MỤC LỤC CHƯƠNG KHỐI ĐA DIỆN Bài Khối đa diện Bài Thể tích khối chóp 36 Bài Thể tích khối lăng trụ 56 CHƯƠNG NÓN – TRỤ - CẦU Bài Mặt nón 69 Bài Mặt trụ 84 Bài Mặt cầu 101 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Bài Tọa độ không gian 135 Bài Phương trình mặt cầu 156 Bài Phương trình mặt phẳng 174 Bài Phương trình đường thẳng 193 Bài Phương pháp tọa độ không gian 223 TỰ HỌC ĐIỂM MƠN TỐN Fanpage: Tài liệu KYS Group: Kyser ơn thi THPT BA� I 1: KHỐI ĐA DIỆN A– NHẮC LẠI LÝ THUYẾT Chứng minh đường thẳng d song song mp(α ) ( d ⊂ (α ) ) Cách Chứng minh d //d ′ d ′ ⊂ (α ) Cách Chứng minh d ⊂ ( β ) ( β )//(α ) Cách Chứng minh d (α ) vng góc với đường thẳng vng góc với mặt phẳng Chứng minh mp(α ) song song với mp( β ) Cách Chứng minh mp(α ) chứa hai đường thẳng cắt song song với ( β ) (Nghĩa đường thẳng cắt mặt song song với đường thẳng mặt phẳng kia) Cách Chứng minh (α ) ( β ) song song với mặt phẳng vng góc với đường thẳng Chứng minh hai đường thẳng song song: Cách Hai mặt phẳng (α ) , ( β ) có điểm chung S chứa hai đường thẳng song song a b (α ) ∩ ( β ) = Sx //a //b Cách  (α )//a , a ⊂ ( β ) ⇒ (α ) ∩ ( β ) = b //a Cách Hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Cách Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho giao tuyến song song Cách Một mặt phẳng song song với giao tuyến mặt phẳng cắt nhau, ta giao tuyến song song Cách Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ vng góc với mặt phẳng song song với Cách Sử dụng phương pháp hình học phẳng: đường trung bình, định lí Thales đảo, cạnh đối tứ giác đặc biệt, … Chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α ) Cách Chứng minh đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (α ) Cách Chứng minh d nằm trong hai mặt phẳng vng góc d vng góc với giao tuyến ⇒ d vng góc với mp lại Cách Chứng minh d giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt thứ Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng Cách Chứng minh đường thẳng d song song với a mà a ⊥ (α ) Cách Đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng song song vng góc với mặt phẳng lại Cách Chứng minh d trục tam giác ABC nằm (α ) Chứng minh hai đường thẳng d d ′ vng góc: Cách Chứng minh d ⊥ (α ) (α ) ⊃ d ′ Cách Sử dụng định lí đường vng góc Cách Chứng tỏ góc d , d ′ 90° Chứng minh hai mặt phẳng (α ) ( β ) vng góc: Cách Chứng minh (α ) ⊃ d d ⊥ ( β ) Cách Chứng tỏ góc hai mặt phẳng (α ) ( β ) 90° Cách Chứng minh a // (α ) mà ( β ) ⊥ a Cách Chứng minh (α )// ( P ) mà (β ) ⊥ ( P) B- CÁC CÔNG THỨC I TAM GIÁC Tam giác thường: ① S ∆= ABC 1 abc BC AH AB AC.sin= A = pr = = 2 4R p ( p − a )( p − b)( p − c) G S ∆ABC ③ AG = AM ( G trọng tâm) ② S= S= ∆ABM ∆ACM A B AB + AC BC ④ Độ dài trung tuyến: AM = − H C M ⑤ Định lí hàm số cosin: BC = AB + AC − AB AC.cos A a b c ⑥ Định lí hàm số sin: = = = R sin A sin B sin C A Tam giác ABC cạnh a : canh ) (= ① S ∆ABC = a a B H C a × a ③ ② AH canh = AG = AH = = 3 2 Chương Khối đa diện Tự học điểm 9l Tam giác ABC vuông A : ① S ∆ABC = A 1 AB AC AH BC = 2 ② BC AB + AC = B ③ BA2 = BH BC ④ CA2 = CH CB HB AB = HC AC ⑨ AM = ⑤ HA2 = HB.HC ⑪ cos B = ⑤ HA2 = HB.HC ⑥ AH BC = AB AC ⑦ AB BC BC ⑫ tan B = AC AB C H 1 = + 2 AH AB AC ⑩ sin B = ⑬ cot B = AC BC AB AC C Tam giác ABC vuông cân A ① = BC AB = AC = AC = ② AB BC A A II TỨ GIÁC B D Hình bình hành: Diện tích: = AH AB AD.sin A S ABCD BC = B C H Hình thoi: A Diện tích: = S ABCD = AC.BD AB AD.sin A B D  Đặc biệt:  ABC= 60° BAC = 120° tam giác ABC , ACD C Hình chữ nhật: D A S ABCD = AB AD C B Hình vng: A D B C A D Diện tích: S ABCD = AB Đường chéo: AC = AB Hình thang: S ABCD = ( AD + BC ) AH B Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng H C KHỐI ĐA DIỆN KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ I Khái niệm hình đa diện Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện sau: • Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung có đỉnh chung có cạnh chung • Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác • Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện • Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện II Khái niệm khối đa diện Khối đa diện = hình đa diện + phần không gian giới hạn hình đa diện • Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điếm gọi miền khối đa diện • Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện ứng với khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miên khối đa diện • Mỗi khối đa diện xác định hình đa diện ứng với Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài, khối đa diện theo thứ tự đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngồi, hình đa diện tương ứng • Khối đa diện gọi khối lăng trụ giới hạn hình lăng trụ • Khối đa diện gọi khối chóp giới hạn hình chóp • Khối đa diện gọi khối chóp cụt giới hạn hình chóp cụt Tương tự ta có định nghĩa khối chóp n - giác; khối chóp cụt n - giác, khối chóp đều, khối hộp, • Tên khối lăng trụ hay khối chóp đặt theo tên hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn Ví dụ: Hình lăng trụ ngũ giác ABCDE A′B′C ′D′E ′ ta có khối lăng trụ ngũ giác ABCDE A′B′C ′D′E ′ ; với hình chóp tứ giác S ABCD   ta có khối chóp tứ giác S ABCD   Chương Khối đa diện Tự học điểm 9l III Phân chia lắp ghép khối đa diện Nếu khối đa diện ( H ) hợp hai khối đa diện ( H1 ) , ( H ) cho ( H1 ) ( H ) khơng có điểm chung ta nói phân chia khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) Khi đó, ta nói ghép hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) để khối đa diện (H) Sau số ví dụ phân chia khối đa diện: Nếu khối đa diện ( H ) hợp hai khối ( H1 ) ( H ) cho ( H1 ) ( H ) khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) , hay lắp ghép hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) khối đa diện ( H ) IV MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG + Kết 1: Một khối đa diện có mặt + Kết 2: Mỗi hình đa diện có đỉnh + Kết 3: Cho ( H ) đa diện mà mặt đa giác có p cạnh Nếu số mặt ( H ) lẻ p phải số chẵn Chứng minh: Gọi m số mặt khối đa diện ( H ) Vì mặt ( H ) có p cạnh nên m mặt có pm cạnh Nhưng cạnh cạnh chung hai đa giác nên số cạnh ( H ) c = pm Vì m lẻ nên p phải số chẵn + Kết (Suy từ chứng minh kết 3): Cho ( H ) đa diện có m mặt, mà mặt đa giác có p cạnh Khi số cạnh ( H ) c = pm + Kết 5: Mỗi khối đa diện có mặt tam giác tổng số mặt phải số chẵn Chứng minh: Gọi số cạnh số mặt khối đa diện c m Vì mặt có ba cạnh cạnh cạnh chung hai mặt nên ta có số cạnh đa diện c = dụng kết để suy c = 3m (có áp 3m ) Suy 3m = 2n => 3m số chẵn => m số chẵn Một số khối đa diện có đặc điểm mà có số mặt 4, 6, 8,10: Tài liệu KYS Tài liệu liệu ơn thi chất lượng • Khối tứ diện ABCD có mặt mà mặt tam giác • Xét tam giác BCD hai điểm A, E hai phía mặt phẳng ( BCD ) Khi ta có khối lục diện ABCDE có mặt tam giác • Khối bát diện ABCDEF có mặt tam giác • Xét ngũ giác ABCDE hai điểm M, N hai phía mặt phẳng chứa ngũ giác Khi khối thập diện MABCDEN có 10 mặt tam giác + Kết 6: Mỗi khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện + Kết 7: Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung cạnh + Kêt 8: Nếu khối đa diện có đỉnh đỉnh chung ba cạnh số đỉnh phải số chẵn + Tơng qt: Một đa diện mà đỉnh đỉnh chung số lẻ mặt tổng số đỉnh số chẵn + Kết 9: Mỗi hình đa diện có cạnh + Kết 10: Khơng tồn hình đa diện có cạnh + Kết quà 11: Với số nguyên k ≥ ln tồn hình đa diện có 2k cạnh + Kết 12: Với số nguyên k ≥ ln tồn hình đa diện có 2k + cạnh + Kết 13: Không tồn hình đa diện có * Số