Đang tải... (xem toàn văn)
Tích phân hàm lượng giác
Chương 5c Tích phân chuong3a – nick yahoo, mail: chuong2a@gmail.com .2 .2 .3 .4 .5 .5 .6 .8 .8 4/ .9 .9 10 5/ Tích phân hàm lượng giác: .10 10 12 13 13 14 15 16 17 18 18 19 21 22 23 Check the result 23 25 27 27 28 30 31 32 32 dx 1/ I = ∫ x2 + a2 dx a/ I=∫ ⇒x= = x2 + a2 = ln x + x + a 2 t −a , dx = 2t 4t − 2t + 2a 4t 2 x + a = t − x ⇒ x + a = ( t − x ) = t − 2t.x + x , put ( ) dt = t2 + a2 2t t2 + a2 dx ⇒∫ x2 + a2 =∫ ( ' ' t − a 2t − ( 2t ) t − a 4t ) dt dt dt dt 2t = ∫ = ln t + C = ln x + x + a + C t t2 − a2 t− 2t ⇒∫ = ln x + x + a = ln + + a − ln a 2 0 x +a 1b / b/ dx 1 i.a = ln tan arcsin x 2 x2 + a2 dx ∫ ∫ dx x2 + a2 dx =∫ x2 − ' ⇒ dx = −i.a ( sin t ) dt = ( −1.a ) =∫ −i.a.cos t.dt dx x − ( i.a ) i.a , t = arcsin x i.a ( i2 = −1) put x = sin t sin t sin t i.a.cos t.dt i.a.cos t.dt 1 ⇒ I = −∫ = −∫ sin t i.a 2 sin t −a 2 + a2 − ( i.a ) sin t sin t −i.a.cos t.dt = ∫ sin t −i.a.cos t.dt = ∫ sin t −1 + sin t a sin t − cos t a sin t −i.a.cos t.dt sin t −dt t 1 i.a = ∫ =∫ = − ln tan = − ln tan arcsin sin t x 2 sin t i.a.cos t 1 a = ln tan arcsin put a = i.b x 2 x2 − a2 dx *∫ 1 i.b = ln tan arcsin x 2 x + b2 dx ⇒∫ 1c / ∫ c/ ∫ dx x2 + a2 dx x2 + a2 = −i arcsin i.x +C a dx =∫ − ( −1.x ) + a2 =∫ dx a − ( i.x ) =∫ dx i.x a 1− a i.x i.dx a.du i.a.du = u ⇒ du = ⇒ dx = = = −i.a.du a a i i dx −1 i.a.du i.x ⇒∫ = ∫ = −i arcsin +C 2 a a a −x 1− u Put dx *I=∫ ⇒I=∫ Put x = a.sin t ⇒ dx = a.cos t.dt, t = arcsin a2 − x2 a.cos t.dt =∫ a.cos t.dt = ∫ dt = t = arcsin a − a sin t a cos t i.dy i.y Put x = i.y ⇒ I = ∫ = arcsin a a + y2 ⇒∫ i.y = −i.arcsin a a + y2 dy x a x a ( i2 = −1) x = i.y ⇒ when x = 1, y = −i and when x = 2, y = −2i ⇒∫ dx x2 + a2 dx =∫ − ( −1.x ) = + a2 −2i ∫ −i dy a + y2 −2i i.y ⇒ ln x + x + a = −i.arcsin a −i i ( −i ) ⇔ ln + + a = −i.arcsin = −i.arcsin , arcsin z = −i ln z ± z + a a 2 eiw − e −iw w = arcsin z ⇒ z = sin w = ⇒ e2i.w − 2z.eiw − = ⇒ eiw = z ± z + ⇒ i.w = ln z ± z + ⇒ w = arcsin z = −i ln z ± z + x π 1 = ln tg arctan + + C a 4 2 x2 + a2 dx a.dt x I=∫ Put x = a.tan t ⇒ dx = , t = arctan a cos t x2 + a2 a.dt a.dt dt ⇒I=∫ =∫ =∫ cos t a tan t + a a.cos t tan t + cos t cos t *I=∫ dx dt t π ∫ cos t = ln tan + ⇒ I = ∫ ⇒∫ x π 1 = ln tg arctan + a 4 2 x2 + a2 dx i.a 1 = ln x + x + a = i.ln tg arcsin x 2 x2 + a2 dx = −i arcsin i.x x π 1 = ln tg arctan + a a 4 2 so why dx ∫ x +a =∫ 2 