SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ ĐƯỜNG TRỊN TRONG HÌNH HỌC Người thực hiện: Mai Thị Thanh Huyền Chức vụ: Hiệu trưởng Đơn vị công tác: Trường THCS Xuân Tân -Thọ Xn SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2018 Mục I II III IV I II III IV MỤC LỤC Nội dung PHẦN I: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề Các giải pháp sử dụng để giải Cách vẽ đờng phụ vai trò đờng phụ toán chứng minh Một số loại đờng phơ thưêng vÏ Mét sè kiÕn thøc liªn quan Mét sè bµi tËp øng dơng Hiệu sáng kiến PHẦN III: KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Trang 1 2 3 4 5 16 17 18 STT Các chữ viết tắt sáng kiến kinh nghiệm THCS SGK THPT SKKN Max Nội dung Trung học sở Sách giáo khoa Trung phổ thông Sáng kiến kinh nghiệm Lớn PHẦN I: MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cùng với phát triển đất nước, nghiệp giáo dục đổi không ngừng, nhà trường ngày trọng đến chất lượng giáo dục toàn diện Với vai trò mơn học cơng cụ, mơn Tốn góp phần tạo điều kiện cho em học tốt môn học khác Việc giảng dạy môn Tốn nhà trường khơng nhằm truyền thụ cho học sinh kiến thức Toán học mà trang bị cho em cơng cụ sắc bén để nghiên cứu giới tự nhiên Khi học Toán, đa số em học sinh ngại học Hình học Bởi vì, để học tốt Hình học đòi hỏi em phải có khả tư tốt, tính sáng tạo cao, trí tưởng tượng phong phú, đặc biệt thực say mê nghiên cứu, tìm tòi học hỏi Đối với giáo viên, để truyền đạt cho học sinh hiểu cách chặt chẽ Hình học khơng đơn giản Dạy học để học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống mà phải nâng cao, phát triển để em hứng thú, say mê học tập Đó vấn đề mà giáo viên cần quan tâm, trăn trở Trong tìm phương pháp giải tốn hình học, có lúc việc vẽ thêm yếu tố phụ làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi Thậm chí, có phải vẽ thêm yếu tố phụ tìm lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ điều khiến phải đầu tư suy nghĩ Thực tế cho thấy khơng có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học Việc vẽ hình phụ đa dạng, khơng theo khn mẫu định đòi hỏi học sinh phải biết dự đoán tốt sở suy luận Tuỳ toán cụ thể, có cách vẽ thêm đường phụ hợp lý để đưa đến cách giải hay độc đáo Một chuyên đề hình học lớp mà thường xuyên phải vẽ đường phụ làm tốn, tốn đường tròn Trong q trình dạy lớp ơn thi vào lớp 10 nhận thấy nhiều học sinh lúng túng, bế tắc giải toán về: xác định đường tròn, vị trí tương đối đường thẳng đường tròn hai đường tròn, tiếp tuyến đường tròn, Vì tơi tìm cách giúp em tháo gỡ khó khăn, hình thành kỹ giải tốn, làm cho em có hứng thú niềm tin học tập Tơi mạnh dạn trình bày đề tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải số toán đường tròn Hình học 9” để bạn đồng nghiệp tham khảo, góp ý II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Trang bị cho học sinh lớp cách có hệ thống dạng yếu tố phụ thường vẽ thêm toán cho dạng nào, nhằm giúp cho học sinh có khả vận dụng tốt dạng tốn - Phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển khả