Đang tải... (xem toàn văn)
> góc có sơ đo thn ảo hay phức với phân thực Ĩ — 1.1.6.2 Tính chất i) ĩ> + 2[»r (ÌB-‘X[X']-[b]) + a = p p p «■ ^[xTB^AB^M -4(Bx-1AxB'1[b])x[x,]+^[b]xB-1ABx-1[b]+ 2(B'1[a])x[x']- 2(B-'[a])x[b] + a = p p p Trang 53 p p «■ ^[xTB^AB^M + (p(B_1[a])x- (Bx'1AxB'1[b])x)[x] + [b]xff1ABx'1[b]- 2(B-'[a])x[b] + a = p p p p «■ [x,]xB'1ABx'1[x1] + 2(p(B'1[a])- BX'1AXB'1 [b])x [x']+[b]xB'1ABx-1 [b] - 2p(B'1[a])x[b] + p2a = Đặt: c = B4ABx4 [c] = p(B-1[a])-Bx-1AxB-1[b] c = [b]xB'1ABx'1[b] - 2p(B_1[a])x[b] + p2a Vậy ta ảnh (S’) siêu mặt bậc hai (S) qua phép đồng dạng f có phương trình là: [x']xC[x'] + 2[c]x[x'] + c = x Xét: c = (B4ABX1)X = B4ABx1 = c Do c ma trận đối xứng Suy (S’) siêu mặt bậc hai > Hê quả: Phép dời biến siêu mặt bậc hai thành siêu mặt bậc hai 2.5.2 Siêu nón đẳng hướng Trong khơng gian giả Euclide Enk cho điểm I cố định Xét tập họp tất đường thẳng đẳng hướng qua I (một đường thẳng gọi đường thẳng đẳng hướng phương sinh vectơ đẳng hướng) Giả sử Enk cho mục tiêu trực chuẩn {ỡ,^.}r điểm I có tọa độ mục tiêu (x01, ,x0(í) Giả sử M (xj, ,xH) điểm thuộc đường thẳng đẳng hướng qua I Khi ta có IM vectơ đẳng hướng Do đó: IM * IM = Mà IM = (Xj - x ữ ì , , x n -xữn) -xữi)2 - ( X j - x ữ j f = Nên ta có: (3) j = k +1 ỉ-1 Đây phương trình bậc hai nên tập hợp tất đường thẳng đẳng hướng qua I siêu nón bậc hai đỉnh I Siêu nón gọi siêu nón đẳng hướng 2.5.3 Siêu cầu 2.5.3.1 Định nghĩa Trong không gian giả Euclide E nk cho điểm I cố định Tập hợp tất cà điểm M cho d(I,M) = R, với R số thực không âm số ảo cho trước, gọi siêu cầu tâm I bán kính R Enk 2.5.3.2 Phương trình siêu cầu Giả sử Enk cho mục tiêu trực chuẩn { , ế ị } r điểm I có tọa độ mục tiêu (x01, ,x0n) Trang 54 Giả sử M điểm thuộc siêu cầu có tọa độ x n) Khi ta có: d(I,M) = R o [d(I,M)]2 = R2 Ề(*/ -*0if - Ẻ (*ý ~ x 0j? = r2 (4) j = k +1 Ỉ=1 2X - Ẻ i=l j=k+l X J - 2lw + Ẻ x i=l + X*®2 - Ẻ V - R2 = (5) ữjXj i=l j=k+l j=k+l Phương trình (4) gọi phương trình siêu cầu tâm I (x 01, ,x0n) bán kính R Từ phương trình (5) ta nhận thấy siêu cầu siêu mặt bậc hai Ta nhận thấy phương trình (5) có đặc điểm: hệ số X (ik) bàng số đối hệ số Xị2 vắng mặt số hạng chữ nhật XịXj (rìý) Bây giờ, ta xét vấn đề ngược lại: Một phương trình có đặc điểm có phải phương trình siêu cầu (đối với mục tiêu trực chuẩn chọn) hay không? Giả sử ta có phương trĩnh: ỵ2 +c=0 ~ a Ĩ L x j + 2ibixi i-\ j - k +1 k L -=1 a u (6) ỉ-1 n u j=k+ì 1(k « í>, +V - Ẻ (*, - ^=ị íx - ị 6’ ¿=1 « M+1 k L2 a Í=1 a « n a n ak M+1 ^'=1 (7) L n