a a + a.a a (a + a ) a x −2 Bài 1: Cho hàm số f ( x) = x Tính giá trị biểu thức +3 2019 S = f( )+ f ( ) + + f ( ) 2019 2019 2019 2x 2(1− x ) 2x A 4039 12 B 1009 C 4043 12 D 1010 Hướng dẫn: - Đây hàm số dạng (2) - Có 2019 số hạng (số lẻ), suy có 1009 cặp cộng với f (1) 4043 = Chọn C 12 12 - Đáp số 1009 + x Bài 2: Cho hàm số f ( x) = 16 − Biết a + b = Tính giá trị biểu thức x 16 + S = f (a ) + f (b − 2) A B C D Hướng dẫn: - Đây hàm số dạng (2) - Vì a + b = ⇔ a + b − = - Đáp số Chọn B *Nhận xét: Khi gặp dạng tốn khơng nhớ tốn tổng qt ta xét tổng f ( x) + f (1 − x) , từ tính kết Bài toán tổng quát 3: Cho hàm số f ( x) = logα Ta có tính chất: f ( x) + f (1 − x ) = Thật vậy: ax (0 < a ≠ 1; < x < 1) (3) 1− x ax a (1 − x) ax a (1 − x) f ( x) + f (1 − x) = log a + log a = log a = log a a = 1− x − (1 − x) 1− x x  2x  Bài 1: Cho hàm số f ( x ) = log  ÷ Tính tổng: 1− x  2019 S = f( )+ f ( ) + + f ( ) 2020 2020 2020 2017 2019 A 1010 B 1009 C D 2 Hướng dẫn: - Đây hàm số dạng (3) - Có 2019 số hạng (số lẻ), suy có 1009 cặp cộng với f ( 1010 )= f( ) 2020 2 2019 Chọn D 6x Bài 2: Cho hàm số f ( x ) = log Tính tổng: 1− x - Đáp số 1009 + = S = f( A 1009 2018 )+ f ( ) + + f ( ) 2019 2019 2019 2019 B 1010 C D 2021 Hướng dẫn: - Đây hàm số dạng (3) - Có 2018 số hạng (số chẵn), suy có 1009 cặp - Đáp số 1009 Chọn A *Nhận xét: - Chú ý quan trọng hai giá trị ngoặc có tổng một, từ ghép hai giá trị có tổng khơng đổi để tính kết - Nhìn vào toán tương đối phức tạp lại giải nhanh gọn Bài toán tổng quát 4: Cho hàm số f x = e ( ) S = f (1) f (2) f (n − 1) = e Thật vậy, xét số thực x > ta có 1 1+ + = x ( x + 1) (x ) + x +1 x ( x + 1) ⇒ S = f (1) f (2) f ( n − 1) = e Bài 1: Cho hàm số f x = e ( ) 1+ 1 + x ( x +1) n2 −1 n x2 + x + 1 = = 1+ − x x +1 x +x 1 1 1 (1+ − ) + (1+ − ) + + (1+ − ) 2 n −1 n 1+ 1 + x ( x +1) =e n− n =e n −1 n Tính A = f ( 1) f ( ) f ( 2018 ) A e 2019 B e 2918 C e D 2019 −1 2019 e 20182 −1 2018 Hướng dẫn: A = f (1) f (2) f (2018) = e Bài 2: Cho hàm số f x = e ( ) 1+ 2019 −1 2019 1 + x ( x +1) Chọn C Biết m A = f (1) f (2) f (3) f (2009) = e với m, n số tự nhiên n phân số tối giản Tính m − n m n A m − n = 2020 B m − n = −2020 C m − n = D m − n = −1 Hướng dẫn: A = f (1) f (2) f (2019) = e 2020 −1 2020 m 2020 − ⇒ = n 2020 20202 − Phân số phân số tối giản, nên m = 2020 − 1, n = 2020 ⇒ m = n = −1 2020 Chọn D *Nhận xét: - Nếu học sinh chưa gặp dạng khơng nắm cơng thức tổng qt vấn đề vơ khó lúc làm trắc nghiệm nhiều thời gian Nhưng nắm cơng thức tổng qt việc thay số có kết - Trên sở tốn tổng qt ta xây dựng lớp toán tương tự 2.3.3 Rèn luyện cho học sinh kỹ tìm cực trị hàm số mũ lôgarit Phương pháp chung: Bước 1: Kỹ biến đổi linh hoạt tính chất hàm số mũ lôgarit Bước 2: Sử dụng số bất đẳng thức đơn giản để tìm miền giá trị ẩn Bước 3: Biến đổi, sử dụng tính đơn điệu hàm số để tìm mối liên hệ ẩn Bước 4: Dồn biến Bước 5: Xét hàm biến để tìm cực trị Tùy ta giảm bớt hai