SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ Sáng kiến kinh nghiệm TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA Lê Thị Hằng SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI GIÚP HỌC SINH GIẢI TỐT MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐẠO HÀM Người thực hiện: Lê Thị Hằng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2018 Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Hằng MỤC LỤC I MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài trang1 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm .trang1 Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu .trang Phương pháp nghiên cứu trang II.NỘI DUNG .trang 1 Cơ sở lý luận trang Thực trạng vấn đề trang Các phương pháp tiến hành .trang Hiệu sáng kiến kinh nghiệm trang 12 III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ trang 13 1.Kết luận trang 13 2.Kiến nghị .trang 13 IV TÀI LIỆU THAM KHẢO trang 15 Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Hằng I.MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong giải tích đạo hàm cơng cụ mạnh để giải nhiều toán Giữa hàm số f(x) đạo hàm f’(x) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Điển hình đồng biến nghịch biến cực trị Đạo hàm hàm số việc biểu diễn dạng cơng thức thể thông qua đồ thị Việc dựa vào đồ thị f’(x) để tìm tính chất hàm số f(x) đưa đến cho điều thú vị toán hay Trong đề thi nay, xuất nhiều toán có giả thiết cho đồ thị hàm số f’(x) yêu cầu tính chất biến thiên cực trị số tính chất khác hàm số f(x).Một yêu cầu mẻ giống hầu hết tốn học sinh khơng nắm vững kiến thức liên quan rèn luyện thường xuyên trở thành khó Đây lí tơi chọn đề tài:”Giúp học sinh giải tốt số toán có liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm” Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Các vấn đề tơi trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh lớp 12 có cách nhìn tồn diện tốn sử dụng đồ thị hàm số f’(x)” Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu dạng tốn sử dụng đồ thị hàm số f’(x) Phạm vi nghiên cứu đề tài chương trình giải tích lớp 12 thuộc mơn tốn Trung học phổ thơng đặc biệt phần: ứng dụng đạo hàm, ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận - Tìm hiểu, quan sát - Thực nghiệm sư phạm II.NỘI DUNG Cơ sở lý luận Một số kiến thức cấn nhớ Định lí Hàm số y = f(x) có đạo hàm K a) Nếu f’(x) > với x thuộc K hàm số f’(x) đồng biến K a) Nếu f’(x) 0 tương ứng phần đồ thị nằm phía trục hoành b) Nếu f’(x) < tương ứng phần đồ thị nằm phía trục hồnh Từ ta có kết luận: Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Hằng a) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị f’(x) nằm phía trục hồnh khoảng hàm số f(x) đồng biến (tăng) b) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị f’(x) nằm phía trục hồnh khoảng hàm số f(x) đồng biến (tăng) Ta nhắc lại kết quả: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a;b) đạt cực đại cực tiểu x f’( x)=0 Từ ta suy ra, hàm số y = f(x ) đạt cực trị điểm x đồ thị hàm số y= f’(x) cắt trục hoành điểm có tọa độ (x;0) Ngược lại,nếu hàm số y = f(x ) liên tục có đạo hàm x đồ thị hàm số y= f’(x) cắt trục hồnh điểm có tọa độ (x;0) đồng thời f’(x) đổi dấu qua x x điểm cực trị hàm số y = f(x) Ngoài f’(x) đổi dấu từ dương sang âm qua x x điểm cực đại hàm số y = f(x) f’(x) đổi dấu từ âm sang dương qua x x điểm cực tiểu hàm số y = f(x) Thực trạng vấn đề Để thực đề tài tơi thực khảo sát thực tế sau: Trong đầu năm 2017 cho em học sinh lớp lớp 12 phần ơn tập mơn tốn có số tiết ơn tập phần ứng dụng đạo hàm cho học sinh lớp 12c4 12c5 làm kiểm tra khảo sát 45 phút tự chọn nâng cao Kết thu với mức điểm tính tỉ lệ phần trăm sau: Điểm Lớp Lớp 12c4 (42 HS ) Lớp 12c5 ( 42 HS ) – 2,5 – 4,5 – 6,5 – 8,5 – 10 11% 27% 