ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP ÔN TẬP TẬP HỢP VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Số phần tử tập hợp.Tập hợp 1.Một tập hợp có ,có nhiều phần tử, có vơ số phần tử,cũng khơng có phần tử 2.Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng.tập rỗng kí hiệu : Ø 3.Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B tập hợp A gọi tập hợp tập hợp B, kí hiệu A  B hay B  A Nếu A  B B  A ta nói hai tập hợp nhau,kí hiệu A=B *.Dạng 1: Rèn kĩ viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu Bài 1: Cho tập hợp A chữ cụm từ Thành phố Hồ Chí Minh a Hãy liệt kê phần tử tập hợp A b Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông b A c A h A Bài 2: Cho tập hợp chữ X = {A, C, O} a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ chữ tập hợp X b/ Viết tập hợp X cách tính chất đặc tr-ng cho phần tử X Bài 3: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9} a/ Viết tập hợp C phần tử thuộc A không thuộc B b/ Viết tập hợp D phần tử thuộc B không thuộc A c/ Viết tập hợp E phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B d/ Viết tập hợp F phần tử thuộc A thuộc B Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2; a; b} a/ H·y chØ râ tập hợp A có phần tử b/ Hãy rõ tập hợp A có phần tử c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải tập hợp A không? Bài 5: Cho tập hợp B = {x, y, z} Hỏi tập hợp B có tất tập hợp con? *Dạng 2: Các tập xác định số phần tử tập hợp Bài 1: Gọi A tập hợp số tự nhiên có chữ số Hỏi tập hợp A có phần tử? Bài 2: Hãy tính số phần tử tập hợp sau: a/ Tập hợp A số tự nhiên lẻ có chữ số b/ Tập hợp B số 2, 5, 8, 11, , 296 c/ Tập hợp C số 7, 11, 15, 19, …, 283 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG ƠN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LỚP Bµi 3: Cha mua cho em mét qun sè tay dµy 256 trang Để tiện theo dõi em đánh số trang từ đến 256 Hỏi em phải viết chữ số để đánh hết sổ tay? C.HNG DN V NH: Bài 1.Hãy xác định tập hợp sau cách liệt kê phần tử tập hợp a, A tập hợp chữ số số 2002 b, B tập hợp chữ cụm từ cách mạng tháng tám c, C tập hợp số tự nhiên có chữ số d, D tập hợp số tự nhiên có hai chữ khác và có chữ số tận Bài Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông N 1,2,3,4 N N* N N*  N* N* Bµi Hãy xác định tập hợp sau cách tính chất đặc tr-ng phần tử thuộc tập hợp a A = 1;3;5;7; ;49 b B = 11;22;33;44; ;99 c C = 3;6;9;12; .;99 d D = 0;5;10;15; ;100 Bµi H·y viÕt tập hợp sau cách rõ tính chất đặc tr-ng phần tử thuộc tập hợp a A = 1;4;9;16;25;36;49 b B = 1;7;13;19;25;31;37 A  1; 4;9;16; 25;36; 49;64;81;100 B  2;6;12; 20;30; 42;56;72;90 Bµi to¸n 5: Cho a) A   x  N x 2; x 3; x  100   A  x  N x  ab; a  3.b b) B   x  N x 6; x  100 B   x  N 20 x c) C   x  N x  11.n  3; n  N ; x  300 H·y viết tập hợp A, B cách liệt kê phần tử Bài Tìm số phần tử tập hợp sau a A = b B = x  N / x  ;  x  100 c C = x  N / x   0 d D = x  N / x  3 Bµi ViÕt tập hợp sau tìm số phần tử tập hợp a Tập hợp A số tự nhiên x mà : x = b Tập hợp B số tự nhiên x mà x + < c Tập hợp C số tự nhiên x mà x = x + d Tập hợp D số tự nhiên x mµ x : = x : e TËp hợp E số tự nhiên x mà x + = x Bµi Cho A = 1 ; ;3 Tìm tất tập hợp tập hợp A Bài Ta gọi A tập hỵp thùc sù cđa B nÕu A  B A B Hãy viết tập hợp thực tập hợp B = 1;2;3;4 Bài Cho tËp hỵp A = {a, b, c, d, e } a ViÕt c¸c tËp cđa A cã mét phần tử b Viết tập A có hai phần tử c Có tập hợp A có ba phần tử d Có tập hợp A có bốn phần tử e Tập hợp A có tập hợp TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LỚP Bµi 11 Gäi A tập hợp số tự nhiên có bốn chữ số, B tập hợp số tự nhiên có ba chữ số , C tập hợp số tự nhiên lẻ có ba chữ số , D tập hợp số tự nhiên có ba chữ sè tËn cïng b»ng Dïng kÝ hiÖu  sơ đồ để biểu thị quan hệ tập hợp Bài 12 Cho tập hợp A = 4;5;7 , h·y lËp tËp hỵp B gåm số tự nhiên có ba chữ số khác từ phần tử tập hợp A Bảo tập hợp A tập hợp tập hợp B hay sai? Tìm tập hợp chung hai tập hợp A B Bài 13 Tìm tập hợp tập hợp sau a A = 9;5;3;1;7 b B tập hợp số tự nhiên x mà x = c C tập hợp số lẻ nhỏ 10 d D tập hợp số tự nhiên x mà x : = Bài 17 Trong lớp học , học sinh học tiếng Anh tiếng Pháp Có 25 ng-ời học tiếng Anh , 27 ng-ời học tiếng Pháp, 18 ng-êi häc c¶ hai thø tiÕng Hái líp häc có học sinh Bài 18 Kết ®iỊu tra ë mét líp häc cho thÊy : cã 20 học sinh thích bóng đá ; 17 học sinh thÝch b¬i; 36 häc sinh thÝch bãng chun; 14 häc sinh thích bóng đá bơi;13 học sinh thích bơi bóng chuyền; 15 học sinh thích bóng đá bóng chuyền; 10 học sinh thích ba môn ;12 học sinh không thích môn nào.Tìm xem lớp học có học sinh Bài 19 Trong sè 100 häc sinh cã 75 häc sinh thÝch to¸n , 60 học sinh thích văn a Nếu có học sinh không thích toán văn có học sinh thích hai môn văn toán b Có nhiều học sinh thích hai môn văn toán c Có học sinh thích hai môn văn toán Bài toán 1: Cho tập hợp A a, b, c, d , e a) ViÕt c¸c tËp hợp A có phần tử b) Viết tập hợp A có hai phần tử c) Có tập hợp A có ba phÇn tư ? cã phÇn tư ? d) Tập hợp A có tập hợp ? Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có tập hợp tập hợp B không tr-êng hỵp sau a) A  1;3;5 ; B  1;3;7 b) A   x, y ; B  x, y, z c) A tập hợp số tự nhiên có tận 0, B tập hợp số tự nhiên chẵn Bài toán 3: Ta gäi A lµ tËp thùc sù cđa B nÕu A  B; A  B H·y viÕt c¸c tËp thùc sù cđa tËp hỵp B  1; 2;3 B 3; 4;5 Bài toán 4: Cho tập hợp A 1; 2;3; ; Viết tập hợp vừa tập hợp A, vừa tập hợp B Bài toán 5: Cho tËp hỵp A  1; 2;3; 4 a) ViÕt tập hợp A mà phần tử số chẵn b) Viết tất tập hợp tập hợp A Bài toán 6: Cho tập hợp A 1;3;6;8;9;12 B =  x  N * /  x 12 a) Tìm tập hợp C phần tư võ thc tËp hỵp A võa thc tËp hỵp B Tìm tập hợp D phần tử thuộc hai tập hợp A Hoặc tập hợp B Bài toán 10: Cho tập hợp M 30; 4; 2005; 2;9 Hãy nêu tập hợp cđa tËp M gåm nh÷ng sè: a) Cã mét ch÷ số b) có hai chữ số c) Là số chẵn Bài toán 11: Cho A x N x 2; x 4; x  100 ; B   x  N x 8; x  100 a) Hãy liệt kê phần tử tập hợp A ; tËp hỵp B b) Hai tËp hỵp A, B có nahu không ? Vì ? Bài toán 13: Cho A tập hợp số tự nhiên đầu tiên, B tập hợp số chẵn a) CMR: B A b) Viết tập hợp M cho B  M , M  A Có tập hợp M nh- TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG ÔN TẬP V BI DNG TON LP Bài toán 14: Cho A   x  N x  7.q  3; q  N ; x  150 a) Xác định A cách liệt kê phần tử ? b) Tính tổng phần tử tập hợp A Bài toán 15: Cho M 1;13; 21; 29;52 T×m x; y  M biÕt 30  x y 40 Bài toán 10: Cho a) A  1; 2 ; B  1;3;5 b) A   x, y ; B   x, y , z , t Hãy viết tập hợp gồm phần tử phần tử thuộc A, phần tử thuộc B Các phép toán N Tính chất giao hốn phép cộng phép nhân a + b = b + a ; a.b = b.a Khi đổi chỗ số hạng tổng tổng khơng đổi Khi đổi chõ thừa số tích tích khơng đổi Tính chất kết hợp phép cộng phép nhân: (a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c); Tính chất phân phối phép nhân phép cộng.: a(b+ c) = ab + ac Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b  N ; b ≠ 0) có số tự nhiên p cho a= b.p Trong phép chia có dư số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r) số dư khác nhỏ số chia NÕu a b= th× a = b = II Bài tập *.Dạng 1: Các toán tính nhanh Bài 1: Tính tổng sau cách hợp lý Bài 7: Thực phép tính cách hợp lí a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87 nhất: Bài 2: Tính nhanh phép tính sau: b) 189 + 424 +511 + 276 + 55 a/ 17 125 c) (321 +27)+ 79 b/ 37 25 a) 463 + 318 + 137 + 22 Bài 3: Tính nhanh cách hợp lÝ: d) 185 +434 + 515 + 266 + 155 a/ 997 + 86 e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73 b/ 37 38 + 62 37 c/ 43 11; 67 101; 423 1001 đ, 998 34 c/ 43 11 d/ 67 99; f) 347 + 418 + 123 + 12 67 101 Bà i 4: TÝnh nhanh phép tính: Bài 8: Tính cách hợp lÝ nhÊt: a/ 37581 – 9999 c/ 485321 – 99999 a) 125 41 b/ 7345 – 1998 d/ 7593 – 1997 c) 12 125 Bµi 5: TÝnh nhanh: a) 15 18 b) 25 24 c) 125 72 125.18 d) 36 25 50 Chó ý: Quy tắc đặt thừa số chung : a b+ a.c = d) 55 14 a (b+ c) hc a b + a c + a d = a.(b + c + d) Bµi :TÝnh nhanh: a) 25 12 b) 25 10 b) 34 11 c) 47 101 d) 15.302 e) 25 + 37 + 38 12 Bài 9: Tính cách hợp lÝ nhÊt: e) g) 123 1001 38 63 + 37 38 b) 12.53 + 53 172– 53 84 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45 d, e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41 39.8 + 60.2 + 21.8 *Chú ý: Muốn nhân số có chữ số với 11 ta cộng A= (100 + 1) 100 : = 5050 chữ số ghi kết váo chữ số b) B = + + + + + 100 Nếu tổng lớn ghi hàng đơn vị váo số số hạng là: (100-2):2+1 = 49 cộng vào chữ số hàng chục B=(100 +2).49 :2 = 551 49 = 2499 vd : 34 11 =374 ; 69.11 =759 c) C = + + 10 + 13 + + 301 *Chú ý: muốn nhân số có chữ số với 101 d) D = + + 13 + 17 + .+ 201 kết số có cỏch vit Bài 2: Tính tổng: ch s ú lần khít a) A = + + 11 + 14 + + 302 vd: 84 101 =8484 ; 63 101 =6363 ; b) B = + 11 + 15 + 19 + .+ 203 *Chú ý: muốn nhân số có chữ số với 1001 c) C = + 11 + 16 + 21 + + 301 kết số có cách viết =8 + 15 + 22 + 29 + + 351 chữ số lần khít Bµi 3: Cho tỉng S = + + 11 + 14 + Ví dụ:123.1001 = 123123 a)Tìm số hạng thứ100 tổng *.Dạng 2: Các toán có liên quan b) Tính tổng 100 số hạng đến dãy số, tËp hỵp Giải: lưu ý: số cuối = (số số hng - 1) 1:Dãy số cách đều: khong cỏch - số đầu d) D a số thứ 100 = (100-1) – = 292 VD: TÝnh tæng: S = + + + + + 49 b S= (292 + 5) 100:2 = 23000 Ta tÝnh tỉng S nh- sau: Bµi 1:TÝnh tỉng sau: Bµi 4: Cho tỉng S = + 12 + 17 + 22 + a) A = + + + + + 100 a)Tìm số hạng tứ50 tổng S s hng c dãy là: (100-1):1+1 = 100 b) TÝnh tỉng cđa 50 số hạng Bài 5:Tính tổng tất số tự nhiên x, biết x số có hai chữ số 12 < x < 91 Bài 6: Tính tổng số tự nhiên a , biết a có ba chữ số 119 < a < 501 Tính tổng chữ số a Bài 7: TÝnh + + + + 1998 + 1999 Bµi 8: TÝnh tỉng cđa: a/ TÊt số tự nhiên có chữ số b/ Tất số lẻ có chữ số b/ S2 = 101+ 103+ + 997+ 999 Bµi 9TÝnh tổng a/ Tất số: 2, 5, 8, 11, ., 296 b/ Tất số: 7, 11, 15, 19, ., 283 Bµi 10: Cho d·y sè: TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19 b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, Hãy tìm công thức biểu diễn dãy số Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ số không chia hết cho 2, biểu diễn 2k , k N Các số tự nhiên chẵn số chia hết cho 2, công thức biểu diễn 2k , k N) *Dạng 3: Tìm x Bµi 1:Tìm x  N biết a) (x –15) 15 = c) 315+(125-x)= 435 Bµi 3:Tìm x  N biết : b) 32 (x –10 ) = 32 Bµi 2:Tìm x  N biết : a)x –105 :21 =15 a ) (x – 15 ) – 75 = b)575- (6x +70) =445 b) (x- 105) :21 =15 Bµi 4: Tìm số tự nhiên x biết a( x – 5)(x – 7) = b/ 541 + (218 – x) = 735 c/ 96 – 3(x + 1) = 42 d/ ( x – 47) – 115 = e/ (x – 36):18 = 12 BTNC a) Tính tổng sống tự nhiên từ đến 999; b) Viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 999 thành hang ngang ,ta số 123….999 tính tổng chữ số số 1.Tìm số có hai chữ số,biế viêt chữ số xen hai chữ số số có ba chữ số gấp lần số có hai chữ số ban đầu 2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen chữ số để tổng 1000 b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen chữ số để tổng 1000 3.Chia số tự nhiên từ đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn lớp số lẻ.hỏi lớp có tổng chữ số lớn lớn bao nhiêu? Điền chữ số thích hợp vào chữ để phép tính : a) 1ab + 36 = ab1 ; b) abc + acc + dbc = bcc Cho ba chữ số a,b,c với < a < b < c ; a) Viết tập hợp A số có ba chữ số ,mỗi số gồm ba chữ số a, b ,c: b) Biết tổng hai số nhỏ tập hợp A 488.tìm tổng chữ a + b + c Cho bảng vuông gồm ô vuông hình vẽ điền vào bảng số tự nhiên từ đến 10 10 (mỗi số viết lần) cho tổng số hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo Kí hiệu n! tích số tự nhiên từ đến n : n! = 1.2.3…n Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5! Trong tờ giấy kẻ vng kích thước 50.50 vng ô người ta viết số tự nhiên biết bốn tạo thành hình vẽ tổng số bốn chứng tỏ số TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số viets bảy chữ số theo thứ tự ngược lại tổng số có bảy chữ số.hãy chứng tổ tổng tìm có chữ số chẵn 9.Cho bảng gồm 16 vng hình vẽ điền vào ô bảng bảng số tự nhiên lẻ từ đến 31 (mỗi số 15 29 viết lần.) cho tổng số hàng, 23 cột , đường chéo 17 10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy số phi bô na xi) số (bắt đầu từ số thứ ba) tổng hai số đứng liền trước nó.chọn dãy số số 27 liên tiếp tùy ý.chứng minh tổng số số dãy cho 11 Một số chắn có bốn chữ số, số hàng trăm số hang chục lập thành số gấp ba lần chữ số hàng nghìn gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số 12.Tìm số a,b,c,d phếp tính sau: abcd + abc + ab + a = 4321 13.Hai người chơi trò chơi bốc viên bi từ hai hộp ngồi.mỗi người đến lượt bốc số viên bi tùy ý người bốc viên bi cuối cacr hai hộp người thắng cuộc.biết hộp thứ có 190 viên bi ,hộp thứ hai có 201 viên bi.hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc bi người thắng Bài tập cđng cè Tính giá trị biểu thức cách hợp lí: A = 100 + 98 + 96 + ….+ - 97 – 95 - …- ; B = + – – + + – – + + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302; Tính nhanh a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21 b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40; c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42 3.Tìm x biết: a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); ab) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130 Tổng hai số 78293.số lớn hai số co chữ số hàng dơn vị ,chữ hàng chục 1,chữ số trăm 2.nếu ta gạch bỏ chữ số ta số số nhỏ tìm hai số 5.Một phếp chia có thương dư tổng số bị chia ,số chia số dư 195.tìm số bị chia số chia 6.Tổng hai số có a chữ số 836.chữ số hàng trăm số thứ ,của số thứ hai gạch bỏ chữ số hai số có hai chữ số mà số gấp lần số kia.tìm hai số 7.Một học sinh giải toán phải chia số cho cộng thương tìm với nhâm lẫn em nhân số với sau lấy tích tìm trừ kết hỏi số cần phải chia cho số nào? Tìm số có ba chữ số biết chữ số hàng trăm hiệu chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thương dư 2.tích số phải tìm với số có chữ số tận Tìm số tự nhiên a ≤ 200 biết chia a cho số tự nhiên b thương dư 35 10 Viết số A có chữ số ,viết tiếp chữ số lần ta số B có chữ số.chia số B cho 13 ta số C chia C cho 11 ta số D.lại chia số D cho 7.tìm thưởng phép chia 11 Khi chia số M gồm chữ số giống cho số N gồm chữ số giống thương 233 số dư số r sau bỏ chữ số số M chữ số số N thương khơng đổi số dư giảm 1000.tìm s M v N? * Các toán dãy số viết theo quy luật Bài toán 1: Tính tæng sau a)      n b)      2.n c)     (2.n  1) d)    10   2005 e) 2+5+8+……+2006 g) 1+5+9+….+2001 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG ƠN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LỚP Giải; a) (n )n b)số số hạng (2n 2) : + 1= n Tổng = Bài toán 2: TÝnh nhanh tæng sau: A      16   8192 Bµi toán 3: a) Tính tổng số lẻ có hai chữ số b) Tính tổng số chẵn có hai chữ số Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+.+n có số hạng để kết tổng 190 b) Có hay không số tự nhiên n cho     n  2004 c) Chøng minh r»ng:  (1     n)   kh«ng chia hÕt cho 10 n N Bài toán 5: a) Tính nhanh 1.2  2.3  3.4   1999.2000 b) ¸p dụng kết phần a) tính nhanh B 1.1  2.2  3.3   1999.1999 c) TÝnh nhanh : C  1.2.3  2.3.4   48.49.50 Hãy xây dựng công thức tính tổng a) c) tr-ờng hợp tổng quát Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n d·y sè sau: a) 3;8;15;24;35; b) 3; 24;63;120;195; c) 1;3;6;10;15; d) 2;5;10;17; 26; e) 6;14; 24;36;50; g) 4; 28;;70;130; Bài toán 7: Cho dãy số 1;1  2;1   3;1    4; Hái d·y sè trªn cã sè có chữ số tận không ? Tại ? Bài toán 8: Cho S1  2; S2    5; S3     9; S4  10  11  12  13  14; Tính S100 Bài toán 9: Tính cách hợp lý a) A  41.66  34.41   11   79 b) B      200   10   34 c) C  5.6  2.10.12  4.20.24  9.45.54 1.3.5  2.6.10  4.12.20  9.27.45 Bµi 21 H·y chøng tá r»ng hiƯu sau cã thĨ viÕt thµnh mét tÝch cđa hai thõa số giống : 11111111 2222 Bài 22 Tìm kết phép nhân sau a) A 33 3.99 b) B  33 3.33 2005c s 2005c s 2005 c s 2005c s Bµi 23 Chøng tỏ số sau viết đ-ợc thành tÝch cđa hai sè tù nhiªn liªn tiÕp a 111222 b 444222 c A= 11 122 n Gi¶i : Do 111222 : 111 = 1002 nªn 111222 = 111.1002 = 111 334 = 333.334 Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c Gọi A tập hợp số tự nhiên gồm ba chữ số a) Viết tập hợp A b) Tính tổng phần tử tập hợp A Bài toán 2: Cho ba ch÷ sè a, b, c cho  a  b  c a) ViÕt tËp A số tự nhiên có ba chữ số gồm ba chữ số b) Biết tổng hai số nhỏ tập A 448 Tìm ba chữ số a, b, c nói Bài toán 11: Ng-ời ta viết liền dãy số tự nhiên 1: 1,2,3,4,5,Hỏi chữ số thứ 659 chữ số ? Bài toán 12: Cho S 10  13   100 a) TÝnh sè số hạng tổng b) Tìm số hạng thứ 22 tổng c) Tính tổng S Bài toán 14: Chøng tá r»ng sè A= 11 122 lµ tÝch hai số tự nhiên liên tiếp n Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A đ-ợc viết 100 chữ số 3, số B đ-ợc viết 100 chữ số Hãy tính tích A.B Các toán số chữ số Bài1 Một số có ch÷ sè, tËn cïng b»ng ch÷ sè NÕu chun chữ số lên đầu ta đ-ợc số mà chia cho số cũ đ-ợc th-ơng d- 21 Tìm số Bài Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng tr-ớc số đ-ợc số lớn gấp lần so với số có đ-ợc cách viết thêm chữ số vào sau số TRUNG TM BI DNG KIN THỨC HƯỚNG DƯƠNG ƠN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LP Bài Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải chữ số vào bên trái số tăng gấp 36 lần Bài Nếu ta viết thêm chữ số vào chữ số số có hai chữ số ta đ-ợc số có chữ số lớn số lần Tìm số Bài Nếu xen vào chữ số số có hai chữ số số đó, ta đ-ợc số có bốn chữ số 99 lần số Tìm số Bài Nếu xen vào chữ số số có hai chữ số số có hai chữ số số đơn vị đ-ợc số có bốn chữ số lớn gấp 91 lần so với số Hãy tìm số Bài Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số