Chương 1: Giải tích Fourier GIẢI TÍCH FOURIER Cuối kỷ 18 nhà toán học, nhà vật lý đồng thời kỹ sư người Pháp tên Jean Baptiste Joseph Fourier có khám phá kỳ lạ Trong kết nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng mô tả truyền nhiệt vật thể, Fourier khẳng định “mọi” hàm số biểu diễn dạng tổng chuỗi vô hạn hàm lượng giác Ban đầu khẳng định Fourier không nhà toán học thời tin tưởng ý đến Tuy nhiên khơng lâu sau nhà khoa học đánh giá cao khả ứng dụng lĩnh vực ứng dụng rộng lớn ý tưởng Phát Fourier xếp hạng “top ten” thành tựu toán học thời đại, danh sách có khám phá Newton phép tính vi tích phân, Riemann hình học vi phân, 70 năm sau có lý thuyết tương đối Einstein Giải tích Fourier thành phần khơng thể thiếu tốn học ứng dụng đại, ứng dụng rộng rãi tốn lý thuyết, vật lý, kỹ thuật Chẳng hạn, xử lý tín hiệu đại bao gồm audio, tiếng nói, hình ảnh, video, liệu địa chấn, truyền sóng vơ tuyến, v.v …đều đặt sở giải tích Fourier dạng khác Nhiều cơng nghệ tiên tiến đại bao gồm truyền hình, CD DVD âm nhạc, phim video, đồ họa máy tính, xử lý ảnh, phân tích lưu trữ dấu vân tay … theo cách hay cách khác có sử dụng dạng khác lý thuyết Fourier Về mặt lý thuyết người ta phân tích tín hiệu âm phát từ nhạc cụ như: piano, violin, kèn trumpet, kèn oboe, trống … thành chuỗi Fourier để tìm tần số (tone, overtone, …) Về mặt ứng dụng, lý thuyết Fourier công cụ hiệu âm nhạc điện tử đại; nhạc cụ điện tử thiết kế cho tổ hợp tông sin cosin túy để phát âm kỳ diệu nhạc cụ Như vậy, hai cách tự nhiên nhân tạo âm nhạc điện tử dựa vào nguyên lý tổng quát Fourier Ý tưởng ban đầu Fourier phân tích hàm số tuần hoàn thành tổng chuỗi hàm lượng giác mở rộng thành biểu diễn véc tơ không gian Hilbert theo hệ trực chuẩn đầy đủ Vì có hệ trực chuẩn ta có cách khai triển Fourier Trong chương ta xét vấn đề giải tích Fourier  Không gian Hilbert  Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier hữu hạn  Phép biến đổi Fourier  Phép biến đổi Fourier rời rạc phép biến đổi Fourier nhanh Phép biến đổi Fourier hữu hạn phát triển ý tưởng khai triển hàm số tuần hồn thành chuỗi Fourier, hàm số hoàn toàn xác định hệ số Fourier ngược lại Có ba dạng chuỗi Fourier: dạng cầu phương (công thức 1.24, 1.28), Chương 1: Giải tích Fourier dạng cực (cơng thức 1.36) dạng phức (công thức 1.37, 1.41, 1.42) Phần mục trình bày ba dạng chuỗi Fourier, công thức liên hệ chúng kèm theo lời nhận xét nên sử dụng dạng trường hợp cụ thể Trường hợp hàm khơng tuần hồn phép biến đổi Fourier rời rạc thay phép biến đổi Fourier, phép biến đổi ngược xây dựng dựa vào cơng thức tích phân Fourier Khi hàm số biểu diễn cho tín hiệu biến đổi Fourier chúng gọi biểu diễn phổ Tín hiệu tuần hồn có phổ rời rạc, tín hiệu khơng tuần hồn có phổ liên tục Đối số hàm tín hiệu thời gian đối số biến đổi Fourier tần số, phép biến đổi Fourier gọi phép biến đổi biến miền thời gian miền tần số Trong thực tế ta thường phải tính tốn giá trị số tín hiệu rời rạc hoá cách chọn mẫu số hữu hạn thời điểm, phổ tương ứng nhận số hữu hạn tần số phép biến đổi Fourier rời rạc Ngoài để thực nhanh phép biến đổi Fourier rời rạc, người ta sử dụng thuật toán biến đổi Fourier nhanh Hướng ứng dụng vào viễn thơng: Phân tích phổ, phân tích truyền dẫn tín hiệu, ghép kênh vơ tuyến, ghép kênh quang, đánh giá chất lượng WDM 1.1 KHÔNG GIAN HILBERT Khái niệm không gian Hilbert mở rộng khái niệm không gian Euclide - không gian véc tơ hữu hạn chiều với tích vơ hướng Khơng gian Euclide trang bị chương trình tốn đại cương bậc đại học 1.1.1 Tích vơ hướng