42% 16,5% 3,5% 18% 36% 35% 11% 0% Các phương pháp tiến hành Vì hạn chế học sinh trình bày phần lý chọn đề tài phần khảo sát thực tiễn nên trình dạy lớp 12, bắt đầu phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với tiết học tự chọn nâng cao, lồng ghép tập liên quan đến đồ thị cảu hàm số f’(x) Nhưng thời gian khơng có nhiều, để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với phần cho học sinh số tập để em nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp cho số học sinh lên bảng làm số học sinh khác nhận xét lời giải Sau tơi phân tích lời giải cho lớp để em tìm lời giải tối ưu nhấn mạnh số điểm quan trọng bài, qua dạng Để cho việc tiếp thu học dễ dàng chia nội dung viết thành hai phần sau: Phần I: Các ví dụ đồ thị hàm số y = f ’(x) tính đồng biến nghịch biến hàm số y = f(x) Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Hằng Phần II: Các ví dụ đồ thị hàm số y = f’(x) cực trị hàm số y = f(x) PHẦN I: CÁC VÍ DỤ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f’(x) VÀ TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ y =f(x) Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình bên Hỏi hàm số y = f ( − x ) đồng biến khoảng sau đây? A ( 1;3) ( −∞; −2 ) ( 2; +∞ ) B C ( −2;1) D Giải Ta có f ( − x )  ' = f ' ( − x ) ( − x ) ' = −f ' ( − x ) > ⇔ f ' ( − x ) <  − x < −1 x > ⇔ 1 < − x <  −2 < x < Dựa vào đồ thị ta có: f ' ( − x ) < ⇔  Vậy hàm số đồng biến ( −2;1) Chọn đáp án C Ví dụ :Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục R có đạo hàm f ' ( x ) Biết hàm số f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau A Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng (−2;0) B Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) C Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −3) D Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( −3; −2 ) Giải Dựa vào đồ thị hàm số f ' ( x ) ta thấy +)f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −3; −2 ) ⇒ f ( x ) đồng biến khoảng ( −3; −2 ) nên D sai + f’(x) < x thuộc khoảng (-∞ ; -3) (-2; 0) (0 ;+∞ ) hàm số nghịch biến khoảng đó.Chọn đáp án B Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Hằng Ví dụ 3:Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm ¡ có đồ thị hàm y = f ' ( x ) hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = f ( x − ) Mệnh đề sai? A Hàm số g ( x ) nghịch biến ( −1;0 ) B Hàm số g ( x ) nghịch biến ( −∞; −2 ) C Hàm số g ( x ) nghịch biến ( 0; ) D Hàm số g ( x ) nghịch biến ( 2; +∞ ) Giải: Đáp án A   x > x >    f ' ( x − ) < 0 < x < x − < 2 ⇔ ⇔ Ta có: g ' ( x ) = f ' ( x − ) 2x < ⇔  x  f ' ( x − ) > Do hàm số nghịch biến ( −∞; −2 ) ( 0; ) Mệnh đề A sai ' Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ( x ) x2 Mệnh đề ? A Hàm số y = h ( x ) đồng biến khoảng ( −2;3) B Hàm số y = h ( x ) đồng biến khoảng ( 0; ) C Hàm số y = h ( x ) nghịch biến khoảng ( 0;1) hình bên Đặt h ( x ) = f ( x ) − D Hàm số y = h ( x ) nghịch biến khoảng ( 2; ) Giải Đáp án D.Ta có: h ' ( x ) = f ' ( x ) − x > ⇔ f ' ( x ) > x tức đồ thị f ' ( x ) nằm đường thẳng y = x  −2 < x < x > Dựa vào đồ thị suy f ' ( x ) > x ⇔  Do hàm số đồng biến khoảng ( −2; ) ; ( 4; +∞ ) nghịch biến ( 2; ) ; ( −∞;0 ) Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục R hàm số y = f ' ( x ) đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Hằng A Đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị B Hàm số y = f ( x ) nghịch biến ( 2; ) ∪ ( 6; +∞ ) C Hàm số y = f ( x ) đồng biến ( −∞; ) ( 4;6 ) D Hàm số y = f ( x ) đồng biến ( −2;8 ) Giải: Đáp án D f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −2;8 ) ⇒ y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −2;8 ) Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) hai hàm liên tục R