Giáo án BDHS giỏi Toán Chuyên đề: Phép chia hết , phép chia có d tập hợp số tự nhiên I- lý thuyết cần nhớ Định nghĩa C¸c dÊu hiƯu chia hÕt (9 dÊu hiƯu) Cho sè tù nhiªn M = a n a n- a a a 1) M   a 0; 2; 4; 6; 8 2) M 5  a 0; 5 3) M 3  (a n- + a n-1 + + a + a ) 4) M 9  5) M 4  6) M 25  7) M 8  8) M 125  9) M 11  (a + a + ) - (a + a + ) 3 (a n- + a n-1 + + a + a )  a1 a0  a a 25 a2 a1 a0  a a a 125  11  (a + a + ) - (a + a + ) 11 Các phơng pháp giải toán chia hết Có phơng pháp sau: 1.Để chứng minh A(n) chia hÕt cho mét sè nguyªn tè p,cã thĨ xÐt mäi tr êng hỵp vỊ sè d chia n cho p VÝ dô1:Chøng minh r»ng A(n)= n(n -+1)(n +4) 5 víi mäi sè nguyªn n Giải: Xét trờng hợp: Với n ,rõ ràng A(n) 5 Víi n=5k   n = 25k 10   A(n) 5 Víi n= 5h 2  n = 25k 20k+4   n +1 5  A(n) 5 A(n) tích ba thừa số trờng hợp ®Òu cã mét thõa sè chia hÕt cho vËy A(n) 5 §Ĩ chøng minh A(n) chia hÕt cho hợp số m,ta phân tích m thừa số.Giả sử m=p.q.Nếu p q số nguyên tố,hay p q nguyên tố ta tìm cách chứng minh A(n) p A(n) q(từ suy A(n) p.q=m) VÝ dơ2: Chøng minh tÝch cđa ba sè nguyên liên tiếp chia hết cho Giải: Ta có A(n) = n(n+1)(n+2) 6=2.3(2 số nguyên tố),ta tìm cách chứng minh A(n) A(n) 3 Trong hai sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê còng cã mét sè chia hÕt cho vËy A(n)  Trong ba sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê còng cã mét sè chia hÕt cho vËy A(n)  A(n)  vµ A(n) 3 vËy A(n) 2.3=6 Nếu q p không nguyên tố ta phân tích A(n) thừa số,chẳng hạn A(n)=B(n).C(n) tìm cách chứng minh B(n) p C(n) q (suy A(n) =B(n).C(n)  p.q = m ) VÝ dơ Chøng minh r»ng tÝch cđa hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Giải: Gọi số chẵn 2n,số chẵn 2n+2,tÝch cđa chóng sÏ lµ A(n) = 2n(2n+2) ta cã 8=4.2 A(n) = 2n(2n+2)=4.n(n+1) tích hai thõa sè mét thõa sè lµ 4 vµ thõa số n(n+1) tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Vì A(n) = 2n(2n+2)=4.n(n+1) 2.4 =8 3.§Ĩ chøng minh A(n) m, cã thĨ biến đổi A(n) thành tổng nhiều số hạng chứng minh số hạng chia hết cho m Ví dơ 4: Chøng minh r»ng n -13n 6 víi mäi n thuéc Z Gi¶i: Ta ph¶i chøng minh A(n) = n -13n 6 Chó ý r»ng 13n=12n+n mµ 12n ,ta biến đổi A(n) thành A(n) = (n -n)-12n = n(n -1)-12n=(n-1)n(n+1)-12n Gv : Lê Hoài Nam Giáo án BDHS giỏi Toán Mà (n-1)n(n+1) tích ba số nguyên liên tiếp nên (n-1)n(n+1) (Ví dụ 2) Và 12n Vì (n-1)n(n+1)-12n hay A(n) = n -13n 6 6 4.§Ĩ chøng minh mét tỉng kh«ng chia hÕt cho m,cã thĨ chøng minh số hạng tổng không chia hết cho m tất số hạng lại chia hÕt cho m vÝ dơ 5: Chøng minh r»ng víi số n lẻ : n +4n+5 không chia hết cho Giải: Đặt n=2k+1 (nlẻ) ta có : n +4n+5=(2k+1) +4(2k+1) +5 = (4k +4k+1+)+ (8k+4)+5 = (4k +4k) +(8k+8)+2 Đây tổng ba số hạng số hạng đầu (4k +4k)=4k(k+1) 8 (vÝ dơ 3),Sè h¹ng thø hai chia hÕt cho số hạng thứ ba không chia hết cho tổng không chia hết cho 5.Phơng pháp ph¶n chøng vÝ dơ 6: Chøng minh r»ng a - không chia hết cho với aN Giải: Chứng minh phơng pháp phản chứng Giả sử A(n)=a - 5,nghĩa A(n) phải có chữ số tận 5, suy a (là số phơng) phải có số tận chữ số 3;8 - Vô lý(vì số phơng có chữ số tận là:0;1;4;6;9) Vậy a - không chia hết cho 6.Phơng pháp qui nạp VÝ dơ7: Chøng minh r»ng 16 n -15n-1 225 Gi¶i: Với n=1 16 n -15n-1=16-15-1=0 225 Giả sử 16 k -15k-1 225 Ta chøng minh 16 k+1 -15(k+1)-1 225 Thùc vËy: 16 k+1 -15(k+1)-1=16.16 k -15 k -15-1 =(16 k -15k-1)+15.16 k -15 k Theo giả thiết qui nạp 16 -15k-1 225 Cßn 15.16 k -15=15(16 k -1) 15.15=225 VËy 16 n -15n-1 225 II- Mét sè bµi tËp vỊ phÐp chia hÕt vµ chia cã d Bµi 1: Khi chia số a cho số b ta đợc thơng 18 số d 24 Hỏi thơng số d thay đổi số bị chia số chia giảm lần Giải: Theo định nghĩa phép chia theo đề ta cã: a = b18 + 24 (1) (b > 24) Nếu số bị chia số chia b giảm lần từ (1) ta có: a: = (b18 + 24)  = b18  + 24  = (b  6) 18 + (b  > 4) VËy nÕu sè bÞ chia số chia giảm lần thơng không thay đổi số d giảm lần Bài 2: Khi chia mét sè tù nhiªn a cho ta đợc số d chia a cho ta đợc số d Tìm số d phép chia a cho 36 Giải: Theo đề ta cã: a = 4q + = 9q + (q q thơng hai phÐp chia) Suy a + 13 = 4q + + 13 = 4(q + 4) (1) a + 13 = 9q + + 13 = 9(q + 2) (2) Tõ (1)(2) ta nhËn thÊy a + 13 lµ béi cđa mà (4; 9) = nên alà bội cña 4.9 = 36 Ta cã a + 13 = 36k (kN * )  a = 36k - 13 = 36(k - 1) + 23 VËy a chia hÕt cho 36có số d 23 Gv : Lê Hoài Nam Giáo án BDHS giỏi Toán Bài 4: Tìm chữ số x, y, z, để số 579xyz chia hết cho 5;7 Giải: Vì số 5; 7; đôi nguyên tố nên ta phải tìm chữ số x, y, z cho 579xyz chia hÕt cho 5.7.9 = 315 Ta cã 579xyz= 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz Suy 30 + xyz chia hÕt cho 315 V× 30  30 + xyz < 1029 nªn: NÕu 30 + xyz = 315  xyz = 315 - 30 = 285 NÕu 30 + xyz = 630  xyz = 630 - 30 = 600 NÕu 30 + xyz = 945  xyz = 945 - 30 = 915 VËy x = 2; y = 8; z = x = 6; y = 0; z = x = 9; y = 1; z = Bµi 5: T×m nN biÕt 2n + chia hÕt cho n + Giải: Vì (2n + 7) (n + 1)  2n + - 2(n + 1)  n +   n +  n + lµ íc cđa Víi n + =  n = Víi n + = n = Đáp số: n = 0; n = Bµi tËp: 1.Chøng minh : a) 89 26 -45 21 2 ; 2009 2008 -2008 2009 kh«ng chia hÕt cho b) 10 n -4 3 ; 9.10 n + 18 27 c) 41 10 -1 10 ;9 2n -14 5 Chøng minh a) (a -1)a 12 víi a >1 b) (n-1)(n+1)n (n +1) 60 víi mäi n ( Sư dơng PP ) Chøng minh víi mäi n lỴ: a) n +15n-1 9 b)10 n +18n-28 27 (Gợi ý: dùng qui nạp) Tìm số d phép chia sau: a)bình phơng số lẻ cho b) 1000 cho c) 1000 cho 25 5.Chøng minh r»ng víi mäi n  Z : a) n -n 2 ; b)n -n 3 ; c) n -n (phân tích thành tích áp dụng PP1) Chuyên đề: Một số dạng toán luỹ thừa chơng trình toán I- lý thuyÕt: Dùa vµo mét sè kiÕn thøc sau: 1) Định nghĩa luỹ thừa 2) Các phép tính luỹ thõa 3) Ch÷ sè tËn cïng cđa mét l thõa 4) Khi hai luỹ thừa ? 5) Tính chất đẳng thức, bất đẳng thức 6) TÝnh chÊt chia hÕt 7) TÝnh chÊt cđa nh÷ng d·y to¸n cã quy lt 8) HƯ thèng ghi sè II- Bài tập: Viết biểu thức dới dạng luỹ thừa: a) Phân tích số thừa số nguyên tố Bài 1: Viết biểu thức sau dới dạng mét l thõa ( b»ng nhiỊu c¸ch nÕu cã) a) 410 815 b) 82 253 Bài giải: a) 410 815 = (22)10 (23)15 = 220 245 = 265 Ta thÊy 265 = (25)13 = 3213 Gv : Lê Hoài Nam Giáo án BDHS giỏi Toán 265 = (213)5 = 81925 VËy ta cã cách viết là: 410 815 = 265 410 815 = 3213 10 15 = 81925 b) 25 = (23)2 (52)3 = 26 56 = 106 Ta thÊy 10 = (102)3 = 1003 106 = (103)2 = 10002 VËy ta cã cách viết là: 82 253 = 106 25 = 1003 25 = 10002 b) Nhãm c¸c thõa sè mét c¸ch thích hợp Bài Viết biểu thức sau dới dạng mét luü thõa ( 2a3x2y) ( 8a2x3y4) ( 16a3x3y3) Bài giải: ( 2a3.x3y ) (8a2x3y4) ( 16a3x3y3) = (2.8.16) (a3 a2 a3) ( x2x3 x3) (y.y4.y3) = 28 a8 x8 y8 = (2axy)8 Bµi 3: Chứng tỏ tổng ( hiệu) sau số phơng a) 32 + 42 b) 132 -52 c) 13 + 23 + 33 + 43 Bài giải: a) 32 + 42 = + 16 = 25 = 52 b) 132 - 52 = 169 - 25 = 144 = 122 c) 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + + + 4)2 = 102 2- Tìm chữ số tận cđa mét l thõa * L thõa cã c¬ sè tận đặc biệt ( x, y, N) n XO = YO n X1 = Y n X = Y5 X Y (n N *) (n N *) (n N *) Bài 1: Tìm chữ số tËn cïng cđa c¸c l thõa sau: a) 42k ; 42k + b) 92k ; 92k + ( k N) Bài giải: 42k = (42)k = a) Ta cã:  6 k 42k + = (42)k = b) T¬ng tù ta cã: 2k = 2k +  6.4  .1 = 9 Bài 2: Tìm chữ số tận c¸c luü thõa sau a) 22005; 32006 b) 72007 ; 82007 Bài giải: a) Ta có: 22005 = (24)501 = b) Ta cã: 2006 .6 501 = (3 ) 501  = ( 1) 501  72007 = (74)501 73 = ( )501.3 = 2007 501 = (8 ) = ( 6) 501 .3 2= .2 Tính giá trị biểu thức: a) Tính theo quy tắc thực phép tính: Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau 33 - 34 + 58 50 - 512 : 252 Bài giải: 33 - 34 + 58 50 - 512 : 252 = 35 - 35 + 58- 58 = b) Sư dơng tÝnh chất phép tính Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau cách hợp lý Gv : Lê Hoài Nam Gi¸o ¸n BDHS giái To¸n A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56 B = ! - ! - ! 82 Bài giải: A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56 = ( 25: )6 + ( 15 : 5)6 - (10:5) 15625 + 729 - 64 = 16290 B = ! -8 ! - 7! 82 = ! ( 9-1) - ! = ! - 8! = c) BiĨu thøc cã tÝnh quy lt Bµi 1: TÝnh tæng A = + + 22+ + 2100 B = - 32 + 33 - - 3100 Bài giải: A = + + 22 + + 100 => 2A = + 22 + 23 + + 2101 => 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 2101 ) – (1 +2 + 22+ +2100) VËy A = 2101 - B = - 32 - 33 - - 3100 => 3B = 32 - 33 + 34 - - 3101 B + 3B = (3 - 33 + 33) - - 3100) + ( 32 - 23 +34 - - 3101) 4B = - 3101 VËy B = ( 3- 3101) : Bµi 2: TÝnh tæng a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200 b) B = - 74 + 74 - + 7301 Bài giải: a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200 25 A = 52 + 54+ + 5202 25 A - A = 5202 - VËy A = ( 5202 -1) : 24 b) T¬ng tù B= = 56 + 36 - 26 = 304  1 Bµi 3: TÝnh 1 + + 7 4 B=  + 5 A= 1 + + 100 7 4 + + 200 5 Bài giải: 1 1 + + + + 100 7 7 1 7A = + + + + 99 7 => 7A - A = - 100   A =   100  :   4 4 B=  + - + + 200 5 5 4 5B = -4 + + + + 201 5 4   B+5B = -4 + 200 B =    200  : 5   A= Bµi 3: TÝnh A = 25 28  25 24  25 20   25  25 30  25 28  25 26   25  Bài giải: Gv : Lê Hoài Nam Giáo án BDHS giỏi Toán Biến đổi mẫu số ta có: 2530 + 2528 + 2526 + +252 + = (2528 + 2524 + 2520 + +1)+ ( 2530 + 2526 +2522+ +252) = (2528 + 2524+ 2520+ 1) +252 (2528+ 2526+ 2522+ + 1) = (2528+ 2524 + 2520+ +1) (1 + 252) VËy A = 1 =  25 626 d) Sư dơng hƯ thống ghi sổ - số g Bài 1: Tính A = 107 + 5.105+ 4.103+2.10 B = 12 108 + 17.107 + 5.104 + Bài giải: A = 6.107 + 5.105 + 4.103 + 2.10 = 6.107 + 0.106 + 5.105 + 0.104 + 4.103+ 0.102+ 2.10 + 0.100= 60504020 B = 12.108 + 17 107 + 