Khái niệm tích vơ hướng hai véc tơ không gian véc tơ khái quát từ      tích vơ hướng uv  u v cos(u ; v) Trong không gian véc tơ  n tích vơ hướng hai véc tơ x  ( x1, x2 , , xn ) , y  ( y1, y2 , , yn ) Được định nghĩa sau: x, y  x1 y1  x2 y2    xn yn (1.1) Tích vơ hướng giữ vai trò quan trọng, khái niệm ứng dụng rộng rãi tốn học, học, vật lý … Biết tích vơ hướng cặp véc tơ suy độ dài véc tơ (bình phương độ dài véc tơ tích vơ hướng véc tơ với nó) góc hai véc tơ (cosin góc tích vơ hướng hai véc tơ chia cho tích hai độ dài chúng) Vì khái niệm tích vơ hướng bao hàm khả đo độ dài, đo góc, từ đến khái niệm quan trọng khác tính trực giao, hình chiếu vng góc … Khái niệm tích vơ hướng mở rộng khơng gian véc tơ sau: Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương khơng gian véc tơ gọi tích vơ hướng khơng gian véc tơ Chương 1: Giải tích Fourier Như tích vơ hướng u, v hai véc tơ u , v không gian véc tơ H có tính chất cốt yếu sau: 1) u, v  v, u 2) u1  u2 , v  u1, v  u2 , v 3)  u, v   u, v với số thực  4) u, u  u  u, u  u  Nếu H không gian véc tơ trường số phức điều kiện 1) thay u, v  v, u , v, u số phức liên hợp số phức v, u Điều kiện 3) thay  u,  v    u, v ;  ,   Một không gian véc tơ với tích vơ hướng gọi không gian tiền Hilbert Với véc tơ v  H ta định nghĩa ký hiệu chuẩn hay môđun véc tơ v (độ dài véc tơ v ) qua biểu thức v  v, v (1.2) Nếu v  v gọi véc tơ đơn vị Có thể kiểm chứng 1) Với v  H : v  ; v  v  2) Với   :  v |  | v 3) uv  u  v  Định nghĩa 1.1: Dãy véc tơ un n1 hội tụ véc tơ u lim un  u  , ta ký hiệu n lim un  u , n lim un  u    0,  N : n  N ; un  u   (1.3) n  Dãy véc tơ un n1 gọi dãy (dãy Cauchy) lim n,m un n1 dãy   0,  N : n, m  N ; un  um  , un  u m   Có thể chứng minh dãy hội tụ dãy bản, nhiên điều ngược lại chưa Chương 1: Giải tích Fourier Khơng gian tiền Hilbert thỏa mãn điều kiện dãy hội tụ gọi không gian Hilbert (đây tính chất đầy đủ khơng gian Hilbert) Ví dụ 1.1: Người ta chứng minh không gian dãy bình phương hội tụ  l  ( n )n0 :    |  |     n n 0  (1.4) với tích vơ hướng xác định sau  ( n ); (n )    nn (1.5) n 0 khơng gian Hilbert Khơng gian hàm bình phương khả tích đoạn  a; b  (theo nghĩa tích phân Lebesgue)   L2a;b  x(t ) :  | x(t ) |2 dt    a;b (1.6) với tích vơ hướng xác định sau x(t ); y(t )   x(t ) y(t )  a;b (1.7) không gian Hilbert Chú ý hàm liên tục liên tục khúc tích phân Lebesgue trùng với tích phân theo nghĩa thông thường Hội tụ không gian l L2a;b (công thức 1.7) gọi hội tụ bình phương trung bình 1.1.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Định lý 1.1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Với u, v  H , ln có u, v  u  v u, v  u, u  v, v (1.8a) (1.8b) Đẳng thức xảy u , v phụ thuộc tuyến tính Chứng minh: Nếu hai véc tơ hai vế bất đẳng thức , bất đẳng thức nghiệm Chương 1: Giải tích Fourier Giả sử v  , với t   ta có: u  tv, u  tv  Mặt khác F (t )  u  tv, u  tv  t v  2t v, u  u với t ln ln khơng âm Vì 'F  v, u  v u 2 tam thức bậc hai đối  Từ suy bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Khi u , v phụ thuộc u  kv (hoặc v  ku ): u, v  kv, v  k  v  kv  v  u  v Ngược lại u, v  u  v 'F  Do tồn t0   cho u  t0v, u  t0v   u  t0v Định lý chứng minh  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (1.8b) vào khơng gian  n với tích vơ hướng (1.1) ta có bất đẳng thức Bunnhiacopsky:  x1 y1   xn yn 2   x12   xn2  y12   yn2  (1.9) Đẳng thức xảy x1  ty1, , xn  tyn Hệ quả:  1) Nếu dãy véc tơ un n1 hội tụ véc tơ u lim un , v  u, v với n v  2) Nếu dãy un n1 hội tụ u vn n1 hội tụ v lim n,m un , vm  u, v Chứng minh: 1)  un , v  u, v  un  u, v  un  u v  n     2) Hai dãy un n1 vn n1 hội tụ chặn, tồn C cho un  C ,  C với n  un , vm  u, v  un  u, vm  u, vm  v  un  u, vm  u, vm  v  un  u vm  u vm  v  C  un  u  vm  v   n  , m   Chương 1: Giải tích Fourier 1.1.3 Hệ trực chuẩn, trực chuẩn hoá Gram-Schmidt Định nghĩa 1.2: Hai véc tơ u, v  H gọi trực giao nhau, ký hiệu u  v , u, v  Hệ véc tơ S  v1, , ,  H gọi hệ trực giao hai véc tơ hệ S trực giao Hệ trực giao véc tơ đơn vị gọi hệ trực chuẩn Vậy hệ véc tơ S  e1, , en ,  hệ trực chuẩn thỏa mãn điều kiện 1 nÕu i  j ký hiệu Kronecker ei , e j   ij  ij   0 nÕu i  j (1.10) Ví dụ 1.2: Trong khơng gian véc tơ L20;2  hàm bình phương khả tích với tích vơ hướng xác định bới công thức (1.7), hệ hàm số sau hệ trực giao 1, cos nt ; sin nt ; n  1, 2,  (1.11) Thật 2 1, cos nt   2 cos ntdt    sin ntdt  1, sin nt ; n (1.12) 2  cos nt sin mtdt  ; n, m (1.13) 2 2  cos nt cos mtdt   sin nt sin mtdt  ; n  m (1.14) 2  cos 2 ntdt   sin ntdt   ; n  (1.15) Định lý 1.2: Mọi hệ trực chuẩn hệ độc lập tuyến tính Chứng minh: Giả sử hệ S  v1, , ,  trực chuẩn, 1v1   mvm  i  1v1   mvm , vi  với i  1, , m Do S độc lập tuyến tính Định lý chứng minh  Định lý 1.3: Giả sử S  u1, , un ,  hệ véc tơ độc lập tuyến tính khơng gian Hilbert H Khi ta tìm hệ trực chuẩn S '  e1, , en ,  cho span e1, , ek   span u1, , uk ; với k  1, 2, Chương 1: Giải tích Fourier Chứng minh: Ta xây dựng hệ trực chuẩn S ' theo bước quy nạp sau mà gọi trình trực chuẩn hố Gram-Schmidt ) k  : Vì hệ S độc lập nên u1  Đặt e1  u1 u1 ) k  : Xét e2   u2 , e1 e1  u2 , ta có e2  (vì e2  u2  ke1 , điều e2 trái với giả thiết hệ S độc lập) Đặt e2  e2 , hệ e1, e2  trực chuẩn span e1, e2  span u1, u2 ) Giả sử xây dựng đến k  Nghĩa tồn e1, , ek 1 trực chuẩn cho span  e1, , ek 1  span  u1, , uk 1 Tương tự ta xét k 1 ek   uk , ei ei  uk (1.16) i 1 ta có ek  ( ek  uk tổ hợp tuyến tính e1, , ek 1 , tổ hợp tuyến tính u1, , uk 1 , điều mâu thuẩn với giả thiết hệ S độc lập) Đặt ek  ek (1.17) ek ek  ei ; i  1, , k  Vậy hệ e1, , ek  trực chuẩn   span e1, , ek   span e1, , ek 1, ek  span u1, , uk 1, uk   Ví dụ 1.3: Trong 3 xét hệ véc tơ độc lập: u1  (1,1,1) , u2  (1,1,1) , u3  (1,2,1) Hãy trực chuẩn hoá hệ S  u1, u2 , u3 Bước 1: u1   e1  Bước 2: u1  1   , , u1  3  e2   u2 , e1 e1  u2    1   2 , ,    (1,1,1)    , ,  3 3 3    1  , , e2  (2,1,1)  e2     6 6  Bước 3: e3   u3 , e1 e1  u3 , e2 e2  u3   1   1   1 , , , ,      (1, 2,1)   0, ,   3 3 3 6 6 6     , e3  (0,1, 1)  e3   0,  2 2  Chương 1: Giải tích Fourier e1, e2 , e3 hệ véc tơ trực chuẩn hoá hệ u1, u2 , u3 Ví dụ 1.4: Xét hệ gồm ba hàm số s1 (t ) , s2 (t ) , s3 (t ) khơng gian L20;T  có đồ thị cho hình 1.1 s1 (t ) s2 (t ) s3 (t ) 1 0 t T /3 2T / t T T /3 t Hình 1.1: Đồ thị ba hàm s1 (t ) , s2 (t ) , s3 (t ) Ba hàm số s1 (t ) , s2 (t ) , s3 (t ) độc lập tuyến tính, trực chuẩn hóa Gram-Schmidt ba hàm số ta ba hàm e1 (t ) , e2 (t ) , e3 (t ) xác định sau: T s1 (t ), s1 (t )    s1 (t )  dt   T  3/T  e1 (t )  s1 (t )   T   T s2 (t ), e1 (t )   s2 (t )e1 (t )dt  nÕu  t  T / ngược lại T T /  t  2T / T e1 (t ) ngược lại e2 (t )  s2 (t )  Vậy   3/T e2 (t )     Tương tự   3/T e3 (t )     nÕu T /  t  2T / ngược lại 2T / t T ngược lại H trc chun e1 (t ) , e2 (t ) , e3 (t ) có đồ thị e1 (t ) e2 (t ) e3 (t ) 3/T 3/T 3/T T t T 2T t Hình 1.2: Đồ thị hệ trực chuẩn e1 (t ) , e2 (t ) , e3 (t ) 10 2T T t Chương 1: Giải tích Fourier 1.1.4 Hệ trực chuẩn đầy đủ, chuỗi Fourier  Định lý 1.4: Giả sử en n1 hệ trực chuẩn không