có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) đường cong nét đậm y = g ' ( x ) đường cong nét mảnh hình vẽ Gọi giao điểm A, B, C đồ thị y = f ' ( x ) y = g ' ( x ) hình vẽ có hồnh độ a, b, c Tìm giá trị nhỏ hàm số h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) đoạn [ a;c] ? h ( x ) = h ( 0) A Min [ a;c ] Giải:Đáp án C h ( x) = h ( a) B Min [ a;c ] h ( x ) = h ( b) C Min [ a;c] h ( x ) = h ( c) D Min [ a;c] x = a  Ta có: h ' ( x ) = f ' ( x ) − g ' ( x ) = ⇔  x = b  x = c Với x ∈ [ a; b ] đồ thị g ' ( x ) nằm f ' ( x ) nên g ' ( x ) > f ' ( x ) ⇒ h ' ( x ) < hàm số nghịch biến đoạn [ a; b] Tương tự với x ∈ [ b;c] h ( x ) đồng biến h ( x ) = h ( b) Do Min [ a;c ] Ví dụ 7: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) cho hình vẽ bên Biết f ( ) + f ( 3) = f ( ) + f ( ) Giá trị nhỏ giá trị lớn f ( x ) đoạn [ 0;5] A f ( ) , f ( ) B f ( ) , f ( ) C f ( 1) , f ( ) D f ( ) , f ( ) Giải: Đáp án D Từ đồ thị y = f ' ( x ) đoạn [ 0;5] , ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) hình vẽ bên f ( x ) = f ( ) Từ giả thiết, ta có x Suy [ 0;5] f '( x) + f ( x) CT Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Hằng f ( ) + f ( 3) = f ( ) + f ( ) ⇔ f ( ) − f ( 3) = f ( ) − f ( ) Hàm số f ( x ) đồng biến [ 2;5] ⇒ f ( 3) > f ( ) ⇒ f ( ) − f ( ) > f ( ) − f ( 3) = f ( ) − f ( ) ⇔ f ( 5) > f ( ) f ( x ) = { f ( ) , f ( 5) } = f ( 5) Suy max [ 0;5] Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục đoạn [ −1; 2] , có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình sau Gọi M giá trị lớn hàm số y = f ( x ) đoạn [ −1; 2] Mệnh đề đúng?   A M = f  ÷ 2 B M = max { f ( −1) ; f ( 1) ; f ( ) } C M = f ( )   D M = f  ÷ 2 Giải :Đáp án B : f ( x ) đạt giá trị lớn f ( −1) ; f ( ) f ( xi ) mà f ′ ( xi ) = Ví dụ 9: Hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ' ( x ) hình vẽ 3 Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − x − x + x + 2017 Trong mệnh đề đây: ( I ) g ( ) < g ( 1) g ( x ) = g ( −1) ( II ) xmin ∈[ −3;1] ( III ) Hàm số g ( x ) nghịch biến ( −3; −1) g ( x ) = max { g ( −3) , g ( 1) } ( IV ) xmax ∈[ −3;1] Số mệnh đề là: A B Giải: Đáp án D C D Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Hằng 3 3  Ta có g ' ( x ) = f ' ( x ) − x − x + = f ' ( x ) −  x + x − ÷ Căn vào đồ thị ta có: 2  2 f ' ( −1) = −2 g ' ( −1) ' =   ⇒ g ' ( 1) = f ' ( 1) =   f ' ( −3) = g ' ( −3 ) = 3 Vẽ Parabol ( P ) :y = x + x − hệ trục với đồ thị hàm số y = f ' ( x ) 2 3 Ta có: Trên ( −3; −1) f ' ( x ) < x + x − nên g ' ( x ) < 0∀x ∈ ( −3; −1) 2 3 Trên ( −1;1) f ' ( x ) > x + x − nên g ' ( x ) > 0∀x ∈ ( −1;1) 2 Khi BBT hàm số g ( x ) đoạn [ −3;1] : g ( x ) = g ( −1) , g ( ) < g ( 1) , hàm số g ( x ) nghịch biến ( −3; −1) Vậy xmin ∈[ −3;1] m ax g ( x ) = max { g ( −3) , g ( −1) } x∈[ −3;1] x g '( x ) −3 −1 - + g( x) g ( −1) Ví dụ 10: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục R Biết đồ thị hàm số f’(x) hình Lập hàm số g ( x ) = f ( x ) − x − x Mệnh đề sau ? A g ( −1) > g ( 1) B g ( −1) = g ( 1) C g ( −1) = g ( ) D g ( −1) > g ( ) Giải : Đáp án D Ta có g ' ( x ) = f ' ( x ) − 2x − Phương trình g ' ( x ) = f ' ( x ) − 2x − (*) Dựa vào hình vẽ, ta thấy (*) có nghiệm phân biệt x = −1; x = 1; x = 2 Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Hằng Dựa vào vào bảng biến thiên hàm số g ( x ) suy hàm số nghịch biến ( 1; ) ⇒ g ( 1) > g ( ) PHẦN II: CÁC VÍ DỤ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f’(x) VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ f(x) Ví dụ 1: Hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ' ( x ) hình vẽ Khi số điểm cực trị hàm số A B C D Giải: Ta thấy f ' ( x ) đổi dấu qua điểm x0 ⇒ hàm số có cực trị chọn đáp án A Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) xác định R