mặt lớn số cạnh * Số đỉnh lớn số cạnh + Kết 14: Tồn khối đa diện có 2n mặt tam giác Khối tứ diện có mặt tam giác Ghép hai khối tứ diện (một mặt từ diện ghép vào mặt tứ diện kia) ta khối đa diện ( H ) có mặt tam giác Ghép thêm vào ( H ) khối tứ diện ta khối đa diện ( H ) có mặt tam giác Bằng cách vậy, ta khốỉ đa diện có 2n mặt tam giác H6 H8 Chương Khối đa diện Tự học điểm 9l V PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN Kiến thức cần nhớ Phép biến hình F khơng gian quy tắc để với điểm M xác định điểm M ′ gọi ảnh điểm M qua phép biến hình F Qua phép biến hình F, hình ( H ) biến thành hình ( H ') gồm tất ảnh điểm thuộc hình ( H ) PHÉP DỜI HÌNH Định nghĩa phép dời hình Phép biến hình F khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm bất kỳ, nghĩa F biến hai điểm M , N lần lược thành hai điểm M ′ N ′ M ' N ' = MN Tính chất: Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt phẳng… Các phép dời hình khơng gian thường gặp a Phép đói xứng qua mặt phẳng + Định nghĩa: Phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) phép biến hình biến điểm thuộc ( P ) thành biến điểm M M' M không thuộc ( P ) thành điếm M ′ cho ( P ) mặt phẳng N' N trung trực đoạn MM ′ P + Định lí: Nếu phép đối xứng qua mp ( P ) biến hai điểm M , N thành hai điểm M ′ N ′ M ′N ′ = MN Như vậy: Phép đối xứng qua mặt phẳng phép biến hình bảo tồn khoảng cách hai điếm + Mặt phẳng đối xứng hình: Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) biến hình ( H ) thành ( P ) mặt phẳng đối xứng qua hình ( H ) Ví dụ 1: Mọi mặt phẳng ( P ) qua tâm I mặt cầu ( S ) mặt phẳng đối xứng mặt cầu ( S ) Ví dụ 2: Hình tứ diện ABCD có mặt phẳng đối xứng Đó mặt A phẳng qua cạnh trung điểm cạnh đối diện Chẳng hạn: Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD Khi ta có ( ABM ) mặt phẳng đối xứng tứ diện ABCD B D M C b Phép tịnh tiến    Phép tịnh tiến theo vectơ v phép biến hình biến điểm M thành điểm M ′ cho MM ′ = v Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng Kí hiệu Tv c Phép đối xứng trục Cho đường thẳng d , phép đối xứng qua đường thẳng d phép biến hình biến điểm M thuộc d thành biến điểm M không thuộc d thành điểm M ′ cho d đường trung trực đoạn MM ′ d Phép đối xứng tâm Cho điểm O , phép đối xứng qua điểm O phép biến hình biến điểm M thành điểm M ′ cho    OM + OM ' = Định nghĩa hai hình Hai hình ( H ) ( H ') gọi có phép dời hình biến hình thành hình Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ Khi đó: A D • Các hình chóp A A′B′C ′D′ C ′ ABCD (vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp A A′B′C ′D′ biến thành B C chình chóp C ′ ABCD ) O • Các hình lăng trụ ABC A′B′C ′ AA′D′.BB′C ′ (Qua phép đối xứng mặt phẳng ( AB′C ′D ) hình lăng trụ ABC A′B′C ′ biến thành hình lăng trụ AA′D '.BB′C ′ ) D' A' B' C' + Định lý: Hai hình tứ diện ABCD A′B′C ′D′ chúng có cạnh tương ứng nhau, nghĩa là: AB = A′B′ , BC = B′C ′ , CD = C ′D′ , DA = D′A′ , AC = A′C ′ , BD = B′D′ Chương Khối đa diện Tự học điểm 9l  x  t  Đặt x  t , ta có phương trình tham số   y  3  2t   z  2  t Chọn A x −1 y +1 z − Vı́ du ̣ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = Hình chiếu 1 vng góc d mặt phẳng tọa đọ ( Oxy ) x =  A  y =−1 − t z =   x = + 2t  B  y =−1 + t  z =  x =−1 + 2t  D  y =−1 + t z =   x =−1 + 2t  C  y = + t z =  Hướng dẫn giải Chọn A(1; −1; 2), B(3;0;3) thuộc đường thẳng d Khi A′(1; −1;0), B′(3;0;0) hình chiếu vng góc A, B ( Oxy )  x = + 2t   Suy d ′ ≡ A′B′ nhận A′B′ = (2;1;0) làm VTCP ⇒ d ' :  y =−1 + t z =  Chọn B x 2 y 3 z 1   Vı́ du ̣ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : 1 mặt phẳng  P  : x  y  z   Phương trình đường thẳng  hình chiếu vng góc   P  là:    x  4  2t A  y  t  11   z    t 2     x   2t B  y  t   11  