BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Thanh Nga ĐỊNH LÝ TÁCH HAHN - BANACH VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Thanh Nga ĐỊNH LÝ TÁCH HAHN - BANACH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Sư phạm Tốn học KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ThS Nguyễn Quốc Tuấn Hà Nội – Năm 2018 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Tập affine - Tập lồi - Bao lồi 1.1.1 Tập affine 1.1.2 Tập lồi 11 1.1.3 Phần tương đối bao đóng tương đối 12 Bao lồi định lý Carathedory 15 1.2.1 Bao lồi, bao affine, bao nón lồi 15 1.2.2 Định lý Caratheodory 16 Định lý tách Hahn - Banach 2.1 2.2 Siêu phẳng tách Rn 18 18 2.1.1 Siêu phẳng tựa 22 2.1.2 Siêu phẳng tách yếu mạnh 23 2.1.3 Bổ đề Farkas 24 Định lý tách Hahn - Banach 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA Một vài ứng dụng định lý tách 31 3.1 Ứng dụng tồn phép cầu phương 36 3.2 Ứng dụng liên quan tới loại kết Farkas 38 3.3 Ứng dụng tính xấp xỉ dạng bảo tồn 40 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA Một số ký hiệu sử dụng Khóa luận R Tập tất số thực Rn Tập tất vector có n chiều x·y Tích vơ hướng hai phần tử x y cl C Bao đóng C int C Phần C co E Bao lồi E cone E Nón sinh tập E ri C Phần tương đối tập C aff D Bao affine tập D Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Quốc Tuấn người tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành khóa luận Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Đại Học Sư Phạm Hà Nội dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt q trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Lời cam đoan Khóa luận tơi hoàn thành dựa báo [2] [3], với tổng hợp, tham khảo kế thừa thành nhà khoa học khác Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu đề tài Định lý tách Hahn - Banach ứng dụng trùng lặp với kết đề tài khóa luận khác Mở đầu Giải tích lồi ngành toán học nghiên cứu tập lồi hàm lồi với vấn đề liên quan Ngày nay, có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặc biệt tối ưu hoá, bất đẳng thức biến phân, tốn cân Trong giải tích lồi nhiều lĩnh vực khác giải tích hàm, giải tích khơng trơn giải tích phi tuyến, định lý tách hai tập lồi có vai trò trung tâm Vào năm 1920, Hahn Banach độc lập chứng minh công bố kết "Cho ϕ phiếm hàm tuyến tính X, M không gian X f ∈ M # thỏa mãn f (m) ≤ ϕ(m), ∀m ∈ M Khi đó, tồn F ∈ X # cho i Mở rộng F |M = f ; ii Giá trị F (x) ≤ ϕ(x), với x ∈ X Trong X # := L(X, R) khơng gian phiếm hàm tuyến tính X" Sau này, người ta chứng minh kết tương đương với định lý tách Để ghi nhận công lao Hahn Banach, nhà toán học đặt tên hai Ơng cho kết Nối tiếp tư tưởng Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA Hahn Banach, Murray mở rộng toán trường hợp số phức cách thay f (x) Ref (x) − iRef (ix) Ngày nay, định lý tách định lý tách Hahn - Banach nhiều nhà khoa học nghiên cứu Hơn nữa, ứng dụng ngày đa dạng từ lý thuyết đến vấn