DI N ÀN TOÁN H C VI T NAM www.maths.vn OOO Tuy n t p B t đ ng th c Volume Biên t p: Võ Qu c Bá C n Tác gi toán: Tr n Qu c Lu t Thành viên tham gia gi i bài: Võ Qu c Bá C n (nothing) Ngô c L c (Honey_suck) Tr n Qu c Anh (nhocnhoc) Seasky Materazzi Τραν Θυοχ Λυατ∋σ Ινεθυαλιτιεσ ςο Θυοχ Βα Χαν − Πηαm Τηι Ηανγ Φεβρυαρψ 25, 2009 ιι Χοπψριγητ χ 2008 βψ ςο Θυοχ Βα Χαν Πρεφαχε ∀Λιφε ισ γοοδ φορ ονλψ τωο τηινγσ, δισχοϖερινγ mατηεmατιχσ ανδ τεαχηινγ mατηεmατιχσ.∀ Σ Ποισσον Βατ δανγ τηυχ λα mοτ τρονγ λινη ϖυχ ηαψ ϖα κηο Ηιεν ναψ, χο κηα νηιευ νγυοι θυαν ταm δεν νο βοι νο τηυχ συ ρατ δον γιαν, θυψεν ρυ ϖα βαν κηονγ χαν πηαι ∀ηοχ ϖετ∀ νηιευ δινη λψ δε χο τηε γιαι δυοχ χηυνγ Κηι ηοχ βατ δανγ τηυχ, ηαι διευ χυον ηυτ χηυνγ τα νηατ χηινη λα σανγ ταο ϖα γιαι βατ δανγ τηυχ Νηαm mυχ διχη κιχη τηιχη συ σανγ ταο χυα ηοχ σινη σινη ϖιεν νυοχ νηα, διεν δαν mατησϖν δα χο mοτ σο τοπιχ σανγ ταο βατ δανγ τηυχ δανη ριενγ χηο χαχ χα νηαν τρεν διεν δαν Τυψ νηιεν, χαχ τοπιχ δο χον ροι ραχ νεν τα χαν mοτ συ τονγ ηοπ λαι τηονγ νηατ ηον δε χηο βαν δοχ τιεν τηεο δοι, δο λα λι δο ρα δοι χυα θυψεν σαχη ναψ Θυψεν σαχη δυοχ τρινη βαψ τρονγ πηαν χηινη βανγ τιενγ Ανη ϖοι mυχ διχη γιυπ χηυνγ τα ρεν λυψεν τηεm νγοαι νγυ ϖα χο τηε γιοι τηιευ νο δεν χαχ βαν τρονγ ϖα νγοαι νυοχ Μαχ δυ δα χο γανγ βιεν σοαν νηυνγ σαι σοτ λα διευ κηονγ τηε τρανη κηοι, ρατ mονγ νηαν δυοχ συ γοπ ψ χυα βαν δοχ γαν ξα Μοι συ δονγ γοπ ψ κιεν ξιν δυοχ γυι ϖε ταχ για τηεο: βαβψλεαρνmατη≅ψαηοο.χοm Ξιν χηαν τηαν χαm ον! Θυψεν σαχη ναψ δυοχ τηυχ ηιεν ϖι mυχη διχη γιαο δυχ, mοι ϖιεχ mυα βαν τραο δοι τηυονγ mαι τρεν θυψεν σαχη ναψ δευ βι χαm νευ νηυ κηονγ χο συ χηο πηεπ χυα ταχ για ςο Θυοχ Βα Χαν ιιι ιϖ Πρεφαχε Χηαπτερ Προβλεmσ ∀Εαχη προβλεm τηατ Ι σολϖεδ βεχαmε α ρυλε, ωηιχη σερϖεδ αφτερωαρδσ το σολϖε οτηερ προβλεmσ.∀ Ρ Dεσχαρτεσ Γιϖεν α τριανγλε ΑΒΧ ωιτη τηε περιmετερ ισ 2π: Προϖε τηατ τηε φολλοωινγ ινεθυαλιτψ ηολδσ σ σ ρ β χ α β+χ χ+α α+β + + + + : π α π β π χ π α π β π χ Λετ α; β; χ βε νοννεγατιϖε ρεαλ νυmβερσ συχη τηατ α2 + β2 + χ2 + αβχ = 4: Προϖε τηατ τηε φολλοωινγ ινεθυαλιτψ ηολδσ α2 + β2 + χ2 α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 : Σηοω τηατ φορ ανψ ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ α; β; χ; ωε ηαϖε π α3 + β3 + χ3 + 6αβχ αβχ(α + β + χ)2 : Λετ α; β; χ βε νοννεγατιϖε ρεαλ νυmβερσ ωιτη συm 1: Dετερmινε τηε mαξιmυm ανδ mινιmυm ϖαλυεσ οφ Π(α; β; χ) = (1 + αβ)2 + (1 + βχ)2 + (1 + χα)2 : Λετ α; β; χ βε νοννεγατιϖε ρεαλ νυmβερσ ωιτη συm 1: Dετερmινε τηε mαξιmυm ανδ mινιmυm ϖαλυεσ οφ Π(α; β; χ) = (1 4αβ)2 + (1 4βχ)2 + (1 4χα)2 : Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ Προϖε τηατ β+χ χ+α α+β + + α β χ 4(αβ + βχ + χα) 1 1 + + α2 β2 χ2 : Προβλεmσ Λετ α; β; χ βε τηε σιδε οφ α τριανγλε Σηοω τηατ π π ∑(α + β)(α + χ) β + χ α 4(α + β + χ) (β + χ α)(χ + α β)(α + β χ): χψχ Γιϖεν α τριανγλε ωιτη σιδεσ α; β; χ σατισφψινγ α2 + β2 + χ2 = 3: Σηοω τηατ β+χ χ+α α+β π +π +π α+β χ β+χ α χ+α β 6: Γιϖεν α τριανγλε ωιτη σιδεσ α; β; χ σατισφψινγ α2 + β2 + χ2 = 3: Σηοω τηατ α π β+χ α β +π χ+α β χ +π α+β χ 3: 10 Σηοω τηατ ιφ α; β; χ αρε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ, τηεν α β χ + + α+β β+χ χ+α 1+ σ 2αβχ : (α + β)(β + χ)(χ + α) 11 Σηοω τηατ ιφ α; β; χ αρε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ, τηεν α α+β + β β+χ + χ χ+α α2 β + β2 χ + χ2 α 3αβχ + : (α + β)(β + χ)(χ + α) 12 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ Προϖε τηατ α2 + β2 + χ2 αβ + βχ + χα (α2 + β2 )(β2 + χ2 )(χ2 + α2 ) 8α2 β2 χ2 : 13 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ Προϖε τηε ινεθυαλιτψ (β + χ)2 (χ + α)2 (α + β)2 + + α(β + χ + 2α) β(χ + α + 2β) χ(α + β + 2χ) 3: 14 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ Προϖε τηε ινεθυαλιτψ (χ + α)2 (α + β)2 (β + χ)2 + + α(β + χ + 2α) β(χ + α + 2β) χ(α + β + 2χ) β+χ χ+α α+β + + : β + χ + 2α χ + α + 2β α + β + 2χ 15 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ Προϖε τηατ (β + χ)2 (χ + α)2 (α + β)2 + + α(β + χ + 2α) β(χ + α + 2β) χ(α + β + 2χ) α β χ + + : β+χ χ+α α+β 16 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ Προϖε τηατ α3 β3 + β3 χ3 + χ3 α3 (β + χ α)(χ + α β)(α + β χ)(α3 + β3 + χ3 ): 17 Ιφ α; β; χ αρε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ συχη τηατ αβχ = 1; σηοω τηατ ωε ηαϖε τηε φολλοωινγ ινεθυαλιτψ α3 + β3 + χ3 α β χ + + + : β+χ χ+α α+β 18 Γιϖεν νοννεγατιϖε ρεαλ νυmβερσ α; β; χ συχη τηατ αβ + βχ + χα + αβχ = 4: Προϖε τηατ α2 + β2 + χ2 + 2(α + β + χ) + 3αβχ 19 Λετ α; β; χ βε ρεαλ νυmβερσ ωιτη mιν φα; β; χγ 4(αβ + βχ + χα): ανδ αβ + βχ + χα = 3: Προϖε τηατ α3 + β3 + χ3 + 9αβχ 12: 20 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ συχη τηατ α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 = 1: Προϖε τηατ θ (α2 + β2 + χ2 )2 + αβχ (α2 + β2 + χ2 )3 4: 21 Σηοω τηατ ιφ α; β; χ αρε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ, τηε φολλοωινγ ινεθυαλιτψ ηολδσ (α + β + χ)2 (αβ + βχ + χα)2 + (αβ + βχ + χα)3 4αβχ(α + β + χ)3 : 22 Λετ α; β; χ βε ρεαλ νυmβερσ φροm τηε ιντερϖαλ [3; 4] : Προϖε τηατ (α + β + χ) αβ βχ χα + + χ α β 3(α2 + β2 + χ2 ): 23 Γιϖεν ΑΒΧ ισ α τριανγλε Προϖε τηατ χοσ2 Α χοσ2 Β χοσ2 Χ + χοσ 2Α χοσ 2Β χοσ 2Χ 0: 24 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ συχη τηατ α + β + χ = ανδ αβ + βχ + χα τηατ α2 + β2 + χ2 α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 : mαξ φαβ; βχ; χαγ : Προϖε Προβλεmσ Χηαπτερ Σολυτιονσ ∀Dον∋τ ϕυστ ρεαδ ιτ; γητ ιτ! Ασκ ψουρ οων θυεστιονσ, λοοκ φορ ψουρ οων εξαmπλεσ, δισχοϖερ ψουρ οων προοφσ Ισ τηε ηψποτηεσισ νεχεσσαρψ? Ισ τηε χονϖερσε τρυε? Wηατ ηαππενσ ιν τηε χλασσιχαλ σπεχιαλ χασε? Wηατ αβουτ τηε δεγενερατε χασεσ? Wηερε δοεσ τηε προοφ υσε τηε ηψποτηεσισ?∀ Π Ηαλmοσ, Ι Wαντ το βε α Ματηεmατιχιαν Προβλεm 2.1 Γιϖεν α τριανγλε ΑΒΧ ωιτη τηε περιmετερ ισ 2π: Προϖε τηατ τηε φολλοωινγ ινεθυαλιτψ ηολδσ σ σ ρ α β+χ χ+α α+β β χ + + + + : π α π β π χ π α π β π χ Σολυτιον Σεττινγ ξ = π ινεθυαλιτψ βεχοmεσ α; ψ = π β ανδ ζ = π ψ+ζ ζ+ξ ξ+ψ + + ξ ψ ζ χ; τηεν α = ψ + ζ; β = ζ + ξ ανδ χ = ξ + ψ: Τηε οριγιναλ ρ ψ+ζ 2+ + ξ ρ ρ ζ+ξ ξ+ψ 2+ + 2+ : ψ ζ Βψ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε ρ 2+ ψ+ζ ξ 2+ ψ+ζ ψ+ζ +4 = + 6: ξ ξ Ιτ φολλοωσ τηατ ρ ψ+ζ 2+ + ξ ! ρ ρ ζ+ξ ξ+ψ 2+ + 2+ ψ ζ ψ+ζ ζ+ξ ξ+ψ + + + 18: ξ ψ ζ Wε ηαϖε το προϖε ψ+ζ ζ+ξ ξ+ψ + + ξ ψ ζ ψ+ζ ζ+ξ ξ+ψ + + + 18; ξ ψ ζ 17 Ηενχε, ιτ συφ χεσ το προϖε τηατ (m + ν)(ν + π)(π + m) m + ν + π + 4mν 4νπ 4πm + + m+ν ν+ π π+m 8(mν + νπ + πm)2 ; ωηερε m = α2 ; ν = β2 ; π = χ2 : Τηισ ινεθυαλιτψ ισ εθυιϖαλεντ ωιτη mν(m ν)2 + νπ(ν π)2 + πm(π m)2 0; ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε Σολυτιον Αγαιν, ωε ωιλλ γιϖε τηε σολυτιον το τηε ινεθυαλιτψ (ξ2 + ψ2 )(ψ2 + ζ2 )(ζ2 + ξ2 ) (ξ + ψ + ζ)2 Ασσυmινγ τηατ ξ ψ 8(ξ2 ψ2 + ψ2 ζ2 + ζ2 ξ2 )2 : ζ; τηεν βψ Χαυχηψ Σχηωαρζ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε (ξ2 + ζ2 )(ψ2 + ζ2 ) (ξψ + ζ2 )2 : Ηενχε, ιτ συφ χεσ το προϖε τηατ (ξ2 + ψ2 )(ξψ + ζ2 )2 (ξ + ψ + ζ)2 8(ξ2 ψ2 + ψ2 ζ2 + ζ2 ξ2 )2 ; θ 2(ξ2 + ψ2 )(ξψ + ζ2 )(ξ + ψ + ζ) 4(ξ2 ψ2 + ψ2 ζ2 + ζ2 ξ2 ); Wε ηαϖε θ 2(ξ2 + ψ2 ) = ξ + ψ + (ξ ψ)2 π ξ + ψ + 2(ξ2 + ψ2 ) π (ξ ψ)2 = ξ+ψ+ ξ+ψ ξ+ψ+ ξ+ψ+ (ξ ψ)2 π ξ + ψ + 2(ξ + ψ) 3(ξ ψ)2 : 8(ξ + ψ) Τηερεφορε θ 2(ξ2 + ψ2 )(ξψ + ζ2 )(ξ + ψ + ζ) θ θ = ξψ(ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 ) + ζ(ξ + ζ)(ψ + ζ) 2(ξ2 + ψ2 ) θ 3ζ2 (ξ ψ)2 3(ξ ψ)2 ξψζ ξψ(ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 ) + ζ(ξ + ψ)(ξ + ζ)(ψ + ζ) + + : 8(ξ + ψ) Ιτ συφ χεσ το προϖε τηατ θ 3ζ2 (ξ ψ)2 3(ξ ψ)2 ξψζ ξψ(ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 ) + ζ(ξ + ψ)(ξ + ζ)(ψ + ζ) + + 8(ξ + ψ) θ ξψ (ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 ) Τηισ 4ξψ + ξψζ ξ + ψ + 3(ξ ψ)2 8(ξ + ψ) 21ξ2 προοφ σεεmσ το βε τηε mοστ χοmπλιχατεδ βυτ τηε ιδεα ισ ϖερψ ιντερεστινγ 4(ξ2 ψ2 + ψ2 ζ2 + ζ2 ξ2 ); 10ξψ + 21ψ2 ζ2 + ζ3 (ξ + ψ) 0: 18 Σολυτιονσ Wε ηαϖε θ ξψ (ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 ) θ ξζ (ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 ) 4ξψ Ηενχε, ιτ συφ χεσ το προϖε τηατ θ φ (ζ) = ξ (ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 ) 4ξψ + ξψ ξ + ψ + 21ξ2 3(ξ ψ)2 8(ξ + ψ) 4ξψ : 10ξψ + 21ψ2 ζ + ζ2 (ξ + ψ) 0: Αλσο, ωε ηαϖε φ (ζ) φ (ψ) = (ψ ζ) 21ξ2 + 13ψ2 18ξψ 8ξζ 8ψζ 0: Τηερεφορε θ φ (ψ) = ξ (ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 ) φ (ζ) = σινχε ψ)2 (ξ2 + ψ2 + 4ξψ) π (ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 ) + 4ξψ 2ξ(ξ 2ξ(ξ2 + ψ2 + 4ξψ) π (ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 ) + 4ξψ ψ(10ξ + 13ψ)(ξ 8(ξ + ψ) ψ)2 2ξ(ξ2 + ψ2 + 4ξψ) 2(ξ2 + ψ2 ) + 4ξψ ψ(10ξ + 13ψ) 8(ξ + ψ) = ψ)2 ψ(10ξ + 13ψ)(ξ 8(ξ + ψ) 4ξψ 8ξ3 + 22ξ2 ψ 15ξψ2 8(α + β)2 0; ψ(10ξ + 13ψ) 8(ξ + ψ) 13ψ3 0: Τηυσ, ουρ ινεθυαλιτψ ισ προϖεδ Σολυτιον (βψ Γαβριελ Dοσπινεσχυ) Wε ρεωριτε τηε ινεθυαλιτψ ιν τηε φορm (α2 + β2 )(β2 + χ2 )(χ2 + α2 ) 1 + + α β χ 8(α2 + β2 + χ2 )2 : Σεττινγ α2 + β2 = 2ξ; β2 + χ2 = 2ψ ανδ χ2 + α2 = 2ζ; τηεν ξ; ψ; ζ αρε τηε σιδε λενγτησ οφ α τριανγλε ανδ ωε mαψ ρεωριτε τηε ινεθυαλιτψ ασ π ψ+ζ +π ξ ζ+ξ +π ψ ξ+ψ ξ+ψ+ζ : π ξψζ ζ Βψ Ηολδερ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε ∑ πψ + ζ χψχ ξ !2 ∀ ∑ξ (ψ + ζ χψχ Ιτ συφ χεσ το σηοω τηατ ξψζ(ξ + ψ + ζ) ξ) ∑ξ3 (ψ + ζ χψχ ωηιχη ισ ϕυστ Σχηυρ∋σ Ινεθυαλιτψ φορ φουρτη δεγρεε Τηισ χοmπλετεσ τηε προοφ # (ξ + ψ + ζ)3 : ξ); 19 Προβλεm 2.13 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ Προϖε τηε ινεθυαλιτψ (β + χ)2 (χ + α)2 (α + β)2 + + α(β + χ + 2α) β(χ + α + 2β) χ(α + β + 2χ) 3: Σολυτιον Αφτερ υσινγ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ιτ συφ χεσ το προϖε τηατ (α + β)2 (β + χ)2 (χ + α)2 αβχ(α + β + 2χ)(β + χ + 2α)(χ + α + 2β): Νοω, αππλψινγ Χαυχηψ Σχηωαρζ Ινεθυαλιτψ ανδ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ωε