ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (HÌNH OXY) §1 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA ĐƯỜNG THẲNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Vectơ pháp tuyến phương trình tổng quát đường thẳng :   a Định nghĩa : Cho đường thẳng  Vectơ n  gọi vectơ pháp  tuyến (VTPT)  giá n vng góc với  Nhận xét :   - Nếu n VTPT  kn  k   VTPT  b Phương trình tổng quát đường thẳng  Cho đường thẳng  qua M (x ; y ) có VTPT n  (a;b) Khi     M (x ; y )    MM  n  MM n   a (x  x )  b(y  y )   ax  by  c  (c  ax  by ) (1) (1) gọi phương trình tổng quát đường thẳng  Chú ý :  - Nếu đường thẳng  : ax  by  c  n  (a;b) VTPT  c) Các dạng đặc biệt phương trình tổng quát   song song trùng với trục Ox   : by  c    song song trùng với trục Oy   : ax  c    qua gốc tọa độ   : ax  by     qua hai điểm A a; , B  0;b    : ab   x y   với a b Phương trình đường thẳng có hệ số góc k y  kx  m với k  tan  ,  góc hợp tia Mt  phía trục Ox tia Mx ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1 : a1x  b1y  c1  0; d2 : a2x  b2y  c2   d1 cắt d2 a1 b1 0 a2 b2  d1 / /d2 a1 b1 b1 c1   , a2 b2 b2 c2 a1 b1 c1 a1  0 a2 b2 c2 a  d1  d2 a1 b1 b1 c1 c1 a1   0 a2 b2 b2 c2 c2 a Chú ý: Với trường hợp a2 b2 c2  + Nếu + Nếu + Nếu a1 a  hai đường thẳng cắt b1 b2 a1 a c   b1 b2 c2 a1 a c   b1 b2 c2 hai đường thẳng song song hai đường thẳng trùng B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng Phương pháp giải:  Để viết phương trình tổng quát đường thẳng  ta cần xác định - Điểm A(x ; y )    - Một vectơ pháp tuyến n a;b   Khi phương trình tổng quát  a  x  x   b  y  y0   ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH Chú ý: o Đường thẳng  có phương trình tổng quát  ax  by  c  0, a  b  nhận n a;b  làm vectơ pháp tuyến o Nếu hai đường thẳng song song với VTPT đường thẳng VTPT đường thẳng o Phương trình đường thẳng  qua điểm M  x ; y  có dạng  : a  x  x   b  y  y   với a  b  ta chia làm hai trường hợp + x  x : đường thẳng song song với trục Oy + y  y  k  x  x  : đường thẳng cắt trục Oy o Phương trình đường thẳng qua A a; , B  0;b  với ab  x y  1 a b Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A  2; , B  0; , C (1; 3) Viết phương có dạng trình tổng qt a) Đường cao AH b) Đường trung trực đoạn thẳng BC c) Đường thẳng AB d) Đường thẳng qua C song song với đường thẳng AB Lời giải  a) Vì AH  BC nên BC vectơ pháp tuyến AH   Ta có BC  1; 1  suy đường cao AH qua A nhận BC vectơ pháp tuyến có phương trình tổng qt  x     y    hay x  y   b) Đường trung trực đoạn thẳng BC qua trung điểm BC  nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến Gọi I trung điểm BC 1 7 x  xC y  yC xI  B  , yI  B   I  ;   2  2 2 ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HOÀI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH Suy phương trình tổng quát đường trung trực BC   1 7  x     y    hay x  y   2 2   c) Phương trình tổng quát đường thẳng AB có dạng hay 2x  y   x y  1  d) Cách 1: Đường thẳng AB có VTPT n  2;1  đường  thẳng cần tìm song song với đường thẳng AB nên nhận n  2;1  làm VTPT có phương trình tổng qt  x     y    hay 2x  y   Cách 2: Đường thẳng  song song với đường thẳng AB có dạng 2x  y  c  Điểm C thuộc  suy 2.1   c   c  5 Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng qt 2x  y   Ví dụ 2: Cho đường thẳng d : x  2y   điểm M  