đề thực tế chẩn đoán y học dự đoán phát triển doanh nghiệp, Với mong muốn tìm hiểu sâu định lý tách Hahn - Banach ứng dụng để tích lũy kinh nghiệm cho thân phục vụ công tác học tập, giảng dạy sau với động viên tận tình giúp đỡ thầy cô, đặc biệt thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn, với đam mê thân, mạnh dạn nghiên cứu đề tài "Định lý tách Hahn - Banach ứng dụng" Khóa luận tơi hồn thành dựa báo [2] [3] Trong đó, hệ thống lại khối kiến thức siêu phẳng tách yếu, siêu phẳng tách mạnh, định lý tách Hahn - Banach Ngồi Khóa luận trình bày vài ứng dụng định lý tách Hahn - Banach Trong phần ứng dụng này, chúng tơi có đưa định lý quan trọng "Định lý số phép cầu phương" sau: Cho Pn kí hiệu tập đa thức có bậc n, ta coi khơng gian C[a, b] Pn cung cấp cho x = max{|x(t)||a ≤ t ≤ b} Định nghĩa hàm tuyến tính x∗t X := Pn b ∗ x(t)dt, ∀x ∈ X x (x) := a x∗t (x) := x(t), ∀x ∈ X Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA Định lý số phép cầu phương Cho X = Pn tồn m ≤ n + điểm a ≤ t1 < t2 < < tm ≤ b m vô hướng wi > cho m wi x∗ti Rõ ràng ∗ x = m b wi x(ti ), ∀x ∈ X x(t)dt = a Dựa kết có tài liệu tham khảo có liên quan tới định lý tách Hahn - Banach Trong Khóa luận này, tơi nghiên cứu trình bày khóa luận ba chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số định nghĩa, tính chất định lý tập affine, tập lồi, điểm bao đóng tương ứng Đây lý thuyết mở đầu làm sở tảng xây dựng chương Chương Định lý tách Hahn - Banach Chương nghiên cứu siêu phẳng tách yếu mạnh, siêu phẳng tựa, định lý Hahn - Banach không gian định chuẩn hai định lý tách Hahn - Banach quan trọng Chương Một vài ứng dụng định lý tách Hahn - Banach Ở chương này, chúng tơi có đưa ba ứng dụng có liên quan tới định lý tách Hahn - Banach là: ứng dụng tồn phép cầu phương; ứng dụng liên quan tới loại kết Farkas ứng dụng tính xấp xỉ dạng bảo tồn Mặc dù khóa luận hoàn thành với cố gắng thân, song thời gian có hạn vấn đề thân tôi, nên q trình in ấn khóa luận khơng tránh khỏi thiếu Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA Rõ ràng Γ (Γ⊥ ) nón lồi đóng (khơng gian con) X Bao nón tập S ⊂ X, kí hiệu cone(S) nón lồi nhỏ chứa S, nghĩa giao tất nón lồi chứa S Ta có n cone(S) := { ρi si |ρi ≥ 0, si ∈ S, n < ∞} (3.5) Bao đóng cone(S) kí hiệu cone(S) Nếu S ⊂ X ∗ bao ∗ đóng yếu nón cone(S) kí hiệu w∗ − cl(cone(S)) Định nghĩa 3.1 Cho Γ tập X ∗ Một phần tử x∗ ∈ X ∗ gọi dương tương Γ x ∈ X y ∗ (x) ≥ 0, với y ∗ ∈ Γ hay x∗ (x) ≥ Tương tự thay thể dấu ≥ định nghĩa 3.1 kí hiệu ≤ ta có khái niệm âm tương Γ Định lý 3.3 Cho X khơng gian tuyến tính định chuẩn, Γ ⊂ X ∗ x∗ ∈ X ∗ mệnh đề tương đương: i Điểm x∗ dương tương Γ; ii Điểm x∗ âm tương Γ; iii Tập Γ ⊂ (x∗ ) ; ∗ iv Điểm x∗ ∈ w∗ − cl(cone(Γ)) bao nón đóng yếu Γ Hơn nữa, X phản xạ mệnh đề tương đương với v Điểm x∗ ∈ coneΓ bao nón lồi đóng Γ Chứng minh Ta chứng minh i suy ii Giả sử i ta có z ∈ X y ∗ (z) ≤ 0, với y ∗ ∈ Γ Khi đó, y ∗ (−z) ≥ 0, với y ∗ ∈ Γ Từ i ta có x∗ (−z) ≥ hay x∗ (z) ≤ Do đó, ii Nếu x ∈ Γ 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA y ∗ (x) < 0, với y ∗ ∈ Γ Ta chứng minh ii tương đương với iii Giả sử ii Nếu x ∈ Γ y ∗ (x) ≤ với y ∗ ∈ Γ Từ ii ta có x∗ (x) ≤ nên x ∈ (x∗ ) Do đó, iii Ngược lại iii ii rõ ràng Ta chứng minh iii suy iv Nếu iv sai x∗ ∈ w∗ − cl(cone(Γ)) Từ định lý 3.2 tồn x ∈ X cho sup{y ∗ (x)|y ∗ ∈ cone(Γ)} = < x∗ (x) (3.6) Đặc biệt, y ∗ (x) ≤ 0, với y ∗ ∈ Γ x∗ (x) > nên x∗ không âm tương Γ Suy ii sai Ta chứng minh iv tương đương với i Nếu iv ta có (yα∗ ) ∈ cone(Γ) cho x∗ (x) = limα y ∗ α(x), với x ∈ X Nếu z ∈ X y ∗ (z) ≥ 0, với y ∗ ∈ Γ y ∗ α(z) ≥ 0, với α x∗ (z) = limα y ∗ α(z) ≥ Suy x∗ dương tương Γ Do đó, i bốn mệnh đề tương đương Cuối cùng, giả sử X phản xạ, đủ để chứng tỏ cone(Γ) = w∗ − cl(cone(Γ)) Trong khơng gian Hilbert H ta kí hiệu tích vơ hướng x y √ x · y chuẩn x x = x · x Định nghĩa 3.2 Một vector x không gian Hilbert H gọi dương tương tập Γ ⊂ H y ∈ H z · y ≥ 0, với z ∈ Γ x · y ≥ Trong không gian Hilbert H, cần khái niệm nón đối ngẫu Cụ thể là, S ⊂ H S := {x ∈ H|x · y ≤ 0, ∀y ∈ S} 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học (S ⊥ = S NGUYỄN THỊ THANH NGA (−S ) = {x ∈ H|x · y = 0, ∀y ∈ S}) Hệ 3.1 Cho H không gian Hilbert, Γ ∈ H x ∈ H Khi đó, mệnh đề tương đương: i Điểm x dương tương Γ ii Điểm x âm tương Γ iii Tập Γ ⊂ (x) iv Điểm x ∈ coneΓ Bổ đề 3.1 Cho K tập lồi không gian tuyến tính định chuẩn X (K ) = cone(K) (3.7) Hệ 3.2 Nếu C tập khác rỗng X C nón lồi đóng X C = (C ) (3.8) Bổ đề 3.2 Cho X không gian tuyến tính định chuẩn C tập khác rỗng X mệnh đề tương đương: i Tập C nón lồi đóng; ii Tồn tập Γ ⊂ X ∗ cho C := {x ∈ X|y ∗ (x) ≤ 0, với y ∗ ∈ Γ} (Γ = C ); 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA iii Tồn tập Γ ⊂ X ∗ cho C := {x ∈ X|y ∗ (x) ≥ 0, với y ∗ ∈ Γ} , (Γ = −C ) Định lý 3.4 Cho X ánh xạ không gian Banach Γ nằm X ∗ compact yếu Giả sử tồn y ∈ X cho y ∗ (y) > 0, với y ∗ ∈ Γ dim(Γ) = n (vì Γ chứa tập cực đại n vector độc lập tuyến tính) x∗ ∈ cone(Γ) khác có biểu diễn m ∗ ρi yi∗ , x = ∗ } tập m ≤ n, ρi > với i = 1, m, {y1∗ , y2∗ , , ym độc lập tuyến tính Γ Hệ 3.3 Cho H không gian Hilbert Γ ⊂ H compact yếu Giả sử tồn e ∈ H cho y · e > 0, với y ∈ Γ dim(Γ) = n (vì Γ chứa tập cực đại n vector độc lập tuyến tính) Với x = ∈ cone(Γ) có biểu diễn m x= ρ i yi m ≤ n, ρi > với i = 1, m {y1 , y2 , , ym } tập độc lập tuyến tính Γ 3.1 Ứng dụng tồn phép cầu phương Ứng dụng chứng tỏ tồn phép cầu phương với đa thức có bậc cao n, phụ thuộc tập 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA n + điểm có hệ số dương Cho Pn kí hiệu tập đa thức có bậc n, ta coi Pn không gian C[a, b] Pn cung cấp cho x = max{|x(t)||a ≤ t ≤ b} Định nghĩa hàm tuyến tính x∗t X := Pn b ∗ x(t)dt, ∀x ∈ X x (x) := a x∗t (x) := x(t), ∀x ∈ X Định lý 3.5 (Hằng số phép cầu phương) Cho X = Pn tồn m ≤ n + điểm a ≤ t1 < t2 < < tm ≤ b m