οβταιν π (β + χ)2 α + βχ (β + χ)2 (α + β)(α + χ) α(β + χ) π +β+χ βχ βχ(2α + β + χ)2 : = βχ Σιmιλαρλψ, ωε ηαϖε (α + β)2 (χ + α)(χ + β) (χ + α)2 (β + χ)(β + α) αβ(α + β + 2χ)2 ; χα(χ + α + 2β)2 : Μυλτιπλψινγ τηεσε ινεθυαλιτιεσ ανδ τακινγ τηε σθυαρε ροοτ, ωε γετ τηε ρεσυλτ Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ: Σολυτιον Wε νεεδ το προϖε τηε ινεθυαλιτψ (α + β)2 (β + χ)2 (χ + α)2 αβχ(α + β + 2χ)(β + χ + 2α)(χ + α + 2β): Αχχορδινγ το τηε ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε αβχ(α + β + 2χ)(β + χ + 2α)(χ + α + 2β) 64 αβχ(α + β + χ)3 27 64 (α + β + χ)2 (αβ + βχ + χα)2 : 81 Ανδ ωε δεδυχε τηε προβλεm το (α + β)2 (β + χ)2 (χ + α)2 9(α + β)(β + χ)(χ + α) 64 (α + β + χ)2 (αβ + βχ + χα)2 ; 81 8(α + β + χ)(αβ + βχ + χα); αβ(α + β) + βχ(β + χ) + χα(χ + α) ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε βψ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ 6αβχ; 20 Σολυτιονσ Σολυτιον (βψ Ματεραζζι) Wε ωιλλ τρψ το ωριτε τηε ινεθυαλιτψ ασ τηε συm οφ σθυαρεσ, ωηιχη σηοωσ τηατ τηε οριγιναλ ινεθυαλιτψ ισ ϖαλιδ Ινδεεδ, ωε ηαϖε (β + χ)2 ∑ α(2α + β + χ) (β + χ)2 α(2α + β + χ) α(2α + β + χ) χψχ ∑ = χψχ β + χ 2α α(2α + β + χ) χψχ = (α + β + χ)∑ = (α + β + χ)∑ χψχ χ α α(2α + β + χ) α β α(2α + β + χ) = (α + β + χ)∑ α β β(2β + χ + α) α β α(2α + β + χ) χψχ (α β)2 (2α + 2β + χ) ; χψχ αβ(2α + β + χ)(2β + χ + α) = (α + β + χ)∑ ωηιχη ισ οβϖιουσλψ νοννεγατιϖε Σολυτιον Wε ηαϖε τηε φολλοωινγ ιδεντιτψ 27α 4(β + χ)2 + α(2α + β + χ) α + β + χ 13 = (7α + 4β + 4χ)(2α β χ)2 α(α + β + χ)(2α + β + χ) 0; ωηιχη ψιελδσ τηατ (β + χ)2 α(2α + β + χ) 13 27 α : α+β+χ Ιτ φολλοωσ τηατ (β + χ)2 39 ∑ α(2α + β + χ) χψχ 27 α β χ + + α+β+χ α+β+χ α+β+χ = 3: Προβλεm 2.14 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ Προϖε τηε ινεθυαλιτψ (χ + α)2 (α + β)2 (β + χ)2 + + α(β + χ + 2α) β(χ + α + 2β) χ(α + β + 2χ) χ+α α+β β+χ : + + β + χ + 2α χ + α + 2β α + β + 2χ Σολυτιον Wε mαψ ωριτε ουρ ινεθυαλιτψ ασ ∑ χψχ (β + χ)2 α(β + χ + 2α) ∑(β + χ 2α) χψχ Ασσυmινγ ωιτηουτ λοσσ οφ γενεραλιτψ τηατ α β+χ β 2α 2(β + χ) β + χ + 2α β+χ α(2α + β + χ) 0; 0: χ; τηεν ωε χαν εασιλψ χηεχκ τηατ χ+α 2β α+β 2χ; 21 ανδ β+χ α(2α + β + χ) χ+α β(2β + χ + α) α+β : χ(2χ + α + β) Ηενχε, ωε mαψ αππλψ τηε Χηεβψσηεϖ∋σ Ινεθυαλιτψ ασ φολλοω ∀ β+χ (β + χ ∑(β + χ 2α) α(2α + β + χ) ∑ χψχ χψχ #∀ 2α) β+χ ∑ α(2α + β + χ) χψχ # = 0: Τηισ χοmπλετεσ τηε προοφ Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ: Σολυτιον (βψ Ηονεψ_συχκ) Wε ηαϖε α νοτιχε τηατ (β + χ)(β + χ 2α) α(2α + β + χ) χψχ ∑ = = ∑ χψχ (β + χ)(χ α) α(2α + β + χ) (β + χ)(α β) α(2α + β + χ) ∑ (χ + α)(α β) β(2β + χ + α) (β + χ)(α β) α(2α + β + χ) χψχ = ∑ (α χψχ β)2 (2α2 + 2β2 + χ2 + 3αβ + 3βχ + 3χα) ; αβ(2α + β + χ)(2β + χ + α) ωηιχη ισ οβϖιουσλψ νοννεγατιϖε Σολυτιον Αγαιν, ωε νοτιχε τηατ (β + χ)(β + χ 2α) α(2α + β + χ) Ιτ φολλοωσ τηατ 3(β + χ 2α) (3α + 2β + 2χ)(2α β χ)2 = 2(α + β + χ) 2α(α + β + χ)(2α + β + χ) (β + χ)(β + χ 2α) α(2α + β + χ) χψχ ∑ 0: β + χ 2α = 0: 2∑ χψχ α + β + χ Προβλεm 2.15 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ Προϖε τηατ (χ + α)2 (α + β)2 (β + χ)2 + + α(β + χ + 2α) β(χ + α + 2β) χ(α + β + 2χ) Σολυτιον Wε σεε τηατ α β χ + + : β+χ χ+α α+β (β + χ)2 β+χ 4α = + α(β + χ + 2α) α 2α + β + χ 2: Ηενχε, ωε mαψ ωριτε τηε ινεθυαλιτψ ιν τηε φορm α β+χ + 4∑ α 2α + β+χ χψχ χψχ ∑ α + 6: β + χ χψχ 2∑ Νοω, υσινγ Χαυχηψ Σχηωαρζ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε β+χ α α =∑ + χ χψχ α χψχ β ∑ 4α ∑β+χ: χψχ 22 Σολυτιονσ Ιτ συφ χεσ το σηοω τηατ α α + 4∑ β + χ 2α + β+χ χψχ χψχ 2∑ 6; 2α α ∑ β + χ + ∑ 2α + β + χ 3; χψχ χψχ ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε βεχαυσε α 2α ∑ β + χ + ∑ 2α + β + χ χψχ χψχ + β+χ ∑α = χψχ 2α+β+χ ! 