5.104 + = (10+2) 108+ ( 10 +7).107+5.104 + = 109 + 2.108 + 108 + 7.107 + 5.104 + = 109 + 3.108 + 7.107+ 0.106+ 0.105 + 5.104 +0.103 + 0.102 + 0.101+3.100= 1370050003 Tìm x a) Đa số ( số mũ) Bài1: Tìm x N biết a) 4x = 2x+1 b) 16 = (x -1)4 Bài giải: a) 4x = 2x + (22)x = x + 22x = 2x+ 2x = x +1 2x- x = x=1 b) 16 = ( x -1)4 24 = (x -1)4 2= x - x = 2+1 x=3 Bài 2: Tìm x N biết a) x10 = 1x b) x10 = x c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3 d) x2 x  0; ; ; ;  MỈt khác x số phơng nên x2 ; 1;  hay x2   02 ; 12 ; 22  x  0; ;  Dùa vµo bµi tËp SGK líp Bµi 4: T×m x  N biÕt a) 13 + 23 + 33 + + 103 = ( x +1)2 Bµi gi¶i: a) 13 + 23 + 33 + + 103 = (x +1)2 ( x +1) 55 = x +1 x = 55- x = 54 b) + + + + 99 = ( x -2)2 b) + + + + 99 = (x -2)2 ( 1+ + 3+ + 10)2 = ( x +1)2 552 =  99   = ( x - 2)2  1    502 = ( x -2 )2 50 = x -2 x = 50 + ( Ta cã: + + 5+ + ( 2n+1) = n2) Bài 5: Tìm cặp x ; y N thoả mãn x = 52 Gv : Lê Hoài Nam Gi¸o ¸n BDHS giái To¸n = x - y2 Ta thÊy: 73 = x2 - y2 3 ( + + + +73) - (13+ 23+ 33+ + 63) = x2 - y2 (1+ + + + 7)2 - (1 + + + + 6)2 = x2 - y2 282 - 212 = x2 - y2 Vậy cặp x; y thoả mãn là: x = 28; y = 21 b) Sư dơng ch÷ sè tËn luỹ thừa Bài 1: Tìm x ; y  N* biÕt x2 = ! + ! + ! + + y! Bài giải: Ta thấy x2 số phơng Có chữ số tận chữ số ; ; ; ; ; Mµ: + NÕu y = Ta cã x = ! = 12 ( TM) + NÕu y = Ta cã: x2 = ! + 2! = ( Lo¹i) + NÕu y = Ta cã: x2 = ! + ! + ! = = 32 ( TM) x=3 + NÕu y = Ta cã: x2 = ! + ! + ! + ! = 33 ( lo¹i ) + NÕu y  Ta cã: x2 = ( ! + ! + ! + ! ) + ( 5! + 6! + y! ) = + = ( lo¹i) VËy x = vµ y = x = y = Bài 2: Tìm x N* biÕt A = 111 777 lµ sè chÝnh phơng x chữ số x chữ số Bài giải: + Nếu x = Ta có: A = 11 - = = 22 (TM) + NÕu x > Ta cã A = 111 - 777 = 34  2x ch÷ sè x chữ số mà 34 Suy A số phơng ( loại) VËy x = c) Dïng tÝnh chÊt chia hÕt Bài 1: Tìm x; y N biết: 35x + = 5y *)NÕu x = ta cã: 350 + = 2.5y 10 = 2.5y 5y = =1 *) NÕu x >0 + NÕu y = ta cã: 35x + = 2.50 35x + = ( v« lý) x + NÕu y > ta thÊy: 35 +  v× ( 35x  ;  ) y x Mà ( vô lý 35 + = 2.5y) VËy x = vµ y = y Bài 2: Tìm a; b Z biÕt ( 2a + 5b + ) (2a + a2 + a + b ) = 105 Bài giải: *) NÕu a = ta cã: ( 2.0 + 5b + 1) (2101 + 02 + + b) = 105 (5b + 1) ( b + 1) = 105 Suy 5b + ; b + Ư (105) mà ( 5b + 1) d Ta đợc 5b + = 21 b = ( TM) Gv : Lê Hoài Nam Gi¸o ¸n BDHS giái To¸n * NÕu a  Ta thÊy ( 2a + 5b + 1) ( 2a + a2 + a + b) = 105 Là lẻ Suy 2a + 5b + 2a + a2 + a + b lẽ (*) + Nếu a chẵn ( a ) 2a + a2 +a + b lỴ Suy b lẻ.Ta có: 2a + 5b + chẵn ( vô lý) + Nếu a lẻ Tơng tự ta thấy vô lý VËy a = vµ b = So sánh số 1) Tính: Bài 1: So sánh luỹ thừa sau: 27 72 Bài giải: Ta cã: = 128 72 = 49 V× 128 > 49 nên 27 > 72 2) Đa số ( số mũ) Bài 2: So sánh luỹ thừa sau a) 95 273 b) 3200 2300 Bài giải: a) Ta có: 95 = (32)5 = 310 273 = (33 )3 = 39 10 Vì >3 nên 95 > 273 b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100 2300 = (23) 100 = 8100 Vì 9100 > 8100 nên 3200 > 2300 3) Dùng số trung gian Bài 1: So sánh hai luỹ thõa sau: 3111 vµ 1714 11 11 11 Bµi gi¶i: Ta thÊy 31 < 32 = (2 ) = 255 (1) 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) Tõ (1) vµ (2) 311 < 255 < 256 < 1714 nên 3111 < 1714 100 Bài 2: Tìm xem có chữ số cách viết hệ thập phân Bài giải: Muốn biết 2100 có chữ số cách viết hệ thập phân ta so sánh 2100 với 1030 1031 * So s¸nh 2100 víi 1030 Ta cã: 2100 = (210)10 = 1024 10 1030 = (103)10 = 100010 V× 102410 > 100010 nên 2100 > 1030 (*) * So sánh 2100 víi 1031 Ta cã: 2100 = 231 269 = 231 263 26 = 231 (29)7 (22)3 = 231 5127 43 (1) 1031 = 231 531 = 231 528 53 = 231 (54 )7 53 = 231 6257 53 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: 231 5127 43 < 231 5127 53 100 Hay < 1031 ( **) Tõ (*),( **) ta cã: 1031 < 2100 < 1031 Sè cã 31 ch÷ sè nhá Số có 32 chữ số nhỏ Nên 2100 có 31 chữ số cách viết hệ thập phân Bài 3: So sánh A B biết a) A = 19 30  19 31  ; B = 19 31  19 32  Gv : Lê Hoài Nam Giáo án BDHS giái To¸n 218  20  b) ; B= 20  22          c) A = ; B =         19 30  19 31  90 19.(19 30  5) 19 31  95 Nªn 19A = = =1+ 31 31 31 19  19  19  31 19  B= 19 32  90 19.