TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* TẠ THỊ QUỲNH TIẾT DIỆN NGANG MONGE - AMPERE KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Tạ Thị Quỳnh TIẾT DIỆN NGANG MONGE-AMPERE Chuyên ngành: Toán giải tích KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GVC.TS Trần Văn Bằng Hà Nội – Năm 2018 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo bạn sinh viên Đến nay, khóa luận em hồn thành Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới Thầy Cô giáo tổ Giải tích, Thầy Cơ khoa Tốn đặc biệt Thầy giáo - Tiến sĩ Trần Văn Bằng người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ, bảo tận tình cho em suốt thời gian nghiên cứu, hồn thành khóa luận Do hạn chế thời gian kiến thức thân nên khóa luận em khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý Thầy Cô bạn sinh viên Một lần em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Tạ Thị Quỳnh LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn tận tình Thầy giáo TS Trần Văn Bằng khóa luận chun ngành tốn giải tích với đề tài "Tiết diện ngang Monge - Ampere" hồn thành nhận thức thân, khơng trùng với khóa luận khác Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Tạ Thị Quỳnh Mục lục Bảng kí hiệu 1 Tiết diện ngang Monge-Ampere 1.1 Một số kí hiệu 1.2 Ánh xạ pháp 1.3 Tiết diện ngang Monge-Ampere Tính chất tiết diện ngang Monge-Ampere 11 2.1 Các kết sở 12 2.2 Tính chất tiết diện 20 2.2.1 Độ đo Monge-Ampere thỏa mãn (1.3) 20 2.2.2 Tính chất Dìm tiết diện 29 2.2.3 Kích thước tiết diện chuẩn hóa 30 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THỊ QUỲNH R Tập số thực Rn Không gian Euclide thực n chiều P(Rn ) Họ tất tập Rn x = (x1 , · · · , xn ) Phần tử Rn x21 + · · · + x2n |x| Chuẩn phần tử x, x·y Tích vơ hướng x y, BR (x0 ) Hình cầu mở tâm x0 ∈ Rn bán kính R A Bao đóng tập A dist(x, A) Khoảng cách từ điểm x đến tập A C k (Ω) Tập hàm khả vi liên tục đến cấp k Ω Du(x), D2 u(x) Gradient Hessian hàm u x ∆u(x) Laplace hàm u x ∂u(x) Ánh xạ pháp hay vi phân hàm u x χE (x) Hàm đặc trưng tập hợp E |E| Độ đo Lebesgue n chiều tập hợp E ⊂ Rn h.k.n Hầu khắp nơi n i=1 xi yi Lời nói đầu Phương trình Monge-Ampere phương trình có dạng det D2 u(x) = f (x), x ∈ Ω, Ω ⊂ Rn tập mở, f (x) hàm cho Đây phương trình phi tuyến, có vai trò quan trọng hình học nhiều lĩnh vực khác Vì phương trình nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới, xem [3] tài liệu Tiết diện ngang Monge-Ampere cơng cụ hình học