tư duy, lực tự học học sinh Tạo điều kiện cho em hứng thú, say mê môn - Thấy vai trò việc vẽ thêm yếu tố phụ vào giải tốn từ giúp học sinh có kĩ thành thạo việc giải toán đường tròn - Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng kiến thức vào thực tiễn sống III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn đường tròn Hình học IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: * Phương pháp nghiên cứu lý luận: - Nghiên cứu qua tài liệu phương pháp dạy học Tốn tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài: Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập tài liệu tham khảo khác dành cho giáo viên học sinh - Nghiên cứu hệ thống kiến thức vẽ đường phụ giải tốn hình học bậc THCS Cụ thể tài liệu thiết thực học sinh như: + Sách giáo khoa + Sách giáo viên + Sách bồi dưỡng thường xuyên tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh *Phương pháp điều tra, khảo sát Qua kiểm tra, đánh giá kết học tập học sinh, thu thập số liệu phản ánh thực trạng tiếp thu kiến thức để nghiên cứu * Phương pháp thử nghiệm: Nghiên cứu qua tiết dạy lớp, qua việc thực hành giải toán học sinh qua khảo sát * Phương pháp tư vấn: Tham khảo ý kiến đồng nghiệp có kinh nghiệm q trình xây dựng, hoàn thiện đề tài PHẦN II: NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN Trong định số 16/2006/QĐ – BGD&ĐT ngày 05 tháng năm 2006 có đoạn viết: “Phương pháp dạy học toán nhà trường cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động người học, hình thành phát triển lực tự học, trau dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo tư duy” Trích: “Quyết định ban hành chương trình giáo dục phổ thơng” năm 2006 Vì vậy, việc dạy học theo chương trình nhằm mục tiêu đào tạo người ứng với phát triển mạnh mẽ khoa học kĩ thuật Tốn học mơn khoa học coi chủ lực Bởi trước hết, Toán học hình thành cho em tính xác, khoa học, hệ thống, sáng tạo tư lơgic Vì thế, chất lượng dạy học Toán nâng cao có nghĩa tiếp cận với tri thức đại, giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi nội dung dạy học, chương trình sách giáo khoa, phương pháp dạy học đổi theo hướng tích cực hố, phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo người học nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, hình thành rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn Bản thân nhận thức tầm quan trọng việc đổi phương pháp dạy học nói chung giảng dạy mơn Tốn nói riêng, năm phân công giảng dạy môn Tốn theo chương trình hành tơi nhận thấy nội dung “vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn Hình học ” nội dung quan trọng Các tốn hình học có lời giải phải vẽ thêm đường phụ dạng tốn khó học sinh THCS Bởi để giải tốn dạng không yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà đòi hỏi học sinh cần có kĩ giải tốn định, có sáng tạo định Để tạo đường phụ liên kết tường minh mối quan hệ toán học điều kiện cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, đặc biệt hóa, …hay nói cách khác toán phải vẽ thêm đường