TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ HẢI YẾN BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU LAGRANGE KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ HẢI YẾN BÀI TỐN ĐỐI NGẪU LAGRANGE KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN TUYÊN HÀ NỘI – 2018 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy giáo khoa Tốn giúp đỡ em trình học tập trường tạo điều kiện cho em hồn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn Tuyên tận tình giúp đỡ em suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành khóa luận Trong q trình nghiên cứu, khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo tồn thể bạn đọc để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Hải Yến LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan hướng dẫn thầy Nguyễn Văn Tuyên khóa luận em hồn thành khơng trùng với đề tài khác Trong thực đề tài em sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2018 Sinh Viên Nguyễn Thị Hải Yến ii Mục lục Lời mở đầu 1 Một số kiến thức sở 1.1 Các khái niệm 1.2 Dưới vi phân hàm lồi Bài toán đối ngẫu Lagrange 2.1 Bài toán đối ngẫu 2.2 Quan hệ đối ngẫu 12 2.3 Quy hoạch nón 17 2.4 Các tốn khơng lồi 20 2.5 Hàm giá trị tối ưu 23 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến Lời mở đầu Việc nghiên cứu mối quan hệ toán đối ngẫu toán gốc vấn đề quan trọng lí thuyết tối ưu Nghiệm tối ưu tốn gốc tốn đối ngẫu thường có mối quan hệ chặt chẽ với Trong nhiều trường hợp quan trọng có nhiều ứng dụng việc giải tốn đối ngẫu giúp ta dễ dàng tìm nghiệm tốn gốc Với mong muốn tìm hiểu sâu tốn đối ngẫu, em chọn nghiên cứu đề tài: “Bài toán đối ngẫu Lagrange” Mục đích khóa luận trình bày cách có hệ thống, kiến thức quan trọng toán đối ngẫu Các kết khóa luận trình bày dựa vào chuyên khảo [3] Khóa luận bao gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương trình bày số khái niệm, tính chất tập lồi, hàm lồi, số quy tắc tính tốn vi phân hàm lồi Chương trình bày tốn đối ngẫu Lagrange, quan hệ đối ngẫu, toán quy hoạch nón, tốn khơng lồi, hàm giá trị tối ưu Chương Một số kiến thức sở 1.1 Các khái niệm Kí hiệu R = R ∪ {±∞} gọi tập số thực mở rộng Cho f : Rn → R hàm số Miền hữu hiệu tập đồ thị f tương ứng kí hiệu bởi: domf = {x : f (x) < +∞} , epif = {(x, v) ∈ Rn × R : v ≥ f (x)} Định nghĩa 1.1 Cho K nón Tập hợp K ◦ = {y ∈ Rn : y, x ≤ 0, ∀x ∈ K} gọi nón cực K Bổ đề 1.1 Cho K nón Rn y ∈ Rn cho tích vơ hướng y, x bị chặn với x ∈ K Khi y ∈ K ◦ Định nghĩa 1.2 Một tập A ∈ Rn gọi lồi với x1 , x2 ∈ A Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến α ∈ [0, 1], ta có (1 − α)x1 + αx2 ∈ A Định nghĩa 1.3 Một hàm số f gọi lồi epif tập lồi Định nghĩa 1.4 Một hàm f gọi lõm −f lồi Định nghĩa 