BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN LÊ HÀ ANH ĐỒ THỊ CÁC ƯỚC CỦA KHƠNG CỦA VÀNH KHƠNG GIAO HỐN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN LÊ HÀ ANH ĐỒ THỊ CÁC ƯỚC CỦA KHƠNG CỦA VÀNH KHƠNG GIAO HỐN Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN GIANG NAM HÀ NỘI – 2018 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu miệt mài, nghiêm túc với giúp đỡ tận tình thầy giáo bạn sinh viên, đến khóa luận em hồn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô tổ Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình làm khóa luận Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn TS Trần Giang Nam tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2018 Tác giả khóa luận Lê Hà Anh Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm tạo điều kiện thầy giáo Khoa Tốn, đặc biệt hướng dẫn tận tình TS Trần Giang Nam Trong nghiên cứu hồn thành khóa luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần Tài liệu tham khảo Vì em xin khẳng định đề tài "ĐỒ THỊ CÁC ƯỚC CỦA KHÔNG CỦA VÀNH KHÔNG GIAO HỐN" khơng có trùng lặp với đề tài tác giả khác Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2018 Tác giả khóa luận Lê Hà Anh Mục lục LỜI MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một vài khái niệm vành 1.2 Đồ thị có hướng ĐỒ THỊ CÁC ƯỚC CỦA KHƠNG CỦA VÀNH KHƠNG GIAO HỐN 2.1 Đồ thị ước khơng vành khơng giao hốn 2.2 Đồ thị ước không vành ma trận trường hữu hạn KẾT LUẬN 25 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh LỜI MỞ ĐẦU Vào năm 1988, Beck người giới thiệu khái niệm đồ thị ước khơng vành giao hốn Đến năm 1999, Anderson and Livingston định nghĩa lại khái niệm Năm 2002, Redmond mở rộng khái niệm cho trường hợp vành khơng giao hốn, giới thiệu vài định nghĩa đồ thị ước khơng vành khơng giao hốn Dựa [3] [7], mục tiêu khóa luận trình bày số tính chất ứng dụng đồ thị ước khơng vành Khóa luận chia làm 02 chương: Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị" Chương 2: "Đồ thị ước không vành khơng giao hốn" Trong Chương 1, chúng tơi hệ thống lại số khái niệm sở vành đồ thị có hướng để làm sở cho Chương Trong Chương 2, chúng tơi trình bày số khái niệm ví dụ đồ thị ước khơng vành Đồng thời, chúng tơi trình bày số tính chất đồ thị ước không vành đồ thị giải đấu (Định lý 2.1.6) đồ thị lưới (Định lý 2.1.7) Từ kết này, liệt kê tất đồ thị gồm ba đỉnh đồ thị ước không vành (Định lý 2.1.9) Hơn nữa, chúng tơi trình bày định lý phân loại vành thông qua đồ thị chúng (Định lý 2.2.6) Tác giả khóa luận Lê Hà Anh Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm vành, đồ thị có hướng Chương trình bày dựa tài liệu [1], [2] [4] 1.1 Một vài khái niệm vành Định nghĩa 1.1.1 Cho R tập hợp khác rỗng R gọi vành R trang bị hai phép toán hai ngôi, gọi phép cộng "+" phép nhân ".", thỏa mãn điều kiện sau: i) R với phép cộng nhóm Abel; ii) R với phép nhân nửa nhóm; iii) Phép nhân phân phối phép cộng Nhận xét 