gian Hilbert H , với u  H ta có: 1) Nếu u    nen n 1 n  u, en   nen Ta gọi n  u, en hệ số Fourier u en chuỗi gọi chuỗi n 1  Fourier u theo hệ en n1  2)  | n |2  u (bất đẳng thức Bessel) n 1    3) Chuỗi   n en hội tụ  u    nen   en với n n1 n 1     2) Với n : u n n nen , em  lim k ek , em  lim k ek , em  m Chứng minh: 1) u, em  n n1  u, u  k 1 n  n  n  n  k 1  k 1  k 1  k 1  k ek   u  k ek  , k ek   u  k ek  n n k 1 k 1 k ek , k ek  n k 1  n n k 1 k 1 k ek , u  k ek n n n n k 1 k 1 k 1 k 1  u   k ek ,  k ek  u   k ek , u   k ek   Vậy  | n |2  n n k 1 k 1 k ek , k ek n n n k 1 k 1 k 1 m m m k n k n k n  u    k ek , u    k ek   |  k |2 u n 1 3) Từ 1) 2) ta có : với n , với m  n :  k ek ,  k ek   k  n   , khơng gian Hilbert đầy đủ nên chuỗi Fourier   nen hội tụ n 1 Với n : en , u   k ek k 1   en , u  en ,   k ek  en , u  en , lim k 1 m m k ek , k 1 11 Chương 1: Giải tích Fourier m  en , u  lim en ,   k ek ,   n   n  m k 1 Định lý chứng minh   Định nghĩa 1.3: Hệ trực chuẩn en n1 không gian Hilbert H gọi hệ trực chuẩn đầy đủ véc tơ trực giao với tất phần tử hệ, nghĩa là: u, en  với n  1,2, u  (1.18) 1   , cos nt ; sin nt ; n  1, 2,      2  (1.19) Ví dụ 1.5: 1) Hệ hàm hệ trực chuẩn đầy đủ không gian Hilbert L20;2  2) Hệ véc tơ en  l , n  1, 2, en n1 , e1  (1,0,0, ) , e2  (0,1,0, ) , … (1.20) hệ trực chuẩn đầy đủ không gian Hilbert l  Định lý 1.5: Giả sử en n1 hệ trực chuẩn không gian Hilbert H , n  u, en hệ số Fourier u  H en Các mệnh đề sau tương đương: 1) en n1 hệ trực chuẩn đầy đủ 2) Với u  H : u    nen n 1 3) Với u, v  H : u, v     n n n1 4) Với u  H : u  với n  u, en n  v, en   n n 1  Chứng minh: 1)  2): Theo kết 3) định lý 1.4 ta có  u   theo định nghĩa hệ trực chuẩn đầy đủ (công thức 1.17): u  12   n1  nen   em với m ,   n1 n1 nen   u  nen Chương 1: Giải tích Fourier  e  i 2 ft  nÕu | t |  a sin(2a f )  df  1/ nÕu | t |  a f  nÕu | t |  a  (1.100) Tách phần thực phần ảo (1.100) ta có:    / nÕu | t |  a cos (2 ft )sin(2a f )  df   / f  0    nÕu | t |  a ; nÕu | t |  a sin (2 ft )sin(2a f ) df  f Khi a  ta có xung hình vng:  nÕu | t |   (t )   nÕu | t |   F  (t )  2sinc(2 f ) Áp dụng cơng thức (1.94) ta có F  2sinc(2t )  ( f ) ( f ) Hình 1.11: Đồ thị (t )  ( f ) Công thức (1.100) khôi phục giá trị  (t ) dựa vào tích phân vơ hạn  (t )  F 1   ( f )      ( f )ei 2 ft df   Tuy nhiên tính tốn số người ta tính tích phân khoảng hữu hạn 25 Hai đồ thị sau tương ứng đồ thị e 25 i 2 ft  ( f )df  50 e i 2 ft  ( f )df  50 41 Chương 1: Giải tích Fourier Hình 1.12 Ví dụ 1.19: Xung tam giác đơn vị  1 | t | nÕu | t |  (t )   nÕu | t |   (1.101) Áp dụng quy tắc tích phần phần ta ( f )    1  t  e i 2 ft 1 dt  2 1  t  cos(2 ft )dt   sinc( f )  (1.102) Áp dụng công thức (1.94) ta có F  sinc2 (t )  ( f ) (1.103) ( f ) Hình 1.13: Đồ thị (t ) biến đổi Fourier  Ví dụ 1.20: Xét xung dạng mũ suy giảm phải  et nÕu t  xr (t )   nÕu t  ;    0 (1.104) Có biến đổi Fourier   Xr( f )  e 42  t i 2 ft e e( i 2 f )t dt     i 2 f   t 0   i 2 f Chương 1: Giải tích Fourier Sử dụng công thức biến đổi Fourier ngược ta e t nÕu t   e    i 2 f df  1 / nÕu t  0  nÕu t    i 2 ft Tương tự với xung dạng mũ suy giảm trái et nÕu t   xl (t )    0 nÕu t  ;   (1.105) Có biến đổi Fourier  Xl( f )  e t i 2 ft e  e( i 2 f )t dt    i 2 f  t    i 2 f Xung dạng mũ chẵn, hai phía xe (t )  e  t ;  0 (1.106) Rõ ràng xe (t )  xl (t )  xr (t ) , biến đổi Fourier  X e( f )   Xl( f )  X r( f )  1 2     i 2 f   i 2 f   4 f (1.107) Áp dụng biến đổi Fourier ngược ta có cơng thức tính tích phân e  t   