bước Phần 1: Hàm số mũ Bài 1: Cho số thực dương x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = (2 x + y )(2 y + x) + xy A 29 B 18 C 27 D 19 Phân tích: Bài có tính chất đối xứng ta nghĩ đến việc sử dụng BĐT Cauchy dồn biến để xét hàm Hướng đẫn: Cách 1: ( x + y)2 ≤ Áp dụng BĐT Cauchy ta có = + ≥ ⇒ x + y ≤ ⇒ xy ≤ ⇒ P = 2( x + y ) + x y + 10 xy = 2( x + y ) ( x + y ) − xy + x y + 10 xy x x+ y y ( ) ≤ 4(4 − xy ) + x y + 10 xy = 16 + x y − xy = 16 + x y + xy ( xy − 1) ≤ 18 Vậy Pmin = 18 ⇔ x = y = Chọn B 2 2 Cách 2: Áp dụng BĐT Cauchy ta có = x + y ≥ x + y ⇒ x + y ≤ ⇒ y ≤ − x ⇒ P ≤ (2 x − x + 2)(2(2 − x) + x) + x(2 − x) = x − 16 x + 18 x − x + 16 = f ( x) ≤ f (1) = 18 ( BBT ) Chọn B Bài 2: Cho a, b nguyên lớn 1, a x2 +1 = b x có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 = (9a ) x có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn ( x1 + x2 ).( x3 + x4 ) < Tìm giá trị nhỏ S = 3a + 2b A 12 B 44 C 46 D 32 Phân tích: Với ta liên hệ đến định lí Viét Tìm điều kiện a, b mối liên hệ a, b bx −1 Hướng dẫn: 2 + a x +1 = b x ⇔ log a a x +1 = log a b x ⇔ x + = x.log a b ⇔ x − x.log a b + = Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ (log b) − > ⇔ log b > ⇔ b > a ( a, b > 1) theo Viét a a x1 + x2 = log a b x −1 x −1 + b = (9a) ⇔ logb b = log b (9a) ⇔ x − = x.log b 9a ⇔ x − x.log b 9a − = phương trình ln có hai nghiệm ac < Theo Viét x3 + x4 = logb 9a Từ x x 2 ( x1 + x2 ).( x3 + x4 ) < ⇔ log a b.log b 9a < ⇔ log a 9a < ⇔ 9a < a ⇔ a > ( a > 1) Do a ∈ Z , a > ⇒ a ≥ 4, b > a ≥ ⇒ b > 16, b ∈ Z ⇒ b ≥ 17 S = 3a + 2b ≥ 3.4 + 2.17 = 46 Chọn C xy x+2 y x , y > + + x + = + 3− x −2 y + y ( x − 2) Bài 3: Cho số thỏa mãn xy P = x + y Tìm giá trị nhỏ biểu thức A − B + C + 3 D − 3 Phân tích: Với ta đưa hàm đặc trưng (bằng cách dồn chung vế) để tìm mối liên hệ x y sau xét hàm biến Hướng dẫn: Từ x+ y + xy + x + = + − x − y + y ( x − 2) xy ⇔ x + y − − ( x + y ) + x + y = xy −1 − 3− ( xy −1) + xy − Xét hàm đặc trưng f (t ) = 5t − 3−t + t , f '(t ) = 5t ln + 3−t ln + > ⇒ f (t ) hàm số đồng biến ⇒ x + y = xy − ⇔ x( y − 1) = y + ⇔ x = P= x+ y = y+ 2y +1 y −1  y = 1+ y +1 , P ' = 1− , P ' = ⇔ ( y − 1) = ⇔  y −1 ( y − 1)2  y = − Bảng biến thiên y P’ −∞ 1− + +∞ 1+ - + P 3+ Nhìn vào bảng biến thiên, ta có P = + Chọn B *Nhận xét: Khi học sinh đọc đề đa số em cảm nhận khó khăn phương hướng Nhưng bình tĩnh lại em thực bước, tìm mối liên hệ ẩn, quy biến bước giải cuối xét hàm biến lại trở thành tốn bình thường với đa số học sinh lớp 12 Phần 2: Hàm số lơgarít Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu hàm số − xy = xy + x + y − Tìm Bài 1: Xét số thực dương x, y thỏa mãn log x + 2y giá trị nhỏ P = x + y A Pmin = 11 − 19 B Pmin = 11 + 19 C Pmin = 18 11 − 29 9 D Pmin = 11 − 3 (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Câu 47 - Mã đề 101) Phân tích: Với ta sử dụng tính chất lơgarit đưa hàm đặc trưng để tìm mối liên hệ gữa x y, sau xét hàm biến