THAY ĐỔI KẾT LUẬN CỦA BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trong chứng minh hình học, việc phát hiện các kết quả tương đương với kết luận của bài toán rất có thể sẽ đưa ta đến những chứng minh quen thuộc, đơn giản hơn hoặc những phép chứng minh độc đáo. Đây cũng là công việc thường xuyên của người làm toán. Các bạn hãy theo dõi một số bài toán sau. Bài toán 1 : Cho tam giác ABC có BC < BA, đường phân giác BE và đường trung tuyến BD (E, D thuộc AC). Đường thẳng vuông góc với BE qua C cắt BE, BD lần lượt tại F, G. Chứng minh rằng đường thẳng DF chia đôi đoạn thẳng GE. Lời giải : Gọi giao điểm của CG với AB là K và DF với BC là M. Dễ thấy ∆ BKC cân tại B, BF là trung trực của KC suy ra F là trung điểm của KC. Theo giả thiết, D là trung điểm của AC => DF là đường trung bình của DCKA => DF // KA hay DM // AB. => DM là đường trung bình của DABC => M là trung điểm của BC. Xét ∆ DBC, F thuộc trung tuyến DM nên DF chia đôi đoạn thẳng GE <=> GE // BC. Ta sẽ chứng minh GE // BC, thật vậy : Cách 1 : Ta có AE = AD + DE = CD + DE = CE + 2DE hay CE = AE - 2DE, suy ra Mặt khác, vì DF // AB, K thuộc AB và AK = 2DF nên Vậy BG/GD = BK/DF hay GE // BC. Cách 2 : Vì BE là phân giác của ∠ ABC Vậy DE/EC = DG/GB hay GE // BC. Cách 3 : áp dụng định lí Xê-va ta có Mặt khác MB = MC nên Bài toán 2 : Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm C 1 , A 1 , B 1 sao cho các đường thẳng AA 1 , BB 1 , CC 1 đồng quy tại O. Đường thẳng qua O song song với AC cắt A 1 B 1 và B 1 C 1 lần lượt tại K và M. Chứng minh rằng OK = OM. Lời giải : Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt A 1 B 1 và B 1 C 1 lần lượt tại K 1 và M 1 . Xét ∆ B 1 K 1 M 1 , dễ thấy MK // M 1 K 1 nên OM = OK <=> BM 1 = BK 1 . Ta sẽ chứng minh BM 1 = BK 1 , thật vậy : ∆ AB 1 C 1 đồng dạng với ∆ BM 1 C 1 suy ra ∆ CB 1 A>sub>1 ∆ đồng dạng với BK 1 A 1 suy ra Vậy : (áp dụng định lí Xê-va), suy ra BM 1 = BK 1 . Bài toán 3 : Xét bài 5(20) trang 15. Hướng dẫn : Do OX = OY nên : XZ = YT <=> OZ = OT. Ta sẽ chứng minh OZ = OT. Trước hết, ta chứng minh IO 1 OO 2 là hình bình hành bằng cách xét 3 trường hợp : ∠ IBA < 90 o ; ∠ IBA > 90 o ; ∠ IBA = 90 o Gọi M là giao điểm của O 1 I và CD. Với ∠ IBA < 90 o , ∆ IBA nội tiếp (O 1 ), ta có thể chứng minh được : ∠ AIO 1 + ∠ IBA = 90 o => ∠ CIM + ∠ ICM = 90 o =>O 1 I ⊥ CD ; Mà OO 2 ⊥ CD => OO 2 // O 1 I. Tương tự OO 1 // O 2 I, suy ra IO 1 OO 2 là hình bình hành (bạn đọc tự chứng minh hai trường hợp còn lại). Từ đó, ta có (xem phần hình màu) : OO 1 = O 2 I = O 2 T ; OO 2 = O 1 I = O 1 Z ; ∠ OO 1 Z = (180 o - 2 ∠ O 1 IZ) + ∠ OO 1 I = 360 o - ∠ OO2I - (180 o - 2( ∠ OO 2</SUB Đ O1IZ)) = 360 o - ∠ OO2MI - (180 o - 2 ∠ O,sub>2 IT) = OO 2 T => ∆ OO 1 Z = ∆ TO 2 O (c.g.c) => OZ = OT.(Chứng minh trên không cần dùng tới kiến thức về tam giác đồng dạng). l Bài tập áp dụng : 1) Từ điểm C ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến CA, CB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Đường tròn (O1) qua C và tiếp xúc với AB tại B cắt (O) tại M. Chứng minh rằng AM chia đoạn thẳng BC thành hai phần bằng nhau. 2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến với (O) tại B lần lượt cắt các tiếp tuyến với (O) tại A và C ở M và N. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại P. Chứng minh rằng BP là phân giác của ∠ MPN. 3) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD ; AC cắt BD tại O, AD cắt BC tại I và OI cắt AB tại E. Đường thẳng đi qua A song song với BC cắt BD tại M và đường thẳng đi qua B song song với AD cắt AC tại N. Chứng minh rằng : a) MN // AB ; b) AB 2 = MN.CD ; c) d) AE = EB. . THAY ĐỔI KẾT LUẬN CỦA BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trong chứng minh hình học, việc phát hiện các kết quả tương đương với kết luận của bài toán rất có. độc đáo. Đây cũng là công việc thường xuyên của người làm toán. Các bạn hãy theo dõi một số bài toán sau. Bài toán 1 : Cho tam giác ABC có BC < BA, đường