dx ( x2 − −1.a ) dx =∫ − ( −1.x ) but + a2 2 i.a 1 2 ln x + x + a ≠ i.ln tg arcsin x 1 1 2 2 i.x x π 1 ≠ −i arcsin ≠ ln tg arctg + a 1 a 1 2 dx 2a / I = ∫ a/ I=∫ a2 − x2 a.cos t.dt ⇒I=∫ * x a dat x = a.sin t ⇒ dx = a.cos t.dt, t = arcsin =∫ a.cos t.dt = ∫ dt = t = arcsin x a x a a − a sin t a cos t dx dx x dx =∫ Dat = u ⇒ du = ⇒ dx = a.du 2 a a a −x x a 1− a ∫ dx ⇒∫ 2b / b/ a2 − x2 dx = arcsin a2 − x2 ∫ ∫ = dx a.du x = arcsin ∫ a − u2 a = −i.ln i.y + a − y + C a2 − x2 dx =∫ 2 a −x dx ( i.x ) +a Dat ( i.x ) + a = t − i.x ⇒ − x + a = ( t − i.x ) = t − 2t.ix − x ⇒x= = 2 t −a = 2t.i ( ) t2 − a2 i 2t.i −i4t + 2t i − 2i.a 4t dt = = ( ) − t2 − a2 i 2t ( −i 2t + 2a 4t , dx = ( ) = −i ( t + a ) dt 2t ) ( ' ' −i t − a 2t + ( 2t ) i t − a ( 2t ) ) dt ( −i t + a dx ⇒∫ ( 2t t − i.x =∫ a2 − x2 ) −i t + a dt =∫ ( ) =∫ ) dt =∫ ( ( ( dx *∫ ) −i t + a dt ( ) =∫ a − y2 dy ⇒∫ ∫ i.dy ∫ a − y2 dx a2 − x2 ( ) t ( t + a ) −i t + a dt = ln x + a + x + C put x = i.y, we have : x2 + a2 dx = i.dy, ) − t2 − a2 i 2t t − i 2t 2 i2 t − a t2 − a2 2 2t t + 2t t − 2t 2t −i.dt =∫ = −i.ln t + C = −i.ln i.x + a − x + C t 2 ) −i t + a dt = ln i.y + a − y + C = −i.ln i.y + a − y + C = arcsin x i.y = arcsin = −i.ln i.y + a − y2 a a i.y i.y i.y arcsin z = −i ln z ± z + , ⇒ arcsin = −i.ln + +1 a a a i.y + a − y = −i.ln = −i ln i.y + a − y − ln a = −i.ln i.y + a − y + C a 2c / ∫ a 1 = i.ln tg arcsin + C x 2 a2 − x2 dx dx 2c / ∫ =∫ a2 − x2 i.dx i2 dx =∫ ( x2 − a2 ) =∫ ( −1) ( x − a ) ( x2 − a2 ) ( i2 = −1) −i.dx =∫ dx ( x2 − a2 ) i ' −a ( sin t ) dt −a.cos t.dt a a dat x = ⇒ dx = = t = arcsin sin t x sin t sin t ⇒I=∫ − ( −i ) a.cos t.dt sin t a2 − a2 =∫ i.a.cos t.dt sin t = i.ln tg a sin t i.cos t.dt sin t dt =∫ = i.∫ sin t sin t cos t − sin t sin t t a 1 = i.ln tg arcsin + C x 2 Vay tai : ∫ dx a −x =∫ dx ( i.x ) +a dx =∫ ( −1) ( x −a 2 x a 1 2 arcsin a ≠ i.ln tg arcsin x ≠ ln i.x + a − x 1 1 x2 − a2 −a.cos t.dt sin t ' −a ( sin t ) dt −a.cos t.dt a a dat x = ⇒ dx = = t = arcsin sin t x sin t sin t a2 sin t =∫ 1 a 1 = − ln tg arcsin x 2 x2 − a2 dx ⇒I=∫ ) nhung dx 3a / I = ∫ a/∫ −a =∫ −a.cos t.dt sin t a − sin t sin t − cos t.dt sin t dt t a 1 = −∫ = − ln tg = − ln tg arcsin sin t x 2 sin t cos t 3b / 3b / dx ∫ 2 x −a dx ∫ = ln x + x + ( i.a ) dx =∫ x2 − a2 x2 + ( −1.a ) +C =∫ dx x + ( i.a ) Dat x + ( i.a ) = t − x ⇒ x − a = ( t − x ) ( dx = ) ' ' ( t + a 2t − ( 2t ) t + a ( 2t ) 2 t2 + a2 = t − 2t.x + x ⇒ x = , 2t 2 ) dt = 4t − 2t − 2a dt = t − a dt 4t 2t t2 − a2 dt dt 2t =∫ = ∫ = ln t + C = ln x + x + ( i.a ) + C 2 t t +a x2 + a2 t− 2t dx ⇒∫ 3c / ∫ 3c / ∫ =∫ dx x2 − a dx x2 − a2 i.dx i a −x = −i.arcsin Vay tai : ∫ dx =∫ =∫ x a =∫ dx −1 a − x i a − x −i.dx x = −i.arcsin a a2 − x2 dx x2 − a2 2 =∫ dx x2 + ( −1.a ) 2 =∫ dx −1 a − x 2 a x 1 − ln tg arcsin ≠ ln x + x − a ≠ −i.arcsin x1 a1 2 4/ I = ∫ dx −x − a dx I=∫ −x − a =∫ dx −i.dx =∫ i x2 + a2 x2 + a2 = −i.ln x + x + a i.a i.x x π 1 1 = ln tg arcsin = − arcsin = −i.ln tg arctg + x a a 4 2 2 i.a 1 = ln x + x + a = i.ln tg arcsin x 2 x2 + a2 dx ∫ = −i arcsin i.x x π 1 = ln tg arctg + a a 4 2 ∫ Vay tai : −x − a 2 dx −idx =∫ x2 + a2 dx =∫ − x + ( i.a ) =∫ nhung −i.ln x + x + a 2 ( i.x ) − a dx 2 i.a 1 ≠ ln tg arcsin x 1 1 2 i.x x π 1 ≠ − arcsin ≠ −i.ln tg arctg + a 1 a 1 2 x = arctan + C a x2 + a a dx x * I=∫ Dat x = a.tgt ⇒ dx = a tg t + dt, t = arctan a x2 + a2 5/ I=∫ dx ( dx Vay : ∫ x2 + a2 *I= ∫ dx *I= ∫ x2 + a2 dx x +a = =∫ ( ) a tan t + dt ( i x + i.a ln 2a x − i.a dx =∫ = ) a tan t + x2 − ( −1.a ) = =∫ ) t x ∫ dt = a = a arctan a + C a dx x − ( i.a ) 2 =∫ dx ( x − i.a ) ( x + i.a ) A B + ⇒ A ( x + i.a ) + B ( x − i.a ) = ( x − i.a ) ( x + i.a ) ( x − i.a ) ( x + i.a ) ⇔ x ( A + B ) + i.a ( A − B ) = ( i2 = −1) A + B = ⇔ A = −B ⇔ i −i i i.a ( A − B ) = ⇒ A = = = , B= 2i.a 2i a 2.a 2.a d ( x − i.a ) i ( ln x + i.a − ln x − i.a ) i d ( x + i.a ) i x + i.a ⇒ I2 = ∫ −∫ = ln = 2a x + i.a x − i.a 2a 2a x − i.a 2 2 x i x + i.a 1 so why : I = ∫ =∫ but arctg ≠ ln a 1 2a x − i.a 1 a x + a x − ( i.a ) 6/ I=∫ dx dx dx x2 − a2 dx dx * I=∫ =∫ ( x − a) ( x + a) x2 − a2 A B = + ⇒ A ( x + a ) + B( x − a ) = ( x − a) ( x + a) ( x − a) ( x + a) A + B = ⇔ A = −B ⇔ x ( A + B) + a ( A − B) = ⇔ 1 a ( A − B ) = ⇒ A = 2a , B = − 2a d( x + a) d( x − a) −∫ ∫ 2a x − a x+a ⇒I= *I= ∫ dx x2 − a2 =∫ dx x2 + ( −1.a ) ln x − a − ln x + a x−a = ln = 2a 2a x + a =∫ dx x + ( i.a ) ( ) i.a ( tg t + 1) dt dx i.t −i.t −i x Vay : ∫ =∫ = ∫ dt = = = arctg + C a a i.a i a x + ( i.a ) ( i.a ) ( tg t + 1) i.a Dat x = i.a.tgt ⇒ dx = i.a tg t + dt, t = arctg 2 x i.a 2 1 x −a x −i Vay tai : ∫ =∫ nhung ln ≠ arctg 2 2 i.a 1 2a x + a 1 a 1x −a x + ( i.a ) dx dx 5/ Tích phân hàm lượng giác: * I=∫ dx a sin x + b cos x + c 10 n 2π =0 −n.π + 2i.