Hướng đẫn: Cách 1: Từ − xy = xy + x + y − ⇔ log (1 − xy ) − log ( x + y ) = −3(1 − xy ) + x + y − x + 2y ⇔ log 3(1 − xy ) + 3(1 − xy ) = log ( x + y ) + x + y + > ∀ t ∈ (0;+∞) Xét hàm số f (t ) = log t + t , f ' (t ) = t ln 3− x ⇒ f (t ) đồng biến (0; +∞) ⇒ 3(1 − xy ) = x + y ⇔ y = 3x + Cách 2: Bấm máy tính tìm mối liên hệ x y : Cho −97 − x x = 100 ⇒ y = = 302 x + 3− x > ⇒ < x < Do y > ⇒ 3x +  −2 + 11 x= ∈ (0;3)  3− x 11 P= x+ y = x+ ∀ x ∈ (0;3), P ' = − , P' = ⇔  3x + (3 x + 2)  −2 − 11 ∉ (0;3) x =  log Bảng biến thiên x P’ −2 − 11 −∞ + −2 + 11 - +∞ + P 11 − 3 11 − Chọn D − ab = 2ab + a + b − Tìm Bài 2: Bài tập tương tự: Cho a, b > thỏa mãn log a+b giá trị nhỏ P = a + 2b 10 − 10 − 10 − 10 − A Pmin = B Pmin = C Pmin = D Pmin = 2 2 Nhìn vào bảng biến thiên, ta có P = (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Câu 46 - Mã đề 102) Bài 3: Cho a, b > thỏa mãn log P = a + b A B 4a + 2b + = a + 3b − Tìm giá trị nhỏ a+b C D Hướng đẫn: Cách 1: 4a + 2b + = a + 3b − ⇔ log (4a + 2b + 5) − log ( a + b) = a + 3b − a+b ⇔ log (4a + 2b + 5) + 4a + 2b + = log (5a + 5b) + 5a + 5b + > ∀ t ∈ (0;+∞) Xét hàm số f (t ) = log t + t , f ' (t ) = t ln Từ log ⇒ f (t ) đồng biến (0; +∞) ⇒ 4a + 2b + = 5a + 5b ⇔ a = −3b + Cách 2: Bấm máy tính tìm mối liên hệ x y : Cho b = 100 ⇒ a = −295 = −3b + P = a + b = (−3b + 5)2 + b = 10b −30b + 25 = 10(b − 3b + ) + 5 = 10(b − ) + ≥ 2 Vậy P = Chọn C *Nhận xét: Việc bấm máy tính để tìm mối liên hệ ẩn học sinh trở thành công việc đơn giản Phần xét hàm biến em bấm máy tính mode7 Bài 4: Cho số x, y , z thỏa mãn x ≥ y ≥ z > log x− y = ( z − x)( x + z − y ) y−z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = A B z2 + y2 z + xz + y C D Hướng dẫn: Ta có log x− y = ( x + z )( z − x − y ) ⇔ log ( x − y ) − log ( y − z ) = z − x + xy − yz y−z 10 ⇔ log ( x − y ) + ( x − y ) = log ( y − z ) + ( y − z ) ⇔ x − y = y − z ⇔ x + z = y z2 + y2 x + xz + z t + 2t + x = = (t = ≥ 1) 2 2 z z + xz + y x + xz + z t + 4t + Xét hàm ⇒ P = Chọn A Vậy P = 2y +1 Bài 5: Cho số x, y không âm thỏa mãn x + x − y + = log Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = e B − A −1 x −1 x +1 + x − y + 1 C e D e + Hướng dẫn: Ta có x + x − y + = log 2y +1 ⇔ x + x − y + = log (2 y + 1) − log ( x + 1) x +1 2 ⇔ x + x + + 2log ( x + 1) = log (2 y + 1) + y ⇔ 2( x + 1) + log 2( x + 1) = y + + log (2 y + 1) > ⇒ f (t ) đồng biến t ln ⇒ 2( x + 1) = y + ⇒ P = e x −1 + x − 2( x + 1) + = e x −1 + x − x = f ( x) f ' ( x) = 2e x −1 + x − 4; f ' ( x) = ⇔ 2e x −1 = −4 x + (1) Xét hàm f (t ) = t + log t (t > 0), f '(t ) = + VT hàm đồng biến, VP hàm nghịch biến, suy phương trình có nghiệm nghiệm nghệm Nhận thấy x = nghiệm phương trình (1), phương trình (1) có 2 nghiệm x = Bảng biến thiên: x f’(x) f(x) - +∞ + e +∞ −1 Vậy P = − Chọn B *Nhận xét: - Để đưa hàm đặc trưng đòi hỏi học sinh phải có kỹ thêm bớt, biến đổi linh hoạt biểu thức lôgarit 11 - Với dạng tốn ta xây dựng