TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ HỊA NỬA NHĨM SỐ SINH BỞI BA PHẦN TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ************* NGUYỄN THỊ HỊA NỬA NHÓM SỐ SINH BỞI BA PHẦN TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học ThS ĐỖ VĂN KIÊN HÀ NỘI – 2018 ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✣➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✱ tỉ✐ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ ❚❤❙✳ ✣é ❱➠♥ ❑✐➯♥ ✲ ◆❣÷í✐ trü❝ t✐➳♣ t➟♥ t ữợ ữợ tổ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ tæ✐ ❧➔♠ ❜➔✐ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ỗ tớ tổ ụ t ỡ ❝→❝ t❤➛② ❝æ tr♦♥❣ tê ✣↕✐ sè ✈➔ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✱ ❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ tæ✐ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ tèt ❜➔✐ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ✤➸ ❝â ❦➳t q✉↔ ♥❤÷ ♥❣➔② ❤ỉ♠ ♥❛②✳ ▼➦❝ ❞ò ✤➣ ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ❝è ❣➢♥❣✱ s♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝á♥ ♥❤✐➲✉ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ t❤➸ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât r➜t ữủ sỹ õ õ ỵ t ❝æ ❣✐→♦✱ ❝→❝ ❜↕♥ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ✈➔ ❜↕♥ ✤å❝✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦ ❍➔ 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♥❤✐➯♥ ❝â ❞↕♥❣ t❤✉ë❝ H✳ ❱➟② ❉♦ ✤â t➟♣ d=1 ❤❛② N\H ✤➲✉ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ nd + ✈ỵ✐ n∈N d ♥➯♥ ♥➳✉ ✤➲✉ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ✈æ ❤↕♥✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ❧➔ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ gcd (a1 , a2 , , an ) = ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ✳ ●✐↔ sû gcd (a1 , a2 , , an ) = 1✱ H t❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❧➔ ♥û❛ ♥❤â♠ sè✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❦✐➸♠ tr❛ ✸ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ♥û❛ ♥❤â♠ sè ✿ ✭✐✮ ❉➵ t❤➜② r➡♥❣ ∈ H✳ n ✭✐✐✮ H + H ⊆ H✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ H, x = n ci , y = i=1 ✈ỵ✐ ❝→❝ ci , di ∈ N, ∀i = 1, n t❛ ❝â n x+y = n ci + i=1 ✭✐✐✐✮ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ n (ci + di )ai ∈ H di = i=1 |N\H| < ∞ i=1 ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❤❡♦ ✺ n✳ di , i=1 ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍á❛ (α , β , γ ) ∈ Λn ❚❛ t❤➜② ✈ỵ✐ ♠å✐ t❤➻ cλ X α Y β Z γ − h= λ∈Λn cλ X α Y β Z γ λ∈Λn cλ X α Y β Z γ − X α Y β Z γ = ∈ / I λ∈Λn (α0 , β0 , γ0 ) , (α0 , β0 , γ0 ) ∈ Λn õ tỗ t s X Y Z γ0 − X α0 