phụ sáng tạo nhỏ Vẽ thêm đường phụ để giải tốn hình mặt phương pháp biểu mức độ cao kĩ năng, thể tình hình học phù hợp với định nghĩa, định lý đó… hay gọi “quy lạ quen” Ở khoảng cách từ lạ đến quen xa mức độ sáng tạo lớn Do đó, việc học tốt tốn có lời giải phải vẽ thêm đường phụ có tác dụng lớn việc phát triển lực trí tuệ tư khoa học học sinh II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Giải tốn hình học có vẽ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực nhiều thao tác tư Vì vậy, phải rèn luyện học sinh mặt tư hình học thật phát triển Thực tế, chứng minh định lý sách giáo khoa (SGK) việc vẽ đường phụ đề cập, việc giải toán lớp có Tuy nhiên, tập SGK đưa nhiều dạng, tập nâng cao lại toán giải cần phải vẽ thêm đường phụ Các tài liệu viết riêng loại toán việc tham khảo học sinh gặp nhiều khó khăn Kết kiểm tra chương I, mơn Tốn lớp 9B năm học 2016-2017 trước áp dụng đề tài sau: Lớp Sĩ số 9B 40 Tỉ Điểm lệ 0- OA Giải -Vẽ OH ⊥ AB, H∈AB A H -Ta có: HC > AB (vì C điểm tia đối tia B C AB, H thuộc đoạn thẳng AB) ⇒ OC > OA (quan hệ đường xiên hình O chiếu) Vậy OC > R ⇒ C nằm đường tròn (O;R) Bài Cho AB dây cung đường tròn (O;R) (AB ≠2R) C làm điểm đoạn AB (C khác A B) Chứng minh điểm C nằm đường tròn (O;R) Gợi ý Từ 1, ta nhận đường phụ cần vẽ thêm OH vng góc với AB H Giải Vẽ OH vng góc với AB H Xét trường hợp sau: * C trùng với H: Ta có: OH < OA (vì OH ⊥ AH) nên OH < R ⇒ H nằm đường tròn (O;R) A C H ⇒ C nằm đường tròn (O;R) * C nằm đoạn AH ( C khác A H) ta có O HC < HA ⇒ OC < OA (quan hệ đường xiên hình chiếu) Mà OA = R nên OC < R ⇒ C nằm đường tròn (O;R) * C nằm đoạn BH ( C khác B H) Tương tự ta có C nằm đường tròn (O;R) B Bài Cho đường tròn (O;R), R= 4cm Vẽ dây cung AB = 5cm, C điểm dây cung AB cho AC = 2cm Vẽ CD vng góc với OA D Tính độ dài đoạn thẳng AD Gợi ý - Từ giả thiết toán khiến ta nghĩ đến vẽ thêm đường kính AE - Hai tam giác ADE ABE đồng dạng, từ tính AD Giải - Vẽ đường kính AE, có AE = 8cm B - Điểm B thuộc đường tròn đường kính AE A C ⇒ABE = 90 H - Xét ∆ADC ∆ABE có: DAC chung; O ADC = ABE (=900) Do đó: ∆ADC ∽ ∆ABE ⇒ AD AC AC AB = ⇒ AD = AB AE AE Mà AC = 2cm, AB=5cm; AE = 8cm nên AD = 2.5 = (cm) Bài Cho đường tròn (O;R), AC BD hai đường kính Xác định vị trí hai đường kính AC BD để diện tích tứ giác ABCD lớn Gợi ý - Ta kí hiệu SABCD diện tích tứ giác ABCD Dễ thấy tứ giác ABCD hình chữ nhật, đó: B A SABCD= AB.AD - Mặt khác: ∆ABD vng A, có BD khơng O đổi, AH đường cao, ta có: H SABCD = AH.2R D C SABCD (max) ⇔ AH (max) Vậy đường cao AH ∆ABD “mấu chốt” toán Giải - Vẽ AH ⊥ BD (H ∈ BD) Tứ giác ABCD có OA = OC = R, OB = OD = R nên hình bình hành - Mà AC = BD = 2R tứ giác ABCD hình chữ nhật, suy ra: SABCD = AB.AD - Xét ∆ABE có: Aˆ = 90 , AH ⊥ BD nên AB.AD = AH.DB; Vì AH ≤ AO, DB = 2R nên SABCD ≤ 2R2 (không đổi) Dấu “=” xảy H ≡ O ⇔ AC ⊥ BD Vậy hai đường kính AC BD vng góc với diện tích tứ giác ABCD lớn Bài 5: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, CD dây cung nửa đường tròn (O) Các đường thẳng vng góc