(19 31  5) 19 32  95 nªn 19B = = =1+ 32 32 32 19  19  19  90 90 90 90 V× > Suy + >1+ Hay 19A > 19B Nªn A > B 31 32 31 32 19  19  19  19  18  b) A = 20  2 (218  3) 20  12 20  nªn 22 A = = = - 20 B= 3 20  22  22  2 (2 20  3) 22  12 nªn 22.B = = = 1- 22 3 22  22  9 9 V× 20 > 22 Suy - 20 < 1- 22 Hay 22 A < 22 B Nªn A < B 3 3 3 3     c) Ta cã: A= =      (5    )  5(1     )     (1) 8               (2) T¬ng tù B =     1 Tõ (1) vµ (2) Ta cã A= +5>5>4> + =B nªn      Bài giải: A= A>B Chøng minh: 1) Nhãm c¸c sè mét c¸ch thích hợp Bài 1: Cho A = + +32 + +311 Chøng minh: a) A ∶ 13 b) A 40 Bài giải: a) A = + + 32 + 33 + + 311 = 1+3 + 32) + (33+ 34+ 35) + + (39+ 310+ 311) = ( 1+ +32) + 33 (1 +3 + 32) + +39 (1 + + ) = 13 + 33 13 + + 39 13 = 13 ( 1+ 33 + + 39 ) ∶ 13 Hay A ∶ 13 b) A = + + 32 + 33 + + 311 = ( + + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311) = ( + + 32+ 33) + 34 (1 + + 32+ 33) + 38(1 + + 32+ 33) = 40 + 34 40 + 38 40 = 40 ( + 34 + 38) ∶ 40 Hay A ∶ 40 2) Thêm bớt lợng thích hợp Bài 2: Cho 10k - ∶ 19 ( k  N) Chøng minh: a) 102k - ∶ 19 b) 103k - 19 Bài giải:a) Ta có: 102k - = ( 102k - 10k) + (10k - 1) = 10k ( 10k - 1) + ( 10k - 1) Gv : Lê Hoài Nam Giáo án BDHS giái To¸n = (10k - 1) ( 10k + 1) ∶ 19 v× 10k -1 ∶ 19 b) 103k - = ( 103k - 102k ) + (102k - 1) V× 10k - ∶ 19 102k - ∶ 19 ( theo c©u a ) 3) Dùng chữ số tận luỹ thừa đặc biệt: Bµi 3: Cho n N ; n > n Chøng minh: 2 + cã tËn cïng lµ Bài giải:Vì n > nên 2n Suy 2n = 4k ( k N *) n Ta cã: 2 + = 24k + = (24)k + = 16 k V× 16 +1 = k = + = ( k N (*)) Chuyên đề: Một số phơng pháp tìm x,y nguyên I/ Phơng pháp dùng tính chất chia hết: 1/ Phơng pháp phát tính chia hết: Ví dụ 1: 3x + 17y = 159 (1) Gi¶i: Gi¶ sư x, y số nguyên thoả mãn (1) Ta thấy 159 3x chia hết 17y còng chia hÕt cho 3, ®ã y chia hết cho ( 17 nguyên tố nhau) Đặt y = 3t ( t số nguyên) Thay vào (1), ta đợc: 3x + 17.3t = 159 � x + 17t = 53 => x =53 - 17t Do ®ã �x  53  17t � y 3t (t Z ) Đảo lại thay biểu thức x y vào (1) đợc nghiệm Vậy (1) có vô số (x; y) nguyên đợc biểu thị công thức: x 53 17t � � y  3t (t �Z ) 2/ Phơng pháp đa phơng trình ớc số: Ví dụ 2: Tìm x,y nguyên thoả mãn : x.y - x - y = � (x -1) (y Gi¶i: Ta cã: x.y - x - y = � x.( y -1) - y = � x (y - 1) - (y - 1) = 1) = Do x, y số nguyên nên x - 1, y - số nguyên ớc Suy trờng hợp sau: �x   ; � �y   �x   � �y   ; �x   1 � �y   3 ; �x   y Giải hệ ta có cặp : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0) Phơng pháp tách giá trị nguyên: Ví dụ 3: Tìm x,y nguyên ví dụ cách khác Giải: Ta có: x.y - x - y = � x.(y-1) = y+2 Ta thÊy y �1 ( v× nÕu y=1 th× x.0 = (không có giá trị x,y thoả mãn ) y2  1 y 1 y 1 Do x nguyên nên nguyên => y-1 ớc => y-1=3; y-1=-3; y-1=1; y-1=-1 y 1 Do ®ã x = Gv : Lê Hoài Nam 10 Giáo án BDHS giỏi Toán Thử cặp số (0;0), (1;-1), (-1;1) nghiệm phơng trình (1) V/ Phơng pháp lùi vô hạn ( nguyên tắc cực hạn): Ví dụ 16: Tìm x,y nguyên thoả mãn : x3+2y3=4z3 (1) Giải: Từ (1) ta thấy x M , đặt x=2x1 với x1 nguyên hay vào (1) chia hai vế cho ta đợc 4x31+y3=2z3 (2) Từ (2) ta thấy y M , đặt y=2y1 với y1 nguyên thay vào (2) chia hai vế cho ta đợc: 2x31+4y31=z3 (3) Từ (3) ta thấy z M đặt z = 2z1 với z1 nguyên Thây vào (3) chia hai vế cho 2, ta 3 đợc: x1 +2y1 = 4z1 (4) Nh vËy nÕu (x; y; z) nghiệm (1) (x 1; y1; z1 ) nghiệm (1) Trong x = 2x1; y = 2y1; z = 2z1 LËp luËn t¬ng tù nh vËy ta ®i ®Õn x, y, z chia hết cho k với k N Điều xảy x =y=z=0 Vậy phơng trình (1) cã nghiÖm nhÊt : x = y = z = C Bài tập:Bài 1: Tìm x,y nguyên > tho¶ m·n : a 5x-y = 13 b 23x+53y= 109 c 12x-5y = 21 d 12x+17y = 41 Bµi 2: Tìm x,y nguyên > thoả mãn : a/ 1+y+y2+y3 = t3 b/ 1+y+y2+y3+y4 = t4 Bài 3: Tìm x,y nguyên > thoả mãn : a/ 5(x+y)+2 = 3xy b/ 2(x+y) = 5xy c/ 3x+7 = y(x-3) Bµi 4: Tìm x,y nguyên > thoả mãn : 5(x+y+z+t)+10 = 2xyzt Bài 5: Tìm 12 số nguyên dơng cho tỉng cđa chóng b»ng tÝch cđa chóng Bµi 6: Chứng minh rằng, với n số tự nhiên khác 0.ít có giá trị tập hợp số tự nhiên khác cho: x1+x2+x3+ +xn= x1x2x3.xn Bài 7: Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn : xy yz zx   3 z x y Bµi 8: Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn : a/ 4(x+y+z) = xyz b/ x+y+z+9-xyz =0 Bài 10: Chứng minh phơng trình 2x2-5y2=7 nghiệm nguyên Bài 11: Tìm x,y nguyên >0 tho¶ m·n : x  y  z  z   2( x  y xy ) Bài 12: Tìm x,y nguyên >0 tho¶ m·n : 1 1    1 x y z t Chuyªn đề: Một số phơng pháp đặc biệt để so sánh hai phân số A Đặt vấn đề: Để so sánh hai phân số cách quy đồng mẫu tử (các so sánh "hai tích chéo" thực chất quy ®ång mÉu sè), mét sè trêng hỵp thĨ, tuỳ theo đặc điểm phân số, ta so sánh số phơng pháp khác Tính chất bắc cầu thứ tự thờng đợc sử dụng, phát phân số trung gian để làm cầu nối vấn đề quan trọng B Nội dung cần truyền đạt I Kiến thức Dïng sè lµm trung gian a c a c > < > b d b d a c NÕu =1+M; = +N b d a c mà M>N b d a) NÕu b) M vµ N theo thø tù gäi lµ "phần thừa" so với hai phân số cho * Nếu hai phân số có "phần thừa" so với khác nhau, phân số có "phần thừa" lớn lớn Gv : Lê Hoài Nam 13 Gi¸o ¸n BDHS giái To¸n 199 200 =1+ ; =1+ 198 198 199 199 1 199 200 Vì > nên > 198 199 198 199 a c a c c) NÕu = 1- M ; = + N nÕu M > N th× < b d b d VÝ dơ: M vµ N theo thứ tự gọi "phần thiếu" hay "phần bù" tới đơn vị hai phân số cho * Nếu hai phân số có "phần bù" tới đơn vị khác nhau, phân số có "phần bù" lớn phần số nhỏ 2005 2006 =1; =1+ 2006 2006 2007 2007 1 2005 2006 V× > nªn < 2006 2007 2006 2007 VÝ dơ: Dùng số phân số làm trung gian Ví dụ : So sánh 18 15 31 37 Giải: Xét phân số trung gian 18 ( Phân số có tử tử phân số thứ nhất, có 37 mẫu mẫu phân số thứ 2) Ta thấy: 18 18 18 15 18 15 > vµ > suy > ( tính chất bắc cầu) 31 37 37 31 31 37 15 (Ta còng cã thĨ lÊy ph©n số làm phân số trung gian) 31 12 19 b) Ví dụ : So sánh 47 17 12 19 1 Giải: hai phân số xấp xỉ nên ta dùng phân số làm trung gian 47 77 4 12 12 19 19 Ta cã: > = ; < = 47 48 77 76 12 19 Suy > 47 77 II Bài tập áp dụng: Bài 1: So sánh n n vµ ( n  N*) n2 n 3 64 73 Hớng dẫn: b) Dùng phân số (hoặc ) làm ph©n sè trung gian 81 85 n 1 n b) dùng phân số (hoặc ) làm phân số trung gian n 3 n2 a) 64 73 vµ 85 81 b) Bài 2: So sánh a) 67 73 83 77 b) 456 123 vµ 461 128 c) 2003.2004  2004.2005  vµ 2003.2004 2004.2005 Híng dÉn: MÉu cđa hai phân số tử số đơn vị nên ta sử dụng "phần bù"của hai phân số tới đơn vị Bài 3: So sánh: a) 11 16 12 49 b) so sánh 58 36 89 53 Gv : Lê Hoài Nam 14 Giáo án BDHS giỏi Toán 11 16 1 xấp xỉ nên ta dùng phân số làm trung gian 32 49 3 58 36 2 b) Hai phân số xấp xỉ nên ta dùng phân số làm phân số 89 53 3 Hớng dẫn: a) Hai phân số trung gian Baì 4: So sánh phân số A= 2535.232323 353535.2323 ; B= 3535 3534 ; Híng dÉn : Rót gän A = .= 1; B = + C= 2323 2322 1 ; C = + 3534 2322 Tõ ®ã suy : A < B < C Bµi 5: So s¸nh : A = 5.(11 13  22.26) 22.26 44.52 Hớng dẫn : Rút gọn Vì A = = B = =1+ ; 4 138  690 137  548 B = = 138 =1+ 137 137 1 > nên A > B 137 Bài 6: So sánh 53 531 25 25251 vµ ; b) vµ 57 571 26 26261 53 530 40 531 40 Híng dÉn : a) = =1; = 157 570 570 571 571 25 1010 25251 1010 b) =1 + =1 + ; =1+ 26 26 26260 26261 26261 Bµi 7: Cho a , b , m  N* am a H·y so s¸nh víi bm b a a a Híng dÉn : Ta xÐt ba trêng hỵp =1 ; b b b a am a a) Trêng hợp : = a = b = =1 b bm b a b) Trêng hỵp : b  a+m > b + m  b 1011  1010  Bµi 8: Cho A = ; B  11 1012  10  a) H·y so s¸nh A víi B Híng dÉn: DƠ thấy Ao b bm b Bài 9: So sánh phân số sau mà không cần thực phép tính mẫu A= 54.107  53 53.107  54 B= 135.269  133 134.269  135 Híng dÉn: Tư cđa ph©n sè A 54.107-53 = (53 +1).107 - 53 = Tử phân số B Gv : Lê Hoài Nam 15 Gi¸o ¸n BDHS giái To¸n 135.269-133= (134+1).269 - 133= Bài 10: So sánh: a, ( ) víi ( ) 80 243 b, ( 5 ) víi ( ) 243 Híng dÉn: 1 )  ( )  28 80 81 ( )  30 243 3 243 b, ( )  15 243 ( )  15 243 243 Chän ph©n sè 15 làm phân số trung gian để so sánh 1 1 Bµi 11: Chøng tá r»ng:       15 16 17 43 44 15 15 Híng dÉn: Tõ     6 30 45 1 1 =(   )  (   ) 30 30 45 45 a =( Tõ ®ã ta thÊy: 1 1 1        ( Cã 15 ph©n sè) 15 16 29 30 30 30 1 1 1        (Cã 15 ph©n sè) 30 31 44 45 45 45 Tõ ®ã suy ®iỊu ph¶i chøng minh ®Ị 1: ( Tĩnh gia 07-08) Câu I(2 điểm) : số đề thi cÊp hun gi¶i thư       15 11  15 20072007 200720072007 2- So sánh phân số : vµ 20082008 200820082008 71.52  53 3- Rót gän phân số A= mà không cần thực phép tính ë tö 530.71  180 1- TÝnh nhanh: A = Câu II( điểm) 1-Tìm x ,y Z : Gv : Lê Hoài Nam 16 Giáo án BDHS giỏi Toán a- x 4  y 3 b- (x + ) ( 3y – ) = -55 2- Cho A= víi x – y =5 3n n4 Tìm nZ để A có giá trị nguyên Câu III( 3,0 điểm) Trên nửa mặt phẳng cho tríc cã bê Ox vÏ hai tia Oy vµ Oz cho số đo xOy=700 số đo yOz = 300 a Xác định số đo xOz b Trên tia Ox lấy điểm A B (điểm A không trùng với điểm O độ dài OB lớn độ dài OA ) Gọi M trung điểm OA Hãy so sánh độ dài MB với trung bình cộng độ dài OB AB Câu IV ( 2,0 điểm ) Tìm số tự nhiên a vµ b biÕt tỉng BCNN víi CLN cđa chóng 15 Hớng dẫn chấm đề thi HSG lớp năm học 2007 2008 5       =     15 11  15 9 11 15 15   =-1 + 1 = 11 11 20072007 200720072007 2) So sánh phân số 20082008 200820082008 20072007 2007 10001 2007 Ta cã P/S : =  20082008 2008 10001 2008 200720072007 2007 100010001 2007 P/s : =  200820082008 2008 100010001 2008 C©u I: 1) TÝnh nhanh A= Vậy phân số 71.52 53 không biến đổi tử số 530.71 180 71.52  53 71.52  53 71.52  53 71.52  53 = = = = = 10.(53.71  18) 10.[(52  1).71  18] 10.[71.52  71  18] 10.[71.52  53] 10 3)Rót gän A= C©uII: 1) Tìm x Điều kiện y ta có : 3x –12 = 4y-12  3x=4y Tõ x-y=5  x=5+y Ta cã : 3y+15 = 4y y=15 x=5+15 = 20 VËy x=20 ; y=15 (x + ) ( 3y – ) = -55  (x + ) ( 3y – ) = (-11).5 =(-5).