π i =1 n a sin + b n ∑ n →+∞ * lim * I= +π ∫ −π dx = ( sin x hàm le ) , a sin x + b 2π , x i ∈ [ −π, π] , ∆x = , a sin x i + b n dat f ( x i ) = n 2i.π − n.π + 2i.π 2π x i = −π + = , ⇒ lim I = lim ∑ n n n →+∞ n →+∞ i =1 − n.π + 2i.π n a sin + b n n +π i =1 −π ∑ f ( x i ) ∆x = ∫ n →+∞ = lim * I=∫ dx sin x Put t = tan dx =0 a sin x + b x 2dt ⇒ x = arctan t, dx = , + t2 sin ( x/2 ) x x sin x = 2sin cos = 2 cos ( x/2 ) cos2 ( x/2 ) x cos x = cos2 − = − cos2 ( x/2 ) = ( ) = − t2 −1 tan ( x/2 ) = . cos2 ( x/2 ) tan ( x/2 ) + = 2t + t2 −1 − tan ( x/2 ) + tan ( x/2 ) + ⇒I = ∫ + t2 dx 2dt 2t dt x =∫ ÷ = ∫ = ln t = ln tan + C sin x t + t2 + t2 at + 2t + a sin x.dx 2t 2dt 2t 4t.dt * I=∫ = ÷ +a = ÷ sin x + a ∫ t + t + t + ∫ t +1 t +1 ) ( =∫ 4t.dt , Put 4t = A + B ( t2 + 1) ( at2 + 2t + a ) ( t2 + 1) ( at2 + 2t + a ) t2 + at2 + 2t + a ⇒ A ( at + 2t + a ) + B ( + t ) = 4t ⇒ ( a.A + B ) t = 0, 2A.t = 4t, a.A + B = ⇒ A = 2, a.A + B = 2a + B = ⇒ B = −2a 21 ⇒I=∫ 4t.dt ( t2 + 1) ( at2 + 2t + a ) = 2.arctan t − ∫ * I=∫ =∫ 2dt t2 + − 2a ∫ dt at + 2t + a dt 2t t2 + + a tan ( x/2 ) a + sin x.dx a =x− arctan 2 sin x + a a −1 a −1 I1 = −2 ∫ ( where a > 1) dt dt dt = −2 ∫ = −2 ∫ 2 2t a2 − 1 t.a + t2 + + t + +1− + a a a a a a2 − 1 a = M a2 a2 − dt t.a + ⇒ I1 = −2 ∫ = − arctan M a.M t.a + +M a If a > or a < −1 ⇒ a − > ⇒ = M2 ⇒ t.a + t.a + a a =− arctan arctan =− a 2 a −1 a −1 a −1 a −1 a t.a + dt a = 2.arctan t − arctan 2 ∫ t + 2t + a −1 a −1 a tan ( x/2 ) a + x a = 2.arctan tan − arctan 2 2 a −1 a −1 ⇒ I = 2.arctan t − ⇒I=∫ tan ( x/2 ) a + sin x.dx a =x− arctan 2 sin x + a a −1 a −1 π ( where a > 1) tan ( π /2 ) a + tan 0.a + sin x.dx a = π− arctan − arctan 2 sin x + a a −1 a −1 a − ⇒J=∫ π = π− − arctan 2 a −1 a − a 22 sin x.dx a * I=∫ =x− sin x + a − a2 I1 = −2 ∫ ( where − < a < 1) dt dt dt = −2 ∫ = −2 ∫ 2 2t a2 − 1 t.a + t2 + + t + +1− + a a a a2 a2 If a < ⇒ a − < ⇒ ⇒ I1 = −2 ∫ = ln tan ( x/2 ) a + + − a tan ( x/2 ) a + − − a a2 − a2 dt t.a + −M a − a2 = −M ⇒ M = a =− t.a + t.a + ln − M − ln +M M a a ln t.a + + − a a −1 − ln t.a + − − a a −1 − a2 a ln t.a + + − a = − a t.a + − − a a , dx dx dx ∫ x − a = 2a ∫ x − a − ∫ x + a dt a t.a + + − a ⇒ I = 2.arctan t − ∫ = 2.arctan t − ln 2t − a t.a + − − a t + +1 a x a tan ( x/2 ) a + + − a = 2.arctan tan − ln 2 2 − a tan ( x/2 ) a + − − a sin x.dx a ⇒I=∫ =x− sin x + a − a2 π sin x.dx a ⇒J=∫ = π− sin x + a − a2 = π+ a 1− a ln + − a2 1− 1− a ln tan ( x/2 ) a + + − a tan ( x/2 ) a + − − a ln1 − ln + − a − − a2 ( where a < 1) Check the result 23 ( where − < a < 1) ' tan ( x/2 ) a + x a 2.arctan tan − arctan 2 2 a −1 a − x x = tan + 1 2 −1 x tan 2 ' tan ( x/2 ) a + a − + 1 a − a2 − = ( cos ( x/2 ) ) ( cos ( x/2 ) ) −2 −1 tan ( x/2 ) a + a −1 ( ( x/2 ) ) ' tan ( x/2 ) a + tan ( x/2 ) a + + a − a − a −1 a2 − x x = − a a tan + 1 + 2a tan 2 −1 x cos 2 2 x a + 2a.sin ( x/2 ) cos ( x/2 ) = 1− a cos 2 cos ( x/2 ) = − a a + a.sin x 22 / I = ∫ =∫ =∫ = 1− dx dx =∫ cos x sinπ/2 − ( x d ( xπ/2 + sin ( xπ/2 + * I=∫ −1 ) ) ' −1 −2 x tan a2 − a x 2 −1 a a + sin x − a sin x = = ( a + sin x ) ( a + sin x ) a + sin x ) =∫ = ln tgπ/2 + ( π/4 ) dx sinπ/2− (x − (π )) + C cos ( x/2 ) d ( x/2 ) dx dx =∫ =∫ sin x 2sin ( x/2 ) cos ( x/2 ) sin ( x/2 ) cos2 ( x/2 ) d ( tan ( x/2 ) ) tan ( x/2 ) = ln tan * I = ∫ tan x.dx = ∫ ' x +C −d ( cos x ) sin x.dx =∫ = − ln ( cos x ) cos x cos x 24 ' * I=∫ tan ( x/2 ) a − cos x.dx 2a =x− arctan where a < −1 or a > cos x + a a +1 a −1 * I=∫ cos x.dx cos x + a Put t = tan x 2dt ⇒ x = 2arctan t, dx = , 2 1+ t x cos x = cos2 − = − cos2 ( x/2 ) = ( ) = − t2 ⇒ I = − tan ( x/2 ) + tan ( x/2 ) + 1 + t2 . cos2 ( x/2 ) −1 cos x.dx 2dt − t − t =∫ +a . ∫ cos x + a t + t + t + ) ) ( ( ( ) −1 − t dt − t + a.t + a −1 − t dt =∫ =∫ t +1 t + t ( a − 1) + a + t +1 =∫ ( t + 1) ( t 2dt ( a − 1) + a + 1) Put )( ( −∫ = ( t + 1) ( t A.t + B + 2t dt ( a − 1) + a + 1) ) , C.t + D ( t2 + 1) ( t2 ( a − 1) + a − 1) t2 + t2 ( a − 1) + a + ⇒ ( A.t + B) ( t ( a − 1) + a + 1) + ( C.t + D ) ( t + 1) = ⇒ t ( a.A − A + C ) = 0, t ( a.A − A + C ) = 0, t ( a.B − B + D ) = 0, a.B + B + D = ⇒ A = C = 0, 2B = ⇒ B = 1, a + + D = ⇒ D = − a ⇒ I1 = ∫ =∫ 2.dt ( t2 + 1) ( t2 ( a − 1) + a + 1) dt t2 + +∫ ( − a ) dt = arctan t − dt ∫ a +1 t ( a − 1) + a + t + a −1 25 a +1 a +1 a +1 If > ⇔ a > or a < −1 ⇒ = =M a −1 a −1 a −1 dt t ⇒ I1 = arctan t − ∫ = arctan t − arctan M M t2 + M2 Put −2t ( t2 + 1) ( t2 ( a − 1) + a + 1) = A.t + B t2 + ) ( + C.t + D t ( a − 1) + a + ) ( ⇒ ( A.t + B) t ( a − 1) + a + + ( C.t + D ) t + = −2t ⇒ t ( a.A − A + C ) = 0, t ( a.A + A + C ) = 0, t ( a.B − B + D ) = −2t , a.B + B + D = ⇒ A = C = 0, a.B − B + D = −2, a.B + B + D = ⇒ B = 1, a + + D = ⇒ D = − ( a + 1) ⇒ I2 = ∫ −2t dt =∫ dt ( t2 + 1) ( t2 ( a − 1) + a + 1) ( t2 + 1) −∫ ( a + 1) dt ( t2 ( a − 1) + a + 1) ( a + 1) t + a + −1 dt, = arctan t − a −1 ( a − 1) ∫ a +1 