A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài: Thực tế giảng dạy cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp sẽ kích thích được hứng thú học tập của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội được tri thức một cách chủ động và đạt được mục đích học tâp Việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với một nội dung kiến thức nhất định là đặc biệt quan trọng Nó giúp người thầy có được sự định hướng việc giảng dạy - tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh Nó giúp người học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức đó và vận dụng vào làm bài thi đạt được kết quả cao nhất Trong đề thi THPT QG năm qua, các bài toán chủ đề hàm số chiếm một tỷ lệ đáng kể và gây không ít khó khăn cho học sinh Trong quá trình giảng dạy nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn học các nội dung chủ đề hàm số nói chung và chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt là các bài toán mức độ vận dụng và vận dụng cao Đặc biệt là từ Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn Toán, đòi hỏi học sinh khơng phải có kiến thức sâu, rợng mà phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất Để giúp học sinh có cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất việc giải các bài toán cực trị của hàm số, chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải số dạng toán trắc nghiệm chủ đề cực trị hàm số” II Mục đích nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm cung cấp thêm cho học sinh cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất việc giải các bài toán cực trị của hàm số; từ đó bước tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề cực trị của hàm số III Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu, tìm tòi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắc nghiệm chủ đề “Cực trị hàm số” IV Đối tượng khách thể nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: các phương pháp giải bài toán trắc nghiệm chủ đề “Cực trị hàm số” Khách thể nghiên cứu: học sinh hai lớp 12A5 và 12A9 V Phạm vi nghiên cứu: Các dạng toán: tìm số điểm cực trị của hàm số; tìm điều kiện của tham số m để hàm số có n điểm cực trị; tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 VI Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp điều tra thực tiễn - Phương pháp đối chứng - Phương pháp nghiên cứu tài liệu VII Cấu trúc SKKN A Đặt vấn đề I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Đối tượng và khách thể nghiên cứu V Phạm vi nghiên cứu VI Phương pháp nghiên cứu VII Cấu trúc của SKKN B Nội dung I Cơ sở lý thuyết II Một số dạng toán III Các biện pháp tiến hành để giải quyết vấn đề IV Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm C Kết luận và đề xuất I Kết luận II Đề xuất B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý thuyết: Khái niệm cực trị hàm số : Giả sử hàm số xác định tập hợp D ( D ⊂ R) và x0 ∈ D x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 ( a; b ) ⊂ D cho: f   f ( x) < f ( x0 ), ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 } Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( a; b ) chứa điểm ( a; b ) ⊂ D x0 cho:   f ( x) > f ( x0 ) ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 } Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Như : Điểm cực trị phải là một điểm của tập hợp D y Điểm cực đại Điểm cực tiểu Điểm cực tiểu x O Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay cực trị ) của hàm số Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó , nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f ' ( x0 ) = Chú ý : • Đạo hàm f ' triệt tiêu tại điểm x0 hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0 • Hàm số đạt cực trị tại mợt điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm • Hàm số đạt cực trị tại mợt điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số , hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 và có đạo hàm