Đang tải... (xem toàn văn)
ĐỊNH LÍ ROLL VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HÀM LỒI
Tập san khối chuyên Toán 2008-2009ĐỊNH LÍ ROLL VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HÀM LỒIA. Lý thuyết1.Bất đẳng thức hàm lồi• Định lí 1: Cho hàm số( )f xxác định trên khoảng( ),a b.1) Hàm số( )f xđược gọi là lồi trên khoảng đó ( ) ( )( )''0 ,f x x a b≤ ∀ ∈( )1 2, , , ,nx x x a b⇔ ∀ ∈ta có( ) ( ) ( )1 21 2 nnf x f x f xx x xfn n+ + ++ + ≤ Dấu “=” xảy ra khi 1 2 .nx x x= = =2) Hàm số( )f xđược gọi là lõm trên khoảng đó( ) ( )( )''0 ,f x x a b≥ ∀ ∈( )1 2, , , ,nx x x a b⇔ ∀ ∈ta có( ) ( ) ( )1 21 2 nnf x f x f xx x xfn n+ + ++ + ≥ Dấu “=” xảy ra khi 1 2 .nx x x= = =• Định lí 2: Giả sử hàm số( )f xgọi là lồi trên khoảng ( ),a b. Với n giá trị tùy ý 1 2, , ,nx x x của biến số x thuộc khoảng đó, với n số hữu tỉ 1 2, .,nr r r thỏa mãn điều kiện1 20 . 1, . 1inr i nr r r< =+ + + =Ta đều có: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 . .n n n nr f x r f x r f x f r x r x+ + + ≤ + +Dấu “=” xảy ra khi 1 2 .nx x x= = =- Ta có cách chứng minh cho định lí trên như sau:Viết các số hữu tỉ 1 2, , .,nr r rdưới dạng n phân số cùng mẫu chung M như sau:iimrM=với 1,i n=Ta có: 1 2 .nm m m M+ + + =Áp dụng định lí 1 cho 1m số 1x2m số 2x…nm số nxM⇒số. Ta có: ( )f xlà hàm lồi ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 1 2 21 1 2 2 1 1 2 2 . .n nn nn n n nm f x m f x m f xm x m x m xfM Mr f x r f x r f x f r x r x r x+ + ++ + + ⇒ ≤ ⇔ + + ≤ + + +• Ta có thể nói định lí 2 là hệ quả của định lí 1.2.Định lí Roll:- Nếu hàm số ( )y f x=lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình ( )0f x =sẽ không có quá 2 nghiệm thực thuộc DB. Các ví dụ áp dụng:- 1 - Tập san khối chuyên Toán 2008-2009I. Sử dụng tính lồi lõm của hàm số để chứng minh bất đẳng thức giả sử: 0M ≤Ta thực hiện các bước sau+ Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức về dạng:( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 21 21 21 2 nnnnf x f x f xx x xfn nf x f x f xx x xfn n+ + ++ + + ≥ + + ++ + + ≤ + Bước 2: Xét jhamf số ( )y f x=, dùng đạo hàm khẳng định hàm số là lồi hoặc lõm.+ Bước 3: Kết luận.• Ta có thể đến với các ví dụ sau để hiểu rõ hơn vấn đề trên.Ví dụ 1: Chứng minh rằng: 22 22 2x y x y+ + ≥ Giải: Xét hàm số: ( )2f x x=Ta có: ( ) ( )' ''2 , 2 0f x x f x x= = > ∀⇔hàm số lõm trên R.Do đó ,x y R∀ ∈ ta có:( ) ( )2 22 2.2 2 2 2f x f yx y x y x yf++ + + ≥ ⇔ ≥ • Mở rộng: Hàm số: ( ) ( )2mf x x m= ≥có ( ) ( )'' 21 0, 0mf x m m x x−= − > ∀ >Do vậy ( )f xlà hàm lõm trên khoảng đó và ta có kết quả:Với n số 1 2, , ., 0nx x x >ta có1 2 1 2 . .mm m mn nx x x x x xn n+ + + + + + ≤ Dấu “=” xảy ra 1 2 .nx x x⇔ = = =Ví dụ 2: Chứng minh rằng x, y > 0 ta có:ln lnln2 2x y x y+ + ≤ Giải: Xét hàm số: ( )lnf x x=Ta có: ( ) ( ) ( )' ''' 21 1; 0 0,f x f x xx x= = − < ∀ ∈ +∞⇔ Hàm lồi trên ( )0,+∞Do đó ( ), 0,x y∀ ∈ +∞ta có:( ) ( )ln lnln2 2 2 2f x f yx y x y x yf++ + + ≤ ⇔ ≤ Ví dụ 3: Chứng minh rằng với ( ), 0,x yπ∈ luôn có:sin x sinsin2 2y x y+ + ≤ Giải: Xét hàm số: ( )sinf x x=- 2 - Tập san khối chuyên Toán 2008-2009Ta có: ( ) ( ) ( )' ''cos , sin 0 0,f x x f x x xπ= = − ≤ ∀ ∈⇔Hàm số lồi trên ( )0,π.Do đó ( ), 0,x yπ∀ ∈ ta có:( ) ( )sin sinsin2 2 2 2f x f yx y x y x yf++ + + ≤ ⇔ ≤ • Chú ý: Từ bài toán trên ta thấy: Trong ABC∀∆ thì ( ), , 0,A B Cπ∀ ∈ luôn có:( ) ( ) ( )3 3f A f B f CA B Cf+ ++ + ≤ sin sin sinsin3 33 3sin sin sin2A B CA B Cπ+ + ⇔ ≤ ⇔ + + ≤Dấu “=” xảy ra ABC⇔ ∆đều.Ví dụ 4: Chứng minh rằng trong ABC∆ ta có:tan A tan tan 3 3B C+ + ≥Giải: Xét hàm số: ( )tan 0,2f x x xπ = ∈ Ta có: ( ) ( )'2 31 2sin, 0 0,os cos 2xf x f x xc x xπ = = > ∀ ∈ ⇒ hàm số lõm trên 0,2π .ABC∆ nhọn , , 0,2A B Cπ ⇒ ∈ ta có ( ) ( ) ( )3 3f A f B f CA B Cf+ ++ + ≥ tan tan tantan3 3tan tan tan 3 3A B CA B Cπ+ + ⇔ ≥ ⇔ + + ≥Ví dụ 5: Chứng minh trong mọi ABC∆ ta có2 2 2tan tan tan 12 2 2A B C+ + ≥• Bài toán này cần sử dụng nhiều hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức.Giải: Xét ( )2f x x=Ta có: ( ) ( )' ''2 ; 2 0f x x f x x= = > ∀ ⇔hàm lõm trên R.Do đó với tan ,tan , tan2 2 2A B Cta có- 3 - Tập san khối chuyên Toán 2008-200922 2 2tan tan tantan tan tan2 2 22 2 23 3tan tan tan tan tan tan2 2 2 2 2 23 3A B CA B Cf f ffA B C A B C + ++ + ≥ + + + + ⇔ ≥ • Xét ( )tang x x=( )''32sin0 0,os 2xg x xc xπ = > ∀ ∈ ⇔Hàm số lõm trên 0,2π Với , , 0,2 2 2 2A B Cπ ∈ ta có2 2 222 2 2tan tan tan32 2 2tan tan3 6 6 3tan tan tan32 2 23 3tan tan tan 12 2 2A B CA B CA B CA B Cπ+ ++ + ≥ = = + + ⇒ ≥ ⇔ + + ≥• Tổng quát: ta luôn có2 2 211tan tan tan2 2 2 3n n nnA B C−+ + ≥Thật vậy: 2 2 22 2 21tan tan tan1 12 2 2tan tan tan 3 3.2 2 2 3 3 3nn n nn nA B CA B C− + + + + ≥ ≥ = II. Sử dụng định lí Roll để giải phương trìnhGiả sử cần giải phương trình ( )0f x =- Ta có thể lựa chọn kết quả của định lí Roll bằng việc thực hiện theo các bước:+ Bước 1: Tìm tập xác định D của phương trình.