a +1 a +1 If > ⇔ a < −1 or a > ⇒ = =M a −1 a −1 a −1 ( a + 1) ( a + 1) arctan t dt ⇒ I = arctan t − = arctan t − M ( a − 1) ( a − 1) ∫ t + M M ( a + 1) arctan t − arctan t M ( a − 1) M M M 1 2a t ( a + 1) t = 2arctan t − arctan + = 2arctan t − arctan M ( a − 1) M M ( a − 1) M M ⇒ I = I1 + I = arctan t − tan ( x/2 ) x 2a a +1 = 2arctan tan − arctan where M = M ( a − 1) a −1 M =x− tan ( x/2 ) a − 2a a − arctan a + ( a − 1) a +1 ⇒I=∫ tan ( x/2 ) a − cos x.dx 2a =x− arctan where a < −1 or a > cos x + a a +1 a −1 26 π * cos x.dx π ∫ cos x + a = − * I=∫ I1 = ∫ π π a.π = − a2 − 2 a2 − 2a tan ( x/2 ) − a − a + cos x.dx a =x+ log where − < a < cos x + a tan ( x/2 ) − a + a + 1− a 2.dt ( t2 + 1) ( t2 ( a − 1) + a + 1) =∫ dt t2 + +∫ ( − a ) dt t ( a − 1) + a + dt a +1 a +1 = arctan t − ∫ If < ⇔ −1 < a < ⇒ = − a +1 a −1 a −1 t2 + a −1 dt t−M ⇒ I1 = arctan t − ∫ = arctan t − log 2M t+M t2 − M2 dt dt dt = −∫ ∫ ∫ t − M 2M t − M t + M I2 = ∫ −2t dt =∫ dt ( t2 + 1) ( t2 ( a − 1) + a + 1) ( t2 + 1) −∫ a +1 a −1 = −M ( a + 1) dt ( t2 ( a − 1) + a + 1) ( a + 1) t + a + −1 dt = arctan t − ( a + 1) t − M −1 dt = arctan t − ) a −1 ( a − 1) ∫ ( a − 1) ∫ ( ( a + 1) log t − M = arctan t − 2M ( a − 1) t+M ( a + 1) log t − M − log t − M 2M ( a − 1) t + M 2M t+M tan ( x/2 ) − M ( a + 1) x = 2arctan tan − log + 2 tan ( x/2 ) + M 2M ( a − 1) 2M tan ( x/2 ) − M a a +1 a +1 =x− log , where M = = , M ( a − 1) tan ( x/2 ) + M a −1 1− a ⇒ I = I1 + I = arctan t − 27 −1 < a < =x− =x+ π * ∫ tan ( x/2 ) − M tan ( x/2 ) − M a 1− a a 1− a log =x+ log tan ( x/2 ) + M tan ( x/2 ) + M a + ( a − 1) a +1 1− a a − a2 log cos x.dx ( cos x + a ) ⇒I=∫ tan ( x/2 ) − a − a + tan ( x/2 ) − a + a + = where − < a < n tan ( x/2 ) − a − a + cos x.dx a =x+ log where − < a < cos x + a tan ( x/2 ) − a + a + 1− a π π 0 cos x.dx cos x.dx ⇒ I( a) = ∫ = π ⇒ I' ( a ) = ( −1) ∫ =0 cos x + a cos x + a ) ( π I ( a ) = ( −1) ∫ '' cos x.dx ( cos x + a ) π ⇒∫ cos x.dx ( cos x + a ) n = 0, I ( a ) ( n −1) = ( −1) n −1 π ( n − 1) ! ∫ ( cos x + a ) = where − < a < Code Matlab: a = input('nhap vao can duoi a: '); b = input('nhap vao can tren b: '); x = a:10^(-3):b; y = cos(x).*(cos(x) + 1/2).