2ei 2 ft 2 cos 2 ft   df   df 2 2    f    f   Xung dạng mũ lẻ xo (t )  (sgn t )e  t  t  nÕu t  e xo (t )  xr (t )  xl (t )   t nÕu t  ;     e  X o( f )   X r( f )  Xl( f )  1 4 f   i   i 2 f   i 2 f   4 f (1.108) (1.109) Sử dụng công thức biến đổi Fourier ngược ta (sgn t )e  t Có thể nghiệm lại   fei 2 ft f sin 2 ft  4 i  df    2 df 2    4 f    4 f xo (t )  (sgn t )e  t  (1.110) dxe (t ) ,  dt 43 Chương 1: Giải tích Fourier 4 f  X o( f )  (i 2 f )  X e ( f )  i    4 f Mặt khác, hàm xung dạng mũ lẻ gián đoạn t  với bước nhảy 2, đạo hàm chứa hàm delta thỏa mãn dxo (t )  t  e  2 (t )   xe (t )  2 (t ) dt Công thức thống với kết biến đổi Fourier (i 2 f )  X o( f )  8 f 2  2  2 ( f )    X e( f ) 2 2   4 f   4 f Ví dụ 1.21: Xét hàm hữu tỉ: x(t )  , c0 t  c2 Áp dụng công thức (1.96) (1.106)-(1.107) ta có 2   f ,  0 e    4 2t  F   e  f    X(f )    2ei 2 ft  ei 2 ft ei 2 ft 2  dt  dt  dt  e    4 2t  t  ( / 2 )2  2   t  (  /  )     ei 2 ft 2  dt  e  t  c2    f  2 c  c e f 2 c f Vậy   2 c f , c0  e  t  c2  c F  (1.111) Ví dụ 1.22: Biến đổi Fourier Hàm delta Dirac  (t ) tập trung giá trị t  Từ cơng thức (1.48)-(1.49) ta có 0 víi t   (t )    víi t     (t )dt  (1.112)    x(t ) (t )dt  x(0) với hàm x(t ) liên tục   F   (t )    (t )ei 2 ft dt    (t )  F 1  1   Nếu giả thiết  (t ) hàm chẵn 44  e  i 2 ft df (1.113) Chương 1: Giải tích Fourier   (t )   (t )  e  i 2 ft df (1.114)  Áp dụng tính đồng dạng biến đổi Fourier ta có  (at )   (t ) a (1.115) Đổi biến số lấy tích phân ta có x(t0 )   (t0 )    x(t ) (t0  t )dt  x(t0 ) (1.116)  với hàm x(t ) liên tục t0 Một kết thú vị nhận từ xung dạng mũ chẵn (1.106) lấy giới hạn   ta nhận hàm đồng Mặt khác lấy giới hạn biến đổi Fourier (1.107) xung dạng mũ chẵn ta 0 nÕu f  2    0   4 f  nÕu f  lim (1.117) Giới hạn giúp ta nhớ đến định nghĩa hàm delta n   lim , n  2 2 n  (1  n t )  0  (  t )   (t )  lim Ví dụ 1.23: Hàm bước nhảy t  nÕu t   (t )      ( ) d   nÕu t   (1.118) Hàm  (t ) khơng khả tích tuyệt đối tồn trục thực theo tính chất tích phân phép biến đổi Fourier (xen mục 1.4.3) ta mở rộng xem F  (t )  F t   1    ( f )    ( ) d       i 2 f   Ví dụ 1.24: Hàm dấu  nÕu t  sgn(t )     (t )   (t )   nÕu t  (1.119) F  sgn(t )  F  (t )  F  (t )      i 1   ( f )     ( f )    i 2 f   i 2 f  f 45 Chương 1: Giải tích Fourier Mặt khác từ công thức (1.108)-(1.109) lấy giới hạn   ta nhận F  sgn(t )  i f Ví dụ 1.25: Giả sử x(t ) có biến đổi Fourier  X(f )   e i 2 ft x(t )dt Ta chứng minh  t biến đổi Fourier y (t )    x(u )du  X( f )  X (0) ( f ) i 2 f  Thật vậy, đặt c  lim y(t )  lim y(t )  c , hàm  x(t )dt  X (0) Ta có t t   z(t )  y(t )  c (t ) có giới hạn t   , biến đổi Fourier  ( f )  Y ( f )  c  ( f )  ic Z 2 f Mặt khác z '(t )  x(t )  c (t ) Do   ( f )  X ( f )  c  Y ( f )  c  ( f )  ic ( f )   (i 2 f )Z X( f ) c  Z i 2 f i 2 f 2 f  Y ( f )   c  X( f ) ( f )  X( f )  X (0) ( f ) i 2 f i 2 f 1.4.5 Các cặp biến đổi Fourier thường gặp Hàm x(t ) 1)  a (t ) 2) 2W sinc(2Wt ) 3) (t / T ) Biến đổi Fourier  X(f ) 2a sinc(2af ) W ( f ) T sinc2 (Tf ) 4) et (t );     i 2 f 5) tet (t );   (  i 2 f ) 46 Giải thích Tính chất A.2 Ví dụ 1.12 Đối ngẫu với 1) Tính chất A.2 Ví dụ 1.13 Tính trực tiếp Đạo hàm 4) Chương 1: Giải tích Fourier 6) e 7)  t 2   (2 f )2 ; 0 ; 0 t2  2 8)  (t ) Ví dụ 1.20  2 e  f Đối ngẫu 6) Định nghĩa  (t ) ( f ) 9) 10)  (t  t0 ) i 2 f0t 11) e 12) cos 2 f0t 13) sin 2 f0t Đối ngẫu 8) ei 2 ft0 Trể 8)  ( f  f0 ) Dịch chuyển ảnh  ( f  f0 )   ( f  f0 )  ( f  f0 )   ( f  f0 ) 2i Công thức Euler 11) Công thức Euler 