viết theo thứ tự ng-ợc lại nhân với số phải tìm đ-ợc 3154; số nhỏ hai số lớn tổng chữ số 27 Bài Cho sè cã hai ch÷ sè NÕu lấy số chia cho hiệu chữ số hàng chục hàng đơn vị đ-ợc th-ơng 18 d- Tìm số cho Bài Cho hai số có chữ số chữ số mà tổng hai số 2750 Nếu hai số đ-ợc viết theo thứ tự ng-ợc lại tổng hai số 8888 Tìm hai số cho Bài 10 Tìm số có bốn chữ số khác nhau, biết viết thêm chữ số vào hàng nghìn hàng trăm đ-ợc số gấp lần số phải tìm Bài 11 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân số với ta đ-ợc số gồm bốn chữ số viết theo thứ tự ng-ợc lại Bài 12 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân số với ta đ-ợc số gồm bốn chữ số viết theo thứ tự ng-ợc lại Bài 13 Tìm số tự nhiên có năm chữ số, cho nhân số với ta đ-ợc số gồm năm chữ số viết theo thứ tự ng-ợc lại Bài 14 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết xoá chữ số hàng trăm số giảm lần Bài 15 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết xoá chữ số hàng nghìn số giảm lần Bài 16 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết chữ số hàng trăm xoá chữ số số giảm lần Bài 17 Một số tự nhiên tăng gấp lần viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục hàng đơn vị Tìm số Bài 18 Tìm số tự nhiên có ba chữ sè, biÕt r»ng sè ®ã võa chia hÕt cho chia hết cho , hiệu số với số viết theo thứ tự ng-ợc lại 297 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP d 61  (53  x) 17 = 1785 e x – 4867 = ( 175 2050 70 ) : 25 + 23 Bµi TÝnh nhanh a 417 + 235 + 583 + 765 +8 +11 +14 + + 38 + 41 b 16 25 13 250 c ( 1999 + 313) – 1999 ( 1435 + 213) – 13 d 2023 - ( 34 + 1560) 1972 – ( 368 + 972) e 364 – ( 364 – 111) 249 ( 75 51) Bài Tính nhanh tæng sau a 1+2+3+4+5+ +n e 2+5+11+ +47+65 b 1+3+5+7+ + ( 2n – 1) g 3+12+48+ +3072+12288 c 2+4+6+8+ +2n h 2+5+7+12+ +81+131 d 1+6+11+16+ +46+51 i 4951+53-55+57-59+61-63+65 Bµi a TÝnh nhÈm 204 36 499.12 601.42 199.41 b Tính nhẩm cách nhân thừa số này, chia thõa sè cho cïng mét sè 66.50 72.125 38.5 15.16.125 c Tính nhẩm cách nhân số bị chia số chia với số khác kh«ng 2000 : 25 7300 : 50 4970 : 81000 : 125 d TÝnh nhÈm b»ng c¸ch ¸p dơng tÝnh chÊt ( a  b):c=a:c  b:c 169 : 13 660 : 15 119 : 204 : 12 Bài Tìm x a (158 - x) :7 = 20 b 2x – 138 = 23 32 c 231 - (x – ) =1339 :13 d 10 + 2x = 45 : 43 a 70 - 5.(2x - 3) = 45 b 156 – (x + 61) = 82 c 6.(5x + 35) = 330 d 936 - (4x + 24) = 72 a 5.(3 x + 34) = 515 b (158 - x) : = 20 c (7x - 28) 13 = d 218 + (97 - x) = 313 (2x – 39) + = 80 b)[(3x + 1)3 ]5 = 150 c) 2436 (5x + 103) = 12 d) 294 - (7x - 217) = 38 311 : 316 + 62 a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130 a 420 + 65 = ( x + 175) : + 30 b ( x  32)  17 = 42 c ( 32 15 ) : = ( x + 70 ) : 14 – 40 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG 15.x  364 = 17 x x  350 g 92.4 – 27 = + 315 x f 697 : Bµi TÝnh nhanh 168.168  168.58 (456.11  912).37 13.74 110 864.48  432.96 45.16  17 b 28  45.15 864.48.432 7256.4375  725 c 3650  4375.7255 (315  372).3  (372  315).7 26.13  74.14 1978 1979  1980 21  1958 d 1980 1979  1978 1979 27.45  27.55     14  16  18 26.108  26.12 1.e 127 32  28  24  20  16  12   a 36 + 64 127 – 27 100 : {390 : [500 – (125 + 35 7)]} 2.57 : 55 - 70 2.125.18 + 36.252 + 4.223.9 50 + 51 + 52 + + 99 + 100 B = 12 62 32 + 32 + 72 + 20 4.24:{300 : [375 – (150 + 15 5]} 1449 : {[216 + 184 : 8).9]} 5.56 : 53 + 32 2195.1952 - 952 427 - 1952 1768 6.20 + 22 + 24 + 96 + 98 H = 30 + 31 + 32 + 33 + 30 31 32.33 7.35 + 38 + 41 + + 92 + 95 A =  46 – ( 16 + 71.4) : 15  – 8.B = 24 –  131 – ( 13 – )2  222 + 224 + 226 + + 444 9.33 35 : 34 + 22 20 (5346 – 2808) : 54 + 51 10 187 (38 + 62) – 87 (62 + 38) 23 16 - 23 14 11 25.{32 : [12 – + (16 : 8)]} 25.{32 : [12 – + (16 : 8)]} 10 12 ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP + Trong hai số tự nhiên liên tiếp có số chẳn số lẽ, số chẳn chia hết A chia hết cho + Trường hợp: n = 3k (k  N) n chia hết A chia hết cho (1) Trường hợp: n không chia hết cho n = 3k + hoaëc n = 3k + Khi n = 3k + => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết A chia heát cho (2) Khi n = 3k + => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết A chia hết cho (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: A chia hết cho Vậy A chia hết cho 8) Ta có abcd  100ab  cd Maø: ab  2cd Suy ra: abcd  2cdcd  200cd  cd  201cd  3.67cd 67 Vaäy: abcd 67 Bài Dùng ba chữ số 9, ,5 để ghép thành số co ba chữ số thỏa mãn điều kiên sau: a) Số chia hết cho 5; b) Số chia hết cho cho Giải a) Một số chia hết cho số tận có ba số có chữ số chia hết cho là: 950 ; 590 ; 905 b)Một số chia hết cho cho số tận có hai số có chữ số chia hết cho cho là: 950 ; 590 ; Bài Cho số 123 x43 y thay x,y chữ số để số cho chia hết cho Giải Số 123 x43 y  nên y = y =  Với y = , ta có số 123x430 số phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3  hay 12 + (x+ 1)  , 1≤ x + ≤ 10 ,nên x + = ; ; - Nếu x + = x = ,ta 1232430 - Nếu x + = x = ,ta 1235430 - Nếu x + = x = ,ta 1238430 Với y = , ta có số 123x435 số phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3 +  hay 18 + x  ,nên x = ; ; ; ta có số sau : 1230435; 1233435; 1236435 1239435 Bài 5: Điền chữ số vào dấu * để số : a) Chia hết cho : * 46 ; 199 * ; 20 *1 ; b) Chia hết cho : 16 * ; 174 * ; 53 * ; Dùng ba số 5,6,9 để ghép thành số tự nhiên có ba chữ số: a) Lớn chia hết cho 5; b) Nhỏ chia hết cho 2; Tìm tập hợp số tự nhiên n vừa chia hết cho vừa chia hết cho 1995 ≤ n ≤2001 Chứng tỏ năm số tự nhiên liên tiếp luốn có số chia hết cho 5 Chứng tỏ rằng: a) Trong ba số tự nhiên chọn hai số có hiệu chia hết cho 2; TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG 24 ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP b) Trong sáu số tự nhiên chọn hai số có hiệu chia hết cho 5; Chứng tỏ rằng: a) (5n + )(4n + 6)  với số tự nhiên n; b) (8n + )(6n + 5) với số tự nhiên n; Người ta viết số tự nhiên tùy ý cho số số lẻ gấp đôi số số chẵn tổng số viết có chia hết cho hay khơng? Vì sao? Có tờ giấy người ta xé tờ giấy thành mảnh lại lấy số mảnh giấy đó, xé mảnh thành mảnh.cứ sau số lần , người ta đếm 2001 mảnh giấy.hỏi người ta đếm hay sai? Cho sáu chữ số : , ,5 ,6 ,7 ,9 a) cố số có ba chữ số ,các chữ số số khhacs nhau, lập thành từ chữ số trên? b) Trong số lập thành có số nhỏ 400? Bao nhiêu số số lẻ ? số chia hết cho 5? Bài tập cñng cè: 1.