vô hướng wi > m wi x∗ti Rõ ràng ∗ cho x = m b wi x(ti ), ∀x ∈ X x(t)dt = a Chứng minh Vì x∗ dương tương tập Γ := x∗t |t ∈ [a, b] nên từ hàm số không âm điểm đoạn [a, b] phải có số ngun khơng âm Do X hữu hạn chiều nên phản xạ Từ định lý 3.3 phần iv ta có x∗ ∈ cone(Γ) Tiếp đến đồng với hàm e đoạn [a, b] ta có x∗t (e) = 1, với t ∈ [a, b] Hơn nữa, dễ để kiểm tra Γ tập đóng bị chặn X ∗ Do đó, Γ compact khơng gian hữu hạn chiều X tất khơng gian vector tơ pơ tuyến tính X ∗ trùng Cuối từ dim X ∗ = dim X = n + 1, áp dụng định lý 3.4 ta có kết 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2 NGUYỄN THỊ THANH NGA Ứng dụng liên quan tới loại kết Farkas Trong phần ý tới bổ đề Farkas hệ định lý 3.3 Bổ đề Farkas định lý có tính giải hệ hữu hạn tuyến tính khác tốn học Đầu tiên, chứng minh nhà toán học người Hungarian Gyula Farkas Bổ đề Farkas kết quan trọng, móng quy hoạch tuyến tính có vai trò trung tâm phát triển tốn học tối ưu hóa Nó sử dụng công cụ chứng minh định lý Karush - Kuhn - Tucker quy hoạch phi tuyến Định lý 3.6 Cho H không gian Hilbert {b, a1 , a2 , , am } ⊂ H hai hệ có nghiệm m yi = b với yi ≥ i ii Tồn x ∈ H cho · x ≤ với i = 1, , m b · x > Chứng minh Cho Γ := {a1 , a2 , , am }, ta thấy nón sinh Γ m ρi |ρi ≥ hữu hạn tạo thành đóng Do đó, cone(Γ) = Rõ ràng, hệ i có nghiệm b ∈ cone{a1 , a2 , , am } Từ định lý 3.3, hệ i có nghiệm b âm tương Γ := {a1 , a2 , , am } Nhưng rõ ràng hệ ii có nghiệm b không âm tương Γ Do đó, định lý chứng minh Định lý 3.7 sau xem phiên khác định lý 3.6, chứng minh Gale, Kuhn Tucker 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA Định lý 3.7 Cho A ma trận cấp m × n b ∈ Rn Khi đó, hai hệ có nghiệm i AT y = b y ≥ 0, với y ∈ Rm ii.Tồn x ∈ Rn cho Ax ≤ p · x > Định lý mở rộng kết Hiriart - Urruty Lemarechal Nó gọi định lý Farkas suy rộng Định lý 3.8 Cho J tập số (b, r), (sj , pj ) ∈ Rn × R, với j ∈ J Giả sử hệ bất đẳng thức sj · x ≤ p j (3.9) có nghiệm x ∈ Rn mệnh đề tương đương: i Tích p · x ≤ r, với x thỏa mãn quan hệ (3.9); ii Điểm (b, r) ∈ cone{(sj , pj )|j ∈ J}; iii Điểm (b, r) ∈ cone({(0, 1)} {(sj , pj )|j ∈ J}) Chứng minh Đầu tiên ý x ∈ Rn nghiệm (3.9) (x, −1) ∈ Rn × R nghiệm (sj , pj ) · (x, −1) ≥ 0, ∀j ∈ J (3.10) Từ điều ta thấy mệnh đề i tương đương với b · x − r ≤ 0, ∀x thỏa mãn (3.10) (3.11) Hơn nữa, (3.11) tương đương với (b, r) · (x, −1) ≤ với x, cho (sj , pj ) · (x, −1) ≤ 0, với j ∈ J Nhưng mệnh đề cuối có nghĩa (b, r) âm tương tập {(sj , pj )|j ∈ J} Từ định lý 3.3 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA điều tương đương với mệnh đề ii Do đó, ta chứng minh i tương đương ii Rõ ràng ii kéo theo iii bao nón đóng iii lớn bao nón đóng ii 3.3 Ứng dụng tính xấp xỉ dạng bảo tồn Trong phần này, ta đưa nhóm vấn đề liên quan tới tính xấp xỉ dạng bảo tồn nói định lý Định lý 3.9 Cho K tập compact không gian Hilbert H, giả sử e ∈ H cho: i Tích k · e > với k ∈ K; ii Và dim K = n Cho C nón