1;2  Viết phương trình tổng quát đường thẳng  biết: a)  qua điểm M có hệ số góc k  b)  qua M vng góc với đường thẳng d c)  đối xứng với đường thẳng d qua M Lời giải: a) Đường thẳng  có hệ số góc k  có phương trình dạng y  3x  m Mặt khác M      1   m  m  Suy phương trình tổng quát đường thẳng  y  3x  hay 3x  y   b) Ta có x  2y    y  x  hệ số góc đường 2 Vì   d nên hệ số góc  k kd k  1  k  2 thẳng d kd  Do  : y  2x  m , M     2  1   m  m  2 ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HOÀI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH Suy phương trình tổng quát đường thẳng  y  2x  hay 2x  y   c) Cách 1: Ta có 1  2.2   M  d đường thẳng  đối xứng với đường thẳng d qua M song song với đường  thẳng d suy đường thẳng  có VTPT n  1; 2  Ta có A  1;2   d , gọi A ' đối xứng với A qua M A '   Ta có M trung điểm AA '  xA  xA'    xM   x A '  2x M  x A  2. 1    3     A '  3;2      y  y y  y  y  2.2   A A ' A ' M A   yM     Vậy phương trình tổng quát đường thẳng   x     y    hay x  2y   Cách 2: Gọi A  x ; y  điểm thuộc đường thẳng d , A '  x ; y  điểm đối xứng với A qua M Khi M trung điểm AA ' suy   x0  x x0  x      xM   1   x  2  x  2         y  y y0  y y0  y     yM   2     Ta có A  d  x  2y   suy  2  x   2.  y     x  2y   Vậy phương trình tổng quát  đối xứng với đường thẳng d qua M x  2y   Ví dụ 3: Biết hai cạnh hình bình hành có phương trình x  y  x  3y   , tọa độ đỉnh hình bình hành  2;2  Viết phương trình cạnh lại hình bình hành Lời giải ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH Đặt tên hình bình hành ABCD với A  2;2  , tọa độ điểm A không nghiệm hai phương trình đường thẳng nên ta giả sử BC : x  y  , CD : x  3y    Vì AB / /CD nên cạnh AB nhận nCD  1;  làm VTPT có phương trình  x     y    hay x  3y    Tương tự cạnh AD nhận nBC  1; 1  làm VTPT có phương trình  x     y    hay x  y   Ví dụ 4: Cho điểm M  1;  Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai tia Ox , tia Oy A B cho tam giác OAB có diện tích nhỏ Lời giải: Giả sử A a; , B  0;b  với a  0, b  Khi đường thẳng qua x y   Do M  AB nên   a b a b 1 Mặt khác SOAB  OAOB  ab 2 A, B có dạng 4  2  ab  16  SOAB  a b ab 4 Suy SOAB nhỏ    a  2;b  a b a b x y Vậy phương trình đường thẳng cần tìm   hay 4x  y   Bài tập luyện tập Bài 3.1: Cho điểm A  1; 3  Viết phương trình tổng qt đường Áp dụng BĐT Cơsi ta có  thẳng  qua A a) Vng góc với trục tung b) song song với đường thẳng d : x  2y   Bài 3.2: Cho tam giác ABC biết A  2;1 , B  1; , C (0; 3) a) Viết phương trình tổng quát đường cao AH ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH b) Viết phương trình tổng quát đường trung trực đoạn thẳng AB c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A song song với đường thẳng BC Bài 3.3: Viết phương trình tổng quátcủa đường thẳng  trường hợp sau: a)  qua điểm M  2;5  song song với đường thẳng d : 4x  7y   b)  qua P  2; 5  có hệ số góc k  11 Bài 3.4: Cho M  8;6  Viết phương trình đường thẳng qua M cắt chiều dương hai trục toạ độ A, B cho OA  OB đạt giá trị nhỏ  DẠNG 2: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp giải: Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 : a1x  b1y  c1  0; d2 : a2x  b2y  c2  a1x  b1y  c1   Ta xét hệ  (I)  a x  b2y  c2    + Hệ (I) vô nghiệm suy d1 / /d2 + Hệ (I) vô số nghiệm suy d1  d2 + Hệ (I) có nghiệm suy d1 d2 cắt nghiệm hệ tọa độ giao điểm Chú ý: Với trường hợp a2 b2 c2  + Nếu + Nếu a1 b  hai đường thẳng cắt a2 b2 a1 b c   a2 b2 c2 hai đường thẳng song song ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH + Nếu a1 b c   a2 b2 c2 hai đường thẳng trùng Các ví dụ: Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau a) 1 : x  y   0; 2 : 2x  y   b) 1 : x  2y   0; c) 1 : 2x  3y   0; d) 1 : 2x  3y   0; 2 : 2x  4y  10  2 : x   2 : 4x  6y  Lời giải: a) Ta có 1  suy 1 cắt 2 b) Ta có 1 2   suy 1 trùng 2 10 c) Ta có  suy 1 cắt 2 3 4 6   suy 1 / /2 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng AB, BC ,CA d) Ta có AB : 2x  y   ; BC : 3x  2y   ; CA : 3x  y   Xác định vị trí tương đối đường cao kẻ từ đỉnh A đường thẳng  : 3x  y   Lời giải Tọa độ điểm A nghiệm hệ   2x  y   x  1       A  1;      x  y   y      Ta xác định hai điểm thuộc đường thẳng BC M  1;1 , N  1; 2  ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH Đường cao kẻ từ đỉnh A vng góc với BC nên nhận vectơ  MN  2; 3  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình  x    3y  hay 2x  3y   1  suy hai đường thẳng cắt 3 Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng 1 : (m  3)x  2y  m   Ta có 2 : x  my  (m  1)2  a) Xác định vị trí tương đối xác định giao điểm (nếu có) 1 2 trường hợp m  0, m  b) Tìm m để hai đường thẳng song song với Lời giải:    3x  2y   x  a) Với m  xét hệ  suy 1 cắt 2     x   y 2     điểm có tọa độ  1;2     2x  2y  x  Với m  xét hệ  suy 1 cắt 2 gốc     x  y  y 0     tọa độ b) Với m  m  theo câu a hai đường thẳng cắt nên không thỏa mãn Với m  m  hai đường thẳng song song m 3 m2    m2 1 m  m  1 Vậy với m  hai đường thẳng song song với Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , tìm tọa độ đỉnh tam giác trường hợp sau a) Biết A  2;2  hai đường cao có phương trình d1 : x  y   ; d2 : 9x  3y   b) Biết A(4; 1) , phương trình đường cao kẻ từ B  : 2x  3y  ; phương trình trung tuyến qua đỉnh C  ' : 2x  3y  Lời giải ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH a) Tọa độ điểm A không nghiệm phương trình d1, d2 suy A  d1, A  d2 nên ta giả sử B  d1, C  d2  Ta có AB qua A vng góc với d2 nên nhận u  3;  làm VTPT nên có phương trình  x     y    hay 3x  9y  24  ; AC qua A  vng góc với d1 nên nhận v  1;1  làm VTPT nên có phương trình 1  x     y    hay x  y  B giao điểm d1 AB suy tọa độ B nghiệm hệ   x y 2    x  1    B  1;      3x  9y  24  y 3     Tương tự tọa độ C nghiệm hệ    x    x  y        C   ;        x y   3    y       2 Vậy A  2;2  , B  1;  C   ;    3   b) Ta có AC qua A(4; 1) vng góc với  nên nhận u  3;2  làm VTPT nên có phương trình  x     y    hay 3x  2y  10  Suy toạ độ C nghiệm hệ  3x  2y  10  x       C  6; 4       2x  3y   y  4    x  yB    AB thuộc Giả sử B  x B ; yB  suy trung điểm I  B ;  2  đường thẳng  ' x 4 y 1 B  B  hay 2x B  3yB   (1) 2 Mặt khác B   suy 2x B  3y B  (2) ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH b) Chứng minh với m  cắt (H) hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác (H) c) Tìm tọa độ giao điểm (E) (H) Viết phương trình đường tròn qua giao điểm Lời giải: a) Xét hệ phương trình  2x  y  m     y  x m      x y2   9x  8mx  2m    1      Do  cắt (E) hai điểm phân biệt phương trình 9x  8mx  2m   có hai nghiệm phân biệt hay  '  16m   2m     3  m  3 b) Xét hệ phương trình  2x  y  m     