^(-5); y1 = 0; y2 = 0; for i = : : length(x) - y1 = y1+y(i); end for j = : : length(x) - y2 = y2+y(j); end I = (b - a)/(3*length(x))*(4*y1 + 2*y2 + y(1) + y(length(x))) 28 cos x.dx n =0 a dx I=∫ 2 a −x +b , Put x = a.sin t ⇒ dx = a.cos t.dt, ) ( a − x = a − sin t = ( a.cos t ) π x = ⇒ t = 0, x = a ⇒ sin t = ⇒ t = ⇒ I = I=∫ π /2 ∫ a.cos t.dt = a.cos t + b π /2 ∫ cos t.dt , cos t + b/a tan ( x/2 ) − a − a + cos x.dx a =x+ log where − < a < cos x + a tan ( x/2 ) − a + a + 1− a If − < b/a < ⇒ −a < b < a π /2 ( b/a ) log tan ( t/2 ) − ( b/a ) − cos t.dt π ⇒ ∫ = + cos t + b/a tan ( t/2 ) − ( b/a ) + − ( b/a ) π /2 ( b/a ) + ( b/a ) + a+b π a−b tan − π b a a 4 = + log a+b π a−b a − b2 tan + a a a 4 a2 a ⇒I=∫ dx a2 − x2 + b dx I=∫ − x + 3 = = π b + log 2 a −b π + log 2 −3 a−b − a+b , where − a < b < a a−b + a+b 2− π = + log 2+ 2− 2+ Code Matlab, calculating by Simpson formula: a = input('nhap vao can duoi a: '); b = input('nhap vao can tren b: '); x = a - 10^(-3) : 10^(-3) : b - 10^(-3); y = ((25 - x.^2).^(1/2) + 3).^(-1); y1 = 0; y2 = 0; for i = : : length(x) - y1 = y1+y(i); end for j = : : length(x) - y2 = y2+y(j); end I = (b - a)/(3*length(x))*(4*y1 + 2*y2 + y(1) + y(length(x))) I = pi/2 + 3/4*log( ( 8^(1/2) - 2^(1/2) ) / ( 2^(1/2) + 8^(1/2) ) ) a = input('nhap vao can duoi a: '); b = input('nhap vao can tren b: '); x = a - 10^(-3) : 10^(-3) : b - 10^(-3); y = cos(x).*(cos(x) + 3/5).^(-1); y1 = 0; y2 = 0; for i = : : length(x) - y1 = y1+y(i); end for j = : : length(x) - y2 = y2+y(j); end I = (b - a)/(3*length(x))*(4*y1 + 2*y2 + y(1) + y(length(x))) 29 */ I = ∫ sin x = dx Put t = tan ( sin x.cos x ) 1/3 2t + t2 , cos x = ( − t2 + t2 ) + t2 2dt ⇒I=∫ + t t − t3 =∫ ( ) x 2dt ⇒ x = 2arctan t, dx = , + t2 ⇒ sin x.cos x = 1/3 =∫ ( 2dt ( t − t3 ( + t2 + t2 ) ) ) 2/3 22/3.dt =∫ 1/3 1/3 + t 21/3 t − t 1/3 + t2 t − t3 ( ) ( ) ( ) 22/3.dt ( t − t5 ) 1/3 Nếu R(– sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) Khi đặt t = cosx (hàm lẻ theo sinx, chẵn theo cosx) Nếu R(sinx, – cosx) = – R(sinx, cosx) Khi đặt t = sinx (hàm lẻ theo cosx, chẵn theo sinx) Nếu R(– sinx, – cosx) = R(sinx, cosx) Khi đặt t = tanx (hàm chẵn theo sinx cosx) ( ) VD2 : Tính I = ∫ sin x.cos3 x + cos x dx Hàm duoi dau tich phan le theo cos x nên ta dat t = sin x ⇒ dt = cos x.dx ( ) ) ( ( ) ⇒ I = ∫ sin x.cos x + cos x.dx = ∫ t − t + dt t3 t5 sin x sin x = − +t= − + sin x + C 5 * I=∫ dx sin x + sin 2x − cos x dx VD3 : Tính I = ∫ sin x + sin 2x − cos x sin x + sin 2x − cos x = ( − sin x ) + ( − sin x ) ( − cos x ) − ( − cos x ) Hàm duoi dau tich phan chan theo sin x cos x nen ta dat t = tgx tgx