các khoảng ( a; x0 ) và ( x0 ; b ) Khi đó :  f ' ( x0 ) < 0, x ∈ ( a; x0 ) Nếu  thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0  f ' ( x0 ) > 0, x ∈ ( x0 ; b ) x a x0 b − + f '( x) f (a) f (b) f ( x) f ( x0 )  f ' ( x0 ) > 0, x ∈ ( a; x0 ) Nếu  thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0  f ' ( x0 ) < 0, x ∈ ( x0 ; b ) x a x0 b − + f '( x) f ( x0 ) f ( x) f (a) f (b) Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 , f ' ( x0 ) = và f có đạo hàm cấp hai khác tại điểm x0 Nếu f '' ( x0 ) < thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 Nếu f '' ( x0 ) > thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 Chú ý : Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm ( x0 ; f ( x0 )) được gọi là điểm cực trị đồ thị hàm số f  f '( x0 ) = Trong trường hợp f '( x0 ) = không tồn tại hoặc  thì định lý không dùng được  f ''( x0 ) = 4.Tịnh tiến đồ thị Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) Khi đó, với số a > ta có: a) Nếu tịnh tiến ( C ) theo phương của x = a lên a đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f ( x) + a b) Nếu tịnh tiến ( C ) theo phương của x = a xuống dưới a đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f ( x) − a c) Nếu tịnh tiến ( C ) theo phương của y = a qua trái a đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f ( x + a ) d)Nếu tịnh tiến ( C ) theo phương của y = a qua phải a đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f ( x − a) e) Đồ thị của hàm số y = f ( x ) có được cách: giữ nguyên đồ thị (C) bên phải Oy, bỏ đồ thị (C) bên trái Oy, lấy đối xứng đồ thị (C) phần bên phải Oy qua Oy f) Đồ thị của hàm số y = f ( x ) có được cách: giữ nguyên đồ thị (C) bên Ox, bỏ đồ thị (C) bên dưới Ox, lấy đối xứng đồ thị (C) phần bên dưới Ox qua Ox g) Đồ thị của hàm số y = f ( x + a ) có được cách vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) tịnh tiến đồ thị y = f ( x ) theo phương của Ox qua trái a đơn vị h) Đồ thị của hàm số y = f ( x − a ) có được cách vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) tịnh tiến đồ thị y = f ( x ) theo phương của Ox qua phải a đơn vị i) Đồ thị của hàm số y = f ( x + a ) có được cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị lấy đối xứng qua trục Oy k) Đồ thị của hàm số y = f ( x − a ) có được cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị lấy đối xứng qua trục Oy Quan hệ cực trị hàm số phép biến đổi đồ thị a) Nếu đồ thị hàm số y = f ( x) có n điểm cực trị có hoành độ dương(các điểm cực trị nằm bên phải Oy) thì đồ thị hàm số y = f ( x ) có 2n + điểm cực trị b) Nếu đồ thị hàm số y = f ( x) có n điểm cực trị và phương trình f ( x ) = có m nghiệm bội lẻ thì đồ thị hàm số y = f ( x) có m + n điểm cực trị c) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( ax + b ) + c số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x) d) Khi tịnh tiến đồ thị thì số điểm cực trị khơng thay đổi II Một số dạng tốn: Dạng 1: Cho đồ thị hàm số f ( x) Hỏi số điểm cực trị đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối liên quan đến f ( x) Phương pháp: Sử dụng các kết quả của mục I.5 Câu Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Hỏi hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị? A B C D Lời giải Ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x) có điểm cực trị có hoành độ dương nên đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị Câu Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ sau: Hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị? Hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị? Hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị? Lời gải Đồ thị hàm số y = f ( x) có điểm cực trị có hoành độ dương nên hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị Đồ thị hàm số y = f ( x) có điểm cực trị và phương trình f ( x) = có nghiệm đơn nên hàm số y = f ( x) có điểm cực trị Đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị và phương trình f ( x ) = có nghiệm đơn nên hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị Câu Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên dưới ( x + m ) có điểm cực trị Tìm m để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có điểm cực trị Tìm m để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có điểm cực trị Tìm m để hàm số g ( x ) = f Ta có BBT của hàm số f ( x ) : Lời giải Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có được cách: + Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) + Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị được đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x + m ) Ta thấy: Hàm số y = f ( x) có điểm cực trị đó có cực trị dương ⇒ f ( x ) có điểm cực trị ⇒ f ( x + m ) có điểm cực trị với mọi m Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có được cách: + Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị được đồ thị hàm số y = f ( x + m ) + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = f ( x + m ) nằm bên phải Oy qua Oy được đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x + m ) Từ đó ta thấy: để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có điểm cực trị thì hàm số y = f ( x + m ) phải có cực trị dương ⇔ tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x) theo phương của Ox sang phải lớn đơn vị và không quá đơn vị ⇔ −2 ≤ m < −1 Vậy −2 ≤ m < −1 Để hàm số g ( x ) = f ( x − m ) có điểm cực trị thì hàm số y = f ( x − m ) phải có cực trị dương ⇔ tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x) theo phương của Ox (sang phải hoặc trái) phải thỏa mãn: • Tịnh tiến sang phải không quá đơn vị ⇔ ≥ m ≥ −1 • Tịnh tiến sang trái nhỏ đơn vị ⇔ ≤ m < Vậy −1 ≤ m < Câu Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên dưới ( x + m ) có điểm cực trị Tìm m để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có điểm cực trị Tìm m để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có điểm cực trị Tìm m để hàm số g ( x ) = f Ta có BBT của hàm số f ( x ) : Lời giải Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có được cách: + Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = f ( x) bên phải Oy qua Oy được đồ thị hàm số y = f ( x ) + Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị được đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x + m ) Ta thấy: Hàm số y = f ( x) có điểm cực trị đó có cực trị dương ⇒ f ( x ) có điểm cực trị ⇒ f ( x + m ) có điểm cực trị với mọi m Vậy không có giá trị nào của m để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có điểm cực trị Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có được cách: + Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị được đồ thị hàm số y = f ( x + m ) + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = f ( x + m ) nằm bên phải qua Oy được đồ thị hàm số g ( x) = f ( x + m) Từ đó ta thấy: để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có điểm cực trị thì hàm số y = f ( x + m ) phải có cực trị dương ⇔ tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x) theo phương của Ox sang phải lớn đơn vị ⇔ m < Vậy m < Để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có điểm cực trị thì hàm số y = f ( x + m ) phải có cực trị dương ⇔ tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x) theo phương của Ox trái nhỏ đơn vị ⇔ ≤ m < Vậy ≤ m < Dạng 2: Cho đồ thị f ' ( x ) Hỏi số điểm cực trị hàm số f u ( x )  Phương pháp: + Từ đồ thị hàm số f ' ( x ) tìm hoành độ giao điểm của đồ thị f ' ( x ) với trục hoành + Tính đạo hàm của hàm số g ( x) = f u ( x )  + Dựa vào đồ thị của f ' ( x ) và biểu thức của g ' ( x ) để xét dấu g ' ( x ) Câu Đường cong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là A B C D Lời giải Ta thấy đồ thị hàm số f ′ ( x ) có điểm chung với trục hoành x1 ; 0; x2 ; x3 cắt thực sự tại hai điểm là và x3 Bảng biến thiên Vậy hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị Chọn A Cách trắc