lồi đóng xác định C := −K = {y ∈ H|y · k ≥ 0, ∀k ∈ K} Cho x ∈ H\C x0 ∈ H mệnh đề tương đương: i Điểm x0 = PC (x); m ii Điểm x0 = x + ρi ki ≤ m ≤ n ρi > 0, ki ∈ K với i = 1, 2, , m, k1 , k2 , , km độc lập tuyến tính ki · x0 = 0, i = 1, , m Tuy nhiên dim H = n x0 = hai mệnh đề m ≤ n − Cho x ∈ L2 [−1, 1], ta muốn tìm gần từ tập đa thức bậc cao n đạo hàm không âm C = Cn,r := {p ∈ Pn |p(r) (t) ≥ 0, ∀t ∈ [−1, 1]} 40 (3.12) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA Nó khó để chứng tỏ C nón lồi đóng L2 [−1, 1] Sự quan tâm tập hợp để bảo tồn chắn dạng hàm gần Ví dụ r = 0, thì C biểu diễn tất đa thức có bậc ≤ n khơng âm, tăng, hay lồi có thứ tự [−1, 1] Nó tự nhiên, ví dụ muốn tính xấp xỉ hàm lồi L2 [−1, 1] đa thức lồi Pn chọn sở trực chuẩn p0 , p1 , , pn từ Pn Đối với tính xác định, giả sử (bình thường hố) đa thức Legendre Đầu tiên năm đa thức Legendre đưa sau √ (0) p0 (t) = , √ (1) p1 (t) = t, √ 10 (2) p2 (t) = (3t − 1), √ 14 (3) p3 (t) = (5t − 3t), √ (4) p4 (t) = (35t4 − 30t2 + 3) 16 Như vậy, p ∈ Pn , ta khai triển Fourier n (p · pi )pi Với α ∈ [−1, 1] ta định nghĩa p= n (r) pi (α)pi · kα := (3.13) i=0 Và tập K := {kα |α ∈ [−1, 1]} 41 (3.14) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA Bổ đề 3.3 Với α ∈ [−1, 1] p ∈ Pn , ta có kα · p = p(r) (α) (3.15) Nói cách khác kα đại diện phiếm hàm tuyến tính đạo hàm thứ r ước lượng α không gian Pn Chứng minh Sử dụng trực chuẩn pi ta có n n (r) pi (α)pi kα · p = i=0 n (p · pj )pj n (r) pi (α)(p · pj )(pi · pj ) = j=0 i=0 j=0 n (r) (p · pi )pi (α) = p(r) (α) = i=0 Bổ đề 3.4 i Tập K compact Pn ii Nếu e(t) = tr , e · k = r! > 0, với k ∈ K iii Nếu C = Cn,r xác định phương trình (3.12) C = {p ∈ Pn |p · kα ≥ 0, ∀α ∈ [−1, 1]} (3.16) Chứng minh Ta chứng minh i cho (xm ) dãy K tồn αm ∈ [−1, 1] cho xm = kαm với m Do αm bị chặn có dãy αm hội tụ tới điểm α ∈ [−1, 1] Do kα hàm liên tục α nên thỏa mãn kαm hội tụ tới kα Do đó, K compact Ta chứng minh ii từ đạo hàm thứ r tr số r! Chứng minh iii suy trực tiếp từ bổ đề 3.3 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA Định lý 3.10 Cho n, r số nguyên với ≤ r < n, X = Pn C = Cn,r := {p ∈ Pn |p(r) (t) ≥ ∀t ∈ [−1, 1]} (3.17) Cho x ∈ X \ C, x0 ∈ C cho kα xác định (3.13) mệnh đề tương đương i Điểm x0 = PC (x); m ρi kαi , m ≤ n + 1, ρi > 0, αi ∈ [−1, 1] ii Điểm x0 = x + (r) x0 (αi ) = 0, với i {kα1 , kα2 , , kαm } độc lập tuyến tính (r) Hơn nữa, x0 ≡ mệnh đề m ≤ (n − r + 2) Chứng minh Tương đương mệnh đề i ii kết suy trực tiếp định lý 3.9 với bổ đề 3.3 bổ đề 3.4, cho (r) ta thấy m ≤ (n − r + 2) x0 ≡ Từ vector kαi độc lập tuyến tính thỏa mãn α1 , α2 , , αm điểm khác biệt [−1, 1] Bây (r) x0 đa thức khác khơng có bậc cao n − r, có tối đa (r) n − r nghiệm tầm thường Từ x0 (αi ) = 0, với i = 1, , m ta phải (r) có m ≤ n − r Nếu x0 (α) = 0, với α thỏa mãn −1 < α < α (r) (r+1) khơng đơn giản nghiệm tầm thường x0 (nghĩa x0 (α) = 0) (r) (r) Từ x0 (t) ≥ 0, với −1 ≤ t ≤ Nó thỏa mãn x0 có tối đa (n−r) (r) nghiệm tầm thường khoảng mở (−1, 1) Nếu x0 có nghiệm (r) tầm thường điểm biên t = ±1, x0 có tối 1 đa + (n − r − 1) = (n − r + 1) nghiệm tầm thường đoạn 2 (r) [−1, 1] Cuối x0 có nghiệm tầm thường hai điểm biên 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA 1 (r) t = ±1 ta nhìn thấy x0 có tối đa 2+ (n−r−2) = (n−r+2) 2 nghiệm tầm thường đoạn [−1, 1] Trong tất trường hợp (r) có thể, ta thấy x0 có tối đa m ≤ (n − r + 2) nghiệm tầm thường đoạn [−1, 1] 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA KẾT LUẬN Trong khóa luận, tơi trình bày vấn đề liên quan đến định lý tách Hahn - Banach vài ứng dụng dựa vào báo [2] [3] Cụ thể là: Tổng hợp kiến thức liên quan đến siêu phẳng tách yếu, siêu phẳng tách mạnh định lý tách Hahn - Banach Làm rõ chứng minh bổ đề 2.1, định lý 2.2, định lý 2.3, định lý 2.4 Vì thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận nhiều thiếu sót khó tránh khỏi Mong q thầy bạn góp ý để khóa luận hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 45 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy (1997), Convex Analysis and Global Optimization, KLuwer Acdemic Publishers [2] Robert Peng (2014), The Hahn - Banach separation theorem and other separation results, http://math.uchicago.edu/ may/REU2014/REUPapers/Peng.pdf [3] Frank Deutsch, Hein Hundal, Ludmil Zikatanov (2018), Some Applications of the Hahn - Banach Separation Theorem, https://arxiv.org/pdf/1712.10250.pdf [4] Lawrence Baggett, Topological Vector Spaces and Continuous Linear Functionals, http://spot.colorado.edu/ baggett/funcchap3.pdf [5] Kim C Border, Separating Hyperplane Theorems http://people.hss.caltech.edu/ kcb/Notes/SeparatingHyperplane.pdf [6] Marián Fabian, Petr Habala,Petr Hájek, Vicente Montesinos Santalucía, Jan Pelant, Václav Zizler (2001), Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, Springer-Verlag New York, Inc 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA [7] Charles W Groetsch (1980), Element of Applicable Functional Analysis, Marcel Dekker, Inc [8] N Aronszajn (1950), Introduction to the Theory of Hilbert Space, Edwards Brothers [9] E W Cheney (1966), Introduction to Approximation Theory, McGraw-Hill [10] J B Conway ( 1990), A Course in Functional Analysis (second edition), Springer-Verlag, New York 47 ... hai định lý tách Hahn - Banach quan trọng Chương Một vài ứng dụng định lý tách Hahn - Banach Ở chương này, chúng tơi có đưa ba ứng dụng có liên quan tới định lý tách Hahn - Banach là: ứng dụng. .. đề tài "Định lý tách Hahn - Banach ứng dụng" Khóa luận tơi hồn thành dựa báo [2] [3] Trong đó, hệ thống lại khối kiến thức siêu phẳng tách yếu, siêu phẳng tách mạnh, định lý tách Hahn - Banach. .. 24 Định lý tách Hahn - Banach 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA Một vài ứng dụng định lý tách 31 3.1 Ứng dụng tồn phép cầu phương 36 3.2 Ứng dụng