TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH DƯỚI VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ************* NGUYỄN THỊ HỒNG ANH DƯỚI VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS NGUYỄN QUỐC TUẤN HÀ NỘI – 2018 Mục lục Lời mở đầu Lời cảm ơn Lời cam đoan Bảng ký hiệu MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm lồi số tính chất 1.2 Tính nửa liên tục liên tục lipschitz hàm lồi 13 1.2.1 Tính nửa liên tục 13 1.2.2 Liên tục Lipschitz 16 Xấp xỉ theo hàm affine 18 1.3 DƯỚI VI PHÂN 19 2.1 Định nghĩa ký hiệu 19 2.2 Một số tính chất vi phân 21 2.3 Phép toán vi phân 25 ỨNG DỤNG 31 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HỒNG ANH 3.1 Ứng dụng biểu diễn hàm lồi epi-pointed 31 3.2 Ứng dụng: Tính lồi hàm epi-pointed 36 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HỒNG ANH LỜI MỞ ĐẦU Trong giải tích, lớp hàm khả vi tương đối hạn hẹp Kết nghiên cứu lớp hàm chưa đủ để giải toán theo yêu cầu thực tế Do đó, cần nghiên cứu lớp hàm rộng Từ đó, sinh khái niệm vi phân lớp hàm khả vi phân Khái niệm vi phân hàm lồi Jean Jacques Moreau R Tyrrell Rockafellar đưa vào năm sáu mươi kỷ 20 với nội dung: "Cho hàm lồi f : Rn → R Một vector p ∈ Rn gọi gradient f x0 p, x − x0 + f (x0 ) ≤ f (x0 ), ∀x ∈ Rn Tập tất gradient f x0 gọi vi phân f x0 " Trong năm 1970, R.T.Rockafellar cho xuất sách "Convex analysis" rõ vi phân phép toán vi phân Đến đầu năm 1980, Ông đưa khái niệm vi phân tổng quát hàm không lồi với nội dung: "Cho hàm f : Rn → R (không thiết phải lồi) vi phân f x tập vector s thỏa mãn f (y) ≥ f (x) + s, y − x , ∀y ∈ Rn " Sau đó, tính chất vi phân phép tính vi phân tiếp tục nhà khoa học khác nghiên cứu Khái niệm vi phân đời mở kỷ nguyên mới, kỷ nguyên phát triển rực rỡ, kỷ ngun giải tích khơng trơn Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH Trong thực tiễn, ta bắt gặp nhiều toán với đối tượng hàm khơng khả vi Những tốn làm cho nhà khoa học lúng túng, đau đầu giải chúng khái niệm vi phân đời, trở thành công cụ đắc lực cho nghiên cứu toán cách dễ dàng Với mong muốn tìm hiểu sâu vi phân hàm lồi ứng dụng vào việc biểu diễn hàm lồi đặc biệt, để tích lũy kinh nghiệm cho thân, phục vụ công tác học tập, giảng dạy sau này, đồng thời giới thiệu cho bạn sinh viên có nhìn tổng qt sâu sắc vi phân hàm lồi ứng dụng Tơi mạnh dạn chọn đề tài "Dưới vi phân ứng dụng" để hoàn thành Khóa luận tốt nghiệp Khóa luận hồn thành dựa báo [2] Trong đó, hệ thống lại khối kiến thức hàm lồi, vi phân hàm lồi phép toán vi phân Ngồi trình bày lại ứng dụng vi phân Ứng dụng 1: Biểu diễn hàm ”epi − pointed” với hàm ”epi − pointed” hiểu "Một hàm thường nửa liên tục f : X → R ∪ {+∞} gọi epi − pointed int (dom f ∗ ) = ∅." Ứng dụng 2: Sử dụng vi phân để chứng minh tính lồi hàm ”epi − pointed” thông qua mệnh đề: "Giả sử khơng gian Banach X có tính chất Radom-Nikodym Cho x0 ∈ dom ∂f với x ∈ X, ta có n−1 x∗i , xi+1 − xi + x∗n , x − xn convf (x) = f (x ) + sup i=0 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HỒNG ANH giá trị lớn cho tất số nguyên n, tất x1 , x2 , , xn thuộc dom ∂f tất x0 ∗ ∈ ∂f (x0 ), xj ∗ ∈ ∂f (xj )." Khóa luận gồm ba chương Chương "Một số kiến thức chuẩn bị" trình bày kiến thức hàm lồi số kiến thức liên quan để sử dụng cho việc tìm hiểu "dưới vi phân" Chương "Dưới vi phân" trình bày vi phân hàm lồi số tính chất phép tốn Chương "Ứng dụng" trình bày số ứng dụng vi phân vào biểu diễn hàm lồi đặc biệt Mặc dù khóa luận đươc hồn thành với cố gắng thân, song thời gian có hạn vấn đề thân tơi, nên q trình làm khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để khóa luận hồn thiện Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn chân thành cảm ơn ThS Nguyễn Quốc Tuấn tận tình hướng dẫn tác giả đọc tài liệu tập dượt nghiên cứu Tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Giải tích, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học Đại học thực khóa luận Hà Nội, ngày 13/04/2018 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Anh Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp tơi dược hồn thành dựa báo [2] với tổng hợp, tham khảo kế thừa thành thành nhà khoa học khác Tôi cam đoan đề tài "Dưới vi phân ứng dụng" khơng có trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, ngày 13/04/2018 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Anh Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH BẢNG KÝ HIỆU R Tập tất cá số thực Rn Tập tất vector có n chiểu ·, · Tích vơ hướng phần tử cl C Bao đóng C int C Phần C conv E Bao lồi E cone E Nón sinh tập E ri C Phần tương đối tập C convC Bao lồi đóng tập C exp C Tập điểm tiếp xúc mạnh C dom f Miền hữu hiệu f epi f Tập đồ thị f ∂f Dưới vi phân f Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HỒNG ANH Theo định nghĩa thông thường, hàm f khả vi điểm x0 tồn vector ∇f (x0 ) (đạo hàm f x0 ) cho f (x0 + u) = f (x0 ) + ∇f (x0 ), u + o( u ) Điều tương đương với f (x0 + λu) − f (x0 ) lim = ∇f (x0 ), u , λ→0 λ ∀u = 0, đạo hàm theo hướng f (x0 ; u) tồn hàm tuyến tính u Mệnh đề 2.2 Cho f hàm lồi thường x0 ∈ dom f Nếu f khả vi x0 ∇f (x0 ) gradient f x0 Chứng minh Nếu f khả vi x0 f (x0 ; u) = ∇f (x0 ), u , từ ii mệnh đề 2.1, vector p gradient f x0 p, u ≤ ∇f (x0 ), u ∀u, nghĩa p = ∇f (x0 ) 2.3 Phép toán vi phân Một hàm lồi f kết vài phép toán hàm lồi fi , i ∈ I Việc hiểu cách tính vi phân f thơng qua cách tính vi phân fi quan trọng Mệnh đề 2.3 Cho fi , i = 1, , m, hàm lồi thường 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HỒNG ANH Rn Khi với x ∈ Rn : m m fi (x)) ⊃ ∂( i=1 ∂fi (x) i=1 Nếu tồn điểm a ∈ ∩m i=1 dom fi , với hàm fi , trừ một, liên tục, bao hàm thực tế đẳng thức với x ∈ Rn Chứng minh Mệnh đề với m = Hơn nữa, phần thứ mệnh đề dễ dàng ra, ta cần