1.1.2 (1) Phần tử đơn vị phép cộng thường kí hiệu gọi phần tử trung lập (2) Một vành R gọi giao hoán R với phép nhân có tính chất giao hốn Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh (3) Nếu phép nhân có phần tử trung lập phần tử gọi phần tử đơn vị vủa vành R thường kí hiệu e hay Ví dụ 1.1.3 Tập hợp số nguyên Z, Q, R, C tập Zn với phép cộng phép nhân thơng thường vành giao hốn có đơn vị Định nghĩa 1.1.4 Cho R vành (1) Phần tử x ∈ R gọi lũy linh tồn n cho xn = (2) Phần tử x ∈ R gọi ước không tồn y ∈ R\{0} cho xy = yx = (3) Phần tử x ∈ R mà khơng ước trái khơng gọi phần tử quy trái Phần tử x ∈ R mà khơng ước phải khơng gọi phần tử quy phải Phần tử x ∈ R mà vừa quy trái, vừa quy phải gọi phần tử quy Ví dụ 1.1.5 Cho vành Z4 Ta có Z4 = {0, 1, 2, 3} Khi đó, phần tử lũy linh = Tập ước không Z4 {0, 2} Các phần tử phần tử quy Định nghĩa 1.1.6 (1) Miền nguyên vành giao hốn có đơn vị khác khơng có ước khơng khác (2) Trường miền nguyên phần tử khác khả nghịch Ví dụ 1.1.7 (1) Tập số nguyên Z tập Zp (p số nguyên tố) Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh miền nguyên (2) Tập số hữu tỉ Q, tập số thực R tập số phức C với phép toán cộng phép toán nhân số thông thường trường (3) Cho K trường n số nguyên dương Kí hiệu Mn (K) tập ma trận vng cấp n K Khi Mn (K) với phép cộng phép nhân ma trận thông thường vành có đơn vị Vành giao hoán n = Định nghĩa 1.1.8 Đặc số vành R số nguyên dương nhỏ n cho nx = với x ∈ R Nếu không tồn n R gọi có đặc số Nhận xét 1.1.9 Cho R vành có đơn vị n ∈ Z+ Khi đó, n đặc số vành R n.1 = Chứng minh: Vì n đặc số vành R nên theo Định nghĩa 1.1.8 ta có nx = 0, ∀ x ∈ R ⇔ x + x + · · · + x = 0, ∀ x ∈ R n ⇔ x.1 + x.1 + · · · + x.1 = 0, ∀ x ∈ R n ⇔ x.(1 + + · · · + 1) = 0, ∀ x ∈ R n ⇔ + + ··· + = n ⇔ n.1 = Ví dụ 1.1.10 Vành số ngun Z có đặc số Vành Zn có đặc số n Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh Miền nguyên có đặc số số nguyên tố 1.2 Đồ thị có hướng Định nghĩa 1.2.1 (i) Một đồ thị có hướng G = (V, E, r, s) V, E hai tập hợp hữu hạn (độc lập), r, s : V → E ánh xạ Các phần tử V gọi đỉnh phần tử E gọi cạnh Đối với cạnh e ∈ E, s(e) gọi gốc r(e) gọi e (ii) Một đỉnh v ∈ V mà s−1 (v) = ∅ gọi đỉnh Một đỉnh v ∈ V mà r−1 (v) = ∅ gọi đỉnh gốc Một đỉnh v ∈ V vừa đỉnh gốc, vừa đỉnh gọi đỉnh cô lập (iii) Cho v ∈ V Bậc v |s−1 (v)| Bậc vào v |r−1 (v)| (iv) Đỉnh gốc thực đỉnh gốc có bậc khác khơng Đỉnh thực đỉnh có bậc vào khác khơng Ví dụ 1.2.2 Cho đồ thị G sau: Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh Giả sử ω n = ω n−1 = Ta có ωω n−1 = ⇒ ω = ω n−1 ⇒ ω = Điều mâu thuẫn Như vậy, ω không lũy linh Nếu R hữu hạn theo [5, Hệ 1] ta có R khơng chứa phần tử mà vừa ước trái không, vừa quy phải Vì α ước trái khơng đỉnh gốc nên ta có α2 = (ii) Chứng minh tương tự (i) Hệ 2.1.8 Cho R vành hữu hạn Khi Γ(R) khơng lưới Chứng minh: Nếu Γ(R) có hai đỉnh kết tầm thường Giả sử Γ(R) lưới với nhiều đỉnh Cho α đỉnh gốc ω đỉnh