nghiệm Ta thấy đồ thị của f ' ( x ) có điểm chung với trục hoành cắt và "băng qua" trục hoành có điểm nên có hai cực trị  Cắt và "băng qua" trục hoành từ xuống thì đó là điểm cực đại  Cắt và "băng qua" trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu Câu Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x − 3) A B C D Lời giải Ta có g ′ ( x ) = xf ′ ( x − 3) ; x = x = x =   theo thi f '( x ) g′( x ) = ⇔  ¬ → x − = −2 ⇔  x = ±1  ′ f x − = ( )   x − = ( nghiem kep )  x = ±2 ( nghiem kep )   Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B Chú ý: Dấu của g ′ ( x ) được xác định sau: Ví dụ xét khoảng ( 2; +∞ ) ( 1)  x ∈ ( 2; +∞ ) → x > theo thi f '( x ) → x − >  → f ′ ( x − 3) > ( 2)  x ∈ ( 2; +∞ ) → x >  Từ ( 1) và ( ) , suy g ′ ( x ) = xf ′ ( x − 3) > khoảng ( 2; +∞ ) nên g ′ ( x ) mang dấu + Nhận thấy các nghiệm x = ±1 và x = là các nghiệm bội lẻ nên g ′ ( x ) qua nghiệm đổi dấu; các nghiệm x = ±2 là nghiệm bội chẵn (lí dựa vào đồ thị ta thấy f ′ ( x ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ nên qua nghiệm không đổi dấu Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục R và f ( ) < 0, f ( 1) > 0, đồng thời đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên dưới Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x ) là A B C D Lời giải  x = −2 Bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) : Dựa vào đồ thị, ta có f ′ ( x ) = ⇔   x = ( nghiÖm kÐp)  x = −2   f ′ ( x ) = theo BBT f ( x )  x = ( nghiƯm kÐp) ¬  → Xét g ′ ( x ) = f ′ ( x ) f ( x ) ; g ′ ( x ) = ⇔  x = a a < − ( ) f x = ( )    x = b ( < b < 1) Bảng biến thiên của hàm số g ( x ) Vậy hàm số g ( x ) có điểm cực trị Chọn C Chú ý: Dấu của g ′ ( x ) được xác định sau: Ví dụ chọn x = ∈ ( −1; b ) ( 1) ( 2)  Theo giả thiết f ( ) < Từ ( 1) và ( ) , suy g ′ ( ) < khoảng ( −1; b ) theo thi f '( x )  x =  → f ′ ( ) > Nhận thấy x = −2; x = a; x = b là các nghiệm đơn nên g ′ ( x ) đổi dấu qua các nghiệm này Nghiệm x = là nghiệm kép nên g ′ ( x ) không đổi dấu qua nghiệm này, bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm x = không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của g ′ ( x ) Dạng 3: Cho đồ thị f ' ( x ) Hỏi số điểm cực trị hàm số f u ( x )  + v ( x ) Phương pháp: + Từ đồ thị hàm số f ' ( x ) tìm hoành độ giao điểm của đồ thị f ' ( x ) với trục hoành + Tính đạo hàm của hàm số g ( x) = f u ( x )  + v ( x ) + Dựa vào đồ thị của f ' ( x ) và biểu thức của g ' ( x ) để xét dấu g ' ( x ) Chú ý: * Nếu khoảng ( a; b ) đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm đồ thị hàm số −v '( x) thì g '( x) = f '( x) + v '( x) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) * Nếu khoảng ( a; b ) đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm dưới đồ thị hàm số −v '( x) thì g '( x) = f '( x) + v '( x) < 0, ∀x ∈ ( a; b ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên dưới Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x − 2017 ) − 2018 x + 2019 là A B C D Lời giải Ta có g ′ ( x ) = f ' ( x − 2017 ) − 2018; g ′ ( x ) = ⇔ f ' ( x − 2017 ) = 2018 Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) suy phương trình f ' ( x − 2017 ) = 2018 có nghiệm đơn nhất Suy hàm số g ( x ) có điểm cực trị Chọn A Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên dưới Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x ) + x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới ? A x = C x = B x = D Không có điểm cực tiểu Lời giải Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + 1; g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = −1 10  ∆′ = m − >  Trường hợp Phương trình ( 1) có hai nghiệm âm phân biệt ⇔  S = −2m < ⇔ m > P = >  m Trường hợp này không có giá trị thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp Phương trình ( 1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆′ = m − ≤ m∈¢ ⇔ − ≤ m ≤  → m ∈ { −2; −1} Chọn A − Dạng 6: Cho đồ thị f ( x ) Hỏi số điểm cực trị hàm