lớp toán tương tự Bước 1: Xét hàm số log a u + u = log a v + v Bước 2: Chọn u, v theo x, y Bước 3: Tính giá trị min, max biểu thức theo x, y Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Chọn u = − xy, v = x + y, a = Ta được: log (2 − xy ) + − xy = log (3 x + y) + x + y ⇔ log Tìm giá trị nhỏ P = x − y Ví dụ 2: Chọn u = 4(1 − xy ), v = x + y, a = Ta được: − xy = x + y + xy − 3x + y log 4(1 − xy ) + 4(1 − xy ) = log (2 x + y ) + x + y ⇔ log ⇔ log 4(1 − xy ) = x + y + xy − 2x + y − xy = x + y + xy − Tìm giá trị nhỏ P = x + y 2x + y Dạng 2: Sử dụng số bất đẳng thức đơn giản Bài 1: Cho a, b > thỏa mãn log 3a + 2b+1 (9a + b + 1) + log ab +1 (3a + 2b + 1) = Giá trị a + 2b A B C D (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2018 - câu 44 - Mã đề 101) Phân tích: Với ta sử dụng BĐT Cauchy để tìm mối liên hệ a, b Hướng dẫn: 3a + 2b + > log 3a + 2b+1 (9a + b + 1) >  2 Ta có a > 0, b > nên 9a + b + > ⇒  log ab +1 (3a + 2b + 1) > 6ab + >  Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương ta log 3a+ 2b+1 (9a + b + 1) + log ab+1 (3a + 2b + 1) = T T ≥ log 3a+ 2b+1 (9a + b + 1).log ab+1 (3a + 2b + 1) ⇔ ≥ log ab +1 (9a + b + 1) ⇔ log ab+1 (9a + b + 1) ≤ ⇔ 9a + b + ≤ 6ab + ⇔ (3a − b)2 ≤ ⇔ 3a = b Vì dấu '' = '' xảy nên log ab +1 (3a + 2b + 1) = ⇔ 3a + 2b + = 6ab + ⇔ 9a = 18a ⇔ a = 1 ⇒b= 2 Vậy a + 2b = + = Chọn C 2 Tương tự: Bài 2: Cho a > 0, b > thỏa mãn log10 a +3b+1 (25a + b + 1) + log10 ab+1 (10 a + 3b + 1) = Giá trị a + 2b 12 A B C 22 D 11 (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2018 - câu 37 - Mã đề 102) Bài toán tổng quát: Cho a, b, m, n, p, q > thỏa mãn log pa + qb +1 (m a + b + 1) + log ma +1 ( pa + qb + 1) = Tính giá trị f (a, b) Cách giải: Sử dụng số bất đẳng thức đơn giản nhằm biểu thị ẩn theo ẩn Bài 3: Cho x, y > thỏa mãn log x + log y + ≥ log( x + y ) Tìm giá trị nhỏ S = x + y 2+ 1+ 3+ C D 20 Hướng dẫn: log x + log y + ≥ log( x + y ) ⇔ log10 xy ≥ log( x + y ) ⇔ 10 xy ≥ x + y x y (10 x − 1) ≥ x , x, y > ⇒ 10 x − > ⇒ x > ⇒ y ≥ 10 10 x − 3x ⇒S ≥ x+ = f ( x) 10 x − Cách 1: Mode 7, Start End 10 Step 10 10 29 A 1+ 10 B Cách 2: f ' ( x) = − 1+ , f ' ( x) = ⇔ (10 x − 1) = ⇔ 10 x − = ⇔ x = 10 (10 x − 1) (vì 10 x − > ) Bảng biến thiên: x 1+ 10 f’(x) - +∞ + +∞ f(x) 2+ 2+ Chọn B x2 + y2 −2 log ( x − y ) = (1 + log (1 − xy )) Bài 4: Cho số thực x, y thỏa mãn Nhìn vào bảng biến thiên, ta có S = Giá trị lớn biểu thức P = 2( x3 + y ) − 3xy bằng: 13 A 19 B 13 C D Phân tích: Với ta biến đổi lôgarit dễ dàng đánh giá hai vế để có dấu “=” xuất Hướng dẫn: (1 + log (1 − ( xy )) 2 2 ⇔ x + y − log ( x − y ) = log (2 − xy ) ⇔ x + y − log( x + y − + − xy ) = log (2 − xy ) (*) Dễ thấy: + Nếu x + y > ⇒ VT > log (2 − xy ) = VP x Điều kiện x > y, xy < Ta có + y −2 log ( x − y ) = + Nếu x + y < ⇒ VT < log (2 − xy ) = VP Từ (*) ⇒ x + y = ⇔ ( x + y )2 ≤ 2( x + y ) = ⇔ −2 ≤ x + y ≤ ( x + y)2 − Mặt khác x + y = ⇔ ( x + y ) − xy = ⇒ xy = Vậy P = 2( x + y ) − 3xy = ( ( x + y )3 − 3xy ( x + y ) ) − 3xy = 2( x + y )3 − xy ( x + y ) − 3xy ( x + y)2 − ( x + y ) − −2( x + y )3 − 3( x + y ) + 12( x + y ) + ( x + y) − = 2 − t − t + 12 t + Đặt t = x + y Xét hàm f (t ) = 13 f (t )max = f (1) = Chọn B Bài 5: Cho số thực dương a, x, y, z thỏa mãn z ≥ y , a > Tìm giá trị nhỏ = 2( x3 + y ) − biểu thức P = log ( xy ) + log ( x3 y + x z ) + z − y a a B −3 A −4 C − 25 16 D − 21 16 Hướng dẫn: 2 y2 3 3 y 3 y Từ giả thiết z ≥ y ⇒ z ≥ ⇒ x y + x z ≥ x y + x ≥ x y x = ( xy ) 4 Vậy: P = log a ( xy ) + log a ( x y + x z ) + z − y ≥ log a ( xy ) + log a ( xy ) 25 25 = (log a xy + ) − ≥− 16 16 Chọn C Bài 6: Cho số thực a, b thỏa mãn a > b > a 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = log a a + 3log b b b A 13 B 14 C 15 D 16 Hướng dẫn: 14 Ta có P = log 2a a + 3log b b a a = 4log 2a b + = 4(1 + log a b) + b b log a b log a b b b b b Đặt t = log a b (t > 0) ⇒ p = f (t ) = 4(1 + t ) + t b 8t + 8t − (2t − 1)(4t + 6t + 3) = = t2 t2 t2 1 f '(t ) = ⇔ t = Xét hàm ⇒ Pmin = f ( ) = 15 Chọn C 2 Bài 7: Cho số thực x thỏa mãn < x < 64 f '(t ) = 8(1 + t ) − x Tìm giá trị lớn biểu thức P = log x + 12log x.log A 64 Hướng dẫn: B 81 C 88 D 100 x Từ < x < 64 ⇔ log < log x < log 64 ⇔ < log x < Đặt t = log x (0 < t < 6) 4 Ta có: P = log x + 12log x.log ⇔ P = log x + 12log x(log − log x) P = t − 12t + 36t ; P ' = 4t − 36t + 72t ; P ' = ⇔ t = (vì < t < 6)) Bảng biến thiên t −∞ P’ - + +∞ 81 - + P Dựa vào BBT ⇒ Pmax = 81 t = Chọn B Bài 8: Cho số thực dương a, b thỏa mãn log a = log 2 b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 4a + b − 4log (4a + b3 ) A 4log B 12(1 − log 3) C 4(1 − log 3) 3 D Phân tích: Dựa vào giả thiết ta tìm mối liên hệ ẩn dồn biến sử dụng BĐT tìm điều kiện ẩn, sau xét hàm biến Hướng dẫn: Ta có: log a = log ⇔ log a = log ⇔ a = 2 2 b2 b2 256 256 b3 b3 256 b3 b3 Đặt t = 4a3 + b3 = + b3 = + + ≥ 3 = 12 ⇒ t ≥ 12 2 b b b 2 b 15 > ∀t ≥ 12 t ln Suy P hàm số đồng biến [ 12; +∞ ) ⇒ P(t ) ≥ P (12) P = t − 4log t ; P ' = − Vậy P = P(12) = 12 − 4log 12 = 12 − 4log 3.22 = 4(1 − log 3) Chọn C *Nhận xét: - Đây tốn khó nhiều học sinh, em biết khai thác, phát triển tốt cách giải khó khăn tháo gỡ - Trong buổi sinh hoạt chuyên môn tổ chuyên môn, đưa cách làm đồng nghiệp đánh giá cách giải hiệu giúp học sinh có phương hướng xác định giảm bớt hoang mang gặp toán dạng 2.3.4 Hệ thống tập sử dụng cách giải giúp học sinh rèn luyện 16 x Tính giá trị biểu thức 16 x + 2017 S= f( )+ f ( ) + + f ( ) 2018 2018 2018 2019 A 1010 B 1009 C x −1 Tính giá trị biểu thức Bài 2: Cho hàm số f ( x) = x +2 2018 S= f( )+ f ( ) + + f ( ) 2019 2019 2019 2019 1009 A 1008 B C 2 3x Tính tổng: Bài 3: Cho hàm số f ( x) = log 1− x 2018 S= f( )+ f ( ) + + f ( ) 2019 2019 2019 2015 A 1008 B 1009 C Bài 4: Cho số thực x, y thỏa mãn < x, y ≤ đồng thời Bài 1: Cho hàm số f ( x ) = D 2017 D 1009 D x y +4 2017 2 x + xy − y 2 xy x y = 5.2 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x, y ) = e x+ y +2 A e − x− y y2 − x − Khi giá trị biểu thức S =M+m bằng: B e − C e − D Không tồn Bài 5: Cho số thực dương x, y thỏa mãn ( x + y )3 + x + y + log x+ y = 8(1 − xy )3 − xy + − xy 16 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y A + 15 B + 15 15 − C D + 15 x + 4y = 2x − y + Bài 6: Cho số thực dương x, y thỏa mãn log x+ y x − 2x2 y + 6x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + y )3 16 25 A B C D 9 2 Bài 7: Cho số thực a, b thỏa mãn a + b > log a2 +b2 (a + b) ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2a + 4b − 10 A B 10 C 10 D 10 2 Bài 8: Cho số thực dương x, y thỏa mãn ln(4 x + xy + y ) + ln16 = ln 25 Giá trị nhỏ biểu thức P = + x 4y 34 65 A B C D 4 (Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2019 lần - câu 34 -Mã đề 132 - Trường THPT Triệu Sơn -Thanh Hóa) Bài 9: Xét số nguyên dương a, b cho phương trình a.4 x − b.2 x + 50 = có hai có hai nghiệm phân biệt x, y phương trình a.9 x − b.3x + 50a = có hai nghiệm phân biệt x , x4 thỏa mãn x3 + x4 > x1 + x2 Tìm giá trị nhỏ S = 2a + 3b A 51 B 71 C 81 D 91 Bài 10: Cho số x, y > thỏa mãn e x+3 y + e xy +1 + x( y + 1) + = e − xy −1 + x+3 y − y e Gọi m giá trị nhỏ biểu thức T = x + y + Mệnh đề sau đúng? A m ∈ ( 2; 3) B m ∈ ( − 1; 0) C m ∈ ( 0;1) D m ∈ (1; 2) (Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2019 lần - câu 44 -Mã đề 132 - Trường THPT chuyên Thái Bình) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục Thông qua việc đưa toán tổng quát, bước giải cụ thể đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng dạng tốn tơi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh đạt độ xác cao Từ kết kiểm tra tiến rõ rệt Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh lớp 12D2 12D5 đề kiểm tra lần mức độ khó thời gian làm 17 ngắn kết tốt nhiều Kết khảo sát thực nghiệm cụ thể sau: Kết kiểm tra lần Lớp Điểm Số HS thực SL % nghiệm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL SL SL % 2,6% 0% 12D2 38 21,1% 20 12D5 41 12 29,3% 23 Kết kiểm tra lần Số HS Điểm Lớp thực SL % nghiệm % 52,6 % 56,1 % % 23,7 % 14,6 % Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL SL SL 12D2 38 0 12D5 41 0 11 % 23,7 % 26,8 % 19 22 % 50,0 % 53,7 % 10 % 26,3 % 19,5 % Kết thu được: Qua quan sát thực tế kiểm tra dạng toán này, thấy - Học sinh định hướng giải nhanh tốn tổng, tích cực trị mũ lơgarít tơi sưu tầm từ đề thi THPT Quốc gia trường THPT nước - Học sinh rèn luyện thành thục kỹ giải toán hàm số mũ, lơgarit, kỹ tính tốn, kỹ tìm mối liên hệ ẩn phát huy tính sáng tạo tìm tòi lời giải cho tốn, dạng tốn - Tiết học sơi nổi, học sinh hứng thú chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinh lớp thực nội dung theo yêu cầu câu hỏi có kết tốt chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy Từ kết khẳng định giải pháp mà đề tài đưa hoàn toàn khả thi áp dụng hiệu trình dạy học 2.4.2 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua thực tế giảng dạy thấy cách làm nâng cao chất lượng giảng dạy phần hàm số mũ lơgarit thân, từ góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 18 3.1 Kết luận Từ kinh nghiệm thực tiễn thân trình dạy học, giúp đỡ đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu tài liệu có liên quan đề tài hồn thành đạt kết sau đây: + Đề tài giúp cho em có thói quen tư vận dụng kiến thức cách linh hoạt, đặc biệt giúp học sinh giải nhanh toán trắc nghiệm phù hợp với cách thi trắc nghiệm THPT quốc gia + Đề tài đưa giải pháp thiết thực việc rèn luyện kĩ tính tổng, tích tìm cực trị cho tốn khó mà đòi hỏi phải giải thời gian ngắn + Đề tài nêu ví dụ minh chứng điển hình cho giải pháp + Đề tài đưa số tập áp dụng sở dạng tập quen thuộc hệ thống tập luyện tập trích từ đề thi THPT Quốc Gia, đề thi thử trường THPT, Sở giáo dục số tỉnh, thành phố nước để học sinh rèn luyện kỹ giải trắc nghiệm Tốn Đồng thời chúng tơi thu nhiều điều bổ ích phục vụ tốt cho q trình dạy Tốn trắc nghiệm Với phạm vi sáng kiến kinh nghiệm, đề tài mà nghiên cứu khó tránh khỏi thiếu sót, mong đồng nghiệp góp ý kiến để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị Đối với Sở giáo dục cần mở thêm lớp bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ, chuyên đề để giáo viên trao đổi phương pháp, kỹ thuật giải trắc nghiệm mơn Tốn nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy thời gian tới Đối với Nhà trường cần tăng cường sinh hoạt chuyên môn, trang bị tài liệu, sách tham khảo, Đối với giáo viên cần tự giác chủ động tự bồi dưỡng, tích cực tìm tòi phương pháp, cơng thức, thủ thuật giải nhanh Tốn trắc nghiệm nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học Trên sáng kiến kinh nghiệm thực đơn vị trường THPT Triệu Sơn năm học vừa qua Rất mong đề tài xem xét, mở rộng để áp dụng cho đối tượng học sinh, giúp học sinh yêu thích say mê học Toán hơn, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp giảng dạy lớp 12 trường phổ thông Tôi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp tổ chuyên môn, nhà trường em học sinh giúp đỡ tơi hồn thiện sáng kiến kinh nghiệm XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2019 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người 19 khác Người viết Vũ Thị Phượng 20 ... - Học sinh định hướng giải nhanh tốn tổng, tích cực trị mũ lơgarít tơi sưu tầm từ đề thi THPT Quốc gia trường THPT nước - Học sinh rèn luyện thành thục kỹ giải toán hàm số mũ, lơgarit, kỹ tính. .. luyện số dạng tổng, tích hàm số mũ lôgarit thường gặp thông qua toán tổng quát giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh, xác ax (a > 0) (1) ax + a Ta có tính chất: f ( x) + f (1 − x) = Bài toán. .. khoa Giải tích lớp 12) đưa tính chất, tính đồng biến nghịch biến đồ thị hàm số mũ hàm số lơgarit, việc khai thác tổng, tích, cực trị Vì vậy, tơi nhận thấy cần bổ sung thêm số tốn tổng qt tổng, tích