giá trị để nghiên cứu hàm lồi nói chung, phương trình Monge-Ampere nói riêng Được hướng dẫn TS Trần Văn Bằng, em chọn đề tài: "Tiết diện ngang Monge-Ampere" để tìm hiểu tính chất tiết diện Nội dung Khóa luận chủ yếu tham khảo từ tài liệu [3] Nội dung khóa luận trình bày hai chương Chương trình bày số kiến thức cần thiết cho việc trình bày nội dung chương sau, như: Các khái niệm kí hiệu chung, khái niệm ánh xạ pháp, khái niệm tiết diện ngang Monge-Ampere Chương trình bày số kết tính chất tiết diện ngang MongeAmpere Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THỊ QUỲNH Do trình độ có hạn nên khóa luận khơng tránh khỏi có thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp thày bạn để khóa luận hồn thiện Chương Tiết diện ngang Monge-Ampere 1.1 Một số kí hiệu Cho Ω tập mở Rn u : Ω → R hàm số xác định Ω Trong khóa luận sử dụng số kí hiệu quen thuộc sau đây: Với x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn , chuẩn x xác định |x| = x21 + · · · + x2n biểu thức x · y = x y1 + · · · + x n yn tích vơ hướng véc tơ x, y ∈ Rn Tập hợp BR (x0 ) = {x ∈ Rn : |x − x0 | < R} hình cầu tâm x0 bán kính R Rn C k (Ω) không gian tất hàm có đạo hàm đến cấp k liên tục Ω, k = 0, 1, 2, · · · Khi k = ta thường viết đơn giản C (Ω) Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THỊ QUỲNH C(Ω) Nếu u ∈ C (Ω) Du(x) = (ux1 , · · · , uxn ) gradient hàm u điểm x ∈ Ω Nếu u ∈ C (Ω) D2 u(x) = [uxi xj ]n×n (ma trận) Hessian hàm u x ∈ Ω Với x0 ∈ Ω, siêu phẳng giá hàm số u điểm (x0 , u(x0 )) hàm affin l(x) = u(xo ) + p · (x − x0 ) cho u(x) ≥ l(x) với x ∈ Ω Nếu Ek dãy tập hợp ∞ E ∗ = lim sup En = ∩∞ n=1 ∪k=n Ek ; ∞ E∗ = lim inf En = ∪∞ n=1 ∩k=n En n→∞ n→∞ Nếu Ω ⊂ Rn tập bị chặn đo trọng tâm Ω điểm x∗ xác định x∗ = |Ω| xdx Ω Cho Ω ⊂ Rn tập lồi Hàm u : Ω → R lồi với ≤ t ≤ x, y ∈ Ω ta có u(tx + (1 − t)y) ≤ tu(x) + (1 − t)u(y) 1.2 Ánh xạ pháp Định nghĩa 1.1 Ánh xạ pháp u gọi vi phân u, hàm đa trị ∂u : Ω → P(Rn ) xác định ∂u(x0 ) = {p : u(x) ≥ u(x0 ) + p · (x − x0 ), với x ∈ Ω} Với E ⊂ Ω, định nghĩa ∂u(E) = x∈E ∂u(x) Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THỊ QUỲNH Nếu x ∈ Sψ (T x0 , 0, τ ) q ∗ độ dốc siêu phẳng giá ψ (x, ψ(x)), từ Bổ đề 2.2, |q ∗ | ≤ ≤ Cn,λ dist(x, ∂Sψ (T x0 , 0, 1)) µ(Sψ (T x0 , 0, τ )) ≤ Cn,λ (2.21) τ Mặt khác, cách áp dụng đánh giá Aleksandrov với ψ(y)− τ Sψ (T x0 , 0, ) ta có τ ( )n ≤ Cn µ(Sψ (T x0 , 0, τ /2)) (2.22) Từ (2.21) (2.22) ta µ(Sψ (T x0 , 0, τ )) ≤ Cµ(Sψ (T x0 , 