có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) đường cong hình bên Hỏi hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị? A B C D Giải : Đáp án D Do f ' ( x ) đổi dấu qua điểm nên hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị Ví dụ 3: Đồ thị sau hàm số y = f ' ( x ) Khi hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị? A B.1 C.2 D.3 Giải: Chọn D Từ đồ thị hàm số y = f '(x) , ta có bảng biến thiên x y ’ y X1 - +∞ X2 + - 10 Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Hằng Từ bảng biến thiên đồ thị hàm số, ta chọn đáp án D Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x) Hàm số y = f ′( x) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y = f ( x ) có điểm cực đại ? A B C D Giải: Đáp án C x = x =  x = − x = ⇔ ⇔  x = ±1 Ta có: y′ = xf ′( x ); y′ = ⇔   x =1  f ′( x ) =  x = ±2   x = Lập bảng xét dấu y′ suy hàm số đạt cực đại điểm x = −1; x = đạt cực tiểu điểm x = −2; x = 0; x = Ví dụ 5: Biết hàm số có đồ thị cho hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số y = f f ( x )  ? A Giải: Đáp án C B C D  x = 0; x = f ' ( x ) =  ⇔ f ( x ) = Ta có y = f f ( x )  ⇒ y ' = f ' ( x ) f ' f ( x )  = ⇔   f ' f ( x )  = f x =  ( ) Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy rằng: 11 Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Hằng Phương trình f ( x ) = có nghiệm kép x = , nghiệm đơn x = Phương trình f ( x ) = có nghiệm đơn x = x > Khi đó, coi y ' = x ( x − ) ( x − x ) ⇒ hàm số y = f f ( x )  có điểm cực trị Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) khoảng ( −∞; +∞ ) Đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ Đồ thị hàm số y = ( f ( x ) ) có điểm cực đại, điểm cực tiểu? A điểm cực đại, điểm cực tiểu B điểm cực đại, điểm cực tiểu C điểm cực đại, điểm cực tiểu D điểm cực tiểu, điểm cực đại Giải: Đáp án B f ( x ) = y = f ( x ) ⇒ y ' = 2f ( x ) f ' ( x ) y ' = ⇔   f ' ( x ) = f ( x ) = ⇔ x = 0; x = 1; x = 3; f ' ( x ) = ⇔ x = x1 , x = 1; x = x < x1 < < x < Dấu f ( x ) f ' ( x ) x −∞ +∞ x x 1 f '( x ) + f '( x ) - - - - + - - + + + y' 0 0 + + + x = 0; x = 1; x = Từ bảng xét dấu y’ ta có hàm số đạt cực tiểu , đạt cực đại x = x1 x = x Hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu Ví dụ 7: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ sau: Số điểm cực trị hàm số y = f ( x − 2017 ) − 2018 x + 2019 là: A B C D Giải: Đáp án B Ta có: y = f ( x − 2017 ) − 2018 x + 2019 ⇒ y ' ( x − 2017 ) ( x − 2017 ) '− 2018 = f ' ( x − 2017 ) − 2018 Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) suy PT f ' ( x − 2017 ) = f ( t ) = 2018 có nghiệm bội lẻ Suy hàm số y = f ( x − 2017 ) − 2018x + 2019 có điểm cực trị 12 Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Hằng Ví dụ 8: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y = f ( x + 2018 ) + m có điểm cực trị Tổng tất giá trị phần tử tập S A B C D Giải : Đáp án A Đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị ⇒ Đồ thị hàm số y = f ( x + 2018) có điểm cực trị Dựa vào ĐTHS y = f ( x ) ⇒ y = f ( x + 2018 ) có điểm cực trị Do đó, để hàm số y = f ( x + 2018) + m có điểm cực trị ≤ m2 ≤ Kết hợp với điều kiện m∈ R suy m = { 3; 4} Chú ý: Đồ thị hàm số y = f ( x ) + C cho cách tịnh tiến đồ thị hàm số theo trục Oy C đơn vị Ví dụ 9: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Tìm tập hợp tất giá trị m để đồ thị hàm số y = f ( x + m ) có điểm cực trị A m < B m > C m > −2 Giải: Đáp án D Dựa vào đồ thị hàm số, dễ thấy hàm số f ( x ) = x + 3x − D m < −2 Xét hàm số f ( x + m ) = ( x + m ) + ( x + m ) − với x∈ R Chú ý : Cực trị điểm làm y ' đổi dấu f ( x ) = x = x ⇒ f ' ( x ) = 2x x2 = x x 13 Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Hằng x Do f ( x + m ) = ( x + m ) ( x + m ) +  x Khi y = f ( x + m ) = có điểm