Γ(R) Theo Định lý 2.1.8(i), ω khơng lũy linh Mặt khác, ω đỉnh nên theo Định lý 2.1.8(ii), ω = dẫn đến mâu thuẫn Như vậy, Γ(R) không lưới Tiếp theo, xem xét Bài tốn 2.1.4 trường hợp đồ thị G có ba đỉnh phân biệt mà không chứa đỉnh không cô lập (đồ thị Γ(R) chứa đỉnh lập đồ thị gồm đỉnh nhất) Có tất 13 đồ thị có hướng sau đồ thị có ba đỉnh phân biệt mà khơng chứa đỉnh lập: 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh Định lý 2.1.9 (1) Các đồ thị A, B, C, D nhận đồ thị ước không vành (2) Các đồ thị lại hình khơng thể nhận đồ thị ước không vành Chứng minh: (1) Hình A đồ thị ước khơng vành Ví dụ 2.1.3(1) Hình B đồ thị ước khơng vành Ví dụ 2.1.3(2) Hình C đồ thị ước khơng vành Z8 (Ví dụ 2.1.2(3)) Hình D đồ thị ước khơng vành Z2 [X, Y ]/(X , XY, Y ) (2) Vì đồ thị E, F, K, M, N có số lẻ cạnh nên theo Định lý 2.1.5, chúng nhận đồ thị ước khơng vành 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh Vì đồ thị L lưới nên Theo Hệ 2.1.8, nhận đồ thị ước khơng vành Giả sử có vành R cho Γ(R) đẳng cấu với đồ thị G Khi đó, ta có b(a + x) = ba + bx = suy a + x ước khơng R Do đó, a + x ∈ {0, a, x, b} Rõ ràng a + x ∈ / {a, x} ab = 0; xb = ⇒ a = −x ⇒ a + x = Suy a + x = b Ta có b2 = b.(a + x) = ⇒ xb = (b − a).b = b2 − ba = Điều vơ lý Γ(R) khơng có cạnh từ x đến b Do đồ thị G khơng thể nhận đồ thị ước không vành Chứng minh tương tự đồ thị G, ta thu đồ thị H, I nhận đồ thị ước không vành 2.2 Đồ thị ước không vành ma trận trường hữu hạn Một toán quan trọng khác quan tâm hướng nghiên cứu phân loại vành thông qua đồ thị ước không chúng Trong tiết này, dựa tài liệu [6], [8] [9], chúng tơi trình bày lại kết phân loại vành ma trận trường hữu hạn thông qua đồ thị chúng 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh Sau đây, chúng tơi trình bày số định nghĩa đồ thị vô hướng Định nghĩa 2.2.1 (i) Một đồ thị vô hướng G = (V, E) V, E hai tập hợp hữu hạn (độc lập) Các phần tử V gọi đỉnh phần tử E gọi cạnh (ii) Bậc đỉnh v ∈ V số cạnh e ∈ E mà qua v Định nghĩa 2.2.2 Cho vành R Đồ thị vô hướng ước không vành R, kí hiệu Γ(R) xác định sau: (i) Tập đỉnh V tập ước khác không không vành R (ii) Giữa hai đỉnh phân biệt v w có cạnh vw = wv = Ví dụ 2.2.3 Xét vành R = M2 (Z2 ) Ví dụ 2.1.2(4) đánh số thứ tự cho ước không R Khi đó, ta có đồ thị vơ hướng Γ(R) sau: Trong Γ(R), đỉnh đánh số thứ tự số thứ tự có 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh bậc Các đỉnh đánh số thứ tự số thứ tự có bậc Các đỉnh đánh số thứ tự 6, 7, có bậc Bổ đề 2.2.4 Cho F trường hữu hạn n ≥ Giả sử A ∈ Mn (F ) ma trận khác không rank(A) = k < n Khi đó, bậc vào bậc A Γ(Mn (F )) |F |n(n−k) − ε bậc A Γ(Mn (F )) 2|F |n(n−k) − |F |(n−k) − ε, với ε = Nếu A2 = ε = Chứng minh: Ta biết rằng: Tồn hai ma trận khả nghịch U V thuộc Mn (F ) cho U AV = k i=1 Eii Ta có với X ∈ Mn (F ), (U AV )X = (tương ứng, X(U AV ) = 0), k hàng (tương ứng, cột) X khơng Do dimF (Annl (A)) = dimF (Annl (U AV )) = n(n − k) dimF (Annr (A)) = dimF (Annr (U AV )) = n(n − k) Như bậc vào bậc A Γ(Mn (F )) |F |n(n−k) −ε, với ε = Nếu A2 = ε = Hơn nữa, rõ ràng dimF (Annl (A) ∩ Annr (A)) = dimF (Annl (U AV ) ∩ Annr (U AV )) = (n − k)2 Do |Annl (A) ∪ Annr (A)| = |F |n(n−k) + |F |n(n−k) − |F |(n−k) Vì bậc A Γ(Mn (F )) 2|F |n(n−k) − |F |(n−k) − ε, với ε = Nếu 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh A2 = ε = Ví dụ 2.2.5 Xét vành R = M2 (Z2 ) Ví dụ 2.1.2(4) Đồ thị Γ(R) sau đồ thị ước không R: Đồ thị Γ(R) sau đồ thị vô hướng ước không R:   0 1 Xét ma trận A =   tương ứng với đỉnh đánh số thứ 0 tự Theo Bổ đề 2.2.3, bậc bậc vào A Γ(R) |Z2 |2.(2−1) − = 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh Bậc A Γ(R) 2|Z2 |2.(2−1) − |Z2 |(2−1) − = Ta dễ dàng kiểm chứng  qua đồ thị Γ(R) Γ(R)  lại kết 0 0 Xét ma trận B =   tương ứng với đỉnh đánh số thứ tự Ta có B = Theo Bổ đề 2.2.3, bậc bậc vào B Γ(R) |Z2 |2.(2−1) − = Bậc B Γ(R) 2|Z2 |2.(2−1) − |Z2 |(2−1) − = Ta dễ dàng kiểm chứng lại kết qua đồ thị Γ(R) Γ(R) Định lý 2.2.6 Cho F trường hữu hạn n ≥ Cho R vành Khi đó, Γ(R) ∼ = Γ(Mn (F )) R ∼ = Mn (F ) Chứng minh: (⇐=) Hiển nhiên (=⇒) Giả sử Ω đồ thị mà cực đại số tất đồ thị chứa đỉnh có bậc vào đạt cực đại Γ(Mn (F )) Theo Bổ đề 2.2.3, phần tử Ω có rank bình phương khác khơng, ω = trace(ω)ω, ω = ω ∈ Ω Vì thế, lưu ý phần tử Ω giao hốn đơi, đồng thời Ω chéo hóa Nên có ma trận khả nghịch h cho với ω ∈ Ω, hωh−1 = λEii , với i, λ phụ thuộc vào ω ≤ i ≤ n, λ ∈ F ∗ Vì tích hai ma trận 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh Ω khơng, theo tính cực đại Ω nên tồn phần tử λ1 , , λn F ∗ cho hΩh−1 = {λ1 E11 , , λn Enn } Hơn nữa, Γ(R) ∼ = Γ(Mn (F )) nên với đồ thị X Γ(R) mà cực đại số tất đồ thị chứa đỉnh có bậc vào cực đại có tính chất sau đây: (i) Cho đỉnh a ∈ X, có đỉnh u ∈ / X cho Γ(R) có cạnh từ u đến x, với x ∈ X\{a} mà Γ(R) khơng có cạnh từ u đến a (ii) Với x ∈ X x ∈ / X, (X\x) ∪ {x } đồ thị Γ(R) Γ(R) có cạnh từ u đến x Γ(R) có cạnh từ u đến x , với đỉnh u cho u = x, x (iii) Khơng có đỉnh u cho Γ(R) có cạnh từ x đến u với x ∈ X; Và khơng có đỉnh v cho Γ(R) có cạnh từ v đến x với x ∈ X Bây giờ, ta khẳng định có đồ thị cực đại số tất đồ thị chứa đỉnh có bậc vào cực đại Γ(R) mà phần tử lũy đẳng Cho A đồ thị tùy ý mà cực đại số tất đồ thị chứa đỉnh có bậc vào cực đại Γ(R) Ta chứng minh A khơng có phần tử lũy linh Giả sử có phần tử lũy linh a ∈ A giả sử m số nguyên nhỏ cho am = Theo tính cực đại A, ta có am−1 ∈ A Giả sử am−1 = a Với đỉnh u = am−1 Γ(R), Γ(R) có cạnh từ u đến a Γ(R) có cạnh từ u đến am−1 , điều mâu thuẫn với (i) Do đó, am−1 = a a2 = Giả sử b phần tử A\{a} Theo (i), ta có a + b = Bây giờ, cho đỉnh 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh u = a + b, Γ(R) có cạnh từ u đến x với x ∈ A\{a + b}, Γ(R) có cạnh từ u đến a + b Do đó, từ (i) suy a + b ∈ / A Mặt khác, (A\{b}) ∪ {a + b} đồ thị Γ(R) Do đó, theo (ii), Γ(R) có cạnh từ u đến a + b Γ(R) có cạnh