11) i  ( f ) 2 f Ví dụ 1.23 15) sgn(t ) i f Ví dụ 1.2 t i sgn( f ) 14)  (t ) 16) Đối ngẫu 15) 1.5 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT: Discrete Fourier Transform) Trong thực tế tính tốn liệu nhận hàm liên tục mà thường liệu số rời rạc Chẳng hạn, đo tín hiệu liên tục người ta thực số hữu hạn lần đo, mẫu tín hiệu đầy đủ Các phương tiện số (CD, DVD, ) liệu thí nghiệm lưu trữ máy tính tín hiệu lấy mẫu khoảng thời gian rời rạc Vì chuỗi Fourier mặt lý thuyết quan trọng chối cải theo quan điểm tính tốn cần phải chuyển không gian hàm vô hạn chiều không gian véc tơ hữu hạn chiều liệu mẫu Thơng thường tín hiệu liên tục x(t ) xác định đoạn  a, b  , máy tính lưu trữ giá trị đo số hữu hạn điểm mẫu a  t0  t1   tn  b Đơn giản người ta xét điểm mẫu cách t j  a  jh , j  0, , n , h  ba tốc độ mẫu n 47 Chương 1: Giải tích Fourier Khi xử lý tín hiệu x(t ) , biến số t thời gian t j thời điểm lấy mẫu lần thứ j Tốc độ mẫu h cao, thường lấy khoảng 10.103  20.103 giây Chuỗi Fourier thích hợp với hàm tuần hoàn, tổng chuỗi Fourier rời rạc thích hợp với tín hiệu lấy mẫu tuần hồn (trong thực tế tín hiệu lấy mẫu tuần hồn, nhiên mục đích tính tốn giải tích người ta thường mở rộng tuần hồn từ tín hiệu mẫu gốc) Để đơn giản ta chọn chu kỳ 2 (trường hợp chu kỳ khác nhận phép đổi biến) Ở ta chọn khoảng  0;2  thay cho   ;   Các điểm mẫu tương ứng t0  , t1  2 , n t2  2(n  1) 4 j , … tj  , … tn1  n n n (1.120) Tính tuần hồn đòi hỏi x(0)  x(2 ) , giá trị điểm mẫu xn  2 bỏ qua Việc lấy mẫu (giá trị phức) tín hiệu hàm số x(t ) điểm mẫu cung cấp véc tơ mẫu  j  x   x0 , x1, , xn1    x(t0 ), x(t1), , x(tn1 )  , x j  x(t j )  x    n  (1.121) Sự lấy mẫu phân biệt hàm có giá trị mẫu tất điểm mẫu, chúng phải đồng theo quan điểm lấy mẫu Chẳng hạn hàm tuần hoàn x(t )  ei nt  cos nt  i sin nt Có giá trị mẫu  j xj  x  n   j   exp  in n    j i  với e  j  0, , n  Vì khơng thể phân biệt với hàm c(t )  , hai hàm có véc tơ mẫu (1,1, ,1) Điều dẫn đến hệ quan trọng việc lấy mẫu n điểm cách khơng thể tách tín hiệu tần số n Một cách tổng quát hơn, hai tín hiệu mũ giá trị phức ei ( k n) t  ei k t (1.122) phân biệt lấy mẫu Vì cần chọn n hàm mũ phức sau làm sở để biểu diễn cho tín hiệu lấy mẫu tuần hoàn chu kỳ 2 với n điểm mẫu x0 (t )  , x1 (t )  eit , x2 (t )  ei 2t , … xn1 (t )  ei ( n1)t (1.123) Đặc biệt hàm mũ tần số “âm” eikt chuyển dạng ei ( nk )t có giá trị mẫu Chẳng hạn e it ei ( n1)t có giá trị mẫu điểm mẫu Tuy nhiên giá trị mẫu hai hàm hoàn toàn khác nhau, hàm e it có tần số thấp ei ( n1)t có tần số cao Hình sau cho so sánh đồ thị e it ei 7t với n  điểm mẫu 48 Chương 1: Giải tích Fourier Hình 1.14: Đồ thị cost cos7t với điểm mẫu Hình 1.15: Đồ thị sin t  sin 7t với điểm mẫu Vì khơng thể phân biệt giá trị mẫu hàm mũ có tần số lớn n (xem công thức 1.122) khai triển x(t ) thành tổng hàm mũ có giá trị mẫu điểm mẫu dạng x(t )  p(t )  c0  c1e  c2e it   cn1e i ( n 1)t n1   ck eikt i 2t j x(t j )  p(t j )  c0  c1e j  c2e i ( n1)t j   cn1e (1.124) k 0 j ; với j  0, , n  n x(t j )  p(t j ) , t j  it i 2t (1.125) ; với j  0, , n  Như p(t ) đa thức lượng giác nội suy bậc  n  liệu mẫu x j  x(t j ) Nếu x(t ) nhận giá trị thực đa thức lượng giác nội suy tương ứng chọn phần thực p(t ) Vì làm việc với liệu véc tơ mẫu thuộc không gian phức hữu hạn chiều  n , ta chuyển chuỗi Fourier rời rạc dạng véc tơ Vì vậy, điều kiện nội suy (1.125) biểu diễn dạng hệ n phương trình tuyến tính n ẩn: it x(t j )  p(t j )  c0  c1e j  c2e i 2t j   cn1e i ( n1)t j ; j  0, , n  , Hoặc 49 Chương 1: Giải