z    t 2     x  4  2t C  y  t   11  z   t 2     x   2t D  y  t   11  z   t 2  Hướng dẫn giải Gọi Q  mặt phẳng chứa  vng góc với  P  , M (−2;3;1) ∈ ∆    u ∆ , n(= Khi Q  qua M có VTPT n= −4 P)  (Q )   (1; 2;0) ⇒ (Q) : x + y = 2 x  y  z    Suy  ' cần tìm giao tuyến  P  Q  nên thỏa mãn hệ    x  y      x   2t Chọn D Đặt y  t , ta có phương trình tham số  '  y  t   11  z    t 2  Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M (−2; −2;1), A(1; 2; −3) đường thẳng  x +1 y − z Tìm véctơ phương u đường thẳng ∆ qua M , vng góc với đường d:= = 2 −1 thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé  A u = (2;1;6) 218  B u = (1;0; 2)  C.= u (3; 4; −4)  D.= u (2; 2; −1) Chương Phương pháp tọa độ không gian Tự học điểm 9l Hướng dẫn giải Gọi ( P ) mặt phẳng qua M vng góc với d Phương trình ( P) : x + y − z + = Gọi H , K hình chiếu vng góc A ∆,( P) d A K ∆ P M H Ta có K (−3; −2; −1), d ( A, ∆=) AH ≥ AK Vậy khoảng cách từ A đến ∆ bé ∆ qua M , K ∆ có véctơ phương  = u (1;0; −2) Chọn B Ví dụ Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi (α ) mặt phẳng qua hai điểm A ( 2;0;1) B(−2;0;5) đồng thời hợp với mặt phẳng ( Oxz ) góc 450 Khoảng cách từ O tới (α ) là: A B C 2 D Hướng dẫn giải Gọi K , H hình chiếu vng góc điểm O O lên đường thẳng AB mặt phẳng (α ) Ta có: A, B ∈ (Oxz ) K ⇒ (α ) ∩ ( Oxz ) = AB OH ⊥ (α )  HK ⊥ AB ⇒  OK ⊥ AB OK ⊥ AB  ⇒ ( KH , OK ) = OKH ( Oxz ) , (α ) ) =( 450 H α Suy tam giác OKH vuông cân H = Khi đó: d ( O, (α= ) ) OH OK   OA ∧ AB OK d= Mặt khác: =  ( O, AB ) = AB Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng = Khi đó: d ( O, (α= ) ) OH OK = Chọn A 2 219 Da ̣ng 8: Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa điều kiện cho trước, toán cực trị, Để tìm điểm M ∈ ∆ thỏa điều kiện cho trước ta thường tham số hóa điểm M theo biến t , sau ta cần tìm giá trị t (dựa vào điều kiện tốn đưa ra) Để tham số hóa điểm M ta phải x x0 + at =  đưa đường thẳng ∆ dạng tham số: ∆ :  y =y0 + bt ( t ∈  ) , M ( x0 + at ; y0 + bt ; z0 + ct ) =  z z0 + ct Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : x −1 y + z +1 = = điểm −3 A ( 2; −5; −6 ) Tìm tọa độ điểm M nằm ∆ cho AM = 35 A M (1;0; −1) M ( 5;0; −7 ) B M (1; −2; −1) M ( 5;0; −7 ) C M (1; −2;0 ) M ( 5;0; −7 ) D M (1; −2; −1) M ( −3; −4;5 ) Hướng dẫn giải  Vì M ∈ ∆ ⇒ M (1 + 2t ; −2 + t ; −1 − 3t ) ⇒ AM = ( 2t − 1; t + 3; −3t + ) Ta có AM= Câu 2: t =  M (1; −2; −1) 2 ⇒ 35 ⇔ ( 2t − 1) + ( t + 3) + ( 3t − ) = 35 ⇔ t − 2t =0 ⇔  t =  M ( 5;0; −7 ) x y z +1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d := = mặt phẳng −1 (α ) : x − y − z + =0 Tìm điểm A d cho khoảng cách từ A đến (α ) B A ( −2;1; −2 ) A A ( 0;0; −1) C A ( 2; −1;0 ) D A ( 4; −2;1) Hướng dẫn giải Gọi A ( 2t ; −t ; t − 1) ∈ d với t > Ta có 3⇔ d  A, (α )  = 2t − ( −t ) − ( t − 1) + 12 + ( −2 ) + ( −2 ) 2 3⇔ = 2t + 3 = t = ⇔ 2t + = ⇔  → t = → A ( 2; −1;0 ) t = −8 Câu 3: đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y − z = d: x −1 y z + = = Tìm tọa độ điểm A thuộc Ox cho A cách d ( P ) 2 A A ( 2;0;0 ) B A ( 3;0;0 ) C A ( 4;0;0 ) D A ( 5;0;0 ) Hướng dẫn giải  Đường thẳng d qua M (1;0; −2 ) có VTCP u = (1; 2; ) Do A ∈ Ox nên A ( a;0;0 ) Ta có  MA = ( a − 1;0; ) , suy 220   u , MA=    ( 4; 2a − 4; −2a + ) Chương Phương pháp tọa độ không gian Tự học điểm 9l Ta có   u , MA   = d [ A, d ] = d  A, ( P )  ⇔  u 2a +1+ 16 + ( 2a − ) + ( −2a + ) ⇔ = 1+ + 2a +1+ ⇔ 8a − 24a + 36 = 2a ⇔ a − 6a + = ⇔ a = ⇒ A ( 3;0;0 ) Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 4; ) , B ( −1; 2; ) đường thẳng x −1 y + z d:= = Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho MA2 + MB = 40 −1 A M ( 0;1; ) M ( −2;1;6 ) B M ( 0; −1; ) M ( 2;1;6 ) C M ( 0; −1; ) M ( −2;1;6 ) D M ( 0;1; ) M ( 2;1;6 ) Hướng dẫn giải   Do M ∈ d nên M (1 − t ; −2 + t ; 2t ) Ta có MA = ( t ;6 − t ; − 2t ) , MB =( t − 2; − t ; − 2t ) Theo giả thiết: MA2 + MB = 40 ⇔ t + ( − t ) + ( − 2t ) + ( t − ) + ( − t ) + ( − 2t ) = 40 2 2 t =  M ( 0; −1; ) ⇔ 12t − 48t + 36 =0 ⇔  ⇒ t =  M ( −2;1;6 ) Câu 5: x= 1+ t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = + t điểm M ( 4;0; ) z =  Tìm đường thẳng d hai điểm A , B cho tam giác MAB A A ( 4; 4;0 ) , B ( 0;0;0 ) B A ( 0;0;0 ) , B ( 4; 4;0 ) C A ( 4; 4;0 ) , B ( 0;0;0 ) A ( 0;0;0 ) , B ( 4; 4;0 ) D Khơng có điểm thỏa mãn điều kiện toán Hướng dẫn giải Do A, B ∈ d nên A (1 + a;1 + a;0 ) , B (1 + b;1 + b;0 ) với a ≠ b Ta có    MA = ( a − 3; a + 1; −4 ) , MB = ( b − 3; b + 1; −4 ) , AB =( b − a; b − a;0 ) 2 2  MA = MB ( a − 3) + ( a + 1) + 16 =( b − 3) + ( b + 1) + 16 Tam giác MAB ⇔  ⇔ 2 2  MA = AB ( a − 3) + ( a + 1) + 16 = ( b − a ) + ( b − a ) a = a = −1 Giải hệ ta   Chọn B b = −1 b = Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 221 Câu 6:  x = + 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 0; −1;3) đường thẳng d :  y =  z = −t  Tìm đường thẳng d điểm H cho AH có độ dài nhỏ A H (1; 2; −1) B H ( −1; 2;1) C H ( 5; 2; −2 ) D H ( 3; 2; −1) Hướng dẫn giải Điểm H ∈ d nên H (1 + 2t ; 2; −t ) Khi AH = (1 + 2t ) + ( + 1) + ( −t − 3) 2 = 5t + 15t + 19 = ( t + 1) + 14 ≥ 14 Dấu '' = '' xảy t = −1 Suy H ( −1; 2;1) Chọn B 222 Chương Phương pháp tọa độ không gian Tự học điểm 9l BÀI 5: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I – LÝ THUYẾT Các kiến thức cũ liên quan a) Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A ( x A ; y A ; zA ) , B ( xB ; yB ; zB ) là: AB= (x − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − zA ) B 2 b) Khoảng cách từ điểm đến đoạn thẳng( Tình khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆ )  Cách 1: Cho đường thẳng ∆ qua M , có véc tơ phương u điểm A  u, AM    Khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆ tính cơng thức: d( A;∆ ) =  u Cách 2: +) Lập phương trình mặt phẳng (α ) qua A vng góc với ∆ +) Tìm tọa độ giao điểm H (α ) ∆ +) d ( M ; ∆ ) =MH c) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là: Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = d M ,( P ) = ( ) Ax0 + By0 + Cz0 + D 2 A + B +C d) Khoảng cách hai mặt phẳng song song Là khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng e) Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo ∆1 , ∆ biết :  +) ∆1 qua điểm M có véc tơ phương u1  +) ∆ qua điểm N có véc tơ phương u2 Cách 1: Khoảng cách hai đường thẳng ∆1 ∆ tính công thức:    u1 , u2  MN d ( ∆1 , ∆ ) =   u1 , u2  Cách 2: +) Lập phương trình mặt phẳng (α ) chứa ∆1 song song với ∆ ( ) ( ) +) Khi đó: d ( ∆1 , ∆ ) = d ∆ , (α ) = d M , (α ) với M thuộc ∆ Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 223 f) Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng => quay dạng toán khoảng cách từ điểm đến đường thẳng g) Khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng (α ) (với ∆ / / (α ) ) d ∆= d M ,(α ) , ∀M ∈ (α ) ( ,(α )) ( ) h) Góc hai đường thẳng  Cho hai đường thẳng: ∆1 có véc tơ phương u1 = ( x1; y1; z1 )  ∆ có véc tơ phương u2 = x2 ; y2 ; z2 ( ) Gọi ϕ góc đường thẳng ∆1 ∆ Khi đó:   u1 u2 x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 Cos , ( ≤ ϕ ≤ 90° ) = ϕ  =  2 2 2 u1 u2 x1 + y1 + z1 x2 + y2 + z2 i) Góc hai mặt phẳng Khi ( Q ) : A ' x + B ' y + C ' z + D ' = Gọi ϕ góc hai mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = đó:   = ϕ cos nP ,= nQ cos ( )   nP nQ  =  nP nQ A A '+ B.B '+ C.C ' A2 + B + C A '2 + B '2 + C '2 , ( ≤ ϕ ≤ 90° ) j) Góc đường thẳng mặt phẳng Cho:  Đường thẳng ∆ có véc tơ phương u = ( x; y; z )  Mặt phẳng (α ) có véc tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) Gọi