M+1 Đặt I(-—, ,-—,^±L, ,—) Gọi M(x!, ,xn) điểm thuộc Enk có tọa độ a a a a thỏa mãn phương trình (7) k n Khi đó, từ phương trình (7) ta có: ac V Í=1 j=k+\ pỉ-i»ỉ i=1 i=ìr4-1 Do khoảng cách từ điểm M thỏa mãn phương trình (7) đến điểm I số khơng đổi Vậy (7) phương trình siêu cầu Suy (6) phương trình siêu cầu Vậy phương trình siêu cầu mục tiêu trực chuẩn chọn có dạng: k n n à^x -a^ Xj + ì^bịXị + c = Í=1 j=k+1 Í=1 Trang 55 Từ phương trình (7) ta có: i - Nếu ^ b - ^ b - a c > thi (7) xác định cho ta siêu cầu tâm Í=1 j=k+1 I(A ,AK A),bánkính R = rrJxố Trong không gian giả Euclide E21, siêu cầu gọi đường tròn Phương trình tắc là: 2 Tế Xị -x2 =R Do đó: - Nếu R thi đường tròn E21 hyperbol - Nếu R = thi đường tròn E21 cặp đường thẳng X i = x2 X i = x2 Đây cặp đường thẳng đẳng hướng qua gốc tọa độ > Trong không gian giả Euclide E32, siêu cầu gọi mặt cầu Phương trình tắc là: JCj2 +x2 “*32 =R2 Do đó: - Nếu R > thi mặt cầu E32 hyperboloid tầng - Nếu R = thi mặt cầu E32 mặt nón đẳng hướng - Nếu R số ảo thi mặt cầu E32 hyperboloid hai tầng 2.6 MƠ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHƠNG GIAN GIẢ EUCLIDE 2.6.1 Xây dựng mơ hình Trong khơng gian xạ ảnh thực pn, ta chọn siêu phang Pn_! làm siêu phang vô tận gọi An không gian afin tương ứng Ta làm cho An trở thành không gian giả Eclide n chiều số k Enk bàng cách xác định tích vơ hướng thỏa mãn tiên đề (El*), (E2*), (E3*), (E4*) Vậy ta mơ hình Enk, gọi mơ hĩnh xạ ảnh không gian giả Euclide Bây giờ, ta chọn khơng gian Enk mục tiêu trực chuẩn {AHII,}| , tức Ã^Ẽ;*Ã^Ẽ;=I (i-1 (j>k)và Ã^Ẽ;*Ã^Ẽ>0 Ta gọi {A^E}— mục tiêu xạ ảnh sinh mục tiêu {A^JJEJJ Điều có nghĩa Ai giao điểm đường thẳng A n+1 Ei với siêu phang pn_!, i = l,n, E n điểm thỏa A„+1E = ¿JA^JE, , tức E có tọa độ (1,1, ,1) mục tiêu trực chuẩn ¿=1 {AH+Ị.E,.}— Khi đó, khơng gian xạ ảnh pn, với mục tiêu {Ai.,E}1 chọn trên, phưcmg trình siêu phẳng vô tận Pn_i là: xn+l = Gọi T* siêu mặt bậc hai siêu phẳng vô tận pn_!, có phưcmg trình: k n Ẻ v - Ệ v =0 i Ỉ=1 ]=k+\ A+1= ° T* gọi tuyệt đối pn Nếu n > thi T* siêu mặt trái xoan siêu mặt kẻ (ở ta khơng xét k=n vĩ trường họp không gian Euclide) Nếu n = thi T* cặp điểm đường thẳng vô tận có tọa độ xạ ảnh [1; ;0] [1;-1;0] Ta nhắc lại ràng, điểm MeEnk có tọa độ mục tiêu {An+1,EÍ}1 ( X v , X n ) có tọa độ mục tiêu xạ ảnh {A^EỊị- { x x , , x n , x n+l), với X Xn+1^0 X ị = —s~, ỉ = \ , n *n+i 2.6.2 2.6.2.I Thể khái niệm giả Euclide mơ hình Khái niệm trực giao hai đường thẳng > Dinh lý Hai đường thẳng Enk trực giao