với CD C D cắt AB E F Chứng minh rằng: AE = BF Gợi ý - Vì OA = OB = R, để có AE = BF cần chứng minh OE = OF - Áp dụng kĩ 1b): Vẽ OH ⊥ CD H, điểm phụ H giúp ta giải toán Giải -Vẽ OH ⊥ CD, H ∈ CD, từ có CH = HD (định lí đường kính vng góc với dây cung) -Vì EC, OH, FD vng góc với CD nên EC // OH // FD -Do OH đường trung bình hình thang CDFE ⇒ OE = OF Mà OA = OB (= R) nên OA – OE = OB – OF ⇒AE = BF C A E H O D F B Bài Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB dây cung CD Gọi K, L chân đường vng góc vẽ từ A B đến CD Chứng minh rằng: CK = DL Gợi ý Cũng toán 5, áp dụng kỹ 1b): vẽ OI ⊥ CD I, ta chứng minh I trung điểm CD KL Từ ta tìm lời giải toán 10 Giải -Vẽ OI ⊥ CD (I ∈ CD) Ta có: OI ⊥ CD, AK ⊥ CD (gt), BL ⊥ CD (gt) ⇒ OI // AK // BL Mà OA = OB nên IK = IL Mặt khác, từ OI ⊥ CD ⇒ IC = ID (định lý đường kính vng góc với dây cung) Do vậy: IK – IC = IL – ID ⇒ CK = DL K C I A O D L B Bài B Cho hình vẽ bên, biết AB = CD A M Chứng minh rằng: MA = MC O Gợi ý C Vẽ thêm yếu tố phụ đường vng góc từ O đến hai dây AB CD D Giải - Vẽ OH ⊥ AB (H ∈ AB), OK ⊥ CD ( K∈ CD) - Ta có: AB = CD (gt), nên OH = OK (định lí liên hệ dây cung khoảng cách đến tâm) H, K trung điểm AB, CD (định lí đường kính vng góc dây cung) ⇒AH = CK B - Xét hai tam giác vuông OHM OKM H A M có: OM cạnh chung OH = OK ~ ⇒ ∆OHM = ∆OKM (cạnh huyền-cạnh góc O C A vng) K ⇒ MH = MK D B Ta có: MH – AH = MK – CK ⇒ MA = MC A Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Gọi D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh rằng: OE vng góc với CD Gợi ý - Bài tốn có “trung điểm, trọng tâm’’ gợi ta nghĩ đến đường trung bình tam giác - Các điểm M, N trung điểm AD, AC giúp ta tìm lời giải tốn Giải - Gọi M, N trung điểm AD, AC; G giao điểm CD OA, E giao điểm DN CM 11 - Dễ thấy G trọng tâm ∆ABC nên nên GC = ; E trọng tâm ∆ACD CD EC = CM -Xét ∆CDM có GC EC = = nên theo định lý đảo Talets tam giác ta CD CM suy EG //MD - Mặt khác OD ⊥ AB (D điểm dây cung AB đường tròn (O)) nên OD ⊥ EG ∆ABC cân A, nội tiếp đơờng tròn (O) nên OA ⊥ BC hay OG ⊥ BC Mà DN //BC (DN đường trung bình ∆ABC) Do vậy, OG ⊥ DN - Xét ∆DGE có GO OD hai đường cao cắt O ⇒ O trực tâm ∆DGE Từ đó: OE ⊥ DG hay OE ⊥ CD Bài Cho ∆ABC vng A có AB = 4cm, AC = 3cm Hãy xác định vị trí tương đối đường thẳng BC đường tròn tâm A, bán kính 2,5 cm Gợi ý Để xác định vị trí tương đối đường thẳng BC với đường tròn tâm A ta cần tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC Vì cần vẽ thêm A yếu tố phụ đường cao AH ∆ABC Giải H - Vẽ AH đường cao ∆ABC B C - Tam giác ABC vuông A, AH đường cao nên theo hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông có: 1 = + 2 AH AB AC ⇒ 1 = + 2 AH 12 12 ⇒ AH =   ⇒ AH = = 2,4cm 5 - Vì 2,4 < 2,5 nên đường thẳng BC đường tròn (A;2,5cm) cắt Bài 10 Cho điểm A ngồi đường tròn (O;R) Vẽ cát tuyến ABC tiếp tuyến AM với đường tròn (O), M tiếp điểm Chứng minh rằng: AB +AC ≥ 2AM Gợi ý 12 - Vẽ thêm điểm phụ H trung điểm BC, tức M vẽ thêm OH ⊥ BC để đạt AB + AC = 2AH H B C - Khi cần chứng