(11) *NÕu : (x + ) ( 3y – ) = (-11).5  x   11  Ta cã   y  5  x  12    y  (Lo¹i)  x  5  x 4   y   11  y  Hc  * NÕu : (x + ) ( 3y – ) = (-5)(11)  x    Ta cã :   y  11  x   13   y (Loại ) Hoặc x 11  x 10    y    5 y   VËy (x=4 , y=-3) hc ( x=-6 , y=-1) 3n  cã giá trị nguyên n4 3n 17 A= =3+ n4 n4 3) Tìm nZ để A= Gv : Lê Hoài Nam 17 Giáo án BDHS giỏi Toán 17 17 có giá trị nguyên Vậy để có giá trị nguyên n+4 n4 n4 để A có giá trị nguyên phải ớc 17 Ta có ớc 17 U-17=   1;1; 17;17  LËp b¶ng x+4 -1 -17 n -5 -3 -21 VËy víi n = -5 ; n=-3 ; n=-21 ; n=13 A có giá trị nguyên Câu III.a) y z y z 300 30 700 O 17 13 700 (A) x O (B) x - Trờng hợp hình ( A) Oz nằm tia Ox Oy ta có : Số ®o gãc xOz = 700-300 = 400 - Trêng hỵp hình (B) Oz không nằm tia Ox Oy ta có Số đo góc xOy = 700+300 = 1000 b) BO  AB BO BA   2 BO  BA BA AO BA AO - Ta lại có BO=BA+AO nên  BA (I) 2 2 - Ta có trung bình cộng sđ BO BA - Mặt khác ta có BM = BA + AM mà M trung điểm OA nên AO BM =  BA (II) - Tõ (I) vµ (II) suy BM = BO  BA Hay sè ®o BM b»ng trung b×nh céng sè ®o cđa BO BA CâuIV: Tìm số t nhiên a, b biÕt tỉng BCNN vµ UCLN cđa chóng b»ng 15 - Gäi UCLN (a,b)=d suy a=d.m vµ b=d.n (m,n)=1 ta có a.b = d.m.d.n -Mặt khác ta cã tÝch cđa sè b»ng tÝch cđa BCNN víi UCLN số nên a.b d m.n -Ta cã BCNN [a,b] = =d.m.n  ( a , b) d -VËy BCNN[a,b] + UCLN(a,b) = d.m.n+d=d.(m.n+1) = 15 Giả sử ab m n m.n+12 LËp b¶ng d m.n+1 m.n m n 14 15 14 4 2 Vậy ta tìm đợc số sau: (a=1 ; b=14) ; (a=2 ,b=7) ; (a=3 ; b=12 ) (a=5 , b=10) Đề2: Bi 1: ( 2.5 điểm) a Cho ababab số có sáu chữ số Chứng tỏ số ababab a b 14 12 10 bội 2004 b Cho S = + + + + + …+ Chứng minh S chia hết cho 126 chia hết cho 65 Bài : (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết : a x  (x  1)  (x  2)    (x 2010) 2029099 Gv : Lê Hoài Nam 18 Gi¸o ¸n BDHS giái To¸n b       2x 210 Bài 3: (2,0 điểm) Thực so sánh: a b 2009 2009  2009 2010  51 52 53 100 C = … 99 với D = 2 2 A= 2009 2008  2009 2009  với B= Bài 4: ( 1,5 điểm)Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I số học sinh giỏi số lại Cuối năm có thêm học sinh đạt loại giỏi nên số lại Tính số học sinh lớp 6A Bài 5: (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB trung điểm M CA  CB CA  CB b Chứng tỏ C điểm nằm M B CM  a Chứng tỏ C điểm thuộc tia đối tia BA CM  HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: ( 2.5 điểm) ababab = ab 10000 + ab 100 + ab = 10101 ab - Do 10101 chia hết ababab chia hết cho hay ababab bội - Có: + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53) = 126 + 52.126 + 53.126  + + + + + chia hết cho 126 S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + … + 51998(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) Tổng có (2004: =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên chia hết cho 126 Có: + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 130  + 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 S = + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + … + 52000(5 + 52 + 53 + 54 ) Tổng có (2004: =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên chia hết cho 130 Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài : (2,0 điểm) 2011x      2010 2029099 2010.2011  2011x  2029099 2010.2011  2011 x 2029099 2010.2011    x  2029099  : 2011 4   0,25 -  2(1      x) 210 0,25 - 2 0,25 -  0,25 - -  x( x  1) 210 x( x  1) 210 - Giải x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15) 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3: (2,0 điểm) - Thực qui đồng mẫu số: C= (20092008  1)(20092010  1) 20094018  20092010  20092008   (20092009  1)(20092010  1) (20092009  1)( 20092010 1) Gv : Lê Hoài Nam 0,25 19 Giáo ¸n BDHS giái To¸n D= (20092009  1)(20092009  1) 20094018  20092009  20092009   (20092010  1)(20092009  1) (20092010  1)(20092009  1) 0,25 2009 2010  2009 2008 2009 2008 (2009  1) 2009 2009  2009 2009 2009 2008 (2009  2009) Do ( 2009  1) > ( 2009  2009) nên C > D 0,25 0,25 (Có thể chứng tỏ C - D > để kết luận C > D) Cách khác: Có thể so sánh 2009 C với 2009 D trước  99 2.4.6 100 A 1  99  2.4.6 100  99 2.4.6 100  (1.2).( 2.2).(3.2) (50.2) 1.2.3 50.51.52.53 100  1.2.3 50.2.2.2 51 52 53 100  2 2 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 4: ( 1,5 điểm) số học sinh lớp 10 - Số học sinh giỏi cuối số học sinh lớp - học sinh số học sinh lớp 10 1 số học sinh lớp nên số học sinh lớp : = 40 10 10 - Số học sinh giỏi kỳ I 0,50 0,25 0,50 0,25 Bài 5: (2,0 điểm) A CA = MA + CM CB = MB - CM Trừ CA - CB = 2CM (Do MA = MB)  CM  CM  C B CA  CB CA = CM + MA CB = CM - MB Cộng CA + CB = 2CM (Do MA = MB)  M 0,25 A M CA  CB §Ị 3: năm học: 0,25 0,25 0,25 B C 0,25 0,25 0,25 0,25 2009-2010 Câu (2 điểm): a/ Tính nhanh: 21 62 – 11.62+ 90.82 - 64.80 b/ TÝnh: �5 �5   0,25�:  75% � 12 c/ So sánh : 351 534 Gv : Lê Hoài Nam 20 Giáo án BDHS giỏi Toán Câu (2 điểm): a/ Tìm x, biết: x  0,125  b/ Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất, biết a chia cho d 4, chia cho d C©u (2 điểm): a/ Hãy thay chữ số vào chữ a, b Q= 47a13b , để Q chia hết cho b/ Tìm số nguyên tố P để: P+6; P+8; P+12; P+14 số nguyên tố Câu (2 điểm): Biết bạn An Hoa mua 25 vở, Hoa Thủ mua 35 qun vë, An vµ Thủ mua 30 a/ Tính xem ba bạn An, Hoa, Thuỷ mua ? b/ Tính bạn An, Hoa, Thuỷ mua ? Câu (2 điểm): Trên nửa mặt ph¼ng bê cã chøa tia Ox, vÏ hai tia Oy vµ Oz cho �  800,xOz �  300 xOy a/ Trong tia Ox, Oy, Oz tia nằm hai tia lại ? Vì ? b/ Vẽ Ot tia phân giác yOz Hãy liệt kê góc hình cho biết số đo độ góc ? Đáp án: Câu (2 điểm): a/ 62(21-11) + 64(90-80) = 360+640=1000 �5 �5 b/ �   �:  12 �8 � =  28  15 19  =  = 12 4 c/ 351 = 2717 vµ 534=2517 => 351 > 534 Câu (2 điểm): a/ Tìm x, biÕt: ( 0,75 ®iĨm) ( 0,75 ®iĨm) ( 0,5 ®iÓm) 5 1 1 x  0,125  => x   => x  => x= 8 4 ( điểm) b/ Từ giả thiết toán => a+1 lµ BSCNN( 5; 6) = 30 => a= 29 ( điểm) với a=29 thoả mãn đề Câu (2 điểm): a/ Do Q M5 => b=0; Nếu b=5 => a= 7=> số phải tìm : 477135 ( điểm) Nếu b=0 => a= 3=> số phải tìm : 473130 b/ Tìm số nguyên tố P để P+6; P+8; P+12; P+14 số nguyên tố Xét P=2; P=3 không thoả mãn Xét P=5 thoả mãn Nếu P> mà P nguyên tố, nªn P: d 1; 2; 3; NÕu P: d 1=> P+14 M5 => nguyên tố, nên không thoả mãn Nếu P: d 2=> P+8 M5 => nguyên tố, nên không thoả mãn Nếu P: d 3=> P+12 M5 => nguyên tố, nên không thoả mãn Nếu P: d 4=> P+6 M5 => nguyên tố, nên không thoả mãn Vậy với P=5 số nguyên thì: P+6; P+8; P+12; P+14 số nguyên tố Câu (2 điểm): a/ Cả ba bạn mua là: 25  35  30  45 quyÓn vë ? ( điểm) b/ Bạn An mua 45- 35= 10 ? Bạn Hoa mua 45- 30= 15 ( điểm) Bạn Thuỷ mua 45- 25= 20 Câu (2 điểm): Trên nửa mặt phẳng bờ có chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy vµ Oz cho �  800,xOz 300 xOy Gv : Lê Hoài Nam 21 Gi¸o ¸n BDHS giái To¸n � a/ Tia Oz nằm hai tia Ox, Oy xOy y b/ Ta cã t � �  xOz yOz � =800; � =300 ; xOy � = 550; xOz xOt � =500; tOy � =250; zOt � =250 zOy z x O Đề 4: Câu 1:( điểm ) Các phân số sau có không? Vì sao? 23 23232323 2323 232323 ; ; ; 99 99999999 9999 999999 Câu 2:( điểm ) Tính giá trị biểu thøc sau: A=( 1 1 1 + ):( + + 23 1009 23 1009 C©u :( ®iĨm ) 1 ) + 1:(30 1009 – 160) 23 1009 1 23 + + + ).x= 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45 1 30 a b,Tìm số a, b, c , d  N , biÕt : = b 43 c d a, Tìm số tự nhiên x , biÕt : ( C©u : ( ®iĨm ) Mét sè tù nhiªn chia cho 120 d 58, chia cho 135 d 88 T×m a, biÕt a bé ? Câu5( điểm ) : Góc tạo tia phân giác góc kề bù, bao nhiêu? Vì sao? Câu ( điểm) : Cho 20 điểm, có a điểm thẳng hàng Cứ điểm, ta vẽ đờng thẳng Tìm a , biết vẽ đợc tất 170 đờng thẳng Đáp án: 23 23.101 2323 23 23.10101 232323  ;   99 99.101 9999 99 99.10101 999999 23 23.1010101 23232323   99 99.1010101 99999999 23 2323 232323 23232323 VËy;    99 9999 999999 99999999 Câu 1: a, Ta thấy; b, Ta phải chứng minh , x + y chia hÕt cho 17, th× x + y chia hÕt cho 17 Ta cã (2x + 3y ) + ( 9x + 5y ) = 17x + 17y chia hÕt cho 17 Do vËy ; 2x + 3y chia hÕt cho 17  ( 2x +3y ) chia hÕt cho 17  9x + 5y chia hÕt cho 17 Ngợc lại ; Ta có ( 2x + 3y ) chia hÕt cho 17 mµ ( ; 17 ) =  2x + 3y chia hết cho 17 Câu ; Ta viết lại A nh sau : Gv : Lê Hoài Nam 22 Giáo ¸n BDHS giái To¸n 1   ).23.7.1009 23 1009 A= + 1 1 1 (23  7).1009  161  (    ).23.7.1009 23 1009 23 1009 7.1009  23.1009  23.7 = + =1 7.1009  23.1009  23.7  23.1009  7.1009  23.7  1 1 1 23 C©u 3; a, ( ).x=      1.2 2.3 2.3 3.4 9.10 45 1 23   x=2 (  ) x = 2 90 45 1 1    43 13 1 30 1 1 1 b, = 30 30 2 2 43 13 3 ( => a =1 ; b = ; c = C©u 4; Ta cã ; d=4  a 120 q1  58   a 135 q2  88 (q1, q2  N)  Tõ ( ) , ta cã a = 1080 q2 + 704 + a (3) KÕt hỵp ( ) víi ( ) , ta đợc a = 1080 q 180 Vì a nhỏ nhất, cho nên, q phải nhỏ nhÊt => q = => a = 898 B- Phần hình học Câu 5; Gọi Ot , Ot, 2tia phân giác t, kề bù góc xOy yOz Giả sử , xOy = a ; => yOz = 180 – a 1 a t,Oy = ( 180 – a) 2 1 => tOt, = a  (180  a ) = 900 2 Khi ®ã ; tOy =  a 1080 q1  522   a 1080 q2  704 y t z O Câu 6; Giả sử 20 điểm, điểm thẳng hàng Khi đó, số đờng thẳng vẽ đợc là; 19 20:2 = 190 Trong a điểm, giả sử điểm thẳng hàng.Số đờng thẳng vẽ đợc ; (a – ) a : Thùc tÕ, a điểm ta chi vẽ đợc đờng th¼ng VËy ta cã ; 190 – ( a- 1)a : + = 170 => a = Đề Câu 1: Cho tập hợp A n  N / n(n  1) 12 B  x  Z / x  3 a) T×m giao tập hợp b) Có tích ab (Với a A; b B ) đợc tạo thành, cho biết tích ớc Câu 2: a) Cho C = + 32 + 33 + 34 + 3100 Chøng tá C chia hÕt cho 40 b) Cho c¸c sè 0,1,3,5,7,9 Hëi cã thĨ thiÕt lập đợc số có chữ số chia hết cho từ chữ số cho Câu 3: TÝnh ti cđa anh vµ em biÕt r»ng 5/8 tuổi anh 3/4 tuổi em năm 1/2 tuổi anh 3/8 tuổi em năm Câu 4: a) Cho góc xoay có số đo 1000 VÏ tia OZ cho gãc ZOY = 350 TÝnh góc XOZ trờng hợp b) Diễn tả trung điểm M đoạn thẳng AB cách khác Đáp án Câu 1: Liệt kê phân tử cđa tËp hỵp a) A = {0,1,2,3}; B = {-2,-1,0,1,2} 0,5đ Gv : Lê Hoài Nam 23 Giáo án BDHS giỏi Toán A B 0,1,2 0,5đ 0,5đ b) Có 20 tích đợc tạo thành -2 -2 -4 -6 -1 -1 -2 -3 0 0 1 2 Những tích ớc 6: 1,2,3,6 0,5đ Câu 2: a) B = (3 + 32 + 33 + 34) + +(397 + 398 + 399 + 3100 ) = 3(1+3+32+33) + + 397(1+3+32+33) 0,5đ = 40.