từ u đến b, với đỉnh u ∈ / {a + b, b} Điều suy Γ(R) có cạnh từ u đến b Γ(R) có cạnh từ u đến a, với đỉnh u = a, điều mâu thuẫn vơi (i) Nên A khơng có phần tử lũy linh Bây giờ, Γ(R) đồ thị hữu hạn nên R hữu hạn với t ∈ A, có số nguyên dương m(t) cho tm(t) lũy đẳng khơng tầm thường (theo [9, p.55]) Theo tính cực đại bậc vào t, Annl (t) = Annl (tm(t) ) đó, tm(t) đỉnh có bậc vào cực đại Γ(R) Do đó, {tm(t) |t ∈ A} = {e11 , , enn } đồ thị cực đại số tất đồ thị chứa đỉnh có bậc vào cực đại Γ(R) mà phần tử lũy đẳng, nên khẳng định chứng minh Giả sử có z ước khác khơng không cho (e11 + +enn )z = Nhân phương trình với eii , ta có eii z = 0, với i cho ≤ i ≤ n Do đó, Γ(R) có cạnh từ eii đến z , với i Điều mâu thuẫn với (iii) Một cách tương tự, ta thu Annl (e11 + + enn ) = {0} Vì (e11 + + enn ) phần tử lũy đẳng mà không ước không nên = (e11 + + enn ) đơn vị R Để hoàn thành chứng minh, ta cần tính chất khác đồ thị Γ(Mn (F )) Cho Ω đồ thị tùy ý mà cực đại số tất đồ thị chứa đỉnh có bậc vào cực đại Γ(Mn (F )) 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh khơng tính tổng quát, giả sử Ω = {λ1 E11 , , λn Enn }, với λl ∈ F ∗ Với i = j cho ≤ i, j ≤ n, giả sử Wij tập tất w cho Γ(Mn (F )) có cạnh từ w đến λr Err có cạnh từ λs Ess đến w, với r = j, s = i cho ≤ r, s ≤ n Và ta thấy Wij = {λEij |λ ∈ F ∗ } Bây giờ, với i = j cho ≤ i, j ≤ n, giả sử Vij tập với tính chất kết hợp với tập {e11 , , enn } thuộc Γ(R) Vì Γ(R) ∼ = Γ(Mn (F )) nên Vij có tất tính chất Wij Chú ý khơng có cạnh từ eii đến đỉnh Vij khơng có cạnh từ đỉnh Vij đến eii , với i, j Hơn nữa, với vij ∈ Vij vkl ∈ Vkl , Γ(R) có cạnh từ vij đến vkl j = k Hơn nữa, ta chứng minh với i, j, k phân biệt ta có Vij Vjk ⊆ Vik Để chứng minh điều này, cho vij ∈ Vij vjk ∈ Vjk hai phần tử Ta biết vij vjk = Với r = k, s = i cho ≤ r, s ≤ n, theo định nghĩa Vij Vjk , ta có vjk err = ess vij = Điều suy Γ(R) có cạnh từ vij vjk đến err có cạnh từ ess đến vij vjk Do theo định nghĩa, vij vjk ∈ Vik Lưu ý với cách chứng minh tương tự, ta thấy cho i = j, hiệu hai phần tử phân biệt Vij chứa Vij Ta khẳng định với j, (2 ≤ j ≤ n), vij đỉnh Vij e11 v1j = v1j Theo định nghĩa, ta biết với v1j ∈ V1j , ta có e11 v1j ∈ V1j Đồng thời, e11 v1j = e11 v1j , với v1j = v1j V1j e11 (v1j − v1j ) = Điều mâu thuẫn v1j − v1j ∈ V1j Do đó, theo tính hữu hạn V1j , với đỉnh v1j ∈ V1j , tồn đỉnh v˜1j cho e11 v˜1j = v1j Do đó, 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh e11 v1j = e11 (e11 v˜1j ) = e11 v˜1j = v1j Vì thế, khẳng định chứng minh Với j, (2 ≤ j ≤ n), cố định đỉnh e1j ∈ V1j Bây giờ, với chứng minh tương tự trên, ta với i = j, (2 ≤ i ≤ n ≤ j ≤ n), có đỉnh eij ∈ Vij cho e1i eij = e1j Ta biết với vij ∈ Vij ta có e1i vij ∈ V1j Nếu e1i vij = e1i vij , với vij = vij Vij e1i (vij − vij ) = Điều mâu thuẫn vij − vij ∈ Vij Nhưng Vij tập hữu hạn, tồn đỉnh eij ∈ Vij cho e1i eij = e1j Ta chứng minh {eij |1 ≤ i, j ≤ n} tập phần tử R cho e11 + + enn = eij ekl = δjk eil , với i, j, k, l Để chứng minh điều đó, ta cần chứng minh eij ejk = eik , với i, j, k Tương tự đoạn văn trước tồn đỉnh ejk ∈ Vjk cho eij ejk = eik Do đó, e1k = e1i eik = e1i (eij ejk ) = e1j ejk Vì thế, theo tính ejk , ta kết luận ejk = ejk eij ejk = eik Theo [8, Mệnh đề 1.1.3], tồn vành S hữu hạn cho R ∼ = Mn (S) Để hoàn thành chứng minh, ta chứng minh S trường Để có mâu thuẫn, giả sử yy = 0, với y, y ước khác không S Rõ ràng, bậc vào đỉnh y E11 lớn |S|n(n−1) − theo Bổ đề 2.2.3, bậc vào cực đại Γ(Mn (F )) |F |n(n−1) , nên ta có |F |n(n−1) − > |S|n(n−1) − Điều suy |F | > |S| Hơn nữa, ta biết bậc vào đỉnh I − E11 |S|n − theo Bổ đề 2.2.3, bậc vào cực tiểu Γ(Mn (F )) |F |n − Điều suy |S|n − ≥ |F |n − < |F |n − |S|n ≤ Điều mâu thuẫn Do đó, theo Định lý Wedderburn bé [6, p.203], S trường Tiếp theo, theo Bổ đề 2.2.3 bậc vào 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh cực đại tất đỉnh đồ thị Γ(Mn (S)) |F |n(n−1) − bậc vào cực đại tất đỉnh đồ thị Γ(Mn (F )) |S|n(n−1) − Điều cho ta |S| = |F | S ∼ = = F Do đó, R ∼ Mn (F ) 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh KẾT LUẬN Dựa [3] [7], khóa luận này, làm công việc sau: (1) Hệ thống lại khái niệm vành đồ thị có hướng; (2) Trình bày khái niệm đồ thị ước không vành, đồ thị vô hướng ước không vành; (3) Trình bày số tính chất ứng dụng đồ thị ước không vành; (4) Đưa ví dụ minh họa cho đồ thị định lý quan trọng khóa luận 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường, Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2006 [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 1998 Tiếng Anh [3] S Akbari, A Mohammadian, Zero-divisor graphs of non-commutative rings, J Algebra 296 (2006) 462-479 [4] S Akbari, A Mohammadian, On zero-divisor graphs of finite rings, J.Algebra 314 (2007) 168-184 [5] N Ganesan, Properties of Rings with a Finite Number of Zero Divisors,II, Math Ann 161 (1965) 241-246 [6] T Y Lam, A First Cource in Noncommutative Rings, Springer, New York, 2001 [7] S P Redmond, Structure in the zero-divisor graph of a noncommutative ring, Houston Journal of Mathematics 30 (2004) 345-354 [8] L H Rowen, Ring Theory, vol.I, Academic Press, Boston, MA, 1988 [9] S Singh, Q Zameeruddin, Modern Agebra, third repint, Vikas 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh Publish House Pvt Ltd., Dehli, 1995 37 ... khái niệm vành 1.2 Đồ thị có hướng ĐỒ THỊ CÁC ƯỚC CỦA KHƠNG CỦA VÀNH KHƠNG GIAO HỐN 2.1 Đồ thị ước khơng vành khơng giao hốn 2.2 Đồ thị ước không vành ma... khơng có cạnh từ x đến b Do đồ thị G nhận đồ thị ước không vành Chứng minh tương tự đồ thị G, ta thu đồ thị H, I nhận đồ thị ước không vành 2.2 Đồ thị ước không vành ma trận trường hữu hạn Một... nhận đồ thị ước không vành Chứng minh: (1) Hình A đồ thị ước khơng vành Ví dụ 2.1.3(1) Hình B đồ thị ước khơng vành Ví dụ 2.1.3(2) Hình C đồ thị ước khơng vành Z8 (Ví dụ 2.1.2(3)) Hình D đồ thị ước