cực  x +m=0 trị  có nghiệm phân biệt  x + m + = −m > ⇔ m < −2   −2 − m >  x = −m  có nghiệm  x = −2 − m Cách 2: Đồ thị hàm số y = f ( x + m ) suy từ y = f ( x ) → y = f ( x + m ) → y = f ( x + m ) Đồ thị hàm số muốn có điểm cực trị bước thứ 1ta dịch chuyển đồ thị sang phải nhiều đơn vị m < −2 Ví dụ 10: Hình vẽ bên đồ thị (C) hàm số y = f (x) Giả sử m tham số thực nhận giá trị thuộc nửa khoảng ( 0;3 Hỏi hàm số y = f (x − 1) + m có điểm cực trị A điểm B điểm C điểm D điểm Giải: Chọn đáp án A Nhận xét: Số giao điểm (C ) : y = f (x) với Ox số giao điểm (C '): y = f (x − 1) với Ox Vì m> nên (C ''): y = f (x − 1) + m có cách tịnh tiến (C ''): y = f (x − 1) lên m đơn vị TH1: < m< Đồ thị hàm số có điểm cực trị TH2: m= Đồ thị hàm số có điểm cực trị Đáp án A Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong trình thực đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm số tập người giáo viên nắm bắt tình hình tiếp thu học Nhưng để có kết luận tồn diện nên cuối học kỳ I năm học 2017 – 2018 14 Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Hằng học sinh học song phần liên quan đến nội dung viết cho lớp 12c4 , 12c6 , 12c5 12c9 làm kiểm tra 55 phút Trong hai lớp 12c4 12c5 lớp thực nghiệm trình triển khai đề tài hai lớp 12c6 12c9 lớp đối chứng không tham gia việc triển khai đề tài Lớp thực nghiệm: Điểm 1 – 2,53 – 4,5 – 6,5 Lớp Lớp 12c4 0% 5,5% 29% ( 42 HS ) Lớp 12c5 2% 9% 35% ( 42 HS ) – 8,5 – 10 38,5% 27% 36% 18% Lớp đối chứng: Điểm Lớp Lớp 12c5 ( 42 HS ) Lớp 12c9 ( 42 HS ) – 2,5 – 4,5 – 6,5 – 8,5 – 10 11% 24% 44,5% 18,5% 2% 13% 28% 44% 15% 0% Căn vào kết kiểm tra hai lớp thực nghiệm trước sau thực đề tài sáng kiến Đối chiếu so sánh kết làm hai lớp thực nghiệm hai lớp lại khơng tham gia thực nghiệm ta thấy: Với nội dung trình bày viết giúp em học sinh lớp 12 thấy liên hệ chặt chẽ hàm số f(x) đạo hàm f’(x) phạm vi tốn học THPT góp phần đáng kể hỗ trợ cho em học sinh việc ôn thi vào Đại học III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 1.KẾT LUẬN Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 số tự chọn nâng cao, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm giúp cho học sinh thấy liên hệ chặt chẽ hàm số f(x) đạo hàm f’(x) nó, giúp học sinh có lập luận chặt chẽ gặp toán sử dụng đồ thị hàm f’(x) 2.KIẾN NGHỊ Mặc dù Sách giáo khoa giảm tải nhiều đề thi tuyển sinh vào đại học có nhiều khó phát triển từ tập sách giáo khoa, nên mong muốn với lần xuất tới, sau chương ứng dụng đạo 15 Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Hằng hàm để khảo sát hàm số Sách tập giải tích 12 có thêm tập tự luyện (có hướng dẫn) liên quan đến đồ thị hàm số f’(x) Với thời gian ngắn, tuổi nghề chưa nhiều nên việc thực đề tài khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong góp ý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Thị Hằng 16 Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Hằng IV TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo viên , Sách giáo khoa Sách tập Giải tích 12, theo chương trình chuẩn chương trình nâng cao nhà xuất Giáo Dục Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường Đai học Cao đẳng từ năm 2017 nhà xuất Hà Nội 17 ... tài: Giúp học sinh giải tốt số tốn có liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Các vấn đề tơi trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh lớp 12 có cách nhìn tồn diện toán sử... cho học sinh lớp 12 số tự chọn nâng cao, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm giúp cho học sinh thấy liên hệ chặt chẽ hàm số f(x) đạo hàm f’(x) nó, giúp học sinh có. .. y’ ta có hàm số đạt cực tiểu , đạt cực đại x = x1 x = x Hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu Ví dụ 7: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ sau: Số điểm