4α ∑ β + χ + 2α+β+χ χψχ α = 8∑ χψχ 2α + 3β + 3χ 8(α + β + χ)2 ∑ α(2α + 3β + 3χ) χψχ 4(α + β + χ)2 ; α2 + β2 + χ2 + 3(αβ + βχ + χα) = ανδ 4(α + β + χ)2 3(α2 + β2 + χ2 ) 9(αβ + βχ + χα) = α2 + β2 + χ2 αβ βχ χα Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ: Προβλεm 2.16 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ Προϖε τηατ α3 β3 + β3 χ3 + χ3 α3 (β + χ α)(χ + α β)(α + β Σολυτιον Βψ Σχηυρ∋σ Ινεθυαλιτψ φορ τηιρδ δεγρεε, ωε ηαϖε ∀ 3 3 3 α β +β χ +χ α αβχ ∑αβ(α + β) χ)(α3 + β3 + χ3 ): # 3αβχ : χψχ Ιτ συφ χεσ το προϖε τηατ ∀ αβχ ∑αβ(α + β) # 3αβχ χψχ (β + χ α)(χ + α β)(α + β χ)(α3 + β3 + χ3 ); ωηιχη ισ εθυιϖαλεντ το εαχη οφ τηε φολλοωινγ ινεθυαλιτιεσ ∑ αβ(α + β) 3αβχ χψχ (β + χ α3 + β3 + χ3 (β + χ α)(χ + α β)(α + β αβχ α)(χ + α β)(α + β αβχ χ) ∑ αβ(α + β) χ) ; 3αβχ χψχ α3 + β3 + χ3 ; 0: 23 ∑ α(α β)(α ∑ α(α χ) χψχ β)(α χ) χψχ ; α3 + β3 + χ3 αβχ αβχ)∑α(α (α3 + β3 + χ3 β)(α χ) 0; χψχ ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε βψ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ ανδ Σχηυρ∋σ Ινεθυαλιτψ φορ τηιρδ δεγρεε Σολυτιον Wιτηουτ λοσσ οφ γενεραλιτψ, ωε mαψ ασσυmε τηατ α β χ; τηεν ωε ηαϖε χασεσ Χασε Ιφ β + χ α; τηεν τηε ινεθυαλιτψ ισ τριϖιαλ σινχε (β + χ Χασε Ιφ β + χ α)(χ + α β)(α + β χ) 0: α; τηεν ωε ηαϖε (χ + α β)(α + β χ) = α2 (β χ)2 α2 ; β χ α2 βχ(β + χ α)2 = βχ [βχ + α(β + χ α)] (α 3 β)(α χ) 0: Ιτ συφ χεσ το προϖε τηατ α3 (β3 + χ3 ) + α2 βχ(β + χ α)2 α2 (β + χ α(β3 + χ3 ) + βχ(β + χ α)2 (β + χ α)(α3 + β3 + χ3 ); α)(α3 + β3 + χ3 ): Νοω, σινχε τηισ ινεθυαλιτψ ισ ηοmογενεουσ, ωε χαν ασσυmε τηατ β + χ = ανδ πυτ ξ = βχ; τηεν ανδ 41 ξ α(1 α): Τηε αβοϖε ινεθυαλιτψ βεχοmεσ α)2 3ξ) + ξ(1 α(1 (1 8α + α2 )ξ + α4 φ (ξ) = (4 α)(α3 + α3 + 2α 3ξ); 0: Wε σεε τηατ φ (ξ) ισ α λινεαρ φυνχτιον οφ ξ; τηυσ φ (ξ) mιν φ ; φ (α(1 α)) : Βυτ, ωε ηαϖε φ = α2 (2α 1)2 0; ανδ φ (α(1 α)) = (2α 1)3 0: Τηυσ, ουρ προοφ ισ χοmπλετεδ Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ: Σολυτιον (βψ νηοχνηοχ) Βψ εξπανδινγ, ωε σεε τηατ τηε γιϖεν ινεθυαλιτψ ισ εθυιϖαλεντ το ∑α6 + 3∑α3 β3 + 2αβχ∑α3 ∑αβ(α4 + β4 ) + ∑α2 β2 (α2 + β2 ) + αβχ∑αβ(α + β); χψχ ∑ χψχ χψχ χψχ α6 + β6 + 3α3 β3 αβ(α4 + β4 ) χψχ χψχ χψχ α2 β2 (α2 + β2 ) + αβχ∑ α3 + β3 αβ(α + β) χψχ (α4 + β4 2∑ χψχ Σα (β 3α2 β2 )(α β)2 + αβχ∑(α β)2 (α + β) χψχ χ)2 + Σβ (χ α)2 + Σχ (α β)2 0; 0; 0; α 24 Σολυτιονσ ωηερε Σα Σβ Σχ = β4 + χ4 = χ4 + α4 = α4 + β4 Wιτηουτ λοσσ οφ γενεραλιτψ, ωε mαψ ασσυmε τηατ α ωε ηαϖε Σβ + Σχ = 2α4 + β4 2α4 + β4 = 2α4 + β4 > 2α4 + β4 3β2 χ2 + 2αβχ(β + χ); 3χ2 α2 + 2αβχ(χ + α); 3α2 β2 + 2αβχ(α + β): β χ; τηεν ιτ ισ εασψ το χηεχκ τηατ Σα ; Σβ 0: Μορεοϖερ, 3α2 β2 + χ4 + 2αβχ(2α + β + χ) 3α2 χ2 3α2 β2 + χ4 + 2αχ2 (2α + β + χ) 3α2 χ2 3α2 β2 + χ4 + αχ2 (α + 2β + 2χ) 3α2 β2 = (α2 β2 )(2α2 β2 ) 