1.5 Một hàm f gọi thường f (x) > −∞ với x f (x) < +∞ với x Bổ đề 1.2 Một hàm f lồi với x1 , x2 ≤ α ≤ ta có f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) (1.1) Bổ đề 1.3 Nếu f lồi domf tập lồi Chứng minh Nếu x1 ∈ domf x2 ∈ domf , theo Bổ đề 1.2, ta có f (αx1 + (1 − α)x2 ) < +∞ Khi αx1 + (1 − α)x2 ∈ domf , nên domf tập lồi Bổ đề 1.4 Nếu f hàm lồi, với x1 , x2 , , xn α1 ≥ 0, α2 ≥ 0, , αm ≥ cho α1 + α2 + + αm = 1, ta có f (α1 x1 + α2 x2 + + αm xm ) ≤ α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) + + αm f (xm ) Bổ đề 1.5 Nếu hàm fi , i = 1, 2, , m, lồi, với c1 ≥ 0, c2 ≥ 0, , cm ≥ hàm f (x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + + cm fm (x) lồi Chứng minh Vì (1.1) với fi , ta nhân bất đẳng thức chúng với ci cộng lại ta kết cần chứng minh Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến Bổ đề 1.6 Nếu fi , i ∈ I, họ hàm lồi, f (x) = sup fi (x) i∈I hàm lồi Ta xét toán sau: f (x) (1.2) với ràng buộc gi (x) ≤ 0, i = 1, , m, hi (x) = 0, i = 1, , p, x ∈ X0 , giả sử hàm f : Rn → R, gi : Rn → R, i = 1, , m hi : Rn → R, i = 1, , p khả vi liên tục, tập X0 ⊂ Rn lồi đóng Xét tập hợp X = {x ∈ Rn : g(x) ≤ 0} ¯ hàm lồi Điều kiện quan trọng dùng g : Rn → R điều kiện Slater: tồn xs cho g(xs ) < Định lý 1.1 Giả sử xˆ cực tiểu toán (1.2), hàm số f (·) liên tục vài điểm khả thi x0 , điều kiện Slater thỏa mãn Khi ˆ ∈ Rm µ tồn λ ˆ ∈ Rp cho: + p m ˆ i ∂gi )ˆ λ x+ ∈ ∂f (ˆ x) + i=1 µ ˆi hi (ˆ x) + NX0 (ˆ x) i=1 (1.3) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến ˆ i gi (ˆ λ x) = 0, i = 1, , m (1.4) ˆ ∈ Rm Ngược lại, có số điểm khả thi xˆ (1.1) vài λ + µ ˆ ∈ Rp điều kiện (1.3)-(1.4) thỏa mãn, xˆ cực tiểu địa phương toán (1.1) 1.2 Dưới vi phân hàm lồi Định nghĩa 1.6 Cho f : Rn → R hàm lồi thường x ∈ domf Một vector g ∈ Rn cho: f (y) ≥ f (x) + g, y − x với y ∈ Rn (1.5) gọi dưới-gradient (subgradient) f x Tập tất dưới-gradient f x gọi vi phân f x kí hiệu ∂f (x) Sau chúng tổng kết số quy tắc tính tốn vi phân hàm lồi Bổ đề 1.7 Một hàm lồi f : Rn → R khả vi x vi phân ∂f (x) có phần tử gradient f x Ví dụ 1.1 Cho C tập lồi đóng Rn ta xét hàm C δC (x) =   0 x ∈ C  +∞ x ∈ / C Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến yên ngựa Hàm nhân tử Lagrange Theo hệ [3, Theorem 3.46] vế phải bất đẳng thức (2.10) tương đương với (2.11) m λi gi (x) Điều kiện bên trái điểm yên ngựa (2.10) nói i=1 bị chặn với λ ≥ Do gi (x) ≤ 0, i = 1, , m Tương tự, hi (x) = 0, i = 1, , p Tương ứng, điểm x thực m λi gi (x) λ, ta có λi gi (x) = với Như giá trị lớn i=1 ˆ i gi (ˆ i = 1, , m Do λ x) = 0, i = 1, , m Mối quan hệ điểm yên ngưa, toán gốc toán đối ngẫu dễ thấy Định lý 2.2 Nếu hàm nhân tử Lagrange có điểm n ngựa (x, λ, µ) x nghiệm tốn