chứng minh phần thứ hai mệnh đề Nếu p ∈ ∂(f1 + f2 )(x0 ), hệ x − y = 0, f1 (x) + f2 (y) − f1 (x0 ) − f2 (x0 ) − p, x − x0 < không tương thích Ta có D = dom f1 × dom f2 A(x, y) := x − y Theo giả thiết, f1 liên tục a ∈ dom f1 ∩ dom f2 , có hình cầu U bao quanh cho a + U ⊂ dom f1 , U = (a + U ) − a ⊂ dom f1 − dom f2 = A(D), tức là, ∈ int A(D) Vì thế, theo định lý bất đẳng thức lồi, tồn tai t ∈ Rn cho t, x − y + [f1 (x) + f2 (x) − f1 (x0 ) − f2 (x0 ) − p, x − x0 ] ≥ 0, với x ∈ Rn y ∈ Rn Đặt y = x0 p−t, x−x0 ≤ f1 (x)−f( x0 ) với x ∈ Rn , tức p − t ∈ ∂f1 (x0 ) Khi đặt x = x0 , có t, y − x0 ≤ f2 (y) − f2 (x0 ) ∀y ∈ Rn , tức t ∈ ∂f2 (x0 ) Do đó, p = (p − t) + t ∈ ∂f1 (x0 ) + ∂f2 (x0 ) Mệnh đề chứng minh 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HỒNG ANH Mệnh đề 2.4 Cho A : Rn → Rm ánh xạ tuyến tính g hàm lồi thường Rn Khi với x ∈ Rn : AT ∂g(Ax) ⊂ ∂(g ◦ A)(x) Nếu g liên tục số điểm Im(A) (dãy A) bao hàm thực tế bình đẳng với x ∈ Rn Chứng minh Xét p ∈ ∂(g ◦ A)(x0 ) Khi hệ Ax − y = 0, g(y) − g(Ax0 ) − p, x − x0 < 0, x ∈ Rn , y ∈ Rm không tương thích Xác định D = Rn × dom g, B(x, y) = Ax − y Vì có điểm b ∈ Im A ∩ int(dom g) ta có b ∈ int B(D), tồn t ∈ Rm cho t, Ax − y + g(y) − g(Ax0 ) − p, x − x0 ≥ với x ∈ Rn y ∈ Rm Đặt y = dẫn tới AT t − p, x − g(Ax0 ) + p, x0 ≥ 0, ∀x ∈ Rn , p = AT t, đặt x = x0 dẫn tới t, y − Ax0 ≤ g(y) − g(Ax0 ), tức t ∈ ∂g(Ax0 ) Vì vậy, p ∈ AT ∂g(Ax0 ) Mệnh đề 2.5 Cho g(x) = (g1 (x), , gm (x)),trong gi hàm lồi từ Rn đến R, cho ϕ : Rm → R hàm lồi, giảm 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH phần, tức cho ϕ(t) ≥ ϕ(t ) với ti ≥ ti , i = 1, , m Thì hàm f = ϕ ◦ g lồi m si pi |pi ∈ ∂gi (x), (s1 , , sm ) ∈ ∂ϕ(g(x)).} ∂f (x) = { (2.6) i=1 Chứng minh Để chứng minh mệnh đề trên, ta sử dụng mệnh đề sau: "Cho hàm g(x) : Rn → (−∞, +∞] hàm lồi cho hàm ϕ(t) : R → (−∞, +∞] hàm lồi khơng giảm Thì f (x) = ϕ(g(x)) lồi Rn (trong ta quy ước ϕ(+∞) = +∞)" Giờ ta chứng minh mệnh đề 2.5 Tính lồi f suy từ mở rộng mệnh đề ta vừa nêu với trường hợp cụ thể m = Để m i i=1 si p chứng minh (2.6), cho p = với pi ∈ ∂gi (x0 ), s ∈ ∂ϕ(g(x0 )) Đầu tiên thấy s, y − g(x0 ) ≤ ϕ(y) − ϕ(g(x0 )) ∀y ∈ Rm ẩn, với y = g(x0 ) + u u ≤ s, u ≤ ϕ(g(x0 ) + u) − ϕ(g(x0 )) ≤ với u ≤ 0, s ≥ Bây m p, x − x si pi , x − x0 = i=1 m si [gi (x) − gi (x0 )] = s, g(x) − g(x0 ) ≤ i=1 ≤ ϕ(g(x)) − ϕ(g(x0 )) = f (x) − f (x0 ) với x ∈ Rn Vì p ∈ ∂f (x0 ), tức vế phải (2.6) chứa vế trái Để chứng minh phần đảo, cho p ∈ ∂f (x0 ), hệ x ∈ Rn , y ∈ Rm , gi (x) < yi i = 1, , m (2.7) ϕ(y) − ϕ(g(x0 )) − p, x − x0 < (2.8) 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HỒNG ANH khơng tương thích, hệ (2.7) có nghiệm Khi đó, tồn s ∈ Rm + cho ϕ(y) − ϕ(g(x0 )) − p, x − x0 + s, g(x) − y ≥ với x ∈ Rn , y ∈ Rm Đặt x = x0 dẫn tới ϕ(y) − ϕ(g(x0 )) ≥ s, y − g(x0 ) với y ∈ Rm , tức s ∈ ∂ϕ(g(x0 )) Mặt khác, đặt y = g(x0 ) dẫn tới