với hai điểm vơ tận liên hợp với tuyệt đối T* Chứns minh: Trong Enk với mục tiêu trực chuẩn chọn cho hai đường thẳng a b có vectơ phương ũ — (ỡ|, , ctn), b = ( j b v , b n ) Gọi Aoo Boo điểm vô tận a b Khi Aoo Boo có vectơ đại diện ã b Do đó, mục tiêu xạ ảnh chọn, điểm Aoo có tọa độ xạ ảnh (0j, ,an,0) , điểm Boo có tọa độ xạ ảnh ( b v , b n , ) Trong siêu phang Pn_!, ta chọn mục tiêu xạ ảnh {A^E'}^, E’ giao điểm An+1E với Pn_! Khi tọa độ xạ ảnh Aoo Boo mục tiêu xạ ảnh {A^E'}^ Pn_! (ỏj, ,ỏn) Từ : a b trực giao với khi: «■ ã * b = ZaA-ẺữA=0 Ỉ=1 j = k +1 Đây điều kiện để A«, Bpo liên hợp tuyệt đối T* Vậy định lý chứng minh 2.Ó.2.2 Khái niệm siêu cầu > Dinh lý: Mỗi siêu mặt bậc hai không gian giả Euclide E nk siêu cầu siêu mặt bậc hai sinh (tức siêu mặt bậc hai p n) cắt siêu phẳng vô tận theo tuyệt đối T* Chứns minh: (=>): Cho siêu cầu (S) Enk có phương trình mục tiêu trực chuẩn chọn là: ¿ ( * - x ữ i f - Ệ ( X i - x ữ j f =r2 , Ỉ=1 j=k+l (X ữ l , , X ữ n ) tọa độ tâm siêu cầu, R bán kính Bằng cách chuyển sang tọa độ xạ ảnh, ta đưa phương trình dạng: x i=l X i x0i ý _ ( X j x ° j ý =R2 *0(n+l) „+\ ^ ^j( 0(n+l) i ~ 0i n+l') ~ ^ ( Q(n+\) j ~ X X X X X X j= k+\ X „+\ X *0(n+l) C*0(n+1)) ( n+l) ũj X n+\) Ỉ=1 X j=k+l Xét phương trình tọa độ giao điểm siêu cầu (S) với siêu phẳng vô tận pn_i: ^ (^OCn+l)*! — ^Oi-^H+l) i= X X n ^ (-"Vui!)-*-/ ~ X ữ j X n \ \ ) = ^ (^OtH+l)) ( X n 11) j - k +1 — n 11 = ^(^OCn+l)^) i =1 j - k +1 ^ (^0(11+1)^') 11 = k n i =1 j - k +1 Ẻ V- Ẻ V = ° X n 11 = Đây phương (vì *■ 0) X0(n+1) trình tuyệt đối T* Vậy siêu cầu Enk cắt siêu phẳng vô tận theo tuyệt đối T* ( cho: A = pB , với B ma trận k - trực giao « (tA)ik(tArit=i p p AIkAxIk = P2I « A = T(IkA‘Ik) p « (A^A1 =(TlkA‘Ik)‘Ik(TlkA>Ik) p « (A'1)xIkA'1 = Tik p p Hệ thức chứng tỏ ảnh T* qua phép biến đổi xạ ảnh F’ T* Do đó: Phép afin f phép đồng dạng ảnh T* qua phép biến đổi xạ ảnh F’ T* Vậy định lý chứng minh 2.6.3 Hình học giả Euclide Ta ký hiệu nhóm phép biến đổi xạ ảnh khơng gian p n hĩnh học xạ ảnh hĩnh học nhóm o7Cn Nếu pn ta chọn siêu phẳng Pn_i làm siêu phẳng vô tận thi tập họp phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn p n_i làm thành nhóm G/f n Nhóm đẳng cấu với nhóm Cí4 tất phép afin không gian afin An = pn\pn_i Ta gọi @nk tập hợp tất phép biến đổi xạ ảnh p n giữ nguyên pn_! giữ nguyên tuyệt đối T* thi @nk nhóm nhóm G/fn Mỗi phép biến đổi nhóm @nk sinh phép đồng dạng Enk (theo chứng minh trên) nên ta xem @nk nhóm tất phép đồng dạng Enk Hĩnh học nhóm @nk gọi