0, τ /2)), điều suy µ(Sφ (x0 , p, τ t)) ≤ Cµ(Sφ (x0 , p, τ t/2)), số C không phụ thuộc vào t Nếu ta chọn k cho 2−k < τ cách lặp lại ta µ(Sφ (x0 , p, t)) ≤Cµ(Sφ (x0 , p, t/2)) ≤C k µ(Sφ (x0 , p, 2−k t)) ≤ C µ(Sφ (x0 , p, τ t)) Lúc ta có (i) nhờ (2.20) Hệ thu từ đặc trưng 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THỊ QUỲNH Hệ 2.3 Cho µ độ đo Monge-Ampere liên kết với hàm lồi φ giả sử µ thỏa mãn (1.3) Giả sử T biến đổi afin chuẩn hóa tiết diện Sφ (x, p, t), (nói riêng, theo (2.2) T (Sφ (x, p, t)) = Sψ (T x, q, t) ψ(y) = φ(T −1 y) q = (T −1 )t p) Khi (i) Tồn c0 > phụ thuộc vào số (1.3) n cho dist(Sψ (T x, q, τ t), ∂Sψ (T x, q, t)) ≥ c0 (1 − τ )n , với < τ < (ii) Tồn c > phụ thuộc vào số (1.3) n cho y ∈ / Sφ (x, p, t) B(T (y), C n ) ∩ T (Sφ (x, p, (1 − )t)) = ∅, với < < (2.23) Chứng minh (i) Theo Định lý 2.1, Sψ (T x, q, τ t) ⊂ λSψ (T x, q, t) với λ = − cn (1 − τ )n Do dist(λSψ (T x, q, t), ∂Sψ (T x, q, t)) ≥ αn (1 − λ) = cn (1 − τ )n , ta có (i) (ii) Từ (i) ta có dist(T (Sφ (x, p, (1 − )t), T (y)) = dist(Sψ (T x, q, (1 − )t), T (y)) ≥ dist(Sψ (T x, q, (1 − )t), ∂Sψ (T x, q, t)) ≥c0 (1 − (1 − ))n , ta có (ii) với C = c0 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.2 TẠ THỊ QUỲNH Tính chất Dìm tiết diện Các tiết diện hàm lồi có độ đo Monge-Ampere thỏa mãn (1.3) có tính chất sau tương tự hình cầu Euclid Định lý 2.2 (Tích chất Dìm) Giả sử độ đo Monge-Ampere µ liên kết với φ thỏa mãn (1.3) Khi tồn số θ > cho y ∈ Sφ (x0 , p, t), Sφ (x0 , p, t) ⊂ Sφ (y, q, θt) với q ∈ ∂φ(y) Chứng minh Giả sử T biến đổi afin chuẩn hóa tiết diện Sφ (x0 , p, 2t), tức B(0, αn ) ⊂ T (Sφ (x0 , p, 2t)) ⊂ B(0, 1) Đặt ψ(y) = φ(T −1 y), q1 = (T −1 )t p φ∗ (y) = ψ(y) − ψ(T x0 ) − q1 (y − T x0 ) − 2t Theo (2.2), T (Sφ (x0 , p, 2t)) = Sψ (T x0 , q1 , 2t) Nếu q2 ∈ ∂φ∗ (T y), theo Bổ đề 2.1 |q2 | ≤ 2t dist(T y, ∂Sψ (T x0 , q1 , 2t)) Vì y ∈ Sφ (x0 , p, t) nên T y ∈ Sψ (T x0 , q1 , t) Do đó, theo Hệ 2.3(i) |q2 | ≤ C1 t Bằng cách lấy T −1 bao hàm thức cần chứng minh tương đương với Sψ (T x0 , q1 , t) ⊂ Sψ (T y, (T −1 )t q, θt), với q ∈ ∂φ(y) 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THỊ QUỲNH Lấy z ∈ Sψ (T x0 , q1 , t) Ta cần chứng minh ψ(z) < ψ(T y) + (T −1 )t q · (z − T y) + θt, với q ∈ ∂φ(y) Ta có ∂φ∗ = ∂ψ − q1 , để ý q ∈ ∂φ(y) (T −1 )t q ∈ ∂ψ(T y) Do đó, q ∈ ∂φ(y), (T −1 )t q = q2 + q1 với q2 ∈ ∂φ∗ (T y) Vì ψ(T y) + (T −1 )t q · (z − T y) + θt = ψ(T y) + q2 · (z − T y) + q1 · (z − T y) + θt ≥ ψ(T x0 ) + q1 · (T y − T x0 ) + q2 · (z − T y) + q1 · (z − T y) + θt = ψ(T x0 ) + q1 · (z − T x0 ) + q2 · (z − T y) + θt ≥ ψ(z) − t + q2 · (z − T y) + θt = (∗) z ∈ Sψ (T x0 , q1 , t) Lúc |q2 ·(z−T y)| ≤ C1 t|z−T y| ≤ 2C1 t Từ q2 ·(z−T y) ≥ −2C1 t, hệ (∗) ≥ ψ(z) − t − 2C1 t + θt = ψ(z) + (θ − (2C1 + 1))t Chọn θ ≥ 2C1 + ta có điều cần chứng minh 2.2.3 Kích thước tiết diện chuẩn hóa Định lý sau cho ta đánh giá định lượng cỡ tiết diện chuẩn hóa Nó nói hai tiết diện giao chuẩn hóa tiết diện lớn tiết diện lại giống hình cầu với bán kính lấy tỷ lệ theo tỷ lệ chuẩn hóa tiết diện lớn Định lý 2.3 Giả sử độ đo Monge-Ampere µ liên kết với 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THỊ QUỲNH φ thỏa mãn (1.3) Tồn số dương K1 , K2 , K3 cho Sφ (z0 , p0 , r0 ) Sφ (z1 , p1 , r1 ) tiết diện với r1 ≤ r0 , Sφ (z0 , p0 , r0 ) ∩ Sφ (z1 , p1 , r1 ) = ∅ T biết đổi afin chuẩn hóa Sφ (z0 , p0 , r0 ) B T z1 , K2 r1 r0 r1 ⊂ T (Sφ (z1 , p1 , r1 )) ⊂ B T z1 , K1 ( ) r0 , (2.24) T z1 ∈ B(0, K3 ) Chứng minh Đặt ψ(y) = T z0 = x0 , T z1 = x, φ(T −1 y) r0 p= −1 t (T ) p0 , r0 q= −1 t (T ) p1 , r0 t= r1 r0 Theo (2.2) ta có T (Sφ (z0 , p0 , r0 )) = Sψ (x0 , p, 1) T (Sφ (z1 , p1 , r1 )) = Sψ (x, q, t) Sau đây, gọn, ta bỏ qua số ψ ln hiểu tiết diện nói đến hàm ψ Khi bao hàm thức định lý tương đương với B(x, K2 t) ⊂ S(x, q, t) ⊂ B(x, K1 t ) Ta bắt đầu chứng minh bao hàm thức thứ hai Vì S(x0 , p, 1) chuẩn hóa nên trọng tâm c(S(x0 , p, 1)) = Theo Định lý 2.1, với < τ < tồn < λ < 1, λ = λ(τ, n) = − βn (1 − τ )n cho 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THỊ QUỲNH S(x, q, τ ) ⊂ λS(x, q, 1) = {x1 + λ(y − x1 ) : y ∈ S(x, q, 1), x1 = c(S(x, q, 1))} = {(1 − λ)x1 + λy : y ∈ S(x, q, 1), x1 = c(S(x, q, 1))} Theo cách tương tự, S(x, q, τ ) ⊂ λS(x, q, τ ) = {(1 − λ)x2 + λy : y ∈ S(x, q, τ ), x2 = c(S(x, q, τ ))} ⊂ {(1 − λ)x2 + λ(1 − λ)x1 + λ2 y : y ∈ S(x, q, 1), x1 = c(S(x, q, 1)), x2 = c(S(x, q, τ ))} Tương tự ta thu S(x, q, τ N +1 ) ⊂ λS(x, q, τ N ), đặt xi+1 = c(S(x, q, τ i )), i = 0, 1, 2, · · · tiếp tục theo cách ta N −1 N λi xN −i + λN y : y ∈ S(x, q, 1)} S(x, q, τ ) ⊂ {(1 − λ) i=0 Nếu x∗ ∈ S(x0 , p, 1)∩S(x, q, t), Định lý 2.2 suy S(x, q, 1) ⊂ S(x∗ , q , θ) S(x0 , p, 1) ⊂ S(x∗ , q , θ) với q ∈ ∂ψ(x∗ ) Bao hàm thức cuối cùng, theo tính chất dìm, suy S(x∗ , q , θ) ⊂ S(x0 , p, θ2 ) 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THỊ QUỲNH Mặt khác, nhờ tính lồi ψ ta có Sψ (x0 , p, r) ⊂ x0 +r(Sψ (x0 , p, 1)−x0 ) = {x0 +r(z−x0 ) : z ∈ Sψ (x0 , p, 1)}, (2.25) 1 với r ≥ Thật vậy, với x ∈ Sψ (x0 , p, r), đặt z = x + (1 − )x0 r r ta có z ∈ Sψ (x0 , p, 1) Do S(x, q, 1) ⊂ S(x0 , p, θ2 ) ⊂ x0 + θ2 (S(x0 , p, 1) − x0 ) Vì S(x0 , p, 1) chuẩn hóa nên x0 + θ2 (S(x0 , p, 1) − x0 ) = (x0 − θ2 x0 ) + θ2 S(x0 , p, 1) ⊂ B(x0 − θ2 x0 , θ2 ) ⊂ B(0, K), với K = 2θ2 − Khi S(x, q, 1) ⊂ B(0, K) hệ xi+1 = cS(x, q, (τ )i ) ∈ B(0, K), i = 0, 1, · · · Giả sử N ≥ thỏa mãn τ N +1 < t ≤ τ N Khi S(x, q, t) ⊂ S(x, q, τ N ) N −1 N ⊂ {yN + λ y : y ∈ S(x, q, 1)}, λi xN −i yN = (1 − λ) i=0 ⊂ B(yN , λN K) Ta có N + > λ)K logλ t lnλ logλ t −1 , λN < λ logλ τ = t lnτ Vì |yN | ≤ (1 − logλ τ λ = K, ta thu 1−λ S(x, q, t) ⊂ B yN , K t λ 33 ⊂ B x, K t , λ Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THỊ QUỲNH ln λ ln τ Bây ta chứng minh bao hàm thức thứ Nếu y ∈ S(x0 , p, 1)∩ = S(x, q, t), theo tính chất dìm S(x, q, t) ⊂ S(y, q , θt) S(x0 , p, 1) ⊂ S(y, q , θ) với q ∈ ∂ψ(y) Lại theo tính chất dìm, Định lý 2.2, S(y, q , θ) ⊂ S(x0 , p, θ2 ) S(x, q, t) ⊂ S(x0 , p, θ2 ), t ≤ Theo (2.25) S(x0 , p, 3θ2 ) ⊂ {x0 + 3θ2 (y − x0 ) : y ∈ S(x0 , p, 1)} ⊂ B(0, K), với K = 6θ2 − Đặt ψ ∗ (z) = ψ(z) − ψ(x0 ) − p · (z − x0 ) − 3θ2 Chúng ta khẳng định ∂ψ ∗ (S(x0 , p, 2θ2 )) ⊂ B(0, Cθ2 ) (2.26) với số phổ dụng C Để chứng minh khẳng định, ta để ý µ độ đo Monge-Ampere liên kết với ψ S(x0 , p, 1) chuẩn hóa, theo Mệnh đề 2.1 ta có µ(S(x0 , p, 1)) ≈ Do theo tính chất đúp µ(S(x0 , p, 2θ2 )) ≈ C(θ), µ(S(x0 , p, 3θ2 )) ≈ C(θ) Theo áp dụng đánh giá Aleksandrov với ψ2 (x) = ψ(x) − ψ(x0 ) − p · (x − x0 ) − 2θ2 tiết diện S(x0 , p, 2θ2 ), ta thu (θ2 )n ≤ C dist(S(x0 , p, θ2 ), ∂S(x0 , p, 2θ2 ))µ(S(x0 , p, 2θ2 )) 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THỊ QUỲNH Do dist(S(x0 , p, θ2 ), ∂S(x0 , p, 2θ2 )) ≥ C Lập luận tương tự ta có dist(S(x0 , p, 2θ2 ), ∂S(x0 , p, 3θ2 )) ≥ C Vì cách áp dụng Bổ đề 2.1 với hàm số ψ ∗ tập S(x0 , p, 2θ2 ) ta nhận (2.26) Lấy x ∈ S(x0 , p, θ2 )(⊂ B(0, K)) Chúng ta chọn K2 cho B(x, K2 t) ⊂ S(x, q, t) Vì dist(S(x0 , p, θ2 ), ∂S(x0 , p, 2θ2 )) ≥ C1 t ≤ 1, suy B(x, C1 t/4) ⊂ S(x0 , p, 2θ2 ) Lấy y ∈ B(x, K2 t) với K2 ≤ C1 /4 Nếu q ∈ ∂ψ(y), ψ(x) ≥ ψ(y) + q · (x − y) q ∈ ∂ψ ∗ (y) + p định nghĩa ψ ∗ Từ 2.26, ta có |q − p| ≤ Cθ2 tương tự |q − p| ≤ Cθ2 Do |q − q| ≤ 2Cθ2 ≤ ψ(y) − ψ(x) − q · (y − x) ≤ − q · (x − y) − q · (y − x) ≤2Cθ2 |y − x| ≤ 2Cθ2 K2 t < t cách chọn K2 cho 2Cθ2 K2 < Vì y ∈ S(x, q, t) Vậy ta có chứng minh Định lý 