minh: AH ≥ AM A - Sử dụng tính chất quan hệ cạnh O tam giác vuông MAO HAO ta tìm lời giải tốn Giải - Vẽ OH ⊥ BC, (H ∈ BC), suy ra: BH = HC định lý đường kính vng góc dây cung) - Ta có: AB + AC = (AH – BH) + (AH + HC) = 2AH - Tam giác MAO có AMO = 900, theo định lí Pytago có: AM2 + OM2 = OA2 - Tam giác HAO có AHO = 900 nên AH2 + OH2 = OA2 mà OB = OM = R; OH ≤ R nên OH ≤ OM Do đó: OH2 ≤ OM2, suy AH ≥ AM hay 2AH ≥ 2AM Từ có: AB + AC ≥ 2AM Bài 11 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By theo thứ tự C D Chứng minh rằng: a) COD = 900 b) CD = AC + BD c) Tích AC BD khơng đổi điểm M di chuyển nửa đường tròn Gợi ý a) Áp dụng kĩ 2a): ta nối tâm O với tiếp điểm M ta có OM ⊥ CD M Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt ta tìm lời giải tốn b) Nhờ tính chất tiếp tuyến dễ dàng có kết toán c)Áp dụng kĩ 2a) Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng để tìm lời giải Giải a) Vẽ đường nối tâm O với tiếp điểm M Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có OC, OD tia phân giác góc AOM BOM y 1 => Oˆ = Oˆ = AOM; Oˆ = Oˆ = BOM 2 Mà AOM BOM hai góc kề bù nên Oˆ = Oˆ = ( AOM + BOM) 2 = 1800 = 900 D x M C A g B O 13 Hay COD = 900 b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: MC = AC MD = BD Mà CD = MC + MD nên CD = AC + BD c) Theo câu b), ta có AC BD = MC MD (1) Xét ∆COD vuông O có OM ⊥ CD M nên MC.MD = OM2 (trong OM bán kính đường tròn tâm O) Từ (1) (2) suy AC BD = OM2 = (2) AB (không đổi) Vậy tích AC BD khơng đổi điểm M di chuyển nửa đường tròn (O; AB ) Bài 12 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O;R), AH đường cao (H ∈ BC) Chứng minh: AB.AC = 2R.AH Gợi ý Để chứng minh đẳng thức ta nghĩ đến việc tìm hai tam giác đồng dạng có cạnh độ dài cạnh AB, AC, AH đường kính đường tròn Vẽ thêm đường kính AD (O) ta có lời giải tốn Giải Vẽ đường kính AD (O), ta có : A ACD= 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét ∆HBA ∆CDA có AHB = ACD = 900; HBA = CDA tiếp chắn cung AC ) => ∆HBA ∽ ∆CDA (g.g) => O (hai góc nội B C H D AH AB AB = = AC AD R => AB.AC = 2R.AH Bài 13 Cho đường tròn tâm O đường AB Dây cung MN qua trung điểm H OB Kẻ AD vng góc với MN K (D thuộc đường tròn tâm O) Gọi I trung điểm MN, tia BI cắt AD C Chứng minh rằng: M a) Tứ giác BNCM hình bình hành b) C trung điểm đoạn thẳng AD O g A C B K N H I B c B 14 D Gợi ý a) Để chứng minh tứ giác BNCM hình bình hành ta nghĩ đến chứng minh tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường Biết I trung điểm MN, ta chứng minh I trung điểm BC Áp dụng kĩ 1a) nối tâm đường tròn với trung điểm dây cung MN b) C trung điểm AD OC ⊥ AD, đường phụ OC gợi cho ta tìm lời giải tốn Giải a) - Vẽ đường nối O với trung điểm I đoạn thẳng MN ta có OI ⊥ MN I - Vì AD ⊥ MN (gt), nên OI // AD (vì vng góc với MN) => OI // AC - Xét ∆ABC có OA = OB (vì bán kính) OI //AC (chứng minh trên) nên I trung điểm CB, suy IC = IB - Tứ giác BNCM có MN cắt CD I; IM = IN (theo giả thiết); IC = IB (theo chứng minh trên) nên tứ giác BNCM hình bình hành b) - Nối