Y β0 Z γ0 ∈ / I ❙✉② r❛ ▼➔ (α0 , β0 , γ0 ) = (α0 , β0 , γ0 ) X α0 Y β0 Z γ0 −X α0 Y β0 Z γ0 ∈ K ∩Sn , ✈ỵ✐ ♠å✐ (α, β, γ) , (α , β , γ, ) ∈ Λn ✳ ❑❤✐ ✤â ❞♦ ✈➔ γ0 = h ∈ (K ∩ Sn ) \I ❤♦➦❝ ❚❤➟t ✈➟②✱ ♥➳✉ ♥➯♥ α0 = ❤♦➦❝ α0 = ✈➔ β0 = ❤♦➦❝ β0 = γ0 = 0✳ α0 , α0 > t❤➻ X X α0 −1 Y β0 Z γ0 − X α0 −1 Y β0 Z γ0 ∈ K, ♠➔ X∈ /K ♥➯♥ X α0 −1 Y β0 Z γ0 − X α0 Y β0 Z γ0 ∈ K ◆❤÷♥❣ ❦❤✐ ✤â h = X α0 −1 Y β0 Z γ0 − X α0 Y β0 Z γ0 ∈ K ∩ Sn−a ❙✉② r❛ h ∈ K\I ✈➔ deg h = n − a < n✱ ❜➟❝ ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❱➟② α0 = ❤♦➦❝ α0 = 0✳ ✷✸ ✤✐➲✉ ♥➔② ❧➔ ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ h ❝â ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍á❛ ❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ ❚❛ ❝♦✐ β0 = ❤♦➦❝ β0 = ❀ γ0 = ❤♦➦❝ γ0 = 0✳ h = X α0 −1 Y β0 Z γ0 − X α0 Y β0 Z γ0 ✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐↔♠ tê♥❣ q✉→t t❛ ❝♦✐ α0 = α, β0 = β, γ0 = γ; α0 = α , β0 = β , γ0 = γ ❘ã r➔♥❣ α, β, γ ❦❤æ♥❣ ỗ tớ ứ õ t õ t sỷ ❚❍✶✳ ❉♦ h = Xα − Y β Zγ h∈K ❚r♦♥❣ S/ K ♥➯♥ ✈➔ h = Xα − Y β Zγ ✈ỵ✐ aα ∈ b, c α ,β ,γ ✳ ❤♦➦❝ ❝ô♥❣ t❤➳✳ h = Xα − Y β ✳ α, β , γ > 0✳ s✉② r❛ α1 ≤ α t❛ ❝â Y β Z γ = X α = X α−α1 X α1 = X α−α1 Y α2 Z α3 ❙✉② r❛ Y β Z γ − X α−α1 Y α2 Z α3 ∈ K, ❤❛② Y β Z γ − X α−α1 Y α2 Z α3 ∈ K ∩ Sn ❍ì♥ ♥ú❛✱ X α−α1 (X α1 − Y α2 Z α3 ) + X α−α1 Y α2 Z α3 − Y β Z γ = X α − Y β Z γ = h ∈ / I ❙✉② r❛ X α−α1 Y α2 Z α3 − Y β Z γ ∈ / I ❉♦ ✤â X α−α1 Y α2 Z α3 − Y β Z γ ∈ (K ∩ 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✤â X α−α1 Y α2 −1 Z α3 − Y β −1 ∈ K ∩ Sn−b , ✈ỵ✐ ❜➟❝ n − b < n✱ α2 = 0✳ ❙✉② r❛ ✤✐➲✉ ♥➔② ❧➔ ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ h ❝â ❜➟❝ ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❉♦ ✤â X α−α1 Z α3 − Y β ∈ (K ∩ Sn ) \I ◆➳✉ α−  α1 > ✈➔ α3 > ✭✷✳✶✮ t❤➻ ✤÷❛ ✈➲ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✱ ❞➝♥ ✤➳♥ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ α3 =  α − α1 = α3 = s✉② r❛ α − α1 > ❉♦ ✤â ◆➳✉ t❤➻ X α−α1 − Y β ∈ (K ∩ Sn ) \I α1 ≤ α − α1 ✭t❤❡♦ t➼♥❤ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ α1 ✮✳ α ❙✉② r❛ α1 ≤ ❉♦ α3 = 0✱ ❧➦♣ ❧↕✐ q✉→ tr➻♥❤ ❧➟♣ ❧✉➟♥ ♥❤÷ tr➯♥✱ t❤❛② α ❙✉② r❛ ✷✻ ❜ð✐ α − α1 , ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍á❛ t❛ ữủ , ợ 2s õ s ≥ α1 = 0✳ aα1 = bα2 + cα3 ❱➟② ♠å✐ α = α1 ✈➔ s✉② r❛ α > 0✳ α2 = ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈➻ aα1 + bα2 + cα3 = n > ❚❛ ❝â α1 > t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✳ ❙✉② r❛ h = X α1 − Y β ∈ (K ∩ Sn ) \I ❙✉② r❛ β1 ≤ β (❞♦ ❚r♦♥❣ S/ K t➼♥❤ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ β1 ) t❛ ❝â X α1 = Y β = Y β −β1 Y β1 = Y β −β1 X β3 Z β2 ❙✉② r❛ X α1 − Y β −β1 X β3 Z β2 ∈ K ∩ Sn ❍ì♥ ♥ú❛✱ Y β −β1 Y β1 − Z β2 X β3 + Y β −β1 Z β2 X β3 − X α1 = Y β − X α1 ∈ / I ❙✉② r❛ Y β −β1 Z β2 X β3 − X α1 ∈ / I ❱➟② Y β −β1 Z β2 X β3 − X α1 ∈ (K ∩ Sn ) \I ✳ ✷✼ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❉♦ α1 > ♥➯♥ β3 = 0✳ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍á❛ ❙✉② r❛ Y β −β1 Z β2 − X α1 ∈ (K ∩ Sn ) \I ◆➳✉ β2 > ✈➔ β −β1 > t❤➻ t❛ ✤÷❛ ✈➲ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✱ ❞➝♥ ✤➳♥ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ❙✉② r❛ ♥➯♥ β2 = β1 = 0✱ β = β1 ❚ø β2 = t❛ s✉② r❛ bβ1 = cβ2 + aβ3 = ✤✐➲✉ ♥➔② ❧➔ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ β = β1 ✳ ❉♦ ✤â ❤♦➦❝ ❙✉② r❛ Z β2 − X α1 ∈ (K ∩ Sn ) \I ❚❛ ❝â α = α1 , β = β1 ♥➯♥ h = X α − Y β = X α1 − Y β1 ∈ I ❚❤❡♦ ✭✷✳✶✮✱ ❞♦ ✭✷✳✷✮ β = β1 , α = α1 ✭✷✳✸✮ ♥➯♥ Z α3 − Y β1 ∈ / I ❚ø ✭✷✳✷✮✭✷✳✸✮✭✷✳✹✮ t❛ s✉② r❛ Z β2 − X α1 + X α1 − Y β1 + Y β1 − Z α3 ∈ / I ❙✉② r❛ Z β2 − Z α3 ∈ / I ❙✉② r❛ Z β2 − Z α3 ∈ (K ∩ Sn ) \I, ✷✽ ✭✷✳✹✮ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍á❛ ❤❛② ϕ Z α3 − Z β2 = ❙✉② r❛ c (α3 − β2 ) = 0✳ ❉♦ ✤â α3 = β2 ❙✉② r❛ 0∈ / I✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ❧➔ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ❱➟② ❣✐↔ sû s❛✐ ♥➯♥ K = I = (F1 , F2 , F3 )✳ ✷✳✷ ●✐è♥❣ ❝õ❛ ♥û❛ ♥❤â♠ sè s✐♥❤ ❜ð✐ ❜❛ ♣❤➛♥ tû ❚r♦♥❣ ♠ö❝ ✷✳✷ ♥➔② t❛ ❝❤➾ ①➨t H ❧➔ ỷ õ số ổ ố ự ỵ H ❧➔ ♥û❛ ♥❤â♠ sè ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ tr➯♥✳ ✭✶✮ ◆➳✉ β b > αa t❤➻ 2g (H) − (F (H) + 1) = αβγ ✭✷✮ ◆➳✉ β b < αa t❤➻ 2g (H) − (F (H) + 1) = α β γ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ tr➯♥ t❤æ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✷✳ ◆➳✉ H = ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✤è✐ ①ù♥❣ t❤➻ a, b, c ✭✶✮ (α + α ) a = β b + γc ✈➔ α + α = {n | an ∈ b, c } ; ✭✷✮ (β + β ) b = γ c + αa ✈➔ β + β = {n | bn ∈ a, c } ; ✭✸✮ (γ + γ ) c = α a + βb ✈➔ γ + γ = {n | cn ∈ a, b } ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚ø ✤à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ t❛ s✉② r❛ ✤÷đ❝ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ♠➺♥❤ ✤➲ ♥➔②✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✸✳ ✭❳❡♠ ❬✶❪✮ ◆➳✉ H P F (H) = {f, f }✱ tr♦♥❣ ✤â ✷✾ = a, b, c ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✤è✐ ①ù♥❣ t❤➻ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍á❛ ✭✶✮ f = αa + (γ + γ ) c − (a + b + c) ; ✭✷✮ f = β b + (γ + γ ) c − (a + b + c) ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✹✳ ❈❤♦ H = ❧➔ ♠ët ♥û❛ ♥❤â♠ sè ❦❤æ♥❣ ✤è✐ ①ù♥❣ a, b, c ✭✶✮ ◆➳✉ β b > αa ❤♦➦❝ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ f ✭✐✮ ❱ỵ✐ t❤➻    p