gốc, (λ, µ) nghiệm tốn đối ngẫu, mối quan hệ đối ngẫu đúng: LP (x) = max LD (λ, µ) x∈X0 (2.12) (λ,µ)∈Λ0 Chứng minh Theo mối quan hệ điểm yên ngựa, với x ∈ X0 với (λ, µ) ∈ Λ0 , ta có: L(x, λ, µ) ≤ L(x, λ, µ) ≤ L(x, λ, µ) (2.13) Có nghĩa LP (x) = LD (λ, µ) Giá trị bên vế trái (2.13) x giá trị bên vế phải (2.13) (λ, µ) tăng bất đẳng thức, thế: LD (λ, µ) ≤ L(x, λ, µ) ≤ LD (λ, µ) = LP (x) ≤ L(x, λ, µ) ≤ LP (x) 15 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến Mối quan hệ định lí đối ngẫu chứng minh Chú ý giả thiết tính lồi ẩn định lí Định lý 2.3 Giả sử mối quan hệ đối ngẫu (2.12) thỏa mãn với hữu hạn biến tốn gốc tốn đối ngẫu Khi với nghiệm x toán gốc nghiệm (λ, µ) tốn đối ngẫu, điểm (x, λ, µ) điểm yên ngựa hàm Lagrange Chứng minh Từ định nghĩa hàm gốc ta có ˆ µ LP (ˆ x) = max L(ˆ x, λ, µ) ≥ L(ˆ x, λ, ˆ) (λ,µ)∈Λ0 Tương tự, từ định nghĩa hàm đối ngẫu, ta thu được: ˆ µ ˆ µ LP (ˆ x) = L(x, λ, ˆ) ≥ L(ˆ x, λ, ˆ) x∈X (2.12) ˆ µ LD (ˆ x) = LD (λ, ˆ), ta phải có ˆ µ ˆ µ ˆ µ L(ˆ x, λ, µ) ≤ LP (ˆ x) = L(ˆ x, λ, ˆ) = LD (λ, ˆ) ≤ L(x, λ, ˆ) (2.14) ˆ µ với x ∈ X0 với (λ, µ) ∈ Λ0 Do (ˆ x, λ, ˆ) điểm yên ngựa Định lý 2.4 Giả sử mối quan hệ đối ngẫu (2.12) Nếu (λ, µ) ∈ Λ0 điểm chấp nhận tốn đối ngẫu, điểm x ∈ X0 cho: 16 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến ¯ µ (i) L(x, λ, µ) = L(x, λ, ¯); x∈X0 (ii) Tất ràng buộc (2.1) thỏa mãn x; (iii) λi gi (x) = 0, i = 1, m, nghiệm tốn (2.1) ¯ µ Chứng minh Điều kiện (i), (ii), (iii) nói (x, λ, ¯) điểm yên ngựa Hàm nhân tử Lagrange, kết nhận từ Định lí 2.2 ¯ µ Thực tế là, điểm (λ, ¯) nghiệm tối ưu từ định lí đối ngẫu 2.3 Quy hoạch nón Trong mục này, quan tâm tới tốn có cấu trúc sau: c, x giả thiết Ax = b, (2.15) x ∈ K, x ∈ Rn , c ∈ Rn , b ∈ Rn A ma trận cấp m × n Tập K nón lồi đóng Rn Chúng ta xét hàm nhân tử Lagrange: L(x, µ) = c, x + µ, b − Ax , hàm đối ngẫu: LD (µ) = inf (L(x, µ)) = inf c − A∗ µ, x + µ, b x∈K x∈K 17 (2.16) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến Ở A∗ kí hiệu tốn tử liên hợp A xác định phương trình µ, Ax = A∗ µ, x Dạng đại số cụ thể A∗ phụ thuộc vào tích vơ hướng mà làm việc Ví dụ tốn quy hoạch tuyến tính ta có A∗ = AT quy hoạch nửa xác định A∗ µ = m µi Ai i=1 Theo Bổ đề 1.1 giá trị inf (2.16) hữu hạn c − A∗ µ ∈ K ◦ , LD (µ) = µ, b Điều dẫn đến việc xây dựng tốn đối ngẫu sau: b, µ với giả thiết A∗ µ − c ∈ K ◦ (2.17) Bây ta xác định định lí đối ngẫu cho tốn quy hoạch nón tối ưu hóa Định lý 2.5 Giả sử tồn điểm xs ∈ int K cho Axs = b Nếu tốn tối ưu (2.15) có nghiệm tối ưu tốn đối ngẫu (2.17) có nghiệm tối ưu giá trị tối ưu hai toán Chứng minh Theo điều kiện ràng buộc Slater cho tốn (2.15) Dưới điều kiện Định lí 1.1 nói nghiệm tối ưu thỏa mãn điều kiện tối ưu bậc Khi theo