(3+35+39+ .+ 397):40 0,5đ b) Mỗi số có dạng abc0, abc5 0,5đ - Với abc0 + Có cách chọn chữ số hàng nghìn (Vì chữ số hàng nghìn số 0) 0,5đ + Có cách chọn chữ số hàng trăm 0,5đ + Có cách chọn chữ số hàng chục Vậy 5.6.6 = 180 số 0,5đ - Với abc5 Cách chọn tơng tự có 180 số Vậy ta thiết lập đợc 360 sè cã ch÷ sè chia hÕt cho từ chữ số cho 0,5đ Câu 3: 1/2 Tuổi anh 3/8 tuổi em năm Vậy tuổi anh 6/8 tuổi em 14 năm 0,5đ Mà 5/8 tuổi anh lớn 3/4 tuổi em năm nên 1-5/8 = 3/8 tuổi anh = 14-2 = 12 năm 1đ Vậy tuổi anh 12:3/8 = 32 ti 0,5® 3/4 ti em = 32-14 = 18 tuổi 0,5đ 3/4 tuổi em là: 18:3/4 = 24 tuổi 0,5đ Câu 4: a) Có cách vẽ tia OZ(có hình vẽ) Góc XOZ = 650 1350 1,0 ® b) Cã thĨ diƠn t¶ trung ®iĨm M cđa đoạn thẳng AB cách khác M trung điểm đoạn thẳng AB MA MB  AB    MA MB AB   MA  MB   §Ị 6: Câu 1: (4®) a) Rút gọn phân số sau: 23.33.53.7.8 3.24.53.14 TÝnh B = 14: ( b)  ) + 14 � 12 Câu 2: (4®)Tìm x biết: a/ + 2x -1 = 24 – [42 – (22 - 1)] b/ (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+100) = 205550 c/ x  = 18 + 2.(-8) d/ (3x – 24 ) 75 = 2.76 20090 Cõu 3: (2đ)Tìm số tự nhiên x, y cho :(2x+1)(y-5)=12 Cõu 4: (4®) a) Tính tổng: S=   1.2 2.3 3.4 b) Chứng minh rằng:    98.99 99.100   32  33  34   3100  M40 Câu 5: (2®) Cho biĨu thøc A = 5 n2 a, Tìm số nguyên n để biểu thức A phân số Gv : Lê Hoài Nam 24 Giáo ¸n BDHS giái To¸n b, T×m c¸c sè tù nhiên n để biểu thức A số nguyên Cõu 6: (4đ)Cho góc AMC = 600 Tia Mx tia đối tia MA, My phân giác góc CMx, Mt tia phân giác góc xMy a TÝnh gãc AMy b Chøng minh r»ng MC vu«ng gãc với Mt hớng dẫn chấm Cõu 1: (4đ) Mỗi câu đ a/ Kết 18 11 b/Kết 14 15 Câu 2: (4®) a) + 2x-1 = 24 – [42 – (22 - 1)] + 2x-1 = 24 – 42 + 2x-1 = 24 – 42 2x-1 = 22 (0,5®) x -1 = x =3 (0,5®) b) ( x+1)+ (x+2)+ (x+3)+ + (x+100)=205550 x+x+x+ +x+1+2+3+ +100=205550 100x+5050=205550 (0,5đ) 100x=200500 x=2005 (0,5đ) c/ x=7 x=3; (1đ nghiệm 0,5 đ ) d/ x=30 (1đ) Cõu 3: (2đ) Ta có 2x+1; y-5 Là ớc 12 12= 1.12=2.6=3.4 (0,5đ) 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 2x+1=3 (0,5đ) 2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,5®) vËy (x,y) = (0,17); (1,9) (0,5®) Câu 4: (4® S = = 2( =2( = 2(     1.2 2.3 3.4 1.2 2.3 3.4       98.99 99.100 98.99 99.100 1 1 1 1 1           ) 2 3 98 99 99 100 1 99 99 49  ) = = 1 100 100 50 50 ) (0,5®) (0,5®) (1®) Câu 5: (2®) a/ n �Z n b/(n - ) Ư( -5) =  �1; �5 n   1 �n  1�N � �n   �n  �N �� �� � � n   5 n  3 �N � � �n   �n  �N VËy n = 1;3;7 Câu 6: (4đ) Hình vẽ: Gv : Lê Hoài Nam 25 Gi¸o ¸n BDHS giái To¸n C y t 600 A x M � AMx  1800 => MC n»m MA Mx 1800 => CMx �  1800  600  1200 nªn: � AMC  CMx AMx thay sè: 600  CMx a) Tia Mx tia đối tia MA góc AMx góc bẹt: My tia phân giác góc CMx nên: My nằm MC Mx 1 � � xMy yMC  xMC  1200  600 2 � AMx  1800 => My n»m MA Mx nên: AMy yMx  � AMx thay sè: 600  � yMx  1800 => � yMx  1800  600  1200 Tia Mx tia đối tia MA góc AMx góc bẹt: b) Do My tia phân giác góc CMx nên Mx MC nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ tia My Mt phân giác góc yMx nên Mt nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia My Vậy Mt MC nằm hai nửa mặt phẳng ®èi cã bê chøa tia My hay My n»m MC Mt nên: (*) CMy yMt CMt Lại có tia Mt phân giác góc xMy nên: có: (0,5đ) xMy �  600  300 thay sè vµo (*) ta xMt  tMy 2 �  600 300 900 hay MCvuông góc với Mt (Đccm) CMt (0,5đ) Đề 7: CU 1: (5im) Tớnh nhanh: 5 17 �� �  �2 � � �12 21 12 21 �� � 52 52 52 b)B=     1.6 6.11 101.106 a)A= � CÂU2: (5điểm) Tìm x biết: a) 3|9-x|-15.(-2)=45 b) x  x  x  x  x  x  16       12 20 30 42 56 72 CÂU3: (5điểm) Cho góc AOB góc BOC kề nhau, hai góc có tổng 150o Biết góc AOB =3/7 lần góc BOC a)Tính góc AOB, BOC, AOC b)Vẽ tia OD góc AOC cho góc COD=60 0.cmr: OB tia phân giác góc AOD CÂU4: (4điểm) a) tìm a Є Z để 2a2+12 chia hết cho (a2+1) b) Tìm a,b  Z,b cho a  1 2a   b CÂU5: (1điểm) Gv : Lê Hoài Nam 26 Giáo án BDHS giỏi To¸n 11     12 5 5 Cho tổng P gồm 11 số hạng: Cmr : P 16 P Gv : Lê Hoài Nam 27 ... Gi¸o ¸n BDHS giái To¸n A = ( 2 56 + 1 56 - 1 06 ) : 56 B = ! - ! - ! 82 Bµi gi¶i: A = ( 2 56 + 1 56 - 1 06 ) : 56 = ( 25: )6 + ( 15 : 5 )6 - (10:5) 1 562 5 + 729 - 64 = 162 90 B = ! -8 ! - 7! 82 = ! (... -15(k+1)-1 225 Thùc vËy: 16 k+1 -15(k+1)-1= 16. 16 k -15 k -15-1 =( 16 k -15k-1)+15. 16 k -15 k Theo giả thi t qui nạp 16 -15k-1 225 Cßn 15. 16 k -15=15( 16 k -1) 15.15=225 VËy 16 n -15n-1 225 II- Mét... 531 40 Híng dÉn : a) = =1; = 157 570 570 571 571 25 1010 25251 1010 b) =1 + =1 + ; =1+ 26 26 262 60 262 61 262 61 Bµi 7: Cho a , b , m  N* am a H·y so s¸nh víi bm b a a a Híng dÉn : Ta xÐt ba trêng