t dt ⇒ sin x = = , cos x = , x = arctgt, dx = , 2 2 1+ t + tg x 1+ t 1+ t 30 sin 2x = 2sin x.cos x = 2t + t2 t + 2t − d ( t + 1) dt dt ⇒I=∫ ÷ =∫ =∫ + t2 + t2 t + 2t − ( t + 1) − = 2 t +1− ln = t +1+ 2 ln tgx + − dx ∫ x − a = 2a ln tgx + + x−a x+a π x.dx π π π π − arctan = − arctan = 2 2 2 a + sinx a.M a −1 a −1 a −1 * I=∫ where a > π π π 0 x.dx π−x π.dx * I=∫ =∫ ⇒ 2I = ∫ a + sinx a + sinx a + sinx substituting sinx = ⇒ dx = 2dt t2 + tan ( x/2 ) + tan ( x/2 ) , sin x = π π.dx π ⇒I= ∫ = + sinx +∞ 2t t2 + , x = ⇒ t = 0, t = +∞ 2dt 2t a + ∫ t2 + t +1 +∞ π.dt , Put t = tan ( x/2 ) ⇒ x = 2arctan t −1 π ⇒ t = +∞ +∞ π.dt t2 + = ∫ t + a.t + 2t + a +∞ π dt π dt I= ∫ = ∫ = ∫ 2 a 2t +1 a t + + a −1 a.t + 2t + a t + a a a2 a − a2 − a = M2 ⇒ = If a > ⇒ = M a2 a2 a2 − π ⇒I= a +∞ +∞ π a.t + = arctan ∫ a.t + a.M 0 a.M +M a dt 31 π x.dx π π π π − arctan = − arctan = 2 2 2 a + sinx a.M a −1 a −1 a −1 ⇒I=∫ where a > π * I=∫ x.dx = where a < a + sinx +∞ +∞ π.dt +∞ π dt π dt I= ∫ = ∫ = ∫ 2 a 2t +1 a t + + a −1 a.t + 2t + a t + a a a2 − a2 a −1 a = −M2 ⇒ = If a < ⇒ = − M a2 a2 − a2 π ⇒I= a π ⇒I=∫ π * I=∫ +∞ +∞ +∞ π a.t + − a.M = log ∫ a.t + a.t + + a.M 0 2a.M −M a dt =0 x.dx = where a < a + sinx x.dx =π + sinx π.dt +∞ +∞ π dt π dt I= ∫ = ∫ = ∫ 2 a 2t +1 a t + + a −1 a.t + 2t + a t + a a a2 If a = ⇒ a2 − a2 +∞ +∞ =0⇒I=π ∫ = −π t + 10 ( t + 1) dt 32 π =π⇒I= ∫ x.dx =π + sinx 3π /4 π /4 π /4 π * I= ∫ = ∫ where y = x − ∫ 2 π /4 cos x + −π /4 2sin y + =2 π /4 ∫ dx dy 2sin y + =2 π /4 ∫ dy dy = − cos 2y π t π /2 dt π = tan −1 tan = − cos t 0 ∫ −2 π /2 2 − cos ( x/2 ) dx x x I1 = ∫ , Put t = tan ⇒ cos x = cos − = −2 − cos x 2 cos ( x/2 ) = ( ) = − t2 , x = π ⇒ t = 1, x = ⇒ t = 0, x = arctan t ⇒ dx = − t2 + t2 + t2 + 2dt t2 + 1 2dt − t2 2dt 2t + − − t 2dt π I1 = ∫ − = [ arctan t ] = = ∫ =∫ 2 t2 + t + t2 + t +1 t +1 33 ... ∫ =∫ nhung ln ≠ arctg 2 2 i.a 1 2a x + a 1 a 1x −a x + ( i.a ) dx dx 5/ Tích phân hàm lượng giác: * I=∫ dx a sin x + b cos x + c 10 Put t = tg = x 2dt x x ⇒ x = 2arctgt, dx = , sin... cosx (hàm lẻ theo sinx, chẵn theo cosx) Nếu R(sinx, – cosx) = – R(sinx, cosx) Khi đặt t = sinx (hàm lẻ theo cosx, chẵn theo sinx) Nếu R(– sinx, – cosx) = R(sinx, cosx) Khi đặt t = tanx (hàm chẵn... =0 −n.π + 2i.π i =1 n a sin + b n ∑ n →+∞ * lim * I= +π ∫ −π dx = ( sin x hàm le ) , a sin x + b 2π , x i ∈ [ −π, π] , ∆x = , a sin x i + b n dat f ( x i ) = n 2i.π − n.π