Điền chữ số vào dấu * để: a) 2001 + * chia hết cho 3; b) * 793 * chia hết cho 9; Điền chữ số vào dấu * để số chia hết cho mà không chia hết cho : 51 * 745 * 3.Dùng ba chữ số 3,6,9,0 ghép thành số tự nhiên có ba chữ số cho số đó: a) Chia hết cho 9; b) Chia hết cho mà không chia hết cho Phải thay chữ số x, y chữ số để số 123 x44 y  Tổng (hiệu) sau có chia hết cho , cho không? 102001 + ; 102001 – Tìm chữ số x,y biết số 56 x3 y chia hết cho Tìm chữ số x,y biết số 71x1y chia hết cho 445 Tìm tất số có dạng 6a14b , biết số chai hết cho , cho cho Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , có chữ số chia hết cho , biết tổng hai số thỏa mãn điều kiện sau: a) Là só có ba chữ số; b) Là số chia hết cho 5; c) Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng đơn vị số chia hết cho 9; d) Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số chia hết cho 4; Các ph-ơng pháp chứng minh chia hết Ph-ơng pháp 1: để chứng minh A b ( b ) Ta biĨu diƠn A  b.k ®ã k  N Bµi 1: Cho n  N Chøng minh r»ng: (5n)100 125 Bµi 2: Cho A   22   22004 Chøng minh r»ng: a) A b) A c) A 30 1998 Bµi 3: Cho S     Chøng minh r»ng : a) S 12 b) s 39 100 Bµi 4: Cho B     Chøng minh r»ng: B 120 Bµi 5: Chøng minh r»ng a) 3636  910 45 b) 810  89  88 55 c) 55  54  53 d) 76  74 11 e) 2454.5424.210 7263 g) 817  279  913 45 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG 25 ƠN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LỚP h) 3n3  3n1  2n3  2n 6n  N i) (210  211  212 ) : số tự nhiên Ph-ơng pháp 2: Sư dơng hƯ qu¶ tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng NÕu a  b m vµ a m b m Ph-ơng pháp 3: Để chứng minh biểu thức chữ (Giả sử chứa n) chia hết cho b ( b  )Ta cã thÓ xÐt mäi tr-êng hỵp vỊ sè d- chia n cho b Bµi 6: a) Chøng minh r»ng: TÝch cđa hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho b) Chøng minh r»ng: TÝch cđa ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho c) Chøng minh r»ng: TÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24 d) Chøng minh r»ng: TÝch cña sè tù nhiên liên liếp chia hết cho 120 (Chú ý: Các toán đ-ợc sử dụng chứng minh chia hết, không cần CM lại) Bài 7: Chứng minh r»ng: a) (5n  7)(4n  6) 2n  N b) (8n  1)(6n  5) kh«ng chia hÕt cho  N Bµi 8: Chøng minh r»ng: A  n(n  1)(2n  1) 6n  N Bµi 9: a) Cho n  N Chøng minh r»ng: n2 hc n chia d- b) CMR: Không tồn n N để n2  300 Bµi 10: Chøng minh r»ng: m, n  N ta lu«n cã m.n(m2  n ) Bµi 11: Chøng minh r»ng: (n  20052006 )(n 20062005 ) 2n N Bài 12: CMR không tồn n N để n2 20042004 2004 15 so 2004 Ph-ơng pháp 4: Để chøng minh A b Ta biĨu diƠn b d-íi dạng b m.n Khi + Nếu (m, n)=1 tìm cách chứng minh A m A n  A m.n hay A b + NÕu (m; n)  ta biĨu diƠn A  a1.a2 råi tìm cách chứng minh a1 m; a2 n tích a1.a2 m.n tøc A b Bµi 13: a) Chøng minh r»ng: TÝch cđa hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho b) Chøng minh r»ng: TÝch cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho c) TÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24 d) TÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 120 Bµi 14 : Chøng minh rằng: a số lẻ không chia hết cho a Bài 15: a) Chứng minh rằng: Tích hai số chẵn liên tiÕp th× chia hÕt cho b) Chøng minh r»ng: Tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 c) Chøng minh r»ng: TÝch cña sè chẵn liên tiếp chia hết cho 384 Bài 16 : Chøng minh r»ng: B  10n  18n  27 Bµi 16: Chøng minh r»ng: a) 10n  36n  27n  N ; n  b) sè 11 27 27 c / s1 Ph-¬ng ph¸p 5: Dïng dÊu hiƯu chia hÕt 1020006  72 Bµi 17: Chøng minh r»ng: Bµi 18: Chøng minh r»ng: a) Sè 55 kh«ng chia hÕt cho 125 ( nc / s b) 10n  23 c) 3737  2323 10 Bµi 19: Chøng minh r»ng: a) 1033  2;9 c) 1050  3;5 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG b) 1010  14 3; d) 1025  26 2;9 26 ƠN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LỚP Bµi 20: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có ba chữ sè biÕt r»ng mét sè chia hÕt cho 125, sè chia hÕt cho Bµi 21: Chøng minh r»ng n  N th× a) 24 n1  b) 24 n  c) 92n1  10 d) 74 n  e) 34 n1  Bµi 22 : Chøng minh r»ng (210 1)10 25 Bài 23: Cho số tự nhiên ab ba lần tích chữ số a) Chøng minh r»ng: b a b) Gi¶ sư b=k.a Chứng minh k -ớc 10 c) Tìm số ab nói Ph-ơng pháp 6: để chứng minh A b ta biĨu diƠn A  A1  A2 An chứng minh Ai (i  1, n) b Bµi 1: CMR: a) n  N th× A  2.n  11 nc / s1 b) a, b, n  N th× B  (10  1).a  (11  n).b n nc / s1 c) 88   n nc / s Bµi 24: Hai sè tự nhiên a 2a có tổng chữ sè b»ng k Chøng minh r»ng a Bµi 25: Tìm chữ số x, y để 1994 xy 72 Các toán tổng hợp: Bài 1: Tìm n  N ®Ĩ a) n  n b) 4.n  n c) 38  3n n d) n  n  e) 3n  n  g) 2n  16  3n Bµi 2: Tìm n N để: a) 3n n  b) n2  2n  n  c) n2  n  d) n  n  e) n  n  g) 4n  2n  12  n  n 20 n h) i) k) 28 n  l) 113  n m) 113 n 13 Bài 3: Tìm n N để phân số sau có giá trị sè tù nhiªn a) n2 b) n 1 c) n 1 n 1 d) 2n  n 5 Bài 4: Tìm n N để a) 4n  13 b) 5n  c) 25n  53 d) 18n  Bài 5: Tìm số tự nhiên n cho phân số sau có giá trị số tự nhiên 3n  n 1 2n  13 d) n 1 a) n  13 n 1 3n  e) n2 3n  15 n 1 6n  g) 2n b) c) Bài 6: Tìm sè tù nhiªn n cho a) n  11 n  b) n n  c) n  2n  n  d) n2  n  n  Bµi 4: Chøng minh r»ng: 88  220 17 Bµi 5: Chøng minh r»ng: m  4n 13  10m  n 13 m, n  N TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG 27 