Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp neville Cho hàm f được xác định tại các điểm x0, x1, x2, … xn và m1, m2, …, mk là k số nguyên phân biệt sao cho 0 ≤ mi ≤ n. Khi đó, đa thức Largange cho hàm f(x) tại k điểm xm1, xm2, …, xmk được kí hiệu là Pm1,m2, …,mk(x). Cho hàm f được xác định tại các điểm x0, x1, x2, … xk và xj, xi là hai số phân biệt trong bộ số trên. Khi đó, P(x) =((
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CHƯƠNG TRÌNH CHẤT LƯỢNG CAO VIỆT-PHÁP Mơn: Phương Pháp Tính NEVILLE’SMETHOD METHOD NEVILLE’S Lớp: VP2016/1 Nhóm Tp Hồ Chí Minh, ngày 19 tháng năm 2018 GVHD: ThS Lê Thái Thanh Nhóm Vy Bảo Đạt 1610685 Lý Trung Kiên 1611682 Huỳnh Thế Hào 1610875 Nguyễn Hồng Chung 1510313 Võ Nguyễn Gia Luật 1611944 Phương pháp Neville Bài tập áp dụng Phương pháp Neville Định nghĩa Cho hàm f xác định điểm x0, x1, x2, … xn m1, m2, …, mk k số nguyên phân biệt cho ≤ mi ≤ n Khi đó, đa thức Largange cho hàm f(x) k điểm xm1, xm2, …, xmk kí hiệu Pm1,m2, …,mk(x) Ví dụ: Cho hàm f(x) = Xác định đa thức nội suy ex điểm x0 = 1, x1 = , x2 = 3, x3 = , x4 = sử dụng P xthức ) để tính xấp xỉ f(5) 1,2,4 (đa ► Đây đa thức Lagrange cho hàm f(x) điểm P1,2,4 ( x ) = x1 = , x2 = 3, x4 = ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x2 )( x − x4 ) ( x − x1 )( x − x4 ) f ( x4 ) + f ( x1 ) + f ( x2 ) ( x4 − x1 )( x4 − x2 ) ( x1 − x2 )( x1 − x4 ) ( x2 − x1 )( x2 − x4 ) P1,2,4 ( x ) = ( x − 2)( x − 3) ( x − 3)( x − 6) ( x − 2)( x − 6) e + e + e (6 − 2)(6 − 3) (2 − 3)(2 − 6) (3 − 2)(3 − 6) ⇒ f (5) ≈ P1,2,4 (5) = (5 − 2)(5 − 3) (5 − 3)(5 − 6) (5 − 2)(5 − 6) e + e + e (6 − 2)(6 − 3) (2 − 3)(2 − 6) (3 − 2)(3 − 6) = e − e + e3 ≈ 218.105 2 Định lý Cho hàm f xác định điểm x0, x1, x2, … xk xj, xi hai số phân biệt số Khi đó, P(x) = đa thứ Larange thứ k nội suy hàm f k +1 điểm x0, x1, x2, …, xk Chứng minh: Để dễ dàng chứng minh, ta đặt: Q = P0,1,2, ,i −1,i +1, , k = ( x − x0 )( x − x1 ) ( x − xi −1 )( x − xi +1 ) ( x − xk −1 ) f ( xk ) + ( xk − x0 )( xk − x1 ) ( xk − xi −1 )( xk − xi +1 ) ( xk − xk −1 ) Và: ) Q = P0,1,2, , j −1, j +1, , k = => Q(x) ( x − x0 )( x − x1 ) ( x − x j −1 )( x − x j +1 ) ( x − xk −1 ) ( xk − x0 )( xk − x1 ) ( xk − x j −1 )( xk − x j +1 ) ( xk − xk −1 ) ) Q xthức ) có bậc các(đa , ≤ k P( x) có bậc cao k f ( xk ) + Chứng minh: Xét x = xi Ta có: ) ( xi − x0 )( xi − x1 ) ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) ( xi − xk ) Q ( xi ) = f ( xi ) = f ( xi ) ( xi − x0 )( xi − x1 ) ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) ( xi − xk ) ⇒ P ( xi ) = ) ( xi − x j )Q ( xi ) − ( xi − xi )Q ( xi ) xi − x j ) = Q ( xi ) = f ( xi ) Chứng minh: Xét x = xj Ta có: Q( x j ) = ( x j − x0 )( x j − x1 ) ( x j − x j −1 )( x j − x j +1 ) ( x j − xk ) ( x j − x0 )( x j − x1 ) ( x j − x j −1 )( x j − x j +1 ) ( x j − xk ) ⇒ P( x j ) = ) ( x j − x j )Q ( x j ) − ( x j − xi )Q ( x j ) xi − x j f (x j ) = f (x j ) = Q( x j ) = f ( x j ) Chứng minh: Xét x = với xr ≤ r ≤ k , r ≠ i, r ≠ j Ta có: Q ( xr ) = ( xr − x0 )( xr − x1 ) ( xr − x j ) ( xr − xk ) ( xr − x0 )( xr − x1 ) ( xr − x j ) ( xr − xk ) f ( xr ) = f ( xr ) ) ( xr − x0 )( xr − x1 ) ( xr − xi ) ( xr − xk ) Q ( xr ) = f ( xr ) = f ( xr ) ( xr − x0 )( xr − x1 ) ( xr − xi ) ( xr − xk ) ⇒ P ( xr ) = ) ( xr − x j )Q ( xr ) − ( xr − xi )Q ( xr ) xi − x j = ( xr − x j − xr + xi ) xi − x j f ( xr ) = f ( xr ) ► Để hạn chế số số nhiều, gây khó khăn cho ghi chép tính tốn, ta đặt: Qij = Pi − j ,i − j +1, ,i −1,i Với 0≤ j≤i đa thức nội suy bậc j qua j+1 điểm : xi − j , xi − j +1 , , xi −1 , xi ►Khi đó, định lí Neville viết lại dạng: Qij = ( x − xi − j )Qi , j −1 − ( x − xi )Qi −1, j −1 xi − xi − j Bài tập áp dụng Bài (ví dụ 4.2, trang 47): Cho bảng số liệu: x y 1 -1 Tính gần giá trị hàm nội suy Lagrange x=2 ►Sử dụng phương pháp Neville, lập bảng: x0 = Q0,0 = y0 = x1 = Q1,0 = y1 = x2 = Q = y = 2,0 x3 = Q3,0 = y3 = −1 Q1,1 Q2,1 Q3,1 Q2,2 Q3,2 Q3,3 ►Áp dụng cơng thức Neville để tính giá trị bảng: Qi , j = ⇒ Q1,1 = ⇒ Q2,1 = ⇒ Q3,1 = ( x − xi − j ).Qi , j −1 − ( x − xi ).Qi −1, j −1 ( x − x0 ).Q1,0 − ( x − x1 ).Q0,0 x1 − x0 ( x − x1 ).Q2,0 − ( x − x2 ).Q1,0 x2 − x1 ( x − x2 ).Q3,0 − ( x − x3 ).Q2,0 x3 − x2 xi − xi − j (2 − 0).1 − (2 − 1).1 = =1 1− (2 − 1).2 − (2 − 3).1 = = 1,5 −1 (2 − 3).(−1) − (2 − 4).2 = =5 4−3 ⇒ Q2,2 = ⇒ Q3,2 = ⇒ Q3,3 = ( x − x0 ).Q2,1 − ( x − x2 ).Q1,1 x2 − x0 ( x − x1 ).Q3,1 − ( x − x3 ).Q2,1 x3 − x1 ( x − x0 ).Q3,2 − ( x − x3 ).Q2,2 x3 − x0 (2 − 0).1,5 − (2 − 3).1 = = 3−0 (2 − 1).5 − (2 − 4).1,5 = = 3−0 (2 − 0) − (2 − 4) 3 =2 = 4−0 ►Ta kết quả: 1 1 1,5 4/3 -1 8/3 ►Giá trị hàm nội suy Lagrange x=2 là: Q3,3 = 2 , Bài 2: Cho hàm : Với f ( x) = ln(1 + x) x0 = , x1 = , x2 = , x3 = 10 , x4 = 11 Sử dụng đa thức Lagrange, xấp xỉ giá trị hàm x=8,25 ►Sử dụng phương pháp Neville, lập bảng: x0 = Q0,0 = f ( x0 ) = 2, 0794 x1 = Q1,0 = f ( x1 ) = 2,1972 x2 = Q2,0 = f ( x2 ) = 2,3026 x3 = 10 Q3,0 = f ( x3 ) = 2,3979 x4 = 11 Q4,0 = f ( x4 ) = 2, 4849 Q1,1 Q2,1 Q3,1 Q4,1 Q2,2 Q3,2 Q4,2 Q3,3 Q4,3 Q4,4 ►Áp dụng công thức Neville để tính giá trị bảng: ( x − xi − j ).Qi , j −1 − ( x − xi ).Qi −1, j −1 Qi , j = ⇒ Q1,1 = ⇒ Q2,1 = ⇒ Q3,1 = ⇒ Q4,1 = xi − xi − j ( x − x0 ).Q1,0 − ( x − x1 ).Q0,0 x1 − x0 ( x − x1 ).Q2,0 − ( x − x2 ).Q1,0 x2 − x1 ( x − x2 ).Q3,0 − ( x − x3 ).Q2,0 x3 − x2 ( x − x3 ).Q4,0 − ( x − x4 ).Q3,0 x4 − x3 (8, 25 − 7).2,1972 − (8, 25 − 8).2, 0794 = = 2, 2267 8−7 (8, 25 − 8).2,3026 − (8, 25 − 9).2,1972 = = 2, 2236 9−8 (8, 25 − 9).2,3979 − (8, 25 − 10).2,3026 = = 2, 2311 10 − (8, 25 − 10).2, 4849 − (8, 25 − 11).2,3979 = = 2, 2457 11 − 10 ( x − x0 ).Q2,1 − ( x − x2 ).Q1,1 ⇒ Q2,2 = ⇒ Q3,2 = (8, 25 − 7).2, 2236 − (8, 25 − 9).2, 2267 = = 2, 2248 9−7 x2 − x0 ( x − x1 ).Q3,1 − ( x − x3 ).Q2,1 ⇒ Q4,2 = x3 − x1 (8, 25 − 8).2, 2311 − (8, 25 − 10).2, 2236 = = 2, 2245 10 − ( x − x2 ).Q4,1 − ( x − x4 ).Q3,1 x4 − x2 (8, 25 − 9).2, 2457 − (8, 25 − 11).2, 2311 = = 2, 2256 11 − ⇒ Q3,3 = ⇒ Q4,3 = ⇒ Q4,4 = ( x − x0 ).Q3,2 − ( x − x3 ).Q2,2 x3 − x0 ( x − x1 ).Q4,2 − ( x − x4 ).Q3,2 x4 − x1 ( x − x0 ).Q4,3 − ( x − x4 ).Q3,3 x4 − x0 (8, 25 − 7).2, 2245 − (8, 25 − 10).2, 2248 = = 2, 2247 10 − (8, 25 − 8).2, 2256 − (8, 25 − 11).2, 2245 = = 2, 2246 11 − (8, 25 − 7).2, 2246 − (8, 25 − 11).2, 2247 = = 2, 2247 11 − ►Ta kết quả: 2,0794 2,1972 2,2267 2,3026 2,2236 2,2248 10 2,3979 2,2311 2,2245 2,2247 11 2,4849 2,2457 2,2256 2,2246 ►Giá trị xấp xỉ hàm x=8,25 là: Q4,4 = 2, 2247 2,2247 Cảm ƠN ThẦY VÀ CÁC BẠN ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE AU R EVOI R ... Huỳnh Thế Hào 1610875 Nguyễn Hồng Chung 1510313 Võ Nguyễn Gia Luật 1611944 Phương pháp Neville Bài tập áp dụng Phương pháp Neville Định nghĩa Cho hàm f xác định điểm x0, x1, x2, … xn m1, m2, …, mk... Lagrange x=2 ►Sử dụng phương pháp Neville, lập bảng: x0 = Q0,0 = y0 = x1 = Q1,0 = y1 = x2 = Q = y = 2,0 x3 = Q3,0 = y3 = −1 Q1,1 Q2,1 Q3,1 Q2,2 Q3,2 Q3,3 ►Áp dụng công thức Neville để tính giá... = , x2 = , x3 = 10 , x4 = 11 Sử dụng đa thức Lagrange, xấp xỉ giá trị hàm x=8,25 ►Sử dụng phương pháp Neville, lập bảng: x0 = Q0,0 = f ( x0 ) = 2, 0794 x1 = Q1,0 = f ( x1 ) = 2,1972 x2 = Q2,0