2.4 Nhận xét 2.5 Định lý 2.3 suy tiết diện hàm lồi φ tập bị chặn độ đo Monge-Ampere tương ứng thỏa mãn (1.3), φ lồi chặt Thực tế, P1 = (x1 , φ(x1 )) P2 = (x2 , φ(x2 )) điểm cho đoạn thẳng P1 , P2 chứa đồ thị φ z0 = t0 x1 + (1 − t0 )x2 , < t0 < 1, siêu phẳng giá φ điểm (z0 , φ(z0 )) chứa P1 P2 Khi P1 P2 ⊂ Sφ (z0 , p, t) với p ∈ ∂φ(z0 ) với t > Khi theo Định lý 2.3 đoạn thẳng P1 P2 quy 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THỊ QUỲNH điểm Điều dẫn đến độ đo Monge-Ampere M φ thỏa mãn tính chất đúp (1.3), tiết diện Sφ (x0 , p, t) tập lồi chặt Giả sử x0 (x) phản chứng siêu phẳng giá u x0 xác định tiết diện Sφ (x0 , p, t) Khi tồn x1 = x2 cho φ(x)− đoạn thẳng x1 x2 Đặt ψ(x) = φ(x) − x0 (x) x0 (x) = t với x thuộc Khi M ψ đúp ψ phải lồi chặt Nhưng đoạn thẳng P1 P2 với Pi = (xi , t) nằm đồ thị ψ, mâu thuẫn Kết sau quan trọng việc nghiên cứu nghiệm phương trình Monge-Ampere tuyến tính hóa Định lý 2.4 Giả sử độ đo Monge-Ampere µ liên kết với φ thỏa mãn (1.3) Khi (i) Tồn C0 > p1 ≥ cho với < r < s ≤ 1, t > x ∈ Sφ (x0 , p, rt) ta có Sφ (x, q, C0 (s − r)p1 t) ⊂ Sφ (x0 , p, st), ∀q ∈ ∂φ(x) (ii) Tồn C1 > p1 ≥ cho với < r < s < 1, t > x ∈ Sφ (x0 , p, t)\Sφ (x0 , p, st) ta có Sφ (x, q, C1 (s − r)p1 t) ∩ Sφ (x0 , p, rt) = ∅, ∀q ∈ ∂φ(x) Chứng minh (i) Giả sử T biến đổi afin chuẩn hóa Sφ (x0 , p, st) Khi theo (2.2) T (Sφ (x0 , p, st)) = Sψ (T x0 , q1 , s), 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THỊ QUỲNH 1 ψ(y) = φ(T −1 y) q1 = (T −1 )t p Ngoài t t T (Sφ (x0 , p, rt)) =Sψ (T x0 , q1 , r), T (Sφ (x, q, C0 (s − r)p1 t)) =Sψ (T x, q2 , C0 (s − r)p1 ), q2 = (T −1 )t q Để chứng minh (i), ta cần chứng minh t T x ∈ Sψ (T x0 , q1 , r), Sψ (T x, q2 , C0 (s − r)p1 ) ⊂ Sψ (T x0 , q1 , s) Đặt r = (2.27) r < Lúc chọn δ < s, z ∈ Sψ (T x, q2 , δ) Khi s ψ(z) ≤ψ(T x) + q2 · (z − T x) + δ ≤ψ(T x0 ) + q1 · (T x − T x0 ) + r + q2 · (z − T x) + δ =ψ(T x0 ) + q1 · (z − T x0 ) + r + (q2 − q1 ) · (z − T x) + δ Ta có q1 ∈ ∂ψ(T x0 ), q2 ∈ ∂ψ(T x), T x, T x0 ∈ Sψ (T x0 , q1 , r) Áp dụng Bổ đề 2.1 với hàm số h(x) = ψ(x) − ψ(T x0 ) − q1 · (x − T x0 ) − s tập Sψ (T x0 , q1 , s), sử dụng Hệ 2.3(i), dẫn đến (∂ψ − q1 )(T x) ⊂ B 0, −h(T x) dist(T x, ∂Sψ (T x0 , q1 , s)) 37 ⊂ B 0, Cs (1 − r)n Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THỊ QUỲNH Cs Csn+1 Điều suy |q2 − q1 | ≤ = Do từ Định lý 2.3 (1 − r)n (s − r)n ψ(z) < ψ(T x0 ) + q1 · (z − T x0 ) + r + (q2 − q1 ) · (z − T x) + δ Csn+1 δ K ≤ ψ(T x0 ) + q1 · (z − T x0 ) + r + (s − r)n s CK1 ≤ ψ(T x0 ) + q1 · (z − T x0 ) + r + δ + δ, (s − r)n +δ 1/ (s − r)n+1 ≤ Nếu δ = , δ < (s − r)/2 (2.27) xảy 8CK1 1/ n+1 p = với C0 = 8K1 C (ii) Giả sử T chuẩn hóa Sφ (x0 , p, 2t) ψ(y) = φ(T −1 y) Khi 2t T (Sφ (x0 , p, 2t)) = Sψ (T x0 , q1 , 1), với q1 = −1 t (T ) p Ta cần chứng minh 2t T (x) ∈ Sψ (T x0 , q1 , 1/2)\Sψ (T x0 , q1 , s/2) Sψ (T x, q2 , C1 (s − r)p1 /2) ∩ Sψ (T x0 , q1 , r/2) = ∅ Ta có q1 ∈ ∂ψ(T x0 ) q2 ∈ ∂ψ(T x) Từ Hệ 2.3(i) Bổ đề 2.1, 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THỊ QUỲNH |q2 − q1 | ≤ C Lấy δ < z ∈ Sψ (T x, q2 , δ) Theo Định lý 2.3, ψ(z) ≥ ψ(T x) + q2 · (z − T x) s + q2 · (z − T x) s = ψ(T x0 ) + q1 · (z − T x0 ) + + (q2 − q1 ) · (z − T x) s ≥ ψ(T x0 ) + q1 · (z − T x0 ) + − CK1 δ r > ψ(T x0 ) + q1 · (z − T x0 ) + ≥ψ(T x0 ) + q1 · (T x − T x0 ) + s−r δ < 2CK1 chứng minh p1 p1 = 1/ Với C1 ≤ định lý (2CK1 )p1 Từ Định lý 2.4, kết luận tồn δ > cho x ∈ Sφ (x0 , p, 3t/4)\Sφ (x0 , p, t/2), Sφ (x, q, δt) ⊂ Sφ (x0 , p, t)\Sφ (x0 , p, t/4) 39 Kết luận Trên toàn nội dung đề tài "Tiết diện ngang Monge Ampere" Trong khóa luận tốt nghiệp em trình bày hiểu biết cách hệ thống, rõ ràng đặc trưng tính chất tiết diện ngang Monge - Ampere Khóa luận đạt mục đích nhiệm vụ đề Tuy nhiên nội dung mẻ thời gian nghiên cứu hạn chế nên khóa luận em khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp từ Thầy, Cơ bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy, Cô giáo Khoa Toán, đặc biệt Thầy giáo TS Trần Văn Bằng tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 40 Tài liệu tham khảo [1] I J Bakelman, Convex analysis and nonlinear geometric elliptic equations, Springer, Berlin, 1994 [2] L C Evans, R F Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, CRC, Boca Raton, 1992 [3] C E Gutiérrez, The Monge-Ampère equation, Second Edition, Birkhauser, 2016 41 ... 1 Tiết diện ngang Monge- Ampere 1.1 Một số kí hiệu 1.2 Ánh xạ pháp 1.3 Tiết diện ngang Monge- Ampere Tính chất tiết diện ngang Monge- Ampere. .. liệu Tiết diện ngang Monge- Ampere cơng cụ hình học giá trị để nghiên cứu hàm lồi nói chung, phương trình Monge- Ampere nói riêng Được hướng dẫn TS Trần Văn Bằng, em chọn đề tài: "Tiết diện ngang Monge- Ampere" ... niệm kí hiệu chung, khái niệm ánh xạ pháp, khái niệm tiết diện ngang Monge- Ampere Chương trình bày số kết tính chất tiết diện ngang MongeAmpere Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THỊ QUỲNH Do trình