O với C - Xét ∆OBC có HO = HB, IC = IB nên HI đường trung bình ∆OBC, ta có HI //OC (1) Mà HI ⊥ AD (2) Từ (1) (2) suy OC vng góc với AD C nên C trung điểm đoạn thẳng AD Bài 14 Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) tiếp xúc A Vẽ tiếp tuyến chung BC (O) (O’) (B thuộc đường tròn (O), C thuộc đường tròn (O’)) Chứng minh rằng: góc BAC vng Gợi ý - Dễ thấy, M trung điểm BC B M phải có: MB = MA = MC C - Áp dụng kĩ 4b), từ phát M giao điểm tiếp tuyến chung (O) (O’) với BC Điểm A O O’ phụ M giúp ta tìm lời giải toán Giải - Giả sử tiếp tuyến chung (O) (O’) A cắt BC M Theo tính chất tiếp tuyến ta có: MA = MB, MA = MC 15 - Do đó: ∆ABC có AM đường trung tuyến AM = BC nên ∆ABC vuông đỉnh A, suy ra: BAC = 900 Bài 15 Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc S Kẻ tiếp tuyến chung AB, CD; với A, C thuộc (O); B, D thuộc (O’) Chứng minh rằng: AB + CD = AC + BD Gợi ý Vận dụng kỹ 4b) ta vẽ thêm tiếp tuyến chung S hai đường tròn để từ tìm lời giải toán Giải - Vẽ tiếp tuyến chung S, cắt AB, CD M, N A - Theo tính chất tiếp tuyến ta có: M B AM = SM = BM, CN = SN = DN Do đó: AB + CD = 2MN (1) - Mặt khác OO’ trục đối xứng ’ S O O hình nên C đối xứng với A qua OO’, D đối xứng với B qua OO’nên AC ⊥ D OO’, BD ⊥ OO’ N C Do đó: AC // BD => ABDC hình thang - Vì M, N chung điểm AB, CD nên MN đường trung bình hình thang ABDC => AC + BD = 2MN (2) - Từ (1) (2) có: AB + CD = AC + BD Bài 16 Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính R r (R > r) A M hai điểm thuộc đường tròn nhỏ Qua điểm M, ta vẽ dây BC đường tròn lớn cho BC vng góc với AM Tính MA2 + MB2 + MC2 theo R r? Gợi ý - Từ đề khiến ta nghĩ đến định lý Pytago để xuất “bình phương” - Vẽ điểm phụ D giao điểm BC với đường tròn nhỏ, H hình chiếu O BC Từ giúp ta tìm lời giải toán Giải - Gọi D giao điểm BC đường tròn nhỏ, M D B C H hình chiếu O BC H - Ta có: OH ⊥BC => H trung điểm BC MD (định lý đường kính O vng góc dây cung) Vậy BH = HC = BC ; MH = HD = = A 16 MD - Vì OH đường trung bình tam giác MAD nên OH = MA => MA = 2OH - Ta có: MB2 + MC2 = (BH – MH)2 + (HC + HD)2 - Vì OH đường trung bình tam giác MAD nên OH = MA => MA = 2OH - Ta có: MB2 + MC2 = (BH – MH)2 + (HC + HD)2 = (BH – MH)2 + (BH +MH)2 = 2(BH2 + MH2) = 2BH2 + 2MH2 - Vì ∆HBO vng H, theo định lí Pytago ta có: OH2 + BH2 = OB2 = R2 - Vì ∆HMO vng H, theo định lí Pytago ta có: OH2 + MH2 = OM2 = r2 Do đó: MA2 + MB2 + MC2 = 4OH2 + 2BH2 + 2MH2 = 2(OH2 + BH2) + 2(OH2 + MH2) = 2R2 + 2r2 Vậy MA2 + MB2 + MC2 = 2R2 + 2r2 IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN: Sau áp dụng sáng kiến vào q trình dạy học tơi thấy em học sinh có hứng thú với phân mơn Hình học, em chủ động giải tốn đường tròn Nhiều lời giải em trình bày ngắn gọn, xác tự tin nêu ý kiến mình, nhiều đề cương ôn thi vào lớp 10 em giải hoàn chỉnh Kết quả, chất lượng học sinh đậu vào lớp 10 THPT trường đạt tỉ lệ cao so với trường huyện Cụ thể, kiểm tra chun đề đường tròn sau đợt ơn thi vào lớp 10 năm học 2016 - 2017 sau: Lớp Sĩ số 9B 40 Tỉ Điểm lệ 0-