số f u ( x )  Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R và có đồ thị hình bên Đồ thị của hàm số g ( x ) =  f ( x )  có điểm cực đại, điểm cực tiểu ? A điểm cực đại, điểm cực tiểu B điểm cực đại, điểm cực tiểu C điểm cực đại, điểm cực tiểu D điểm cực đại, điểm cực tiểu Lời giải  x = a ( < a < 1) x =   Dựa vào đồ thị, ta có f ( x ) = ⇔  x = 1( nghiem kep ) và f ′ ( x ) = ⇔  x =  x = b ( < b < 3)  x =   x = a ( < a < 1)  x =  x = b ( < b < 3)  f ′( x) = ⇔ Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) f ( x ) ; g ′ ( x ) = ⇔  x =  f ( x ) =   x = ( nghiem boi ) x =  Bảng biến thiên 16 Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g ( x ) có điểm cực đại, điểm cực tiểu Chọn C Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R và có đồ thị hình vẽ bên Hàm số g ( x ) = f  f ( x )  có điểm cực trị ? A B C D Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy f ( x ) đạt cực trị tại x = 0, x =  x = ( nghiem don ) Suy f ′ ( x ) = ⇔   x = ( nghiem don )  f ′( x) = ′ ′ ′ ′ g x = f x f  f x  ; g x = ⇔  ( ) ( ) ( ) ( ) Ta có    f ′  f ( x )  =  x = ( nghiem don )  f ( x ) = ( 1)  f ′  f ( x )  = ⇔   f ′( x) = ⇔  x = nghiem don f x = 2 ( ) ( ) ( )   Dựa vào đồ thị suy ra:  Phương trình ( 1) có hai nghiệm x = (nghiệm kép) và x = a ( a > )  Phương trình ( ) có một nghiệm x = b ( b > a ) Vậy phương trình g ′ ( x ) = có nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b Suy hàm số g ( x ) = f  f ( x )  có điểm cực trị Chọn B Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R và có đồ thị hình vẽ bên dưới Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x) −3 f ( x) 17 A B C Lời giải D f ( x) f ( x) Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x )  ln − ln 3 ;  f ′( x) =  f ′( x) = ( 1)  f ′( x) =   g′( x ) = ⇔  f x ⇔   f ( x ) ln ⇔  ln f ( x) ( ) f x = log < − ( ) ( ) =  ln − ln =  ÷  ln ln   Dựa vào đồ thị ta thấy:  ( 1) có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị) → phương trình ( ) vô nghiệm  f ( x ) ≥ −1, ∀x ∈ R  ( ) ( ) Vậy hàm số g ( x ) = − có điểm cực trị Chọn B Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R và có đồ thị hình vẽ bên dưới Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) + có tổng tung độ của các điểm cực trị f x A f x B C D Lời giải Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) + có được cách  Tịnh tiến đề thị hàm số f ( x ) lên đơn vị ta được f ( x ) +  Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số f ( x ) + qua Ox, ta được f ( x ) + Dựa vào đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) + , suy tọa độ các điểm cực trị là ( −1;0 ) , ( 0;4 ) , ( 2;0 )  → tổng tung độ các điểm cực trị + + = Chọn C Dạng 7: Cho bảng biến thiên hàm f ( x ) Hỏi số điểm cực trị hàm f u ( x )  Câu Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục R và có bảng biến thiên sau Hàm số g ( x ) = f ( x ) + đạt cực tiểu tại điểm nào sau ? 18 A x = −1 Ta có g ′ ( x ) = f ' ( x ) B x = C x = ±1 Lời giải D x = Do đó điểm cực tiểu của hàm số g ( x ) trùng với điểm cực tiểu của hàm số f ( x ) Vậy điểm cực tiểu của hàm số g ( x ) là x = ±1 Chọn C Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ bên dưới Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x + 1) có điểm cực trị ? A B C 2 Lời giải Ta có g ′ ( x ) = x f ′( x + 1) ; D x = x =  x = ( nghiÖm ®¬n)  theo BBT g′( x ) = ⇔  ¬  → x + = − ⇔ ⇔ x = ( nghiƯm béi lỴ )   x = nghiÖ m kÐ p ( )   f ′( x + 1) =   x2 + =  Vậy g ′ ( x ) = có nhất nghiệm bội lẻ x = nên hàm số g ( x ) có điểm cực trị Chọn B Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( − x ) A B C Lời giải ′ ′ Ta có g ( x ) = − f ( − x ) D 3 − x = x = theo BBT → ⇔  g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( − x ) = ¬  3 − x = x =  g ′ ( x ) không xác định ⇔ − x = ⇔ x = Bảng biến thiên 19 Vậy hàm số g ( x ) = f ( − x ) có điểm cực trị Chọn B Dạng 8: Cho biểu thức f ( x, m ) Tìm m để hàm số f u ( x )  có n điểm cực trị Câu