m p, x − x si [gi (x) − gi (x0 )] ≤ i=1 với x ∈ Rn , tức p ∈ ∂( p= m i i=1 si p m i=1 si gi (x )), theo mệnh đề 2.3, với pi ∈ ∂gi (x0 ) Chú ý ϕ(y) khả vi g(x) cơng thức (2.6) tương tự quy tắc dãy cổ diển, cụ thể là: m ∂(ϕ ◦ g)(x) = i=1 ∂ϕ (g(x)∂gi (x) ∂yi Mệnh đề 2.6 Cho f (x) = max{g1 (x), , gm (x)}, gi hàm lồi từ Rn đến R ∂f (x) = conv{∪∂gi (x)| i ∈ I(x)}, I(x) = {i| f (x) = gi (x)} Chứng minh Nếu p ∈ ∂f (x0 ) hệ gi (x) − f (x0 ) − p, x − x0 < ; i = 1, 2, , m 29 (2.9) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HỒNG ANH m khơng tương thích Khi đó, tồn λi ≥ cho λi = 1, i=1 m λi [gi (x) − f (x0 ) − p, x − x0 ] ≥ i=1 Cho x = x0 , ta có λi [gi (x0 ) − f (x0 )] ≥ 0) i∈I(x / với gi (x0 ) − f (x0 ) < ; ∀i ∈ / I(x0 ), điều nghĩa λi = với i∈ / I(x0 ) Do đó, λi [gi (x) − gi (x0 ) − p, x − x0 ] ≥ i∈I(x0 ) với x ∈ Rn p ∈ ∂( λi gi (x0 )) Từ mệnh đề 2.3, i∈I(x0 ) pi với pi ∈ ∂gi (x0 ) Vậy ∂f (x ) ⊂ conv{∪∂gi (x0 )| i ∈ I(x0 )} p= 0) i∈I(x / Phần đảo bao hàm kiểm tra phương pháp trực tiếp 30 Chương ỨNG DỤNG 3.1 Ứng dụng biểu diễn hàm lồi epi-pointed Các định nghĩa tính chất sử dụng cho phần Định nghĩa 3.1 Cho X không gian Banach X ∗ khơng gian kép Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng X Ta ký hiệu NC (u) tập tất hướng pháp tuyến C điểm u ∈ C, tức là, NC (u) = {p ∈ X ∗ : p, v − u ≤ 0, ∀v ∈ C} Mối quan hệ với hàm lồi thường nửa liên tục g sau t−1 (x∗ ) ∈ ∂g(x) ⇐⇒ (x∗ , −t) ∈ Nepi g (x, g(x)), t > 0, x ∈ X, x∗ ∈ X ∗ 31 (3.1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH Định nghĩa 3.2 Cho C tập lồi đóng khác rỗng X Một điểm u ∈ C gọi tiếp xúc mạnh (strongly exposed) tồn p ∈ X ∗ cho với dãy {un } ⊂ C mệnh đề sau lim n−→+∞ p, un = σC (p) =⇒ lim un = u n−→+∞ Trong trường hợp p ∈ X ∗ đọc gọi hàm tiếp mạnh cho điểm u C Ta kí hiệu Exp(C, u) tập tất hàm X ∗ thỏa mãn tính chất Ta kí hiệu exp C tập điểm tiếp xúc mạnh C Rõ ràng, u ∈ exp C Exp(C, u) = Nó trực tiếp cho phép với u ∈ C Exp(C, u) ⊂ NC (u) ∩ dom σC (3.2) Ta Exp C tập tất hàm tiếp xúc mạnh, đó, Exp C = u∈exp C Exp(C, u) Định nghĩa 3.3 Một không gian Banach X gọi có tính chất Radon-Nikodym, tập lồi,đóng, bị chặn, khác rỗng C X biểu diễn bao lồi đóng điểm tiếp xúc mạnh, tức C = conv(exp C) Định nghĩa 3.4 Một điểm x ∈ dom g gọi tiếp xúc mạnh hàm lồi thường nửa liên tục g (x, g(x)) ∈ exp(epi g) 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH Ta có exp g tập điểm tiếp xúc mạnh g Với x ∈ exp g kí hiệu Exp (g, x) tập tất x∗ ∈ X ∗ thỏa mãn {x∗ , −1} ∈ Exp (epi g, (x, g (x))) Theo quan hệ (3.1) (3.2) ta có Exp (g, x) ⊂ ∂g (x) (3.3) Đồng thời ta có tập Exp g = ∪ x∈exp g Exp (g, x) Nó xảy tập điểm cho rỗng Ví dụ g hàm Chúng ta không xét trường hợp này, exp g không rỗng không gian với tính chất Radon-Nikodym Định nghĩa 3.5 Một hàm thường, nửa liên tục f : X → R ∪ {+∞} gọi epi − pointed int (dom f ∗ ) = ∅ Định nghĩa thực tế tương đương với điều kiện ràng buộc sau: Tồn x∗ ∈ X ∗ , ρ > r ∈ R cho f (x) ≥ x∗ , x + ρ x + r với x ∈ X Nhận xét 3.1 Một hàm thường nửa liên tục f epi − pointed convf epi − pointed Mệnh đề 3.1 Tập Exp g trù mật int(dom g ∗ ) khơng gian Banach X có tính chất Radon-Nikodym hàm lồi g epi − pointed Chứng minh Cho x ∈ int(dom g ∗ ) ε > cho B (x∗ , ε) tập 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH tập int(dom g ∗ ) Tập r := , ε(2 x∗ + 2)−1 Ta có (x∗ , −1) ∈ int(dom σepi g ), tồn z ∗ ∈ B (x∗ , r) s ∈ (1 − r, + r) cho (z ∗ , −s) ∈ Exp (epi g) Hiển nhiên, ta có s−1 z ∗ , −1 ∈ Exp (epi g), s−1 z ∗ ∈ Exp (epi g) Phép tính trực tiếp mang lại s−1 z ∗ − x∗ ≤ s−1 z ∗ − z ∗ + z ∗ − x∗ < s−1 |1 − s| z ∗ + r ≤ 2r ( x∗ + r) + r ≤ ε ⇒ s∗ x∗ ∈ Exp g ∩ B (x∗ , ε) Điều phải chứng minh Định lý 3.1 Giả sử khơng gian Banach X có tính chất RadonNikodym hàm lồi g epi − pointed Cho x0 ∈ dom ∂g với điểm x ∈ X ta có n−1 x∗i , xi+1 − xi + x∗n , x − xn g (x) − g (x0 ) = sup (3.4) i=0 Với tổng cho tất số nguyên n, tất x1 , , xn exp g tất x∗0 ∈ ∂g (x0 ) , x∗1 ∈ ∂g (x1 ) , , x∗n ∈ ∂g (xn ) Chứng minh Chúng ta giả sử tập giá trị toán tử T : X ⇒ X ∗ xác định với tất x ∈ X   ∂g (x) , T (x) =  ∅, x ∈ {x0 } ∪ exp g x∈ / {x0 } ∪ exp g 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HỒNG ANH Vì GrT ⊂ Gr∂g, tốn tử T đồng thời liên tục đơn điệu Chúng ta yêu cầu phần bên phải (3.4) với vế phải công thức n−1 x∗i , xi+1 − xi + x∗n , x − xn h(x) := sup i=0 với toán tử T Thật vậy, cho số nguyên n ≥ dãy hữu hạn x1 , , xn dom T kí hiệu i0 nhỏ số {0, , n} cho xi = x0 với ∀i > i0 , xi0 = x0 Sử dụng tính liên tục đơn điệu T ta có Exp g ⊂ ∪ x∈exp g ∂g (x) ⊂ ImT Từ mệnh đề 3.1, ImT trù mật int (dom g ∗ ) Nhận xét 3.2 Công thức (3.4) sai với hàm epi−pointed, chí số chiều hữu hạn Xem xét với ví dụ hàm lồi thưởng nửa liên tục g : R2 → R xác định (x, y) ∈ R2 y2 g (x, y) = Trong trường hợp exp g = ∅ với x0 = (0, 0) công thức (3.4) dẫn tới g (x) = không Nhận xét 3.3 Công thức (3.4) đồng thời sai khơng gian Banach khơng có tính chất Radon-Nikodym Thật cho X = c0 (N) cho g hàm tiêu hình cầu đơn vị đóng X Thì g hàm lồi thường nửa liên tục đồng thời epi − pointed, g ∗ trùng với chuẩn X ∗ = e1 (N) Hơn x0 = ý ∂g (x0 ) = {0} Vì hình cầu đơn vị đóng X khơng có cực điểm, dễ dàng thấy 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HỒNG ANH exp g = ∅ Vì cơng thức (3.4) dẫn tới g (x) = không 3.2 Ứng dụng: Tính lồi hàm epi-pointed Xuyên suốt mục ký hiệu f : X → R ∪ {+∞} hàm thường nửa liên tục epi − pointed ta đặt g = convf Chúng ta dễ dàng kiểm tra x ∈ dom ∂f ⇒ (g(x) = f (x), ∂g (x) = ∂f (x)) (3.5) Bổ đề trường hợp đặc biệt bổ đề Bổ đề 3.1 Cho x ∈ exp g g (x) = f (x) ∂g (x) = ∂f (x) Chứng minh Chúng ta có tập C := epi g, A = epi f u := (x, g (x)) Chú ý g(x) = f (x) u ∈ A Chúng ta giả sử rằng, g (x) < f (x) với u ∈ / A