ϕ góc hai đường thẳng ∆ (α ) Khi đó: sin= ϕ  u.n  =  u.n Ax + By + Cz A + B + C x + y + z2 , ( ≤ ϕ ≤ 90° ) k) Diện tích thiết diện    AB AC      =  AB AD    +) Diện tích tam giác ABC: S ABC = +) Diện tích hình bình hành: SABCD l) Thể tích khối đa diện    +) Thể tích khối hộp: VABCD A ' B 'C ' D ' =  AB, AD  AA '      +) Thể tích tứ diện: VABCD =  AB, AC  AD  6 224 Chương Phương pháp tọa độ không gian Tự học điểm 9l Phương pháp Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí gốc O) Bước 2: Xác định tọa độ điểm có liên quan (có thể xác định tọa độ tất điểm số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ điểm ta dựa vào: - Ý nghĩa hình học tọa độ điểm (khi điểm nằm trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ) - Dựa vào quan hệ hình học nhau, vng góc, song song, phương, thẳng hàng, điểm chia đoạn để tìm tọa độ - Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng, mặt phẳng - Dựa vào quan hệ góc đường thẳng mặt phẳng Bước 3: Sử dụng kiến tức tọa độ để giải tốn Các dạng thường gặp: • Độ dài đoạn thẳng • Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách hai đường thẳng • Góc hai đường thẳng • Góc đường thẳng mặt phẳng • Góc hai mặt phẳng • Thể tích khối đa diện • Diện tích thiết diện • Chứng minh quan hệ song song, vng góc • Bài tốn cực trị, quỹ tích II – DẠNG TOÁN Hình chóp tam giác Dạng 1: Dạng tam diện vng Ví dụ Cho hình chóp O.ABC có= OA a= , OB b= , OC c vng góc với đơi Gọi M điểm cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp ( OBC ) , mp ( OCA ) , mp ( OAB ) 1, 2, Giá trị a,b,c để thể tích khối chóp O ABC nhỏ A.= a 3;= b 6;= c B = a 1;= b 1;= c C a= b= c D = a 1;= b 2;= c Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0; 0; c ) Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 225 ( ) d M , ( OAB ) =3 ⇒ zM =3 Tương tự ⇒ M (1;2;3) PT mp ( ABC ) : ⇒ x y z + + = Vì M ∈ ( ABC ) a b c 1 1(1) Lại có: VO ABC = a.b.c ( ) + + = a b c (1) ⇒ = (2) ⇒ V 3 + + ≥ 3 ⇒ a.b.c ≥ 27 a b c a b c a 3,= b 6,= c = = = Vậy= a b c = 27 ⇔ Dạng Dạng tứ diện có cạnh vng góc với mặt góc nhọn tam giác vng Ví dụ Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy ∆ABC vng C Độ dài cạnh= SA 4,= AC 3,= BC Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M Tính góc α tạo hai mặt phẳng ( SHB ) ( SBC ) A α= 82°35'57'' B α= 97°24'2'' C α= 63°30' D α ≈ 98°12'13'' Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ: O ( 0; 0; ) , B (1;3; ) , C ( 0;3; ) , S ( 0; 0; ) , H (1; 0; ) Dựng mặt phẳng ( P ) qua H vng góc với SB I cắt đường thẳng SC K, dễ thấy   ( SHB ) , ( SBC )  = IH , IK (1)     * Tìm tọa độ véc tơ: SB = (1;3; −4 ) ; SC =( 0;3; −4 ) ( ) * Phương trình tham số đường thẳng x=  x= 1+ t   + 3t , SC :  y = + 3t SB :  y =  z=  −4t −4t   z= Phương trình mặt phẳng ( P ) : x + 3y − z − =  17 51 18   51 18  K SC ∩ ( P ) ⇒ I  ; ;  , K  0; ;  I SB ∩ ( P ) = * Tìm tọa độ giao điểm =  26 26 13   26 13     51 18    17 ; − ; −  , IK = Tọa độ véc tơ IH =   − ; 0;   26 26 13   26    = cos α cos IH = , IK ( 226 ) 153   − IH IK 676 ≈ −0,1427 ⇒ α ≈ 98°12'13'' =   IH IK 442 17 26 26 Chương Phương pháp tọa độ không gian Tự học điểm 9l Dạng Dạng hình chóp tam giác Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M,N trung điểm SB,SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mp ( AMN ) vng góc với mp ( SBC ) A a2 16 B a 10 16 C a 10 32 D a2 32 Hướng dẫn giải Gọi O hình chiếu S (ABC), ta suy O trọng tâm tam giác ABC Gọi I trung điểm BC, ta có: AI = a a a , OI = BC = ⇒ OA = 2 Trong mặt phẳng (ABC) , ta vẽ tia Oy vuông góc với OA Đặt SO = h , chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được: a  O ( 0; 0; ) , S ( 0; 0; h ) , A  ; 0;       a   a a   a a  ; 0;  , B  − ; ;  ,C  − ;− ;0, ⇒ I −      6        a a h  a a h M− ; ; , N  − ;− ;   12   12        ah 5a2     a2     SB, SC  =  AM , AN   ; 0; , ⇒ n( AMN = = ⇒ n = − ah ; 0;    )  ( SBC )        24       5a2     a2 10 AMN ⊥ SBC ⇒ n n = ⇒ h = ⇒ S = AM , AN = ( ) ( ) ( AMN ) ( SBC ) ∆AMN  12 2 16 Hình chóp tứ giác Dạng Hình chóp S.ABCD có cạnh SA ⊥ ( ABCD ) đáy ABCD hình vng ( hình chữ nhật) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA ⊥ ( ABCD ) SA = 2a Gọi M,N trung điểm SA,SD Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCM) A a B a Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng C a D a 227 Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A ≡ O , tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD tia Oz chứa Khi AS đó: A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , C ( a; a; ) ,  a  D ( 0; a; ) , M ( 0; 0; a ) , N  0; ; a    Ta có:     BC = a ; 0; a ( 0; a; ) , BM = ( −a; 0; a ) ⇒  BC, BM  = Mặt  n phẳng (BCM) có     BC , BM 1; 0;1) =  ( a2  véc tơ ( ) pháp tuyến Vậy phương trình (BCM) : x + z − a = −a a ⇒ d A, ( BCM ) = = Chọn D 12 + 12 ( ) Dạng Hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng( hình thoi ) tâm O có đường cao SO ⊥ ( ABCD ) Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O Có cạnh đáy a chiều cao H Gọi I trung điểm cạnh bên SC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI) A d = 2ah 4h + 9a B d = 2ah 9h + 4a C d = ah 9h + 4a D d = ah 4h + 9a Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ tâm O hình vng ABCD, tia Ox chứa OA, tia Oy chứa OB tia Oz chứa OS Khi đó: a   a   a  A ; 0;  , B  0; ; a  ,C  − ; 0;  , S ( 0; 0; h )       2       Giao điểm M SO AI trọng tâm tam giác SAC  h ta có M  0; 0;  3  Mp(ABI) mp(ABM) Vậy phương trình mp(ABI) : x a 2 228 + y a 2 + z = Vậy ta có khoảng cách : h Chương Phương pháp tọa độ không gian Tự học điểm 9l ( h −1 h = 2      2     1   +  +  a 2 a 2 h           3 ) = d S; ( ABI ) = 2 + + a2 a2 h2 2ah 4h + 9a Chọn A Dạng Hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng( hình chữ nhật) có cạnh AB = b tam giác SAD cạnh a mp ( SAD ) ⊥ mp ( ABCD ) Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAD tam giác mp ( SAD ) ⊥ mp ( ABCD ) Gọi M,N,P,K trung điểm DC,BC,SB,SD Tính khoảng cách hai đường thẳng MK AP A a 10 d ( MK ;= AP ) B a 10     a, b  AK 3a 3a  = =  a, b  15 C a D a 12 Hướng dẫn giải Gọi O trung điểm AD Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó:  a   a   a   a  A  0; − ;  , B  a; − ;  , C  a; ;  , D  0; ;  ,          a a  a 3 N ( a; 0; ) , S  0; 0; ,M  ; ;0   2     a a 3 a a a 3 K  0; ; ,P  ;− ;   4  2 4      ( 2;1; − )  Đường thẳng AP có véc tơ phương b = ( 2;1; )  Đường thẳng MK có véc tơ phương là= a   3a a    Ta có:  a, b  = 3; −4 2; , AK =  0; ;   4        a, b  AK 3a 3a Vậy d ( MK ;= Chọn A AP )  = =  a, b  15 ( ) Tài liệu KYS Tài liệu liệu ơn thi chất lượng 229 Hình lăng trụ đứng Dạng Hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M N trung điểm AD BB’ Tính thể tích khối tứ diện A ' CMN A a3 B a3 C a3 16 D a3 32 Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, ta có: A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , C ( a; a; ) , D ( 0; a; ) , A ' ( 0; 0; a ) , B ' ( a; 0; a ) , C ' ( a; a; a ) , D ' ( 0; a; a ) Thể tích khối    V =  A ' N , A ' M  A ' C  6 tứ A ' CMN diện là:  a  a  Ta có: N  a; 0;  , M  0; ;  2        a    a ⇒ A ' N =  a; 0; −  , A ' M =  0; ; −a  , A ' C = ( a; a; −a ) 2       a2    a3 a2  a3 ⇒ A' N, A' M  = ; a ;  ⇒  A ' N , A ' M  A ' C = + a3 − = a3      2 4  Vậy = V 3 a3 = a ( dvtt ) Chọn B Dạng Hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh= AB a= , AD b= , AA ' c Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = AD = a, AA =' b Gọi M