tích Fourier  x(t0 )  p(t0 )  c0  c1eit0  c2ei 2t0   cn1ei ( n1)t0   x(t1 )  p(t1 )  c0  c1eit1  c2ei 2t1   cn1ei ( n1)t1    itn 1 i 2tn 1   cn1ei ( n1)tn 1  x(tn1 )  p(tn1 )  c0  c1e  c2e Hệ phương trình có định thức ma trận hệ số khác nên tồn nghiệm Xét véc tơ mẫu   k  1, ei 2k / n , ei 4k / n , , ei 2( n1) k / n , k  0, , n  ; (1.126) x   x0 , x1, , xn1    x(t0 ), x(t1), , x(tn1 )  Khi hệ phương trình viết lại dạng véc tơ x  c00  c11    cn1n1 (1.127) Nói cách khác ta tính hệ số Fourier rời rạc c0 , c1, , cn1 x(t ) cách biểu diễn véc tơ mẫu x thành tổ hợp tuyến tính véc tơ mẫu hàm mũ sở 0 , 1, , n1 Định lý 1.12: Hệ véc tơ 0 , 1, , n1 tạo thành sở trực chuẩn  n với tích vơ hướng trung bình xác định sau n1 x ; y   x j y j ; x  ( x0 , x1, , xn1 ) , y  ( y0 , y1, , yn1) n n j 0 Để chứng minh ta xét E  ei 2 / n  cos 2  i sin 2 Lũy thừa n lần ta E n  (ei 2 /n )n  ei 2  Vậy E n bậc n 1: (1.128) n E  n1 Có n số phức khác n bậc n 1, có lũy thừa E k  ei 2k / n  cos 2k  i sin 2k n n E , cụ thể ; k  0, , n  (1.129) Véc tơ k công thức (1.126) viết lại     k  1, ei 2k / n , ei 4k / n , , ei 2( n1) k / n  1, E k , E 2k , , E (n1)k ; k  0, , n  Từ công thức (1.130) z n   ( z  1)(1  z  z    z n1) Suy n  E k  E 2k    E ( n1) k   0 50 nÕu k  nÕu  k  n (1.131) Chương 1: Giải tích Fourier Ngồi từ tính chất E k n  E k mở rộng công thức (1.131) cho số nguyên k bất kỳ, n  E k  E 2k    E ( n1) k   0 k bội số n (1.132) ngược l¹i Từ (1.128) (1.132) ta có n1 jk jl n1 j ( k l )  nÕu k  l k ; l   E E   E  n j 0 n j 0  nÕu k  l k  0, , n  (1.133) Vậy 0 , 1, , n1 sở trực chuẩn Như hệ số c0 , c1, , cn1 công thức (1.127) tọa độ véc tơ x sở ck  x ; k n1 n1 ikt j n1  jk ikt j   x j e   x je  E xj n j 0 n j 0 n j 0 (1.134) Nói cách khác, hệ số Fourier rời rạc ck có cách lấy trung bình giá trị mẫu hàm tích x(t )eikt Ví dụ 1.26: Xét trường hợp n   E  ei 2 /4  cos 2  i sin 2 Các véc tơ mẫu k  1, E k , E 2k , E 3k 4  i y i 1 O x i 0  1,1,1,1 , 1  1, i,  1,  i  , 2  1,  1,1,  1 , 3  1,  i,  1, i  Cho tín hiệu có giá trị mẫu    3 x0  x(0) , x1  x   , x2  x   , x3  x  2     Ta có biểu diễn Fourier rời rạc x  c00  c11  c22  c33 Trong 51 Chương 1: Giải tích Fourier c0  x ; 0  ( x0  x1  x2  x3 ) , c1  x ; 1  ( x0  ix1  x2  ix3 ) c2  x ; 2  ( x0  x1  x2  x3 ) , c3  x ; 3  ( x0  ix1  x2  ix3 ) x(t )  2 t  t Chẳng hạn x0  0, x1  7,4022 c0  6,1685 c1  2,4674 x2  9,8696 x3  7,4022 c2  1,2337 c3  2,4674 Vì đa thức lượng giác nội suy phần thực đa thức p(t )  6,1685  2,4674eit  1,2337ei 2t  2,4674ei 3t Cụ thể (1.138) Re p(t )  6,1685  2,4674cos t  1,2337cos 2t  2,4674cos3t Trong hình sau so sánh tín hiệu x(t ) biểu diễn Fourier với n  n  Hình 1.16: Biến đổi Fourier 2t  t úng với n  n  16 Kết đồ thị có cản trở đáng kể phép biến đổi Fourier rời rạc đa thức lượng giác nội suy cách xác từ giá trị mẫu tín hiệu dáng điệu dao động cao làm cho chúng vượt xa điểm mẫu (hình 1.16) Tuy nhiên khó khăn khắc phục cách linh hoạt Vấn đề ta không ý đầy đủ đến tần số biểu diễn tổng Fourier (1.134) Hình 1.17 cho ta thấy hàm mũ có tần số cao tần số thấp cho liệu mẫu có khác rõ rệt khoảng điểm mẫu Một nửa số hạng đầu công thức tổng Fourier (1.134) có tần số thấp, nửa lại có tần số cao Ta thay 52 Chương 1: Giải tích Fourier hàm mũ tần số cao hàm mũ tần số thấp tương ứng, giảm bớt dao động hàm mũ Cụ thể với  k  n eikt ei ( nk )t có giá trị mẫu, hàm eikt có tần số thấp ei ( nk )t Vì ta thay hàm mũ số hạng nửa sau tổng Fourier (1.134) hàm mũ tương ứng có tần số thấp Nếu n  2m  số lẻ ta xét đa thức lượng giác