ƠN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LP Bài 6: Có hay không hai số tự nhiªn x, y cho ( x  y)( x  y)  2002 Bµi : Chøng minh r»ng ab cd 11 abcd 11 Bài : Cho hai số tự nhiên abc deg chia 11 d- Chøng minh r»ng sè abc deg 11 Bµi 10 : Cho abc  deg 13 Chøng minh r»ng: abc deg 13 Bµi 11:Cho biÕt sè abc Chøng minh r»ng: 2a  3b  c Bài 12 : Cho số abc a, b chữ số chẵn Chứng minh rằng: a) c b) bac Bài 13: Tìm ch÷ sè a, b cho a  b  4;7a5b1 Bµi 14: Cho 3a  2b 17(a, b  N ) Chøng minh r»ng: 10a  b 17 Bµi 15:Cho a  5b 17(a, b  N ) Chøng minh r»ng: 10a  b 17 Bµi 16: Chøng minh r»ng: 9.10n  18 27 n  N Bài 17: Chứng minh rằng: abcd 99 ab cd 99 ng-ợc lại Bài 3: Biết a  b Chøng minh r»ng: aba Bµi 4: BiÕt a  b  c Chøng minh rằng: abc b=c Bài 5: Tìm số tự nhiên ab cho 567a9b 45 Bài 6: Tìm cặp số tự nhiên (a,b) cho a) 1 b   a b) a   b Bµi 7: Cho sè N  dcba Chøng minh r»ng: a) N  a  2b b) N  a  2b  4c c) N 16  a  2b  4c  8d 16 víi b ch½n Bµi 8: Chøng minh r»ng: a) 2x  y 17  9x  y 17 b) a  4b 13  10a  b 13 c) a  2b 17  10a  b 17 Bµi 9: Chøng minh r»ng: a) 10n  72n  81n  N b) 11 81 81c / s1 Bµi 11: Chøng minh r»ng mét sè cã hai ch÷ sè chia hÕt cho vµ chØ tỉng cđa chữ số hàng chục lần chữ số hàng đơn vị chia hết cho Bài 12: Với a, b chữ số khác Chứng minh rằng: a) abba 11 b) aaabbb 37 c) ababab d) abab  baba vµ 101 víi a>b Bµi 13: Cho số tự nhiên A, Ng-ời ta đổi chỗ chữ số số A để đ-ợc số B gấp ba lÇn sè A Chøng minh r»ng B chia hÕt cho 27 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG 28 ƠN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LỚP SỐ NGUYÊN TỐ – HP SỐ PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ A/ LÝ THUYẾT: + Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước + Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước + Để chứng tỏ số tự nhiên a > hợp số, cần ước khác a Chú ý: 10n = 10….0 = 2n.5n n chữ số + Cách xác đònh số lượng ước số: Khi phân tích M thừa số nguyên tố, ta có M = ax.by….cz ước M (x + 1)(y + 1)…(z + 1) + Nếu ab P với P số nguyên tố a P b P Đặc biệt: Nếu an P a P B/ V DUẽ: Dạng 1: Bài 1: Tổng (hiệu) sau số nguyên tố hay hợp số: a/ 3150 + 2125 b/ 5163 + 2532 c/ 19 21 23 + 21 25 27 d/ 15 19 37 – 225 Bµi 2: Chứng tỏ số sau hợp sè: a/ 297; 39743; 987624 b/ 111…1 cã 2001 ch÷ số 2007 chữ số c/ 8765 397 639 763 H-ớng dẫn a/ Các số chia hÕt cho 11 Dïng dÊu hiÖu chia hÕt cho 11 ®ª nhËn biÕt: NÕu mét sè tù nhiªn cã tỉng chữ số đứng vị trí hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ ( số thứ tự đ-ợc tính từ trái qua phải, số số lẻ) số chia hết cho 11 Chẳng hạn 561, 2574, b/ Nếu số có 2001 chữ số tổng chữ số b»ng 2001 chia hÕt cho VËy sè ®ã chia hết cho T-ơng tự số có 2007 chữ số số chia hết cho c/ 8765 397 639 763 = 87654.100001 hợp số Bài 3: Chứng minh tổng sau hợp số a/ abcabc b/ abcabc 22 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG 29 ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP c/ abcabc  39 H-íng dÉn a/ abcabc  = a.105 + b.104 + c.103 + a 102 + b.10 + c + = 100100a + 10010b + 1001c + = 1001(100a + 101b + c) + V× 1001  1001(100a + 101b + c) vµ 7 Do ®ã abcabc  7, vËy abcabc hợp số b/ abcabc 22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 1001 11  1001(100a + 101b + c) 11 vµ 22 11 Suy abcabc  22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 chia hÕt cho 11 vµ abcabc  22 >11 nên abcabc 22 hợp số c/ T-ơng tù abcabc  39 chia hÕt cho 13 vµ abcabc 39 >13 nên abcabc 39 hợp số Bài 4: a/ Tìm số tự nhiên k để số 23.k số nguyên tố b/ Tại số nguyên tố chẵn nhất? H-ớng dẫn a/ Với k = 23.k = không số nguyên tố với k = 23.k = 23 số nguyên tố Với k>1 23.k 23 23.k > 23 nên 23.k hợp số b/ số nguyên tố chẵn nhất, có số chẵn lớn số chia hết cho 2, nên -ớc số có -ớc nên số hợp số Bài 5: Tìm số nguyên tè, biÕt r»ng sè liỊn sau cđa nã còng lµ mét sè nguyªn tè H-íng dÉn Ta biÕt hai sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê còng cã mét sè chẵn số lẻ, muốn hai số nguyên tố phải có số nguyên tố chẵn số Vậy số nguyên tố phải tìm Dạng 2: Dấu hiệu để nhận biết số nguyên tố Ta dùng dấu hiệu sau để nhận biết số có số nguyên tố hay không: Số tự nhiên a không chia hết cho số nguyên tố p mà p2 < a a số nguyên tố VD1: Ta biết 29 số nguyên tố Ta nhận biết theo dấu hiệu nh- sau: - Tìm số nguyên tố p mà p2 < 29: sè nguyªn tè 2, 3, (72 = 49 19 nên ta dừng lại số nguyên tố 5) TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG 30 ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LỚP - Thư c¸c phÐp chia 29 cho số nguyên tố Rõ ràng 29 không chia hết cho số nguyên tố số 2, 3, Vậy 29 số nguyên tố VD2: Hãy xét xem số tự nhiên từ 1991 đến 2005 số số nguyên tố? H-ớng dẫn - Tr-ớc hết ta loại bỏ số chẵn: 1992, 1994, ., 2004 - Loại bỏ tiếp số chia hết cho 3: 1995, 2001 - Ta phải xét số 1991, 1993, 1997, 1999, 2003 ố nguyên tè p mµ p2 < 2005 lµ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 - Sè 1991 chia hết cho 11 nên ta loại - Các số lại 1993, 1997, 1999, 2003 không chia hết cho số nguyên tố tên Vậy từ 1991 đến 2005 có số nguyên tố 1993, 1997, 1999, 2003 C.HDVN: xem lại chữa,nắm vững dấu hiệu nhận biết số nguyên tố,hợp số Bài tập Ví dụ 1: Cho A = + 52 + 53 +……+5100 a) Số A số nguyên tố hay hợp số? b) Số A có phải số phương không? Giải: a) Có A > 5; A ( Vì số hạng chia hết cho 5) nên A hợp số b) Có 52 25, 53 25;… ;5100 25, 25 nên A 25 Số A A 25 nên A không số phương Ví dụ 2: Số 54 có ước Giải: Có: 54 = 33 Số ước 54 laø: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = ước Tập hợp ước 54 là: Ư(54) = 1; 2;3;6;9;18; 27;54 Ví dụ 3: Tìm số nguyên toá p cho p + , p + số nguyên tố Giải: Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + = số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm C/ BÀI TẬP: 1) Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nhỏ ba số đó? 