Định lí 2.1 Hàm nhân tử Lagrange có điểm n ngựa, từ Định lí 2.2 tốn đối ngẫu (2.17) có nghiệm tối ưu, giá trị tối ưu hai toán Ta kết luận điều kiện Slater cho nghiệm x toán gốc với nghiệm µ tốn đối ngẫu điều 18 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến kiện bù xˆ, A∗ µ ˆ−c =0 (2.18) Trong ràng buộc tốn đối ngẫu A∗ µ − c, x ≤ Do b, µ ˆ ≤ b, µ ˆ − A∗µ ˆ − c, x = c, xˆ + b − Aˆ x,ˆ µ = c, xˆ , dấu xảy (2.18) thỏa mãn Trong toán quy hoạch tuyến tính nón K nón lồi đa diện, ta không cần sử dụng điều kiện Slater cho Định lí 2.5 Nếu ta phát triển toán đối ngẫu thành toán đối ngẫu (2.17) ta thu tốn ban đầu Trong tốn tuyến tính tồn nghiệm tối ưu toán đối ngẫu dẫn đến mối quan hệ đối ngẫu tồn nghiệm tối ưu tốn ban đầu theo Định lí 2.5 (với điều kiện Slater) Trong toán quy hoạch nửa xác định quy hoạch nón, nhìn chung muốn áp dụng Định lí 2.5 cho tốn đối ngẫu, cần phải có điều kiện Slater: Tồn số µs ∈ Rm , cho A∗ µs − c ∈ int(K ◦ ) Do ta thu định lí mạnh Định lí 2.5 Định lý 2.6 Giả sử toán gốc đối ngẫu thỏa mãn điều kiện Slater Khi tốn gốc (2.15) có nghiệm tối ưu toán đối ngẫu (2.17) có nghiệm tối ưu, trường hợp giá trị tối ưu hai trường hợp 19 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.4 Nguyễn Thị Hải Yến Các tốn khơng lồi Nếu điểm yên ngựa hàm Lagrange không tồn tại, trường hợp điển hình cho tốn khơng lồi quan hệ đối ngẫu (2.12) khơng Tuy vậy, ta dùng tốn đối ngẫu để chặn giá trị tối ưu tốn gốc Bổ đề 2.3 Với (λ, µ) ∈ Λ0 với x ∈ X0 LD (λ, µ) ≤ LP (x) Chứng minh Kết theo sau từ dãy bất đẳng thức: LD (λ, µ) ≤ L(x, λ, µ) ≤ LP (x) Cách khác δ = LP (x) − max LD (λ, µ) ≥ x∈X0 (λ,µ)∈Λ0 gọi độ lệch Trong nhiều ứng dụng, chặn Bổ đề 2.3 hữu ích Xét toán tối ưu với ràng buộc tuyến tính: f (x) với giả thiết Ax ≥ b, x ∈ X0 20 (2.19) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến Ở f (·) số hàm số từ Rn đến R, A ma trận cấp m × n b ∈ Rm Tập X0 tập tùy ý Rn Khơng có giả thiết tính lồi f (·) X0 Ta viết ràng buộc bất đẳng thức dạng ” ≥ ” cho tiện dạng Xác định hàm số: f( X0 )(x) =   f (x) x ∈ X0 ,  +∞ trường hợp khác Khi tốn (2.19) viết lại sau: fX0 (x) với giả thiết Ax ≥ b (2.20) Cùng với nó, xem xét tốn lồi hóa fX∗∗0 (x) với giả thiết Ax ≥ b (2.21) Ở fX∗∗0 (x) hàm liên hợp thứ hai hàm fX0 Ta biết từ [3, Theorem 2.95] fX0 có hàm affine trội fX∗∗0 (x) hàm lồi trội lớn fX0 Do toán (2.21) nới lỏng (2.20) Giờ ta trở lại với tốn khơng lồi (2.20) Hàm Lagrange có dạng: L(x, λ) = fX0 (x) + λ, b − Ax 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến Ta tính tốn hàm đối ngẫu sau: LD (λ) = inf {fX0 (x) + λ, b − Ax } x = − sup { AT λ, x − fX0 (x)} + λ, b x = −fX∗ (AT λ) + b, λ Ở fX∗ kí hiệu hàm liên hợp fX0 Bài tốn đối ngẫu viết lại