y  x m      x y2    1   7x  2mx  m    *    Do ac  7  m    nên phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu suy  cắt (H) hai điểm phân biệt có hồnh độ trái dấu Vậy  cắt (H) hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác (H)   x y2  1   c) Tọa độ giao điểm (E) (H) nghiệm hệ:  I   2  x y   1   1    x     Giải hệ (I) ta    y  2     22 17 10 17 ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HOÀI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH Tọa độ giao điểm (E) (H) nghiệm hệ (I) nên thỏa mãn phương trình  x2 y2   x y2  62 27         31 hay x  y     17  Vậy tọa độ giao điểm (E) (H)  22   22  10  22 10  10  22 10  , M   , M  , M    M  ;2 ;2 ;  ;    17  17  17 17  17  17 17   17    phương trình đường tròn qua điểm phương trình 62 x  y2  17 Nhận xét: Để viết phương trình đường tròn qua giao điểm (E) x y2 x2 y2   , (H)  1 a2 b2 a '2 b '2         k  0,     a a' b b'  phương trình đường tròn cần tìm x  y  k ta chọn ,  cho x y2 Ví dụ 2: Cho elip (E):   điểm I(1; 2) Viết phương trình 16 đường thẳng qua I biết đường thẳng cắt elip hai điểm A, B mà I trung điểm đoạn thẳng AB Lời giải:  Cách 1: Đường thẳng  qua I nhận u a ;b  làm vectơ phương   x   at có dạng  (với a  b  )  y   bt   A, B   suy tọa độ A, B có dạng A  (1  at1;2  bt1 ) , B  (1  at2 ;2  bt2 ) 93 ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HOÀI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH I trung điểm AB   2x I  x A  x B a  t1  t2         t1  t2  (1)     x  x  x b t  t    I A B     2 (do a  b  ) A, B   E  nên t1, t2 nghiệm phương trình (1  at )2 (2  bt )2     9a  16b  t   9a  32b  t  139  16 Theo định lý Viet ta có t1  t2   9a  32b  Ta chọn b  9 a  32 Vậy đường thẳng d có phương trình 9x  32y  73  x 1 y 2  hay 32 9 Cách 2: Vì I thuộc miền elip (E ) nên lấy tùy ý điểm A(x ; y )  (E ) đường thẳng IM ln cắt (E) điểm thứ hai B  x '; y '  I trung điểm điểm AB   2x I  x A  x B  x '   x    M '   x;  y      2x I  x A  x B y'  y       x y2   1  M , M '  (E )    16  (2  x )2 (4  y )2   1    16  4x 16  8y Suy   hay 9x  32y  73  (*) 16 Tọa độ điểm M, I thỏa mãn phương trình (*) nên đường thẳng cần tìm 9x  32y  73  Nhận xét: Bài toán tổng quát " Cho elip (E ) : x y2   a  b   a2 b2 x 02 y 02   (nghĩa điểm I thuộc miền a b2 elíp ) Viết phương trình đường thẳng qua I , biết đường điểm I (x ; y ) với ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH thẳng cắt elíp hai điểm M , M’ cho I trung điểm đoạn thẳng MM’ " Làm tương tự cách ta có phương trình đường thẳng cần tìm 4x 02  4x 0x 4y 02  4y 0y  0 a2 b2 x y2 Ví dụ 3: Cho hypebol (H):   hai đường thẳng  : x  my  0,  ' : mx  y  a) Tìm m để   ' cắt (H) hai điểm phân biệt b) Xác định m diện tích tứ giác tạo bốn giao điểm  ,  ' (H) đạt giá trị nhỏ Lời giải: a) Từ phương trình  x  my vào phương trình (H) ta  m     y  (*)  9 Suy  cắt (H) hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt hay   m2 2 2    m   m   ;     ;     9   Tương tự từ phương trình  y  mx vào phương trình (H) ta  m    x    Suy  ' cắt (H) hai điểm phân biệt  3 m2    m   m    ;   2  Vậy   ' cắt (H) hai điểm phân biệt  2 2 3 m    ;     ;      95 ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH  2 2 3 b Với m    ;     ;    ' cắt (H) bốn điểm phân     biệt (**) Dễ dàng tìm giao điểm  (H)  6m 6m 6  ; C   giao điểm  ' A  ; ;  9m  9m    9m  9m     6 6m  6m  A đối (H) B  ; ;  ; D    4m  4m    4m  4m  xứng với C B đối xứng với D qua gốc toạ độ O Mặt khác    ' tứ giác ABCD hình thoi 72  m   Suy S ABCD  AC BD   9m    4m  Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 72  m   144  m   144 S ABCD    2  9m    4m   9m      4m  Dấu xảy 9m    4m  m  1 (thỏa mãn (**)) Vậy m  1 thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y  8x Đường thẳng  không trùng với trục Ox qua tiêu điểm F (P) cho góc hợp hai tia Fx Ft tia  nằm phía trục hồnh góc     900  Chứng minh  Cắt (P) hai điểm phân biệt M, N tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN  thay đổi Lời giải: Theo giả thiết ta có F  2;  , đường thẳng  có hệ số góc k  tan  ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HOÀI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH   y   x   tan  Suy  : y   x   tan  Xét hệ phương trình   y  8x   (*) Suy tan .y  8y  16 tan   (**)  '  16  16 tan2   phương trình (**) ln có hai nghiệm phân biệt, hệ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt điều chứng tỏ  Cắt (P) hai điểm phân biệt Gọi tọa độ hai giao điểm M  x M ; yM , N  x N ; yN  ; I  x I ; yI  trung điểm MN Theo định lý Viét ta có: yM  yN  y  yN   yI  M  tan  tan  Mặt khác từ (*) ta có yM  yN   x M  x N   tan   x I  y Suy x I   I  xM  xN  2 tan2     hay yI2  4x I   Vậy tập hợp điểm I đường cong có phương trình : y  px  p2 (Cũng gọi Parapol) Bài tập luyện tập Bài 3.142: Cho (E): x y2  1 97 ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH a) Xác định m để đường thẳng d : y  x  m (E) có điểm chung b) Viết phương trình đường thẳng qua M  1;1  cắt (E) điểm A, B cho M trung điểm đoạn AB x y2   đường thẳng  : 3x  4y  12  16 a) Chứng minh  cắt (E) điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB b) Tìm toạ độ C thuộc (E) cho ABC cân A(biết hoành độ A bé hoành độ B) Bài 3.143: Cho (E): x y2   hai đường thẳng 1 : mx  nx  0, 2 : nx  my  0, m  n  Bài 3.144: Cho (E): a) Xác định giao điểm M, N 1 với (E) P, Q 2 với (E) b) Tính theo m, n diện tích tứ giác MPNQ c) Tìm điều kiện m, n để diện tích tứ giác MPNQ nhỏ Bài 3.145: (KB 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  2;  x y2   Gọi F1, F2 tiêu điểm (E) ( F1 có hồnh độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình elip (E): đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF2 Bài 3.146: Cho (H): x  4y  20 đường thẳng  : x  3y  a) Chứng minh  cắt (H) điểm phân biệt A, B Tính độ dài đoạn AB b) Tìm toạ độ điểm C thuộc (H) cho tam giác ABC có diện tích c) Lập phương trình đường thẳng d qua M  0;2  cho d cắt (H)    điểm phân biệt A, B cho 3MA  5MB  ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH Bài 3.147: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho Hypebol H  : x y2   đường thẳng d : x  3y  2007  Viết 12 phương trình tổng quát đường thẳng  biết  vng góc với d  cắt  H  hai điểm M , N thoả mãn MN  10 Bài 3.148: Cho (H): x y2   Một đường thẳng  cắt (H) M, N a2 b2 cắt hai tiệm cận P,Q Chứng minh PM  NQ Bài 3.149: Trên mặt phẳng Oxy, cho (E) elip di động x y2 nhận hai tiêu điểm hypebol (H):   làm tiêu điểm ln có điểm chung với đường thẳng  : x  y   Tìm giá trị bé độ dài trục lớn elip (E) Bài 3.150: Cho (P): y  12x đường thẳng d : mx  y  3m   m   a) Chứng minh với m  , d qua tiêu điểm (P) cắt (P) điểm phân biệt A, B b) Chứng minh đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường chuẩn (P) Bài 3.151: Cho (P): y  2px có tiêu điểm F Các đường thẳng 1, 2 qua F vng góc với 1 cắt (P) M , N ; 2 cắt (P) P , Q Chứng minh S MNPQ  p Bài 3.152: Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): y  x  2x elip x2  y  Chứng minh (P) cắt (E) bốn điểm phân biệt nằm đường tròn.Viết phương trình đường tròn (E): 99 ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH x y2   điểm M  3;2  Đường thẳng  qua M cắt (E) hai điểm phân biệt A, B cho MA  3MB , xác định tọa độ điểm A, B Bài 3.154: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Bài 3.153: Cho (E): x2 y2 d : 2x  y   elíp (E ) :   Viết phương trình đường thẳng  vng góc với d cắt (E) hai điểm A, B cho diện tích tam giác OAB  Dạng Các tốn định tính ba đường cônic Phương pháp giải Dựa vào phương trình tắc ba đường cơnic giả thiết để thiết lập chứng minh số tính chất ba đường cơnic Các ví dụ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho (E): x y2   hai điểm M, N a2 b2 thuộc (E) cho OM vng góc với ON Chứng minh a) 1 1    2 OM ON a b b) Đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố định Lời giải a) + Dễ thấy hai điểm trùng với bốn đỉnh (E) đẳng thức hiển nhiên + Nếu hai điểm không trùng với đỉnh (E): Gọi M  x M ; yM , N  x N ; yN  , k  k   hệ số góc đường thẳng OM hệ số góc ON  (vì OM vng góc với ON ) k ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH Do M , N   E  nên x M2 yM2 x N2 yN2   (1),   (2) a2 b2 a2 b2 Đường thẳng OM có phương trình y  kx suy yM  kx M (3) 1 Đường thẳng ON có phương trình y   x suy yN   x N k k (4) Thay (3) vào (1) suy  x M2 k 2x M2 k  a 2b 2     x    x    M  M a2 b2 b  a 2k  b a  yM2  k 2x M2  Do OM  x k 2a 2b a 2k  b 2 M y M a 2b  k    a 2k  b Tương tự thay (4) vào (2) suy x  N x N2  a 2k 2b 2  k    x    x    N  N a2 b2 a k 2b  a  k 2b  yN2  a 2b x  N k2 a  k 2b Do ON  x  y  2 N N a 2b  k   a  k 2b 101 ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HOÀI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH Suy a  b  k   1 1 b  k 2a a  k 2b       OM ON a 2b  k   a 2b  k   a 2b  k   a b Vậy 1 1    2 OM ON a b b) Gọi H hình chiếu O lên đường thẳng MN OH đường cao tam giác vuông MON Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có 1 1      OH  2 OH OM ON a b ab a  b2 Suy MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định tâm O bán kính ab a  b2 x y2 Ví dụ Cho hypebol (H):   có tiêu điểm F1, F2 Lấy M a b điểm (H) Chứng minh tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận số Lời giải Phương trình hai đường tiệm cận (H) là: 1 : y  b x hay bx  ay  a b 2 : y   x hay bx  ay  a ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH Giả sử M  x M ; yM  theo công thức khoảng cách từ điểm tới đường thẳng ta có d  M ; 1   bx M  ayM ; d  M ; 2   a  b2 Suy d  M ; 1 d  M ; 2   bx M  ayM a  b2 bx M  ayM a  b2 bx M  ayM a  b2  b 2x M2  a 2yM2 a  b2 x M yM Mặt khác M thuộc (H) nên :   hay b 2x M2  a 2yM2  a 2b a b Do d  M ; 1 d  M ; 2   a b số a  b2 Ví dụ Cho parabol (P): y  2ax Đường thẳng  qua tiêu điểm F có hệ số góc k  k   cắt (P) M N Chứng minh tích khoảng cách từ M N đến trục Ox số Lời giải Tiêu điểm F  a;  Vì qua tiêu điểm F có hệ số góc k  nên có  a phương trình:  : y  k  x    2 Hoành độ giao điểm  (P) nghiệm