0: Ιτ φολλοωσ τηατ Σα (β χ)2 + Σβ (χ α)2 + Σχ (α β)2 Σβ (χ α)2 + Σχ (α β)2 Σβ (χ α)2 Σβ (α β)2 = Σβ (β χ)(2α β χ) 0: Τηισ χοmπλετεσ τηε προοφ Προβλεm 2.17 Ιφ α; β; χ αρε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ συχη τηατ αβχ = 1; σηοω τηατ ωε ηαϖε τηε φολλοωινγ ιν− εθυαλιτψ α β χ α3 + β3 + χ3 + + + : β+χ χ+α α+β Σολυτιον Βψ ΓΜ−ΗΜ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε τηατ 4α 4β 4χ + + +6 β+χ χ+α α+β α 1 1 1 + + + +β +χ +6 β χ χ α α β = α2 (β + χ) + β2 (χ + α) + χ2 (α + β) + 6αβχ 2α2 (β + χ) + 2β2 (χ + α) + 2χ2 (α + β) = 2αβ(α + β) + 2βχ(β + χ) + 2χα(χ + α) 2(α3 + β3 ) + 2(β3 + χ3 ) + 2(χ3 + α3 ) = 4(α3 + β3 + χ3 ): Ηενχε β χ α + + + : β+χ χ+α α+β Ουρ προοφ ισ χοmπλετεδ Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ = 1: α3 + β3 + χ3 Ρεmαρκ Wε χαν προϖε τηατ τηε στρονγερ ινεθυαλιτψ ηολδσ α3 + β3 + χ3 π 6+4 α β χ + + β+χ χ+α α+β : 25 Ινδεεδ, τηισ ινεθυαλιτψ ισ εθυιϖαλεντ το εαχη οφ τηε φολλοωινγ α3 + β3 + χ3 αβχ (α + β + χ) ∑ (α π 6+4 β)(α χ) χψχ αβχ Ξ(α β)(α χ) +Ψ (β α β χ + + β+χ χ+α α+β π 3+2 χ)(β ; (2α + β + χ)(α β)(α χ) ; (α + β)(β + χ)(χ + α) χψχ ∑ α) + Ζ(χ α)(χ β) 0; ωηερε Ξ π (α + β + χ)(α + β)(β + χ)(χ + α) + 2 (2α + β + χ) αβχ π (α + β + χ)(β + χ) α(α + β + χ) = +1 + 2 (2α + β + χ) α βχ π (α + β + χ)(β + χ) 4α(α + β + χ) + 2 (2α + β + χ) +1 α (β + χ) π (α + β + χ)(2α + β + χ) 2 0; = (2α + β + χ) α(β + χ) = ανδ Ψ; Ζ αρε σιmιλαρ Νοω, ασσυmε τηατ α β Ξ(α β)(α χ; τηεν ωε σεε τηατ Ζ χ) +Ψ (β χ)(β α) + Ζ(χ Ψ Ξ; τηυσ α)(χ Ψ (β Ψ (β = Ψ (β β) χ)(β α) + Ζ(χ χ)(β α) +Ψ (χ χ)2 0: α)(χ α)(χ β) β) Προβλεm 2.18 Γιϖεν νοννεγατιϖε ρεαλ νυmβερσ α; β; χ συχη τηατ αβ + βχ + χα + αβχ = 4: Προϖε τηατ α2 + β2 + χ2 + 2(α + β + χ) + 3αβχ 4(αβ + βχ + χα): Σολυτιον Σεττινγ π = α + β + χ; θ = αβ + βχ + χα ανδ ρ = αβχ: Τηε γιϖεν χονδιτιον γιϖεσ υσ θ + ρ = 4; ανδ ωε ηαϖε το προϖε π2 2θ + 2π + 3(4 θ) 4θ; π2 + 2π + 12 Ιφ π 4; τηεν ιτ ισ τριϖιαλ βεχαυσε π2 + 2π + 12 Ιφ π 16 + + 12 = 36 3;4 αππλψινγ Σχηυρ∋σ Ινεθυαλιτψ φορ τηιρδ δεγρεε, ωε ηαϖε π3 Ιν 9θ: ηερε, ωε ηαϖε π βεχαυσε π2 + π3 27 4πθ + 9ρ θ + ρ = 4; ωηιχη γιϖεσ υσ π 0; 3: 9θ: 26 Σολυτιονσ ωηιχη ψιελδσ τηατ π3 4πθ + 9(4 ορ θ) 0; π3 + 36 : 4π + θ Ιτ φολλοωσ τηατ π2 + 2π + 12 π3 + 36 4π + (5π + 18)(4 π)(π 3) 0: 4π + π2 + 2π + 12 9θ = Τηισ χοmπλετεσ ουρ προοφ Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ = ορ α = β = 2; χ = ανδ ιτσ χψχλιχ περmυτατιονσ Προβλεm 2.19 Λετ α; β; χ βε ρεαλ νυmβερσ ωιτη mιν φα; β; χγ α3 + β3 + χ3 + 9αβχ ανδ αβ + βχ + χα = 3: Προϖε τηατ 12: Σολυτιον Νοτιχε τηατ φροm τηε γιϖεν χονδιτιον, ωε ηαϖε α2 = (αβ + βχ + χα) 16 16 α(β + χ) > α(β + χ): 16 Ιτ φολλοωσ τηατ 8α > β + χ: Σιmιλαρλψ, ωε ηαϖε 8β > χ + α ανδ 8χ > α + β: Νοω, υσινγ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ωε οβταιν π 36 = 4(αβ + βχ + χα) 3(αβ + βχ + χα) 3(αβ + βχ + χα) 2(αβ + βχ + χα) α + β + χ + : α+β+χ Ανδ ωε δεδυχε τηε ινεθυαλιτψ το 3∑α + 27αβχ χψχ 3∑α + 27αβχ χψχ χψχ ∑αβ ! ! χψχ χψχ ανδ 6(αβ + βχ + χα)2 ; α+β+χ ∑α ! 3∑α + 27αβχ χψχ + ! ∑αβ ∑αβ 6(αβ + βχ + χα)2 α+β+χ ∑α χψχ ! ! Wε ηαϖε 6(αβ + βχ + χα)2 α+β+χ ∑α χψχ ! ! ∑α χψχ χψχ ∑αβ χψχ = ∑(3α = β ∑α χψχ χ)(α ! β)(α ! ∑αβ χψχ χ); χψχ 2(αβ + βχ + χα) (α α+β+χ ∑ χψχ β)(α χ): ; 27 Ηενχε, ωε mαψ ωριτε τηε αβοϖε ινεθυαλιτψ ασ Ξ(α β)(α χ) +Ψ (β χ)(β α) + Ζ(χ α)(χ β) 0; ωηερε 4(αβ + βχ + χα) (β χ)2 + 6α 2β 2χ + α+β+χ α+β+χ 4α(β + χ) + (β + χ)2 + 6α 2β 2χ α+β+χ 6α2 + (β + χ)(8α β χ) > 0; α+β+χ = Ξ = = ανδ Ψ; Ζ αρε σιmιλαρ Wε ωιλλ νοω ασσυmε τηατ α Ξ Ψ β χ; τηεν 4α(β + χ) + (β + χ)2 4β(χ + α) (χ + α)2 + 8(α β) α+β+χ (α β)(α + β 2χ) (α β)(7α + 7β + 10χ) = 8(α β) = α+β+χ α+β+χ = 0: Ιτ φολλοωσ τηατ Ξ(α β)(α χ) +Ψ (β χ)(β α) + Ζ(χ α)(χ β) Ξ(α β)(α χ) +Ψ (β χ)(β α) Ψ (α β)(α χ) +Ψ (β χ)(β α) = Ψ (α β)2 0: Τηισ χοmπλετεσ ουρ προοφ Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ = 1: Προβλεm 2.20 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ συχη τηατ α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 = 1: Προϖε τηατ θ (α2 + β2 + χ2 )2 + αβχ (α2 + β2 + χ2 )3 4: Σολυτιον Αχχορδινγ το ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ ανδ Χαυχηψ Σχηωαρζ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε θ θ (α2 + β2 + χ2 )3 3(α2 + β2 + χ2 )(α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 ) θ 3(α2 + β2 + χ2 ) α + β + χ: = Ιτ συφ χεσ το σηοω τηατ (α2 + β2 + χ2 )2 + αβχ(α + β + χ) α4 + β4 + χ4 + αβχ(α + β + χ) ∑α2 (α χψχ β)(α 4; 2(α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 ); χ) + ∑αβ(α β)2 0; χψχ ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε βψ Σχηυρ∋σ Ινεθυαλιτψ φορ φουρτη δεγρεε Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ = ορ α = β = 1; χ = ανδ ιτσ χψχλιχ περmυτατιονσ π 28 Σολυτιονσ Προβλεm 2.21 Σηοω τηατ ιφ α; β; χ αρε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ, τηε φολλοωινγ ινεθυαλιτψ ηολδσ (α + β + χ)2 (αβ + βχ + χα)2 + (αβ + βχ + χα)3 4αβχ(α + β + χ)3 : Σολυτιον Σεττινγ ξ = α1 ; ψ = 1β ; ζ = 1χ ; τηεν ωε mαψ ωριτε τηε αβοϖε ινεθυαλιτψ ιν τηε φορm (ξ + ψ + ζ)2 (ξψ + ψζ + ζξ)2 + ξψζ(ξ + ψ + ζ)3 4(ξψ + ψζ + ζξ)3 : Υσινγ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε ξψζ(ξ + ψ + ζ)3 3ξψζ(ξ + ψ + ζ)(ξψ + ψζ + ζξ); ανδ ωε χαν δεδυχε τηε ινεθυαλιτψ το (ξ + ψ + ζ)2 (ξψ + ψζ + ζξ) + 3ξψζ(ξ + ψ + ζ) 4(ξψ + ψζ + ζξ)2 ; ωηιχη χαν βε εασιλψ σιmπλιεδ το ψ)2 + ψζ(ψ ξψ(ξ ζ)2 + ζξ(ζ ξ)2 0; ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε ανδ τηισ χοmπλετεσ ουρ προοφ Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ: Προβλεm 2.22 Λετ α; β; χ βε ρεαλ νυmβερσ φροm τηε ιντερϖαλ [3; 4] : Προϖε τηατ (α + β + χ) αβ βχ χα + + χ α β 3(α2 + β2 + χ2 ): Σολυτιον Τηε γιϖεν χονδιτιον σηοωσ τηατ α; β; χ αρε τηε σιδε λενγτησ οφ α τριανγλε, ηενχε ωε mαψ πυτ α = ψ + ζ; β = ζ + ξ ανδ χ = ξ + ψ ωηερε ξ; ψ; ζ > 0: Τηε αβοϖε ινεθυαλιτψ βεχοmεσ ∀ # (ξ + ψ)(ξ + ζ) (ξ + ψ + ζ) ∑ 3(ξ2 + ψ2 + ζ2 + ξψ + ψζ + ζξ): ψ + ζ χψχ Wε ηαϖε ∀ (ξ + ψ)(ξ + ζ) (ξ + ψ + ζ) ∑ ψ+ζ χψχ # ξ(ξ + ψ)(ξ + ζ) + ∑(ξ + ψ)(ξ + ζ) ψ+ζ χψχ χψχ = ∑ = ∑ ξ(ξ2 + ψζ) + 2∑ξ2 + 3∑ξψ: ψ+ζ χψχ χψχ χψχ Φροm τηισ, ωε mαψ ρεωριτε ουρ ινεθυαλιτψ ασ ξ(ξ2 + ψζ) ψ(ψ2 + ζξ) ζ(ζ2 + ξψ) + + ψ+ζ ζ+ξ ξ+ψ ξ(ξ ψ)(ξ ψ+ζ ζ) + ψ(ψ ζ)(ψ ζ+ξ ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε βψ ςορνιχυ Σχηυρ Ινεθυαλιτψ Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ: ξ) + ζ(ζ ξ2 + ψ2 + ζ2 ; ξ)(ζ ξ+ψ ψ) 0; 29 Σολυτιον (βψ νηοχνηοχ) Wε ωιλλ ρεωιτε τηε ινεθυαλιτψ ασ α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 αβχ(α + β + χ) αβχ α βχ (β α+β+χ χ)2 + Σα (β β χα 3(α2 + β2 + χ2 ) (α + β + χ)2 ; α+β+χ (χ α+β+χ χ)2 + Σβ (χ α)2 + α)2 + Σχ (α β)2 χ αβ (α α+β+χ β)2 0; 0; ωηερε β χ α ; Σβ = ; Σχ = : βχ α + β + χ χα α + β + χ αβ α + β + χ Wιτηουτ λοσσ οφ γενεραλιτψ, ωε mαψ ασσυmε τηατ α β χ: Ιτ ισ εασψ το σεε τηατ Σα Σβ Σχ : Μορεοϖερ, ωε ηαϖε β χ 4 2(β + χ α) Σ β + Σχ = + = >0 χα αβ α + β + χ α α + β + χ α+β+χ σινχε β + χ > α: Ιτ φολλοωσ τηατ Σα Σβ 0: Ανδ ωε οβταιν Σα = χ)2 + Σβ (χ Σα (β α)2 + Σχ (α β)2 Σβ (χ α)2 + Σχ (α β)2 Σβ (χ α)2 Σβ (α β)2 = Σβ (β χ)(2α β χ) 0: Τηισ χοmπλετεσ τηε προοφ Προβλεm 2.23 Γιϖεν ΑΒΧ ισ α τριανγλε Προϖε τηατ χοσ2 Α χοσ2 Β χοσ2 Χ + χοσ 2Α χοσ 2Β χοσ 2Χ 0: Σολυτιον (βψ Ηονεψ_συχκ) Σινχε χοσ2 Α+χοσ2 Β+χοσ2 Χ +2 χοσ Α χοσ Β χοσΧ = ανδ χοσ Α χοσ Β χοσΧ ιτ φολλοωσ τηατ χοσ2 Α + χοσ2 Β + χοσ2 Χ ; ανδ (1 χοσ2 Α χοσ2 Β χοσ2 Χ)2 = χοσ2 Α χοσ2 Β χοσ2 Χ: Σεττινγ α = χοσ2 Α; β = χοσ2 Β ανδ χ = χοσ2 Χ; τηεν α + β + χ προϖε τηατ 8αβχ + (2α 1)(2β 1)(2χ 16αβχ + 2(α + β + χ) 4(α + β + χ 1)2 = 4αβχ: Wε νεεδ το ανδ (α + β + χ 1) 0; 4(αβ + βχ + χα) + 1; 1)2 + 2(α + β + χ) 4(αβ + βχ + χα) + 1: Βψ Σχηυρ∋σ Ινεθυαλιτψ φορ τηιρδ δεγρεε, ωε ηαϖε 4(αβ + βχ + χα) = (α + β + χ)3 + 9αβχ α+β+χ 4(α + β + χ)3 + 9(α + β + χ 4(α + β + χ) 1)2 8; : 30 Σολυτιονσ Ιτ συφ χεσ το σηοω τηατ 4(α + β + χ 1)2 + 2(α + β + χ) 1)2 + 2π 4(π 4(α + β + χ)3 + 9(α + β + χ 4(α + β + χ) 4π3 + 9(π 4π 3(4π 1)2 + 1; + 1; (π = α + β + χ) 1)2 3)(π 4π 1)2 0; 4: ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε σινχε π Προβλεm 2.24 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ συχη τηατ α + β + χ = ανδ αβ + βχ + χα mαξ φαβ; βχ; χαγ : Προϖε τηατ α2 + β2 + χ2 α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 : Σολυτιον Τηε δεσιρεδ ινεθυαλιτψ ισ εθυιϖαλεντ το εαχη οφ τηε φολλοωινγ ινεθυαλιτιεσ (α + β + χ)2 (α2 + β2 + χ2 ) (α + β + χ)2 3(α2 + β2 + χ2 ) 9(α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 ) ; α2 + β2 + χ2 9(α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 ) α2 + β2 + χ2 ∑ (α2 β2 )(α2 χ2 ) χψχ α2 + β2 + χ2 Ξ(α 9(α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 ); χ) +Ψ (β β)(α 3(α2 + β2 + χ2 ) 2∑(α β)(α (α + β + χ)2 ; χ); χψχ χ)(β α) + Ζ(χ α)(χ β) 0; ωηερε Ξ ανδ Ψ; Ζ αρε σιmιλαρ Νοω, ωε ασσυmε τηατ α β = 3(α + β)(α + χ) 2(α2 + β2 + χ2 ) + 2(β χ)2 = α2 + 3α(β + χ) βχ > αβ + βχ + χα 2βχ αβ + βχ + χα mαξ φαβ; βχ; χαγ 0; χ; τηεν Ξ Ψ = (α β)(α + β + 4χ) 0: Ιτ φολλοωσ τηατ Ξ(α β)(α χ) +Ψ (β χ)(β α) + Ζ(χ α)(χ β) Ξ(α β)(α χ) +Ψ (β χ)(β α) Ψ (α β)(α χ) +Ψ (β χ)(β α) = Ψ (α β)2 0: Τηισ χοmπλετεσ ουρ προοφ Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ: ... + ρ = 4; ανδ ωε ηαϖε το προϖε π2 2θ + 2π + 3(4 θ) 4θ; π2 + 2π + 12 Ιφ π 4; τηεν ιτ ισ τριϖιαλ βεχαυσε π2 + 2π + 12 Ιφ π 16 + + 12 = 36 3;4 αππλψινγ Σχηυρ∋σ Ινεθυαλιτψ φορ τηιρδ δεγρεε, ωε ηαϖε... τηατ π3 4πθ + 9(4 ορ θ) 0; π3 + 36 : 4π + θ Ιτ φολλοωσ τηατ π2 + 2π + 12 π3 + 36 4π + (5π + 18)(4 π)(π 3) 0: 4π + π2 + 2π + 12 9θ = Τηισ χοmπλετεσ ουρ προοφ Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β... πρεσεντ α νονστανδαρδ προοφ φορ ιτ, τηισ προοφ σεεmσ το βε χοmπλιχατεδ βυτ ιτ ισ νιχε αβουτ ιτσ ιδεα 12 Σολυτιονσ α2 (2α β χ)2 β2 (2β χ α)2 χ2 (2χ α β)2 + + (β + χ)2 (χ + α)2 (α + β)2 Wιτηουτ λοσσ