sau: sup { b, λ − fX∗ (AT λ)} (2.22) λ≥0 Phép biến đổi cho phép liên hệ với toán đối ngẫu (2.22) toán lồi (2.21) Định lý 2.7 Giả sử mối quan hệ đối ngẫu (2.12) cho tốn lồi (2.21) Khi tốn đối ngẫu (2.22) có nghiệm tối ưu giá trị tối ưu với giá trị tối ưu toán lồi (2.22) Chứng minh Khi toán lồi ban đầu có nghiệm, hàm số fX∗∗0 (x) riêng biệt Có nghĩa fX∗ (x) riêng biệt Nó ln lồi bán liên tục [3, Theorem 2.95] nói fX∗ = fX∗ ∗∗ ∗ = fX∗∗0 Khi tốn (2.22) viết lại ∗ sup{ b, λ − fX∗∗0 (AT λ)}, λ≥0 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến toán đối ngẫu toán lồi (2.21) Theo giả thiết, mối quan hệ đối ngẫu toán lồi Điều dẫn tới khẳng định định lý 2.5 Hàm giá trị tối ưu Bây ta xét toán với tham số b ∈ Rm c ∈ Rp : f (x) với giả thiết gi (x) ≤ bi , i = 1, , m, (2.23) hi (x) = ci , i = 1, , p, x ∈ X0 Ta giả sử f : Rn → R gi : Rn → R, i = 1, , m hàm lồi hi : Rn → R, i = 1, , p hàm affine, tập X0 ∈ Rn tập lồi Ta quan tâm đến phụ thuộc giá trị tối ưu tốn này, ta kí hiệu υ(b, c) với tham số b c Để tối ưu hóa hàm giá trị tối ưu, cho X(b, c) = {x ∈ X0 : g (x) ≤ b, h(x) = c} tập chấp nhận (2.23) Nếu X(b, c) = ∅ ta xác định υ(b, c) = +∞ Ngoài ra, υ(b, c) = inf f (x) x∈X(b,c) Ta xét độ nhạy hàm giá trị tối ưu phần Độ nhạy, điều kiện độc lập tuyến tính điều kiện đủ bán mạnh bậc hai Trong trường hợp lồi, ta tránh tập trung trực tiếp vào nghiệm tối ưu 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến biến tập trung trực tiếp vào hàm giá trị tối ưu Bổ đề 2.4 Hàm giá trị tối ưu υ(·) lồi Chứng minh Cho b = αb1 + (1 − α)b2 , c = αc1 + (1 − α)c2 , với α ∈ (0, 1) Thì có dạng lồi gi (·) với x1 ∈ X(b1 , c1 ), x2 ∈ X(b2 , c2 ) Ta có αx1 + (1 − α)x2 ∈ X(b, c) Tính lồi hàm f (·) chứa, ta có: f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) Do υ(b, c) = inf f (x) ≤ x∈X(b,c) [αf (x1 ) + (1 − α)f (x )] inf x1 ∈X(b1 ,c1 ) x2 ∈X(b2 ,c2 ) =α f (x1 ) + (1 − α) inf x1 ∈X(b1 ,c1 ) inf f (x ) x2 ∈X(b2 ,c2 ) = aυ(b1 , c1 ) + (1 − α)(b2 , c2 ) Để hiểu tính chất vi phân hàm giá trị tối ưu ta sử dụng kết lý thuyết tính đối ngẫu liên hợp mơ tả mục [3, 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến 2.6: Conjugate duality] Để đơn giản, giả sử khơng có phương trình ràng buộc xét Hàm nhân tử Lagrange L(x, λ) = f (x) + λ, g(x) − b0 Ở thuận tiện cho việc mở rộng hàm đối ngẫu cách gán giá trị −∞ cho giá trị đối số ngồi tập đối ngẫu, LD (λ) =     inf [f (x) + λ, g(x) − b0 ], λ ≥ 0,   −∞ trường hợp lại x∈X0 Nếu λ ≥ 0, λ, g(x) − b0 = inf λ, b − b0 b≥g(x) Khi biến đổi hàm đối ngẫu sau: ¯ D (λ) = inf [f(x)+ λ, b − b0 ] L x∈X0 b≥g(x) = inf inf [f (x) + λ, b − b0 ] b∈Rm x∈X(b) = inf [υ(b) + λ, b − b0 ] b∈Rm Sử dụng υ ∗ (·) để kí hiệu hàm liên hợp hàm giá trị tối ưu υ(·) theo 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến [3, Definition 2.90 ], ta thu : ¯ D (λ) = − sup [ − υ(b) − λ, b ] − λ, b0 L b∈Rm = −υ ∗ (−λ) − λ, b0 (2.24) Nếu λ ≤ 0, −υ ∗ (−λ) = inf [υ(b) + λ, b = −∞, b∈Rm υ(·) khơng tăng ta tùy ý tăng thành phần cấu thành bj tương ứng λj < Do cơng thức (2.24) với λ ∈ Rm Bổ đề 2.5 Một vector (λ0 , µ0 ) nghiệm toán đối ngẫu (2.23) b = b0 c = c0 υ(b0 , c0 ) + υ ∗ (−λ0 , −µ0 ) + λ0 , b0 + µ0 , c0 = Chứng minh Để đơn giản hóa, ta giả sử p = Một vector λ0 ≥ nghiệm toán đối ngẫu ¯ D (λ0 ) = υ(b0 ) L Kết hợp với phương trình cuối với (2.24) ta thu được: −υ ∗ (−λ0 ) − λ0 , b0 = υ(b0 ), Điều phải chứng minh Nếu p > việc tính tốn tương tự Phép biến đổi hữu ích cho phép mơ tả hồn tồn υ(·) 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến (b0 , c0 ) tập nghiệm âm toán đối ngẫu Định lý 2.8 ¯ D (λ0 , µ0 ) = υ(b0 , c0 ) ∂υ(b0 , c0 ) = − (λ0 , µ0 ) ∈ Λ0 : L Chứng minh Theo Bổ đề (2.4), hàm giá trị tối ưu υ(·) lồi (s, u) gradient υ(·) (b0 , c0 ) υ(b0 , c0 ) + υ ∗ (s, u) = s, b0 + u, c0 Theo Bổ đề (2.5) , bổ đề tương đương với (−s, −u) nghiệm tốn đối ngẫu 27 Kết luận Khóa luận “Bài tốn đối ngẫu Lagrange” đã: - Trình bày số kiến thức sở hàm lồi, tập lồi vi phân hàm lồi - Trình bày nội dung toán đối ngẫu Lagrange, quan hệ đối ngẫu, quy hoạch nón hàm giá trị tối ưu Đề tài “Bài toán đối ngẫu Lagrange” đề tài hay chun ngành Tốn giải tích sinh viên, nên qua việc nghiên cứu hệ thống cho em nhiều tri thức, đưa nhiều vấn đề cần tìm hiểu Trong trình thực khóa luận em có gặp số khó khăn đề tài có nhiều định lý nhiều ứng dụng Đóng góp em khóa luận hệ thống, xếp trình bày lại kiến thức Một số toán đối ngẫu tham khảo (bản tiếng anh) viết lại cụ thể, dễ hiểu Do thời gian nghiên cứu có hạn nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót định, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 28 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Huỳnh Thế Phùng, Cơ sở Giải tích lồi, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 [B] Tài liệu tiếng Anh [2] R T Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 [3] A Ruszczy´ nski: Nonlinear Optimization, Princeton University Press, 2006 29 ... 1.2 Dưới vi phân hàm lồi Bài toán đối ngẫu Lagrange 2.1 Bài toán đối ngẫu 2.2 Quan hệ đối ngẫu 12 2.3 Quy hoạch nón ... giải tốn đối ngẫu; xem [3, Chapter 7] Nhưng câu hỏi là: Tại nên giải toán đối ngẫu? Trong mục cho thấy nghiệm toán gốc nghiệm toán đối ngẫu có liên quan chặt chẽ với 2.2 Quan hệ đối ngẫu Ta trở... Định lí 2.5 Nếu ta phát triển toán đối ngẫu thành toán đối ngẫu (2.17) ta thu tốn ban đầu Trong tốn tuyến tính tồn nghiệm tối ưu toán đối ngẫu dẫn đến mối quan hệ đối ngẫu tồn nghiệm tối ưu tốn