phương trình:  a k  x    2ax  4k 2x   2a  k 2a  x  k 2a  (*) 2  2  '   2a  k 2a   4k 4a  16a   k   Theo định lý Viet có x M x N  a2 Mặt khác ta có d  M ;Ox   yM ; d  N ;Ox   yN Suy d  M ;Ox  d  N ;Ox   yM yN  4a x M x N  a 103 ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HOÀI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH Bài tập luyện tập x y2   a  b   với tiêu điểm a2 b2 F1, F2 A1, A2 đỉnh trục lớn (E) M điểm tùy ý Bài 3.155: Cho elip (E): (E) có hình chiếu Ox H Chứng minh a) OM  MF1.MF2  a  b b)  MF1  MF2   OM  b  c) a 2HM  b HA1.HA2  x y2   a  b   , tiêu điểm F  c;  , a2 b2 đường thẳng  quay quanh F, cắt (E) M, N Chứng minh 1  không đổi FM FN Bài 3.156: Cho elip (E): x y2   a  b   với tiêu điểm a2 b2  F1, F2 M điểm chạy (E) Phân giác góc F1MF2 cắt F1F2 N, H Bài 3.157: Cho elip (E): hình chiếu N MF1 Chứng minh MH không đổi Bài 3.158: Cho hypebol (H): x y2   với tiêu điểm F1, F2 a2 b2 A1, A2 đỉnh trục lớn (E) M điểm tùy ý (H) có hình chiếu Ox H Chứng minh a) OM  MF1.MF2  a  b b)  MF1  MF2   OM  b  c) a 2HM  b HA1.HA2 ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH x y2   với tiêu điểm F1  c; , F2 c;  a2 b2 đường tròn (C): x  y  a ,  hai tiệm cận Bài 3.159: Cho (H): (H),  cắt (C) E1, E2  x E1  0; x E2   Một đường thẳng song song với trục tung cắt (H) M cắt  N Chứng minh NE1  MF1 ; NE  MF2 Bài 3.160: Cho parabol (P) : y  2px  p   đường thẳng  qua tiêu điểm F (P) cắt (P) hai điểm M N Gọi     i; FM         a) Tính FM , FN theo p  b) Chứng minh  quay quanh F 1  khơng đổi FM FN c) Tìm giá trị nhỏ tích FM FN  thay đổi Bài 3.161: Cho parabol (P) có đường chuẩn  tiêu điểm F Gọi M, N hai điểm (P) cho đường tròn đường kính MN tiếp xúc với  Chứng minh đường thẳng MN qua F Bài 3.162: (ĐH 2008D) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho parabol (P): y  16x điểm A  1;  hai điểm phân biệt B, C (B  C khác A) di động (P) cho góc BAC  900 Chứng minh đường thẳng BC qua điểm cố định Bài 3.163: Cho đường tròn đường kính AB tâm O Một dây cung MN chuyển động ln vng góc với AB H, I điểm thuộc đoạn HM cho HI  k HM ,  k  Tìm tập hợp điểm I 105 ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI LỚP 10; 11; 12; THPT QG 2019 GỌI 0972611 839 SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU ĐẾN HỌC SINH Bài 3.164: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y  4x M điểm di động (P) M  O , T điểm (P) cho T  O, OT vng góc với OM a Chứng minh M di động (P) đường thẳng MT ln qua điểm cố định b Chứng minh M di động (P) thì trung điểm I MT chạy parabol cố định Bài 3.165: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P ) : y  4x có   tiêu điểm F Gọi M điểm thỏa mãn điều kiện FM  3FO ; d đường thẳng qua M, d cắt (P) hai điểm phân biệt A B Chứng minh tam giác OAB tam giác vuông ... SINH hình chữ nhật I  4;5  Viết phương trình cạnh lại hình chữ nhật Bài 3.21 Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3x  y   x  y   Viết phương trình hai cạnh lại biết tâm hình. .. M x  2y   Ví dụ 3: Biết hai cạnh hình bình hành có phương trình x  y  x  3y   , tọa độ đỉnh hình bình hành  2;2  Viết phương trình cạnh lại hình bình hành Lời giải ELEPHANT MATH...   suy A  1;2  2    xB   xB    ABCD hình bình hành nên AB  DC        yB    yB    Suy B  2;  Chú ý: Bài toán có liên quan đến đường phân giác ta thường sử dụng