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 hay không? 3) Tìm số nguyên tố p, cho số sau số nguyên tố a) p + vaø p + 10 b) P + 10 vaø p + 20 4) Cho p laø số nguyên tố lớn Biết p + số nguyên tố Chứng minh p + 1chia hế t cho 5) Cho p p + số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + hợp số TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG 31 ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LỚP 6) Cho a, n  N*, biết an Chứng minh: a2 + 150 25 Giải: 1) Tổng số nguyên tố 1012 số chẳn nên ba số nguyên tố phải có số chẳn số số số nhỏ ba số nguyên tố cho 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 số lẽ nên hai số nguyên tố phải số số thứ hai là: 2003 – = 2001 chia hết hợp số Vậy không tồn tai hai số nguyên tố có tổng 2003 3) a/ Vì p số nguyên tố nên p có ba daïng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên toá) => p + = 5; p + 10 = 13 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm b/ Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + 20 = 3k + 21 chia hết cho lớn nên p + 20 hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm 4) Do p số nguyên tố lớn nên p lẽ, => p + số chẵn nên p + p số nguyên tố lớn nên có dạng 3k + 3k + (k  N) Dạng p = 3k + không xãy Dạng p = 3k + cho ta p + = 3k + 3 (2) Từ (1) vaø (2) suy p + (1) 5) p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k + 3k + (k  N) Nếu p = 3k + p + = 3k + chia heát hợp số, trái với đề Vậy p có dạng 3k + p + = 3k + chia hết p + hợp số 6) Có an mà số nguyên tố nên a => a2 25 Mặt khác 150 25 nên a2 + 150 25 Bài 1: Tìm hai số nguyên tố biết tổng chúng 2005 Bài 2: Tìm số nguyên tố p để p 11 số nguyên tố nhỏ 30 Bài 3: Cho A  52   5100 a) Sè A lµ sè nguyên tố hay hợp số b) Số A có số ph-ơng không ? Bài 4: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số a) A 13.15.17  91 b) B  2.3.5.7.11  13.17.19.21 c) C  12.3  3.41  240 d) D  45  36  72  81 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG 32 ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP e) E  91.13  29.13  12.13 g) G  4.19  5.4 h) H   3.17  34.3 i) I   72  73  74  75 k) A  1.3.5.7 13  20 l) B  147.247.347  13 Bµi 5: Cho n  N * Chøng minh r»ng sè A  11 1211 hợp số nc / s1 nc / s1 Bài 6: a) Cho n số không chia hÕt cho Chøng minh r»ng: n chia d- b) Cho p số nguyên tổ lớn Hỏi p 2003 số nguyên tố hay hợp số ? Bài 7: Cho n N ; n n không chia hÕt cho Chøng minh r»ng: n2  vµ n2 đồng thời số nguyên tố Bài 8: Cho p số nguyên tố lớn a) Chứng tỏ rằng: p có dạng 6k  hc 6k  víi k  N * b) BiÕt p  còng lµ sè nguyên tố Chứng minh rằng: p hợp số Bài 9: Cho p p số nguyên tố (p>3) Hỏi p+100 số nguyên tố hay hợp số Bài 10: Cho n 29k với k N Với giá trị k n: a) Là số nguyên tố b) Là hợp số c) Không số nguyên tố không hợp số Bài 11: Chứng minh rằng: 8p-1 p số nguyên tố 8p+1 hợp số Bài 12: Tìm tất số nguyên tè p, q cho p  q vµ pq 11 số nguyên tố Bài 13: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp số nguyên tố Bài 14: Tìm số nguyên tố p cho a) p số nguyên tố b) p+8 p+10 số nguyên tố Bµi 16: Cho n  2.3.4.5.6.7 CMR: sè tự nhiên liên tiếp sau hợp số: n+2; n+3; n+4; n+5; n+6; n+7 Bài 17: Tìm số nguyên tè p cho p  6; p  8; p 12; p 14 số nguyên tố Bài 18:Cho p số nguyên tố lớn Chøng minh r»ng: ( p  1)( p  1) chia hÕt cho 24 Bµi 19:Cho p vµ 2p+1 hai số nguyên tố (p>3) Chứng minh rằng: 4p+1 hợp số Bài 20:Cho p 10p+1 hai số nguyên tố (p>3) Chứng minh rằng: 5p+1 hợp số Bài 21:Chứng minh với số nguyên tố p >3, ba số p, p+2, p+4 đồng thời số nguyên tố Bài 22: Hai số 2n  vµ 2n  víi n >2 đồng thời số nguyên tố hay đồng thời hợp số đ-ợc không ? Bài 23: Tìm số nguyên tố p để có a) p+10 p+14 số nguyên tố b) p+2; p+6 p+8 số nguyên tố c) p+6;p+12; p+24; p+38 số nguyên tố d) p+2; p+4 số nguyên tố Bài 24: Tìm số nguyên tố a, b, c cho 2a  3b  6c  78 Bài 25: CMR: 2001.2002.2003.2004 +1 hợp số Bài 26: Tìm số nguyên tố p cho p 44 số nguyên tố Bài 27: CMR: Hai số 1994100 1994100 đồng thời số nguyên tố Bài 28: Tìm số nguyên tố p cho p 94 p+1994 số nguyên tố Bài 29: Tìm tất số nguyên tố p để p p số nguyên tố TRUNG TM BI DNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG 33 ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TON LP Ước chung bội chung, ƯCLN, BCNN A/ Mục tiêu: - Học sinh nắm vững định nghĩa tính chất -ớc chung, ƯCLN, bội chung, BCNN vào giải tập - Vận dụng thành thạo tính chất chia hết vào bµi tËp - RÌn lun cho häc sinh thãi quen tự đọc sách, t- lô gic óc phân tích tổng hợp B/ Chuẩn bị: Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng tập tự luyện C/ Nội dung chuyên đề I/ Kiến thức 1- Tính chất chia hết liên quan a m an => a  m.n (m,n)=1 a.b  m => b m (a, m) =1 Bài 1: Tìm ¦CLN cđa d/ ¦CLN(1800,90) = 90 v× 1800 chia hÕt cho a/ 12, 80 vµ 56 90 b/ 144, 120 135 Bài 2: Tìm c/ 150 50 a/ BCNN (24, 10) d/ 1800 vµ 90 b/ BCNN( 8, 12, 15) H-íng dÉn H-íng dÉn a/ 12 = 22.3 80 = 24 56 = 33.7 a/ 24 = 23 ; 10 = VËy ¦CLN(12, 80, 56) = 22 = BCNN (24, 10) = 23 = 120 b/ 144 = 24 32 120 = 23 135 = 33 b/ = 23 ; 12 = 22 ; 15 = 3.5 VËy ¦CLN (144, 120, 135) = BCNN( 8, 12, 15) = 23 = 120 c/ ¦CLN(150,50) = 50 v× 150 chia hÕt cho 50 5/ Tìm số tự nhiên a lớn biết 480  a 600  a Hướng dẫn : 480  a 600  a a lớn Nên a  ƯC LN (480,600) Ta có 480= 25.3.5 600 = 23.3.52 => ƯCLN (480,600) =23.3.5= 120 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG 34 ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP Vậy a =120 6/ Tìm số tự nhiên x biết 126  x 210  x 15 < x < 30 Hướng dẫn: Vì 126  x 210  x 15 < x < 30 nên x  Ư C (126,210) 15 < x Ư C (126,210) = 2.3.7 = 42 Do Ư C (126,210) =ƯC (42) = 1,2,3,6,7,.14,21,42 Vì 15 < x < 30 nên x =21 7/ Tìm số tự nhiên a nhỏ khác biết a  15 a  18 Hướng dẫn : Vì a  15 a  18 a nhỏ khác nên a  BCNN(15,18) Ta có 15 =3.5 18 = 2.32 => BCNN(15,18) = 2.32.5 = 90 Vậy a = 90 8/ Tìm bội