trung điểm cạnh CC’ Tính thể tích khối tứ diện BDA ' M a2 b A V = a2 b B V = a2 b C V = a2 b D V = 16 Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ có gốc O ≡ A Khi A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , C ( a; a; ) , D ( 0; a; ) ,  b A ' ( 0; 0; b ) , C ' ( a; a; b ) , M  a; a;  2       BD, BM BA '  6    b       ab ab 2 0; a ; Trong đó: BD = ( −a; a; ) , BM =   ⇒  BD, BM  =−  ; ; a  2   2      3a2 b a2 b   Vậy Chọn B BA ' = − a ; 0; b ⇒ BD , BM BA ' = − V = ( )   Thể tích khối tứ diện BDA ' M là: VBDA ' M = 230 Chương Phương pháp tọa độ không gian Tự học điểm 9l Dạng Hình hộp đứng đáy hình thoi ABCD A ' B ' C ' D ' Chọn hệ trục tọa độ cho gốc trùng với giao điểm O hai đường chéo AC,BD; hai trục Ox,Oy lần luowtj chứa hai đường chéo hình thoi trục Oz qua tâm đáy Ví dụ Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi cạnh AB = AD = a, AA =' a = 60° Gọi M , N trung điểm cạnh A ' D ' góc BAD A ' B ' Tính khoảng cách hai đường thẳng A ' C MN A a 15 10 B a 15 C a 15 20 D a 15 15 Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi ta a   a a 3 C ; 0;  , A '  − ; 0; ,    2     có:  a a a 3  a a a 3 M− ; ; ;− ; , N  −      4 4       a 3  A ' C = a 3; 0; −  ⇒ vtcp u1 =( 2; 0; −1)       a   = MN  0; ;  ⇒ = u2 ( 0;1; )      u1 , u2  A ' M a 15 Chọn C d ( MN , A ' C ) = =   20 u1 , u2  Dạng Hình lăng trụ đứng tam giác có đáy tam giác Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a, có AA1 = 2a vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Gọi D trung điểm BB1 Lấy điểm M di động cạnh AA1 Tìm giá trị lớn diện tích tam giác MC1D A SMC D = 3a2 B SMC D = 5a2 C SMC D = a2 42 D SMC D = a2 15 Hướng dẫn giải Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 231 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ cho: O ≡ A ( 0; 0; ) , B ( 0; a; ) , A1 ( 0; 0;2a ) a a  C1  ; ;2a  D ( 0; a; a ) Do M di động AA1  2    M ( 0; 0; t ) với t ∈  0;2a  Ta có:   =  DC1 , DM   2 có tọa độ SDC M   a a     a − t − 3a; ( t − a ) ; a DC1 = ; − ; a  , DM = 0; −a; t − a ) ⇒  DG, DM  =  (         2 a a ⇒  DG; DM = t − 3a ) + ( t − a ) + 3a2= 4t − 12at + 15a2 (   2 ( SDC= M ) a 4t − 12at + 15t Xét f ( t ) =4t − 12at + 15a2 , t ∈  0;2a  2 Ta có f ′ ( t ) = 8t − 12a, f ′ ( t ) = ⇔ t = 3a a2 15 ⇒ Smax = Dạng Hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vng Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân, AA =' 2a, AB = AC = a Gọi G, G ' trọng tâm tam giác ABC tam giác A ' B ' C ' I tâm hình chữ nhật AA ' B ' B Tính khoảng cách hai đường thẳng IG G ' C , biết hai đường thẳng song song với A 2a 41 B a 41 C 3a 41 D 4a 41 Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ A ≡ O ( 0; 0; ) Khi đó: B ( a; 0; ) , C ( 0; a; ) , A ' ( 0; 0;2a ) , B ' ( a; 0;2a ) , C ' ( 0; a;2a ) , a a  a a  a  G  ; ;  , G '  ; ;2a  , I  ; 0; a  ( I I’ trung điểm AB’ 3  3  2  A’B)   a a    a 2a    a 2a  ⇒ IG =− − =− − ; ; a , G ' C ; ; a ; ;0     , GC =−     3   3    G ' C , GC  Ta có d (= IG, G ' C ) d= ( G, G ' C )    G 'C     G ' C , GC  =  4a ; 2a ;  ⇒ d ( IG, G ' C ) = 2a   41   232 Chương Phương pháp tọa độ không gian Tự học điểm 9l ... là: A Hình B Hình C Hình D Hình Câu Cho hình sau: Hình Hình Hình Hình Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình khơng phải đa diện là: A Hình B Hình C Hình D Hình Câu Cho hình khối... Câu Hình hình sau khơng phải hình đa diện? A Hình chóp B Hình vng C Hình lập phương D Hình lăng trụ Câu Cho hình sau: Hình Hình Hình Hình Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình. .. Hình đa diện bên có cạnh? 16 A 21 B 22 C 23 D 24 Chương Khối đa diện Tự học điểm 9l BẢNG ĐÁP ÁN 10 B A D B B C C B B A 11 12 13 14 D D B C Lời giải chi tiết Câu Chọn A Lời giải Hình đa diện hình