hĩnh học giả Euclide n chiều số k Từ định nghĩa từ tính chất phép đồng dạng, ta suy khái niệm trực giao hai đường thẳng, tỷ số độ dài hai đoạn thẳng, siêu mặt bậc hai, bất biến nhóm @nk đối tượng nghiên cứu hĩnh học giả Euclide 2.6.4 Phép dời không gian giả Euclide E2 Trong phần ta xét phép dời có ma trận dạng - trực giao Giả sử ta có ma 7ơ CCL A= trận: a p a2 - p2 = (1) ay - pô = (2) - ô2 = -1 (3) —1 co Ta có: A ma trận - trực giao khi: A ĩ , A a 0“ -1 x = Ij Xét phương trình (2) hệ trên: ay - ps = Phương trình (2) viết dạng: |y = xp Ị = Ằa Ằ ẩn số Thay (4) vào (3) ta được: -1 = y2 - 52 = x2p2 - A,v = -Ằ.2(a2 - p2) (5) Từ (1) (5) suy ra: -1 = -X2 Ầ = ± l (6) Xét phương trình (1): ta thấy ràng nghiệm tổng quát có dạng: [ a = ± ch0 |p = ±sh0 (7) Vậy từ (4), (6), (7) ta suy ra: A ma trận - trực giao thi có dạng sau đây: ch0 sh0 - ch0 - sh0 (b) t/3 t/3 sh0 - ch0 -sh0 (d) Như ta có tất phép dời có ma trận dạng - trực giao sau đây: ĩx\ = x^he + X2sh0 + a ^ ì jx'2 = x^he + X2ch0 + b Ịx\ = - x^he - X2sh0 + a (b ^ jx'2 = XjShB - X2ch0 + b Ịx\ = x^he + X2sh0 + a ^ jx'2 = XiShe - X2ch0 + b Ịx\ = - x^he - X2sh0 + a ^ jx'2 = XiShe + X2ch0 + b Các phép dời loại (a’), a = b = 0, gọi phép quay hyperbolic với góc quay Vĩ phép dời loại (a’) tích phép quay hyperbolic phép tịnh tiến Phép quay hyperbolic biến đường tròn thành biến hai đường thẳng đẳng hướng Xi = x2 Xi = - x2 thành Neu a = b = thi phép dời loại (b’) tích phép quay hyperbolic với phép đối xứng qua gốc tọa độ Nếu a = b = thi phép dời loại (c’) (tương ứng, loại (d’)) phép đối xứng qua 66 đường thẳng Xj + X2th^ = (tương ứng, Xjth^ + X2 = ) PHẦN KÉT LUẬN Luận vãn với đề tài “Một số vấn đề hĩnh học giả Euclide” đã: i- Nghiên cứu số khái niệm hĩnh học giả Euclide như: không gian vectơ giả Euclide n chiều số k, trực giao, trực chuẩn, không gian con, phép biến đổi trực giao, phép biến đổi đồng dạng, không gian giả Euclide n chiều số k, tọa độ trực chuẩn, phép dời, phép đồng dạng, siêu mặt bậc hai, mô hĩnh xạ ảnh không gian giả Euclide, ị- Nghiên cứu số tính chất phép biến đổi trực giao phép biến đổi đồng dạng không gian vectơ giả Euclide Từ rút số tính chất phép dời phép đồng dạng khơng gian giả Euclide ík Trên sở trình bày khơng gian vectơ khơng gian vectơ giả Euclide, luận văn khai thác kỳ không gian vectơ đặc biệt không gian vectơ dương, không gian vectơ âm, không gian vectơ không suy biến, không gian vectơ trực giao với Ngồi ra, luận vãn chứng minh không gian vectơ không gian vectơ giả Euclide không gian