Vậy A đóng, tồn ρ > cho A ∩ B (u, ρ) = ∅ (3.6) Theo giả sử u ∈ exp C,thì tồn p ∈ X ∗ × R ε > cho C ∩ H ⊂ B(u, p), H nửa khơng gian mở {v ∈ X × R : p, v > p, u − ε} Thì, nhắc lại A ⊂ C, hệ thức (3.6) dẫn đến A ∩ H = ∅, tương đương, lấy bao lồi đóng tập A, C ∩ H = ∅ Ta có mâu thuẫn u ∈ C ∩ H Do đó, g(x) = f (x) 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH Hệ 3.1 Giả sử khơng gian Banach X có tính chất RadomNikodym Cho x0 ∈ dom ∂f với x ∈ X, ta có n−1 x∗i , xi+1 − xi + x∗n , x − xn convf (x) = f (x ) + sup (3.7) i=0 giá trị lớn cho tất số nguyên n, tất x1 , x2 , , xn thuộc dom ∂f tất x0 ∗ ∈ ∂f (x0 ), xj ∗ ∈ ∂f (xj ) Chứng minh Ta có vế phải (3.7) xác định hàm lồi thường nửa liên tục f thỏa mãn f ≤ g (chú ý g(x0 ) = f (x0 ) Mặt khác từ định lý 3.1 bổ đề 3.1, ta nhận f ≥ g Điều phải chứng minh 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH KẾT LUẬN Trong khóa luận, tơi trình bày vấn đề liên quan đến vi phân hàm lồi, ứng dụng bổ đề dựa vào báo [2] Cụ thể: Tổng hợp, liệt kê kiến thức liên quan đến hàm lồi, vi phân hàm lồi, ứng dụng vi phân hàm lồi việc biểu diễn hàm lồi đặc biệt Tự đưa giải ví dụ 2.1.1, ví dụ 2.1.2 ứng dụng vi phân Vì thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận nhiều thiếu sót khó tránh khỏi Mong q thầy bạn góp ý để khóa luận hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 38 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy (1997), Convex Analysis and Global Optimization [2] Aris Daniilidis and Joel Benoist (2007), Subdifferential representation of convex funtions: refinements and applications [3] Phelps, R (1991), Convex Functions, Monotone Operators and Differentiability, 2n d Edition, Springer, Verlag, Berlin [4] Rockafellar (1970), On the maximal monotonicity of subdifferential mappings [5] Kim C.Border, Separating Hyperplane Theorems, http://people.hss.caltech.edu/ kcb/Notes/SeparatingHyperplane.pdf [6] John Nachbar, Convex Sets, Separation, and Support, https://pages.wustl.edu/files/pages/imce/nachbar/convexityrn.pdf [7] Borwein, J and Zhu, Q (1999) "Multifunctional and functional analytic techniques in nonsmooth analysis”, in: Nonlinear Analysis, Differential Equations and Control, (F H Clarke and R J Stern eds.), Series C: Mathematical and Physical Sciences, Vol 528, Kluwer Acad Publ., 61-157 39 ... thức liên quan để sử dụng cho vi c tìm hiểu "dưới vi phân" Chương "Dưới vi phân" trình bày vi phân hàm lồi số tính chất phép tốn Chương "Ứng dụng" trình bày số ứng dụng vi phân vào biểu diễn hàm... hàm lồi ứng dụng Tơi mạnh dạn chọn đề tài "Dưới vi phân ứng dụng" để hồn thành Khóa luận tốt nghiệp Khóa luận hoàn thành dựa báo [2] Trong đó, hệ thống lại khối kiến thức hàm lồi, vi phân hàm... 18 1.3 DƯỚI VI PHÂN 19 2.1 Định nghĩa ký hiệu 19 2.2 Một số tính chất vi phân 21 2.3 Phép toán vi phân 25 ỨNG DỤNG 31 i Khóa luận tốt