nội suy sau p(t )  c eimt   c eit  c  c eit   c eimt  m 1 m m  ck eikt (1.139) k  m Nếu n  2m số chẵn ta xét đa thức lượng giác nội suy sau p(t )  c eimt   c eit  c  c eit   c ei ( m1)t  m 1 m1 m1  ck eikt (1.140) k  m Trở lại ví dụ trên, ta thay đa thức lượng giác nội suy (1.137) đa thức dạng (1.139) p(t )  1,2337ei 2t  2,4674eit  6,1685  2,4674eit Re p(t )  6,1685  4,9348cos t  1,2337cos 2t (1.141) Hình 1.17 sau so sánh đồ thị hàm gốc 2 t  t đa thức lượng giác nội suy gồm hàm mũ tần số thấp ứng với n  n  16 Hình 1.17: Biến đổi Fourier tần số thấp 2t  t ứng với n  n  16 53 Chương 1: Giải tích Fourier Như vậy, cách sử dụng tần số thấp ta nội suy hàm cho trước đa thức lượng giác giá trị mẫu Người ta chứng minh hàm x(t ) liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2 , khả vi liên tục khúc đa thức lượng giác nội suy (1.139)-(1.140) hội tụ x(t ) số điểm mẫu n   Trường hợp hàm x(t ) không liên tục xuất hiện tượng Gibbs điểm khơng liên tục Hình 1.18 sau minh họa tượng Gibbs đồ thị đa thức nội suy hàm x(t )  t ứng với 6, 16 điểm mẫu Hình 1.18: Biến đổi Fourier hàm x(t )  t Nén khử nhiễu Các tín hiệu thực nghiệm, nhiễu có khuynh hướng ảnh hưởng tới mode tần số cao, đặc điểm chủ yếu thiên tích lũy tần số thấp Vì vậy, phương pháp đơn giản hiệu để khử tín hiệu nhiễu phân tích thành mode Fourier cơng thức (1.124) sau loại trừ thành phần tần số cao Điểm định rõ điểm phân biệt tần số thấp tần số cao, tức phân biệt tín hiệu với nhiễu Sự lựa chọn phụ thuộc vào tính chất tín hiệu đo đặt nhiệm vụ cho xử lí tín hiệu Để áp dụng cách xác quy trình khử nhiễu, tốt hết ta sử dụng dạng dao động thấp theo công thức (1.139), (1.140) đa thức nội suy lượng giác, số hạng tần số thấp xuất k nhỏ Vì vậy, để khử thành phần tần số cao thay tổng đầy đủ q( x)  l  ck eikt (1.142) k l (n  1) đặc trưng cho điểm phân biệt tần số thấp tần số cao, hệ số ck thỏa mãn cơng thức (1.134) Nói cách khác, thay giữ tất n thành phần, 2l   n số l  mode Fourier tần số thấp thường đủ để biểu diễn phiên khử nhiễu tín hiệu gốc Hình 1.19 biểu diễn tín hiệu tín hiệu bị sai lệch tác động nhiễu ngẫu nhiên Chúng ta dùng n  28  512 điểm mẫu tính tốn Để khử nhiễu, ta giữ lại 2l   11 54 Chương 1: Giải tích Fourier tần số thấp Nói cách khác thay lấy tất 512 hệ số Fourier c256 , , c1, c0 , c1, , c255 , ta tính 11 hệ số ứng với tần số thấp c5 , , c5 Tổng Fourier tương ứng  ck eikt biểu diễn tín hiệu nhiễu k 5 Đồ thị cuối biểu diễn đồng thời tín hiệu gốc tín hiệu khử nhiễu Sự sai lệch giũa hai đồ thị nhỏ 0,15 toàn đoạn  0, 2  Tín hiệu gốc Tín hiệu nhiễu Tín hiệu khử nhiễu So sánh tín hiệu gốc tín hiệu khử nhiễu Hình 1.19: Khử nhiễu tín hiệu Chương trình MATLAB dùng lệnh X  fft ( x) (1.142)   j1 để tính DFT (cơng thức (1.135)), x  x j n   j1 (cơng thức tính X  cj n ứng với j  1, , n thay cho j  0, , n  ) x  ifft ( X ) (1.143) để tính biến đổi ngược IDFT (công thức (1.136)) 55 ... tuần hoàn phép biến đổi Fourier rời rạc thay phép biến đổi Fourier, phép biến đổi ngược xây dựng dựa vào cơng thức tích phân Fourier Khi hàm số biểu diễn cho tín hiệu biến đổi Fourier chúng gọi... chuẩn ta định nghĩa phép biến đổi Fourier hữu hạn tín hiệu rời rạc sau 30 Chương 1: Giải tích Fourier 1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier hữu hạn Định nghĩa 1.4: Biến đổi Fourier hữu hạn dãy tín... phổ tương ứng nhận số hữu hạn tần số phép biến đổi Fourier rời rạc Ngoài để thực nhanh phép biến đổi Fourier rời rạc, người ta sử dụng thuật toán biến đổi Fourier nhanh Hướng ứng dụng vào viễn thơng: