Đang tải... (xem toàn văn)
Chuỗi và phương trình vi phân
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK -------------------------------------------------------------------------------------TOÁN 4 – HK2 0607 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN• BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (SINH VIÊN)• TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2007) NỘI DUNG ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 – KHÁI NIỆM CƠ BẢN2 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ3 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH5 – PT BERNULLITỰ ĐỌC: PT VI PHÂN KHÔNG GIẢI ĐƯC VỚI ĐẠO HÀM & PT RICATTI (SGK, TRANG 135 → 139) Phương trình vi phân (thường): hàm ẩn y = y(x), biến x & các đạo hàm (hoặc vi phân) y(k), k = 0, 1 … nVD: 03' =+ xy( )xexyyy =++ 3'4''( ) ( )0=−−+ dyyxdxyx1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cấp 1 Cấp 2 Cấp 1Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao nhất cấp nDạng tổng quát PT vi phân cấp 1:( )() ( )( )( )( )0,,'',',, =xyxyxyxyxFnKDạng tổng quát cấp n:( ) ( )( )0',, =xyxyxF NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD: ydx + xdy = 0: 2 dạng nghiệm hiện, ẩnVD: 21' yy −=Nghiệm PTVP cấp n THÔNG THƯỜNG chứa n hằng số: Đồ thò nghiệm: đường cong tích phân().,,,1 nCCxyKϕ=(c) Dạng tham số(a) Dạng hiện: y = f(x)(b) Dạng ẩn: H(x, y) = 0( )()⎩⎨⎧==tyytxxNghiệm PTVP: Hàm số y = y(x), x ∈ khoảng I ⊂ RVD:xeydxdy2=−Nghiệm riêng:xey2=Nghiệm:xxeCey2+=nghiệm tổng quát 2. PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Phương pháp: Phân ly x & dx một vế, y & dy một vế. Tích phân 2 vế ⇒Nghiệm (nói chung dạng ẩn)VD: Kiểm tra dạng phân ly của các ptrình xyya ='/() ( )011/22=−++ dyxydxyxb( )04/ =++ dxxyxdyc( ) ( )() ()() () () ()⎢⎢⎢⎣⎡=+=+===00',)('),('2211dyygxfdxygxfdyygdxxfygxfyygyxfy3 dạng (hay gặp) phương trình vi phân phân ly biến sốNhận dạng: Biến x và y phân ly (separable) →Có thể tách rời mỗi vế 1 biến! VD:02=− dxyxdy 2. GIẢI PT VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD (SGK, 23/tr190): Vận tốc nguội đi của vật tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí. Biết nhiệt độ không khí là 20°C và vật giảm nhiệt độ từ 100°C xuống 60°C sau 20 phút. Hỏi sau bao lâu kể từ thời điểm đầu, nhiệt độ của vật sẽ là 30°C? VD:xya3sin'/ =yeyb ='/xyyc2'/=VD:()05cos2/4=++ dyydxxxa( ) ( )0/2222=−++ dyyxxdxxyybxyxyyc 2'/2=− 2. ĐỔI BIẾN ĐƯA VỀ PHÂN LY -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD: (x2 + y2)dx – xydy = 0: Chú ý P(x, y) = (x2 + y2), Q = xy!Chứa tổng: y’ = f(ax + by + c) →Đổi biến: u = ax + by + cVD: y’ = (2x + 3y + 1)2 – 2(2x + 3y + 1)Tỷ số:→Đổi biến:⎟⎠⎞⎜⎝⎛=xyfy'uxuyuxyxyu +=⇒=⇒= ''Đặc biệt: P(x, y), Q(x, y) – tổng xαyβ, α + β = n ⇒ Phương trình đẳng cấp Pdx + Qdy = 0: Dạng y’ = f(y/x)!VD:xyxyyyb2'/2+=xyya +=1'/ 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ph/trình vi phân cấp 1:() ( )0,, =+ dyyxQdxyxP( )()()⎩⎨⎧==2,'1),('yxQuyxPuyx1/ T/phân (1) theo x( ) ( )3yCPdxu +=⇒∫2/ Đ/hàm (3) theo y, phối hợp (2) ⇒C(y)Tìm u:PT vi phân Pdx + Qdy = 0: toàn phần ⇔Thứ tự: Đạo hàm chéo: P(x, y)dx + Q(x, y)dy()*yP∂∂xQ∂∂=yxxQyP,∀∂∂=∂∂Thoả ĐK (*) ⇒∃u(x,y): du = Pdx + Qdy ⇒Nghiệm u = C 3. THỪA SỐ TÍCH PHÂN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Pdx + Qdy = 0: không thoả đ/kiện vi phân toàn phần ⇒Tìm μ(x, y) để (μPdx+μQdy) vi phân tphần ⇔∂(μP)/∂y = ∂(μP)/∂yVD: Tìm thừa số tích phân & Giải ptrình vphân (x2 + y2 +x)dx + xydy = 0 ()∫=⇒=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂dxxfexxfQxQyP)()(μ()∫=⇒=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂−dyygeyygPxQyP)()(μVD: Giải ptrình vi phân y(1 + xy)dx – xdy = 0 VD: Giải (3e3xy – 2x)dx + (e3x + siny) dy = 0 SGK, trang 194: Ch/minh (tìm) μ = μ(x2 + y2): dạng cho trước! 4. PT VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y’ = a(x)y + b(x) (E): không thuần nhất (có vế phải) ⇒PT thuần nhất (không vế phải) tương ứng: y’ = a(x)y (E0 )Nhận dạng: y’ = f(x, y): Vế phải chỉ chứa y bậc 1 (ở tử số)y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyến tính (bậc 1) theo yTuyến tính theo x = x(y)!VD: Xác đònh phương trình tuyến tính:xexyyc =+3'/32'/ xyxya =−( )022/2=−+ dyxyydxd32'/ xyeybx=+Không tuyến tính: Chứa y2, (y’)3 [...]...BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 – HK2 0607 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (SINH VI N) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2007) TỔNG KẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Phân ly: f 1 (x)g 1 (y)dx + f 2 (x)g 2 (y)dy = 0 ⇒ 1 vế: x, 1 vế: y () cbyaxuxbyaxfy x y u x y fy ++=⇒++==⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =... PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ Phương pháp: Phân ly x & dx một vế, y & dy một vế. Tích phân 2 vế ⇒ Nghiệm (nói chung dạng ẩn) VD: Kiểm tra dạng phân ly của các ptrình xyya = '/ () ( ) 011/ 22 =−++ dyxydxyxb ( ) 04/ =++ dxxyxdyc ( ) ( ) () () () () () () ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =+ =+ === 0 0 ',)('),(' 2211 dyygxfdxygxf dyygdxxf ygxfyygyxfy 3 dạng (hay gặp) phương trình vi phân phân... Giải các phương trình x x y x ya sin1 '/ =+ ( ) yyxyb =+ 2 '/ VD: Tính y(2) với hàm y thoả: () 11,3' ==+ yx x y y () 3 1 1 2 ' += + −⇒ xy x y 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN Ph /trình vi phân cấp 1: () ( ) 0,, =+ dyyxQdxyxP ( ) ()() ⎩ ⎨ ⎧ = = 2,' 1),(' yxQu yxPu y x 1/ T /phân (1) theo x ( ) ( ) 3yCPdxu +=⇒ ∫ 2/ Đ/hàm (3) theo y, phối hợp (2) ⇒ C(y) Tìm u: PT vi phân. .. phương trình vi phân phân ly biến số Nhận dạng: Biến x và y phân ly (separable) → Có thể tách rời mỗi vế 1 bieán! VD: 0 2 =− dxyxdy 3. THỪA SỐ TÍCH PHÂN Pdx + Qdy = 0: không thoả đ/kiện vi phân toàn phần ⇒ Tìm μ (x, y) để ( μ Pdx+ μ Qdy) vi phân tphần ⇔∂ ( μ P)/ ∂ y = ∂ ( μ P)/ ∂ y VD: Tìm thừa số tích phân & Giải ptrình vphân (x 2 + y 2 +x)dx + xydy = 0 () ∫ =⇒= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ dxxf exxf Q x Q y P )( )( μ () ∫ =⇒= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − dyyg eyyg P x Q y P )( )( μ VD:... Thuần nhất 2/ Biến thieân C = C(x) Bernulli: y’ = a(x)y + b(x)y α ⇒ Chia y α Vi phân toàn phần P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. ĐK: Nghiệm u(x, y) = C với u: x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ ⎩ ⎨ ⎧ = = Qu Pu y x ' ' Thừa số tphân μ = μ (x) … PTVPC1: y’ = f(x, y) 4. VÍ DỤ VD: Giải () ( ) 4 12'1 +=−+ xyyx 1/ Phương trình thuần nhất: () xCyyy x y 0 0 1 2 ' =⇒= + − 2/ Biến thiên hằng số: (... () ∫ =⇒= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ dxxf exxf Q x Q y P )( )( μ () ∫ =⇒= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − dyyg eyyg P x Q y P )( )( μ VD: Giải ptrình vi phân y(1 + xy)dx – xdy = 0 VD: Giải (3e 3x y – 2x)dx + (e 3x + siny) dy = 0 SGK, trang 194: Ch/minh (tìm) μ = μ (x 2 + y 2 ): dạng cho trước! 4. PT VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH y’ = a(x)y + b(x) (E): không thuần nhất (có vế phải) ⇒ PT thuần nhất (không vế phải)... tương ứng: y’ = a(x)y (E 0 ) Nhận dạng: y’ = f(x, y): Vế phải chỉ chứa y bậc 1 (ở tử số) y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyến tính (bậc 1) theo y Tuyến tính theo x = x(y)! VD: Xác định phương trình tuyến tính: x exyyc =+ 3 '/ 3 2 '/ xy x ya =− ( ) 022/ 2 =−+ dyxyydxd 32 '/ xyeyb x =+ Không tuyến tính: Chứa y 2 , (y’) 3 . BẢN2 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ3 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH5 – PT BERNULLITỰ ĐỌC: PT VI PHÂN KHÔNG. -------------------------------------------------------------------------------------TOÁN 4 – HK2 0607 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN• BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (SINH VI N)• TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2007) NỘI