+ Bước 2: Xét hàm số ( )y f x= trên DSử dụng đạo hàm khẳng định ( )y f x= lồi hoặc lõm trên D.+ Bước 3: Vậy phương trình (1) nếu có nghiệm sẽ không có quá hai nghiệm. Ta chỉ ra 1 2,x x D∈sao cho ( ) ( )1 20f x f x= =+ Bước 4: Kết luận.• Ví dụ 1: Giải phương trình23 1 3 8 3x x x+ = − +GiảiĐKXĐ: 1x ≥ −- 4 - Tập san khối chuyên Toán 2008-2009Phương trình23 1 3 8 3 0x x x⇔ + − + − =Xét ( )23 1 3 8 3f x x x x= + − + − trên [)1,D = − +∞ta có ( )( )( )''336 04 1f x x D f xx= − − < ∀ ∈ ⇒+là hàm lồi trên D.Vây phương trình nếu có nghiệm sẽ không có quá 2 nghiệm.Mà ( ) ( )0 3 0f f= =Do đó phương trình có 2 nghiệm: x = 0 và x = 3.• Ví dụ 2: Giải phương trình2132xx−=Giải: phương trình2132 0xx−⇔ − =Xét ( )2132xf x x−= − trên R ta có:( )21'32 ln 2.2 13xxf x−= −( )2 21 12''3 32ln 2 4 ln 2.2 .2 03 9x xxf x x− −= + > ∀ ⇒hàm số lõm.Vây phương trình không có quá 2 nghiệmMà ( ) ( )1 2 0f f= =Do đó phương trình có 2 nghiệm 12xx==• Ví dụ 3: Giải phương trình:( )33 1 log 1 2xx x= + + +Giải: ĐK 12 1 02x x−+ > ⇔ >Phương trình ( )33 1 2 log 1 2xx x x⇔ + = + + +Xét ( )3logf t t t= + là hàm lồi đồng biến với t > 0Khi đó: ( )( )3 1 2 3 1 2 3 1 2 0x x xf f x x x= + ⇔ = + ⇔ − − =Xét hàm số: ( )3 1 2xg x x= − −,1,2D− = +∞ ( )'3 .ln3 2xg x = −( ) ( )'' 23 .ln 3 0xg x x D g x= > ∀ ∈ ⇒là hàm lõm trên D⇔phương trình ( )0g x = có không quá 2 nghiệm.Mà ( ) ( )0 1 0g g= =Do đó phương trình có 2 nghiệm x = 0 và x = 1. Trên đây là ý kiến của em về việc sử dụng bất đẳng thức hàm lồi và định lí Roll trong việc giải phương trình và chứng minh bất đẳng thức. Từ đó chúng ta có thêm công cụ hữu hiệu để giải các bài toán về bất phương trình và phương trình. Tuy đơn giản nhưng bất đẳng thức hàm lồi và định lí Roll được ứng dụng rất rộng rãi. Nhưng ý kiến của em còn sơ sài vì vậy rất mong được bổ sung thêm. Em xin chân thành cảm ơn.- 5 - . 2008-2009ĐỊNH LÍ ROLL VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HÀM LỒIA. Lý thuyết1 .Bất đẳng thức hàm lồi Định lí 1: Cho hàm số( )f xxác định trên khoảng( ),a b.1) Hàm số( )f. ý kiến của em về việc sử dụng bất đẳng thức hàm lồi và định lí Roll trong việc giải phương trình và chứng minh bất đẳng thức. Từ đó chúng ta có thêm công