TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÍ ĐỖ THỊ THƯƠNG MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÍ ĐỖ THỊ THƯƠNG MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học Th.S NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN Hà Nội – 2018 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tốt đề tài này, trước tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy khoa Vật Lý – trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình thực đề tài Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo Th.s Nguyễn Thị Phương Lan tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hồn thành đề tài luận văn Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn khoa Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Đỗ Thị Thương LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hồn thành hướng dẫn cô giáo Th.s Nguyễn Thị Phương Lan với cố gắng thân em.Trong trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân em không trùng với kết tác giả khác.Nếu em sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Đỗ Thị Thương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .3 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Cấp phương trình vi phân 1.1.2 Phương trình vi phân thường 1.1.3 Nghiệm phương trình vi phân 1.2 Phương trình vi phân cấp 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Một số dạng phương trình 1.2.2.1 Phương trình đẳng cấp cấp 1.2.2.2 Phương trình vi phân toàn phần .6 1.2.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp .7 1.2.2.4 Phương trình Bernoulli .9 1.3 Phương trình vi phân cấp .10 CHƯƠNG 2: ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN 13 ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ .13 2.1 Phương trình vi phân cấp .13 2.1.1 Phương trình Bernoulli 13 2.1.2 Sự phân rã phóng xạ 14 2.1.3 Định luật Newton nhiệt độ môi trường 15 2.1.4 Một số toán học 16 2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp .18 2.3 Một số dạng phương trình vi phân đặc biệt 21 2.3.1 Phương trình dao động sợi dây .21 2.3.2 Phương trình truyền nhiệt 27 2.3.3 Phương trình Schrodinger 30 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KHOA HỌC VÀ ĐỜI SỐNG.35 3.1 Trong y sinh hóa lý (dược động lực học q trình biến đổi hóa chất đơn giản, phát triển dịch bệnh) 35 3.1.1 Dược động lực học q trình biến đổi hóa chất đơn giản 35 3.1.2 Sự phát triển dịch bệnh: 38 3.2 Trong lý kinh tế (tăng trưởng hàng hóa giá cả) 39 KẾT LUẬN .41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình vi phân xuất sở phát triển khoa học, kĩ thuật yêu cầu đòi hỏi thực tế, vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng Nhiều toán học, vật lý dẫn đến nghiên cứu phương trình vi phân tương ứng Phương trình vi phân có ứng dụng rộng rãi ngành kinh tế, điều tra tội phạm, mơ hình tốc độ tăng dân số, vật lí,… Đặc biệt ngành Vật lí lý thuyết – mơn chun sâu vào vấn đề xây dựng thuyết vật lí Dựa tảng mơ hình vật lí, nhà khoa học vật lí xây dựng thuyết vật lí, từ tìm tính đắn giả thuyết Và phương trình vi phân công cụ, giải pháp hữu hiệu để giải tốn q trình chứng minh giả thuyết Vì vậy, em định lựa chọn đề tài: “Một số dạng phương trình vi phân áp dụng để giải tốn vật lí” để nghiên cứu Khóa luận bao gồm nội dung:  Chương 1: Phương trình vi phân  Chương 2: Áp dụng phương trình vi phân để giải số toán  Chương 3: Một số ứng dụng khoa học đời sống Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu dạng phương trình vi