vectơ giả Euclide khơng gian vectơ không suy biến i- Các nội dung luận vãn xếp trình bày tương tự Giáo trình Hĩnh học Euclide để giúp người đọc có liên hệ, so sánh nhàm rút điểm giống khác hĩnh học giả Euclide hĩnh học Euclide Đồng thời, sở nghiên cứu mô hĩnh xạ ảnh không gian giả Euclide, luận văn giúp người đọc biết mối liên hệ hình học giả Euclide hình học xạ ảnh Có thể nói, người, lần nghiên cứu đề tài lần họ rút nhiều kinh nghiệm quý báu Qua việc nghiên cứu đề tài này, em có hội ôn lại nắm vững kiến thức học, tự mở rộng thêm nhiều kiến thức mới, Trong đó, điều quan trọng có ý nghĩa em tập làm quen dần với việc tự tìm hiểu, nghiên cứu kiến thức gợi ý, hướng dẫn thầy cô giàu kinh nghiệm Tuy cố gắng nhiều hướng dẫn nhiệt tình thầy hướng dẫn, đóng góp ý kiến chân thành bạn bè luận văn tránh khỏi thiếu sót Em hy vọng nhận thêm đóng góp ý kiến nhiệt tình q thầy bạn để hoàn thiện kiến thức cho thân tiếp tục nghiên cứu sâu lĩnh vực Toán học, đặc biệt lĩnh vực hình học TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thanh Bĩnh, Nguyễn Hồng Xinh; Giáo trình Đại số tuyến tính', Đại học Cần Thơ; Năm 2006 [2] Đặng Vãn Thuận; Giảo trình hình học afin; Đại học cần Thơ; Năm 1995 [3] Đặng Vãn Thuận; Giảo trình hình học Eucỉide; Đại học cần Thơ; Năm 1995 [4] Đặng Vãn Thuận; Giảo trình hình học xạ ảnh; Đại học cần Thơ; Năm 1995 [5] Đặng Vãn Thuận; Bài giảng hình học phi Euclide; Đại học cần Thơ; Năm 2002 [6] Vãn Như Cương, Kiều Huy Luân; Hình học cao cấp; Nhà xuất Giáo dục; Năm 1978 [7] Nguyễn Cảnh Tồn; Hình học xạ ảnh; Nhà xuất Giáo dục; Năm 1979 [8] Vãn Như Cương; Hình học xạ ảnh; Nhà xuất Giáo dục; Năm 1999 [9] Werner Greub; Linear Algebra (Graduate Texts ỉn Mathematics) (Third Edition); Nhà xuất Springer; Năm 1967 [10] Các trang web: http://edơcs.tu-berlỉn.de/dỉss/2005/kỉntzel ulric.pdf www.mat.univie.ac.at/~neretin/lectures/chapter2.ps ... học, mối liên hệ điểm giống khác chúng, em định chọn đề tài Một số vấn đề hĩnh học giả Euclide để thực luận văn tốt nghiệp minh MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Luận vãn với đề tài Một số vấn đề Hĩnh học. .. học giả Euclide nhàm làm rõ định nghĩa số tính chất khái niệm Hĩnh học giả Euclide Đồng thời, luận văn vào tim hiểu số bất biến Hĩnh học giả Euclide, mối liên hệ Hĩnh học giả Euclide với Hĩnh học. .. tính chất khái niệm hĩnh học giả Euclide 4- Dựa vào số định lý, mệnh đề Hĩnh học Euclide, phân tích, so sánh để rút định lý, mệnh đề có liên quan đến khái niệm Hĩnh học giả Euclide Sau chứng minh