chung 15 25 mà nhỏ 400 Hướng dẫn: Ta có : 15=3.5 25= 52 => BCNN(15,25) = 3.52 =75 Nên BCNN(15,25) = B(75) = 0,75,150,225,300,375,450,  Các bội chung 15 25 mà nhỏ 400 0, 75, 150, 225,300, 375 Ví dụ1 Tìm số tự nhiên a biết chia 39 cho a dư 4, chia 48 cho a dư Giải Chia 39 cho a dư , nên a ước 39 – = 35 a > chia 48 cho a dư nên a ước 48 – = 42 a > a ước chung 35 42 dông thồng a > Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42} ƯC(35,42) = { 1,7} Vậy a = Ví dụ 2Tìm số tự nhiên a, biết chia 264 cho a dư 24 , chia363 cho a thỡ d 43 Dạng 3: Các toán thực tế Bài 1: Một lớp học có 24 HS nam 18 HS nữ Có cách chia tổ cho số nam số nữ đ-ợc chia vào tổ? Bài 2: Một đơn vị đội xếp hàng, hàng có 20 ng-ời, 25 ng-ời, 30 ng-ời thừa 15 ng-ời Nếu xếp hàng 41 ng-ời vừa đủ (không có hàng thiếu, hàng) Hỏi đơn vị có ng-ời, biết số ng-ời đơn vị ch-a đến 1000? H-ớng dẫnGọi số ng-ời đơn vị đội x (x N) x : 20 d- 15  x – 15 20 x : 25 d- 15  x – 15 25 x : 30 d- 15  x – 15 30 Suy x – 15 lµ BC(20, 25, 35) Ta cã 20 = 22 5; 25 = 52 ; 30 = 5; BCNN(20, 25, 30) = 22 52 = 300 BC(20, 25, 35) = 300k (k  N) x – 15 = 300k  x = 300k + 15 mà x < 1000 nên 300k + 15 < 1000  300k < 985  k < 17 (k  N) 60 Suy k = 1; 2; ChØ cã k = th× x = 300k + 15 = 615 41 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG 35 ÔN TẬP VÀ BỒI DNG TON LP Vậy đơn vị đội có 615 ng-êi Bµi 3: khèi – – theo thø tù cã 300 häc sinh- 276 häc sinh 252 học sinh xếp hàng dọc để điều hành cho hàng dọc khối nh- Có thể xếp nhiều thành hàng dọc để khối không lẻ ? kho khối có hàng ngang? Bài 4: Có 100 90 bút chì đ-ợc th-ởng cho số học sinh lại 18 bút chì không đủ chia Tính số học sinh Giải: Gọi sè häc sinh lµ a: => 100 –  a ; 90 18 a Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ 500 cho chia cho 15, cho 35 đ-ợc số d- 13 Giải Gọi số phải tìm a => a-  15 => a – + 30  15 a – 13  35 => a + 22  35 a – 13 + 35  35 a + 22 15 Bài 6: Tìm dạng chung cđa sè tù nhiªn a cho chia 4; 5; lần l-ợt có số d- 3; 4; chia hết cho 13 Giải ; a +  BC (4; 5; 6) => a +  60 => vµ a  13 a + – 300  60 => a – 13 23  13 a – 299  60 a – 299  13 => a – 299  BCNN (60; 13) a – 299  780 => a = 780b + 299 (b N) Bài 7: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 5; cho 7; d- lµ 3; 4; Giải ; Gọi số phải tìm A => 2a chia cho 5; 7; ®Ịu d- 2a – = BCNN (5; 7; 9) = 315  2a – = 315 => a = 158 Bµi 8: Sè HS cđa mét tr-êng kho¶ng tõ 2500 ®Õn 2600 NÕu toµn thĨ HS cđa tr-êng xÕp hµng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn Tính số HS tr-ờng ? Lờp giải: Gọi số HS tr-ờng x (x  N, 2500 < x < 2600) Tõ giả thiết suy a + số chia hết cho 3, 4, Mà BCNN(3,4,5,7) = 420 nªn a + chia hÕt cho 420, 2503 chia cho 420 d- 403 2601 chia 420 b»ng d- 81 nªn a + = 420.6 tøc lµ a = 2518 VËy sè HS cđa tr-êng lµ 2518 em Bµi 9: Mét thiÕt bị điện tử 605 phát tiếng bíp; chiều thứ 625 bíp lúc 10h sáng kêu hỏi lúc kêu (10h 31p) TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG 36 ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LỚP Bµi 10: Sè HS tr-ờng THCS số tự nhiên nhỏ có chữ số mà chia số cho cho 6, cho d- Gäi sè HS cđa tr-êng lµ x (x  N) x : d-  x – x : d-  x – x : d-  x – Suy x – lµ BC(5, 6, 7) Ta cã BCNN(5, 6, 7) = 210 BC(5, 6, 7) = 210k (k  N) x – = 210k  x = 210k + mà x số tự nhiên nhỏ có chữ số nên x 1000 suy 210k +  1000  k  53 (k N) nên k nhỏ k = 70 Vậy số HS tr-ờng x = 210k + = 210 + = 1051 (häc sinh) Bµi 11 Có 100 90 bút bi Cô giáo chủ nhiểm muốn chia số bút thành số phần thưởng gôm bút để phát phần thuopwngr cho học sinh Như lại 18 bút bi chia cho học sinh.tính sơ học sinh thưởng? Bµi 12 Có số sách giáo khoa Nếu xếp thành chồng 10 vừa hết ,thàng chồng 12 thừa cuốn, thành chồng 18 thừa biết số sách khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tìm số sách Bµi 13 Một lớp học có 28 nam 24 nữ.có cách chia số học sinh lớp thành tổ cho số nam nữ chia cho tổ Bµi 14 Người ta muốn chia 240 bút bi , 210 bút chì 180 tập giấy thành số phần thưởng Hỏi chia nhiều phần thưởng,mỗi phần thưởng Có bút bi , bút chì, tập giấy? Bµi 15: Một số tự nhiên chia cho 2, cho , cho , cho , cho dư , chia cho khơng dư a) Tìm số nhỏ có tính chất b) Tìm dạng chung số có tính chất Giải a) Gọi x số phải tìm x –  ( ,3 ,4, , 6) nên x – bội chung 2, 3, 4, 5, BCNN ( 2,3,4,5,6) = 60 Vậy x – nhận giá trị: 60 ,120,180,240,300,… x nhân giá trị: 61 ,121 ,181,241,301,… Trong số trên, số nhỏ chia hết cho số 301 b) Vì x – bội 60 nên x- = 60n hay x = 60n + (n  N*) x  ta có : x = 60n + = 7.8n – + (n + 2) Vì 7.8n  ,do để x  phải có 4(n + 2)  hay n +  dặt n + = 7k n = 7k – (k  N*) x = 60n + = 60 (7k - 2) + = 420k – 119 để tìm x ta việc cho k giá trị : k = 1, 2, 3, … Bµi 17 Ba em An , Bảo , Ngọc học trường lớp khác An ngày trực nhật lần , Bảo 10 ngày trực nhật lần, Ngọc trực nhật lần.lần đầu ba em trực nhật ngày hỏi ngày sau ba em lại trực nhật vào ngày? Đến ngày em trực nhật lần? TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG 37 ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LỚP Bµi 18 Bạn Nam nghĩ số có ba chữ số bớt số số chia hết cho bớt số chia hết cho ,nếu bớt 10 số chia hết cho hỏi bạn Nam nghĩ số nào? Bµi 19 Một vườn hình chữ nhật có chiều dài 105 m chiều rộng 60 m người ta muốn trồng xung quanh vườn cho góc vườn có khoảng cách hai liên tiếp Tính khống cách lớn hai liên tiếp (Khoảng cách số tự nhiên với đơn vị mét ) Khi tổng số ? Hướng dẫn :Gọi khoảng cách liên tiếp a (mét) góc vườn có khoảng cách liên tiếp lớn nên 105  a 60  a a lớn => a  ƯCLN(105,60) Ta có 105 = 3.5.7 60 = 22.3.5 ƯCLN (105,60) = 3.5.=15 Vậy khoảng cách lớn liên tiếp 15 m Chu vi mãnh vườn (105+60).2 =330 m Tổng số 330 : 15 = 22 9/ Một khối học sinh xếp hàng hàng hàng hàng hàng thừa em xếp hàng vừa đủ Biết số học sinh chưa đến 300 Tính số học sinh Hướng dẫn: Gọi số hs cần tìm a (0