Cho hàm số f ( x ) = x − ( 2m − 1) x + ( − m ) x + với m là tham số thực Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số g ( x ) = f ( x ) có điểm cực trị A −2 < m < B − < m < 5 < m < D < m ≤ 4 Lời giải Ta có f ′ ( x ) = 3x − ( 2m − 1) x + − m Hàm số g ( x ) = f ( x ) có điểm cực trị ⇔ hàm số f ( x ) ⇔ f ′( x) = có hai cực trị dương có hai nghiệm dương phân biệt C  ( 2m − 1) − ( − m ) > ∆ >    ( 2m − 1) ⇔ S > ⇔  >0 ⇔ < m < Chọn C P >   2 − m  > Câu Cho hàm số f ( x ) = mx − 3mx + ( 3m − ) x + − m với m là tham số thực Có giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −10;10] để hàm số g ( x ) = f ( x ) có điểm cực trị ? A B C 10 D 11 Lời giải Để g ( x ) = f ( x ) có điểm cực trị ⇔ f ( x ) = có nghiệm phân biệt ( *) x = Xét f ( x ) = ⇔ ( x − 1) ( mx − 2mx + m − ) = ⇔  mx − mx + m − = ( )   m≠0  Do đó ( *) ⇔ phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔  ∆′ = m − m ( m − ) >  f ( 1) = −2 ≠  m∈¢ ⇔ m >  → m ∈ { 1; 2; 3; ; 10} Chọn C m∈[ −10;10] Câu Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị nhận hai điểm A ( 0;3) và B ( 2; −1) 2 làm hai điểm cực trị Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số g ( x ) = ax x + bx + c x + d A B C D 11 Lời giải 20 2 Ta có g ( x ) = ax x + bx + c x + d = f ( x ) Hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị đó có một điểm cực trị và một điểm cực trị dương  → hàm số f ( x ) có điểm cực trị ( 1) Đồ thị hàm số f ( x ) có điểm cực trị A ( 0;3) ∈ Oy và điểm cực trị B ( 2; −1) thuộc góc phần tư thứ IV nên đồ thị f ( x ) cắt trục hoành tại điểm (1 điểm có hoành độ âm, điểm có hoành độ dương)  → đồ thị hàm số f ( x ) cắt trục hoành tại điểm phân biệt ( ) Từ ( 1) và ( ) suy đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) có điểm cực trị Chọn B Cách Vẽ phát họa đồ thị f ( x ) suy đồ thị f ( x ) , tiếp tục suy đồ thị f ( x ) Câu Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = x + 3x − + m có ba điểm cực trị A m = hoặc m = −1 B m ≥ hoặc m ≤ −3 C ≤ m ≤ D m ≥ hoặc m ≤ −1 Lời giải Xét hàm số f ( x) = x + x − + m x = Ta có: f '( x) = x + x; f '( x) = ⇔   x = −2 Do số điểm cực trị của hàm số y = x + 3x − + m tổng số điểm cực trị của hàm số f ( x) = x3 + x − + m và số nghiệm của phương trình f ( x) = x + x − + m = ( *) (không kể nghiệm bội chẵn) Khi đó yêu cầu bài toán trở thành (*) có một nghiệm (không kể nghiệm và – là các nghiệm bội chẵn và là các điểm cực trị của hàm số f ( x) ) m + ≤  m ≤ −1 ⇔ Dựa vào bảng biến thiên ta có:  Chọn D m − ≥ m ≥ Câu Có giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −9;9] để hàm số y = mx3 − 3mx + ( 3m − ) x + − m có điểm cực trị? A 11 B 10 C D Lời giải Xét hàm số f ( x) = mx − 3mx + ( 3m − ) x + − m Do hàm số y = f ( x) có tối đa điểm cực trị và phương trình f ( x) = có tối đa nghiệm nên để hàm số y = mx − 3mx + ( 3m − ) x + − m có điểm cực trị thì phương trình f ( x) = có 21 nghiệm phân biệt ( vì f ( x) = có nghiệm phân biệt thì hàm số y = f ( x) có điểm cực trị) Ta có: f ( x) = ⇔ mx − 3mx + ( 3m − ) x + − m = ⇔ ( x − 1) ( mx + 2mx + m − ) = x = ⇔  g ( x) = mx + 2mx + m − ( *) Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (*) phải có nghiệm phân biệt khác m ≠ m > m ∈Z   ⇔ ∆ ' = 2m > ⇔ →m ∈{ 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} Chọn D  m ∈ − 9;9 m ≠ [ ] g (1) = 4m − ≠    Dạng 9: Tìm m để hàm số đạt cực trị x = x0 Bổ đề: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp liên tục D x0 ∈ D Giả sử n +1 f '( x) = ( x − x0 ) h( x) với h ( x0 ) ≠ 0, n ∈ N Đặt g ( x) = ( x − x0 ) h( x) Khi đó: Nếu g '( x0 ) > f’(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 Nếu g '( x0 ) < f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 b) Chứng minh a) Vì g '( x) liên tục D và g '( x0 ) > nên ∃( a; b ) ⊂ D cho x0 ∈ ( a; b ) và g '( x) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) Vì h( x0 ) ≠ nên g ( x) = có nghiệm đơn x = x0 ⇒ g ( x) đổi dấu x qua x0 Ta có BBT: a) Suy g ( x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 Vì f '( x) = ( x − x0 ) g ( x) nên dấu của f '( x) cùng dấu với dấu của g ( x) ⇒ dpcm a) Chứng minh tương tự Áp dụng bổ đề vào toán cực trị ta có: KQ1: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp liên tục D x0 ∈ D Giả sử n +1 f '( x) = ( x − x0 ) h( x) với h ( x0 ) ≠ 0, n ∈ N Đặt g ( x) = ( x − x0 ) h( x) Khi đó: 2n a) g '( x0 ) > ⇔ hàm số đạt cực tiểu x0 b) g '( x0 ) < ⇔ hàm số đạt cực đại x0 Chứng minh a) Ta có: từ giả thiết ⇒ g '( x0 ) ≠ • Nếu g '( x0 ) > thì theo bổ đề f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 ⇒ x = x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x) 22 • Nếu f(x) đạt cực tiểu tại x = x0 thì ta cần chứng minh g '( x0 ) > Thật vậy, giả sử g '( x0 ) < đó, theo bổ đề thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 ⇒ x = x0 là điểm cực đại của hàm số f(x) ⇒ trái giả thiết Vậy g '( x0 ) > b) Chứng minh tương tự 2n KQ2: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm D x0 ∈ D Nếu f '( x) = ( x − x0 ) h( x) điều kiện cần để f(x) đạt cực trị x = x0 h(x0) = Câu Có số nguyên m ∈ ( −2018;2019 ) để hàm số y = x − 2mx + ( m + 1) x + đạt cực tiểu tại x = A 2018 B 2019 C 3016 D 3015 Lời giải 3 y ' = x − 10mx + ( m + 1) x = x ( x − 10mx + 4m + ) Đặt h( x) = x3 − 10mx + 4m + g ( x) = x ( x3 − 10mx + 4m + ) ⇒ g '( x) = 24 x − 20mx + 4m + TH1: Xét h( x) = có nghiệm x = ⇔ m = −1 4 Với m = -1 ⇒ y ' = x + 10 x = x ( x + 10 ) ⇒ x = không là cực tiểu TH2: h(0) ≠ Khi đó f ( x) đạt cực tiểu tại x = ⇔ g '(0) > ⇔ 4m + > ⇔ m > −1 Chọn B Câu Có giá trị của m để hàm số y = x − ( m − ) x + m − đạt cực tiểu tại x=0 A B C D Lời giải 2 2 y ' = x − ( m − ) x = x ( x − 3m + 27 ) Đặt h( x) = x − 3m + 27 Điều kiện cần để HS đạt cực tiểu tại x = là h(0) = ⇔ m = ±3 Với m = ±3 ⇒ y ' = x ⇒ x = là cực tiểu Chọn A Câu (Đề thi thức năm 2018) Có tất cả giá trị nguyên của m để hàm số y = x8 + ( m − ) x − ( m − ) x + đạt cực tiểu tại x = A B C Lời giải 3 y ' = x + ( m − ) x − ( m − ) x = x ( x + ( m − ) x − 4m + 16 ) D Vô số Đặt: h( x) = x + ( m − ) x − 4m + 16 g ( x) = x ( x + ( m − ) x − 4m + 16 ) = x + ( m − ) x − ( 4m − 16 ) x ⇒ g '( x) = 40 x + 10 ( m − ) x − 4m + 16 TH1: Xét h( x) = có nghiệm x = ⇔ m = ±2 + Với m = ⇒ y ' = x ⇒ x = là cực tiểu 4 + Với m = - ⇒ y ' = x ( x − 20 ) ⇒ x = không là cực tiểu TH2: h(0) ≠ Khi đó 23 f ( x) đạt cực tiểu tại x = ⇔ g '(0) > ⇔ −4m + 16 > ⇔ −2 < m < Vì m ∈ Z ⇒ m ∈ { −1;0;1} Vậy m ∈ { −1;0;1;2} Chọn C Câu Có số nguyên m ∈ ( −10;10 ) để hàm số y = − x + ( m + ) x − ( m + ) x + m x + 2m đạt cực đại tại x = A B C D Lời giải 2 2 y ' = −4 x + ( m + ) x − ( m + ) x + m = ( x − 1) ( −4 x + m ) Đặt: h( x) = −4 x + m Điều kiện cần đề HS đạt cực đại tại x = là h(1) = ⇔ m = ±2 Với m = ±2 ⇒ y ' = −4 ( x − 1) ⇒ x = là cực đại Chọn B III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Để thực đề tài này tìm đọc rất nhiều tài liệu viết vấn đề này, nghiên cứu lời giải cho dạng toán, lựa chọn bài tập phù hợp với phương pháp đưa để giúp học sinh giải quyết bài toán tốt IV Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Qua nhiều năm giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm nhận thấy để dạy cho học sinh học tốt các nội dung cực trị của hàm số thì cần phải giúp cho học sinh nắm vững hệ thống lý thuyết các định nghĩa, định lý, hệ quả các phương pháp giải toán Nắm vững các yếu tố sẽ giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi, học sinh tiếp thu kiến thức ngày một tốt Đề tài này được thực các buổi dạy chuyên đề tại lớp 12A5 và 12A9 Trong quá trình học đề tài này, bước đầu học sinh thấy khó khăn qua vài ví dụ học sinh nhận thấy một bài toán có thể áp dụng nhiều phương pháp khác Trong đó việc ứng dụng phương pháp trên, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học, tự nghiên cứu C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT I Kết luận: Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh một tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức nhất định cực trị của hàm số người học sẽ có cái nhìn sâu sắc giải toán; đồng thời, tìm được phương pháp giải phù hợp với các bài toán các nội dung này Đối với học sinh thì một số dạng toán cực trị của hàm số là tương đối khó, nhất là đối với em có lực học trung bình trở xuống Vì vậy, đề tài này nhằm cung cấp thêm cho các em một phương pháp tiếp cận lời giải bài toán, giúp các em có cách nhìn nhận bài toán theo nhiều hướng khác từ đó phát triển được sáng tạo của học sinh Ở cấp độ trường trung học phổ thông Lê Lợi, là hiệu trưởng nhà trường đồng thời trực tiếp giảng dạy môn Toán lớp 12 nhiều năm liền, nhận thấy đề tài có thể áp dụng để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và 24 học; giúp học sinh giải quyết một số dạng toán cực trị của hàm số tốt hơn, góp phần tích cực vào việc ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi II Đề xuất : Đối với giáo viên : Cần quan tâm sát đến mức độ tiếp thu bài của học sinh Cần tìm nhiều phương pháp để giải quyết một bài toán từ đó tìm cách giải đơn giản giúp học sinh tiếp thu bài tốt và gây hứng thú quá trình dạy và học Đối với nhà trường: Trong các buổi họp tổ các giáo viên nên trao đổi cách dạy bài học khó để tìm cách giải hay Trên số kinh nghiệm thân tơi đúc rút q trình giảng dạy, chắn mang tính chủ quan thân, vấn đề nêu mong góp ý thầy giáo,đặc biệt em học sinh để viết hoàn thiện áp dụng thiết thực vào trình giảng dạy Xin trân trọng cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2019 Tôi cam đoan là SKKN của mình viết, không chép nội dung của người khác Người viết Đỗ Thị Hồng Hạnh PHỤ LỤC 25 Trước dạy đề tài tiến hành khảo sát hai lớp 12A5 và 12A9 năm học 2018 – 2019 thông qua bài kiểm tra 15 phút: Câu Cho hàm số y = f ( x) Hàm số y = f '( x) có đồ thị hình vẽ: Câu Khẳng định nào sau là khẳng định đúng? A Đồ thị hàm số y = f ( x) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt B Đồ thị hàm số y = f ( x) có hai điểm cực trị C Đồ thị hàm số y = f ( x) có ba điểm cực trị D Đồ thị hàm số y = f ( x) có một điểm có một điểm cực trị Cho hàm số y =| x3 − 3x − | có đồ thị hình vẽ: Khẳng định nào sau là khẳng định đúng? A Đồ thị hàm số y = f ( x) có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại B Đồ thị hàm số y = f ( x) có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại C Đồ thị hàm số y = f ( x) có bốn điểm cực trị D Đồ thị hàm số y = f ( x) có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu Câu Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − mx + (2m − 3) x − đạt cực đại tại x = A m = B m > C m ≤ D m < 2 Câu Hàm số y = x + 2(m − 2) x + m − 2m + có đúng điểm cực trị thì giá trị của m là: A m ≥ B m < C m > D m = Câu Cho hàm số f ( x ) = x + ax + bx + c có đồ thị hàm số hình bên Hàm số g ( x ) = f ( − x + 3x ) có điểm cực đại ? A B C D Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm R và có đồ thị hình vẽ bên dưới Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x ) + 2018 là 26 A B C D Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ bên dưới Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2m có điểm cực trị  11   11  B m ∈  2;  C m ∈  2; ÷ D m =  2  2 Câu Hàm số y = f ( x ) có đúng ba điểm cực trị là −2; −1 và Hàm số g ( x ) = f ( x − x ) có điểm cực trị ? A B C D Câu Đường cong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là A m ∈ ( 4;11) A B C D x24y′ 00y3 Khẳng định nào sau là đúng? A Hàm số đạt cực đại tại x = B Hàm số đạt cực đại tại x = C Hàm số đạt cực đại tại x = D Hàm số đạt cực đại tại x = −2 Câu Đường cong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là 27 A B C D Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên dưới Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x ) + x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới ? A x = C x = B x = D Không có điểm cực tiểu Kết quả thu được sau: Điểm Điểm Điểm Điểm 9-10 7-8,5 5-6,5 -