phân - Ứng dụng giải tốn vật lí phương trình vi phân Đối tượng nghiên cứu - Các dạng phương trình vi phân - Một số tốn vật lí áp dụng phương trình vi phân Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dạng phương trình vi phân - Nghiên cứu tốn vật lý sử dụng phương trình vi phân để giải Phương pháp nghiên cứu - Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo sách, mạng,… - Thống kê, lập luận, diễn giải Những đóng góp khóa luận Trình bày khái qt hệ thống ứng dụng phương trình vi phân vào giải số tốn vật lý CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Cấp phương trình vi phân Cấp cao đạo hàm có mặt phương trình vi phân gọi cấp hay bậc phương trình vi phân Ví dụ: ( y' )2  4xy3  5y5  0, có mặt đạo hàm cấp nên gọi phương trình vi phân cấp ( y )  5( y )  y 1; ( y )  ( y )  y 1, có mặt đạo hàm cấp nên '' ' ' '' gọi phương trình vi phân cấp 1.1.2 Phương trình vi phân thường Phương trình vi phân có dạng F(x, y, y ' , y (n) )  0, gọi phương trình vi phân thường cấp n Trong x biến số độc lập, y hàm phải tìm, đạo hàm cấp n y đạo hàm cấp y, 1.1.3 Nghiệm phương trình vi phân Nghiệm hay tích phân phương trình vi phân hàm số y = f(x) mà thay vào phương trình biến phương trình thành đồng thức Ví dụ: Phương trình y ''  y  nhận hàm số y = sinx, y = cosx, y = 2cosx – 0, sinx tổng quát hàm số có dạng y = trình, với số sinx + cosx nghiệm phương 1.2 Phương trình vi phân cấp 1.2.1 Định nghĩa Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng F(x,y, ) = Hay = f(x,y) hay Ví dụ: = f(x,y) ' 2 3yy  3x  y dx  xdy  y '  xy ; ; Hoặc từ (1.1) ta giải được: (1.1) ' y  f (x, y) Ta phương trình vi phân cấp giải đạo hàm Ta viết phương trình vi phân giải đạo hàm dạng đối xứng M (x, y)dx  N(x, y)dy  Cách giải: Ta dùng phương pháp tách biến - Đưa phương trình vi phân cấp dạng: A(x)dx + B(y)dy = (1.2) Trong A(x), B(y) hàm phụ thuộc vào x y - Tích phân vế phương trình (1.2) ta tích phân tổng quát (1.2):  A(x)dx   B( y)dy C Ví dụ: Giải phương trình: (1 x) ydx  (1 y)xdy  Nếu x ≠ 0, y ≠ 0, viết phương trình thành: 1 ( dy1)dx  (1 x y ) Lấy tích phân hai vế ta được: ln|x| + x = y - ln|y| + C Hay ln|xy| + x – y = C Đó tích phân tổng qt phương trình 1.2.2 Một số dạng phương trình 1.2.2.1 Phương trình đẳng cấp cấp Phương trình y’ = f(x,y) gọi phương trình đẳng cấp f (x, y) hàm đẳng cấp bậc 0, nghĩa f (x, y)  f (tx, ty) ví dụ: y'  x y phương trình vi phân đẳng cấp cấp xy Cách giải: Theo định nghĩa phương trình đẳng cấp ta có f (tx,ty)  f (x, y) i (x, y, z) Bài tốn: Viết hàm sóng hạt chuyển động tự Ta xét hạt chuyển động tự theo trục x Vì U(x) = nên phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng hạt có dạng: d  (x) 2mE dx Nếu đặt k  2mE  (x)  (2.16) nghiệm phương trình (2.3) là: ikx ( ) k x  Ae ikx  Be (2.17) Số hạng thứ (2.17) mô tả chuyển động theo trục x (sóng tới), số hạng thứ hai mơ tả chuyển động theo chiều âm (sóng phản xạ) Biểu thức (2.17) viết gọn lại: ikx ( ) k x  Ae (2.18) Trong x > ứng với chuyển động theo chiều dương, x < ứng với chuyển động theo chiều âm Do hạt chuyển động tự nên nghiệm (2.18) thỏa mãn điều kiện liên tục hữu hạn tồn khơng gian với lượng E có giá trị Biểu thức lượng là: Ek  h k 2m (2.19) Nếu để ý p  k biểu thức lượng viết lại dạng: k Ep  p2 2m (2.20) Phổ trị riêng lượng liên tục, có giá trị định khoảng từ đến  , p  p  k xung lượng hạt tự do, k  k thành phần vec-tơ k x sóng trục x Hàm sóng phụ thuộc thời gian ứng với hạt tự trạng thái dừng có dạng: k2  k (x,t)  Ae i(kx2m t ) (2.21) Trong ta thay giá trị E theo (2.19) Hàm sóng ứng với hạt tự nghiệm phương trình Schrodinger tổng quát có dạng:  ( , )  xt   i(kxt )  ck k ( , ) x t dk  A  ck e dk (2.22)     t 2m U  Với A  điều kiện trực chuẩn hàm riêng thuộc phổ liên tục dạng 2 (2.18) diễn tả dạng bó sóng, tổ hợp tuyến tính sóng phẳng dạng (2.19) với giá trị k khác Hệ số ck biên độ bó sóng xác định từ điều kiện ban đầu  (2.23)  (x, 0)  A c ikx e dk  k  Từ đó: ck  2    (x, 0)e  ikx dx (2.24) CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KHOA HỌC VÀ ĐỜI SỐNG 3.1 Trong y sinh hóa lý (dược động lực học q trình biến đổi hóa chất đơn giản, phát triển dịch bệnh) 3.1.1 Dược động lực học trình biến đổi hóa chất đơn giản  Dược động lực học: Trước y tá tiêm cho uống thuốc, nồng độ thuốc máu bệnh nhân 0.Khi thuốc di chuyển khắp thể chuyển hóa, nồng độ thuốc tăng dần lên Nhưng đạt đến thời điểm nồng độ khơng tăng bắt đầu suy giảm Đây thời kì thuốc phân rã hồn tồn q trình trao đổi chất diễn ra.Theo thời gian, nồng độ thuốc giảm xuống thấp liều lượng định có hiệu cho việc điều trị Như bệnh nhân cần phải tiếp tục uống thuốc theo dẫn bác sĩ Chúng ta lập mơ hình tốn học cho tình phương trình vi phân Nó có phần- phần hấp thụ phần loại bỏ Lúc đầu, hấp thụ (tăng lượng thuốc tập trung) có quyền ưu tiên theo thời gian, phần đào thải hay loại bỏ (giảm nồng độ) yếu tố quan trọng Gọi biến sau:  D liều thuốc dùng  V thể tích phân phối thể  C(t) nồng độ thuốc thời điểm t  F tỉ lệ liều lượng hấp thụ (còn gọi sinh khả dụng)  A tỉ lệ hấp thụ (không đổi)  E tỉ lệ đào thải (không đổi) - Phần hấp thụ: điều phụ thuộc vào số lượng loại thuốc định, tỉ lệ phần hấp thụ tỉ lệ hấp thụ không thay đổi Phần hấp thụ giảm dần theo thời gian Các biểu thức hấp thụ cho A (t) p - Phần đào thải: động lực loại bỏ chịu ảnh hưởng số đào thải, thể tích phân phối thể nồng độ lại thuốc Các biểu cho phần E p (t) Tích số gia nồng độ thuốc thời điểm t thể tích phân phối thể hiệu phần hấp thụ phần đào thải Ap (t)  A.D.F.e  At E p (t)  C(t).E.V Phương trình vi phân sau: dC (t )  Ap (t)  (t) dt Ep Hay V dC (t )  A.D.F.e At  C(t).E.V dt Ví Bệnh nhân tích hấp thụ 15 (uva), tỉ lệ hấp thụ 0,5, sinh khả dụ: dụng F=2, liều dùng thuốc 800 giờ, tỉ lệ đào thải 0,4 - Viết giải phương trình vi phân mơ - Xác định thời điểm cao thấp nồng độ thuốc thể bệnh nhân Giải: - Từ số liệu cho trước ta có: 15 dC (t ) dt  dC(t)  0,5.800.e 0.5t  C(t).0, 4.15   53.3.e0.5t 0, 4.C(t) dt Ta có: 0,4dt 0,4t  (t)  e  e    (t)Q(t)dt   e0,4t 53.3.e0,5t dt  533e 0,1t  C Nghiệm tổng quát: 533.e0,1t  C  533.e 0,5t  C.e0.4t 0,4t e t  0;C(0)   C  533 C(t)  Do đó: C(t)  533.(e 0,5t e 0,4t ) - Để tìm thời điểm nồng độ thuốc cao ta tính đạo hàm C(t) giải phương trình C(t)'  Để tìm thời điểm nồng độ thuốc thấp dựa vào đồ thị C(t) ta tính giới hạn: limC(t)  tt0 Thời điểm cao t thời điểm thấp t (nồng độ khoảng )  Sự chuyển đổi hóa chất đơn giản: Kết thí nghiệm ra, phản ứng hóa học chất A chuyển thành chất khác tốc độ chuyển hóa tỉ lệ với lượng chất khơng bị chuyển hóa x Giả sử lượng chất không bị biến đổi thời điểm t = x Khi lượng x thời điểm t > xác định phương trình vi phân: dx kx dt (3.1) Và điều kiện x  x0 t = Vì lượng x giảm thời gian tăng lên nên số tỉ lệ (3.1) xác định –k Từ (3.1) ta có nghiệm: Từ x  x0 t = ta suy x kt C.e C  x0 Vì ta có: x  x0 e kt Ta giả sử t  30s (3.2) lượng chất ban đầu x0 vừa bị biến đổi Ta xác định lượng chất khơng bị biến đổi lại t  60s lượng chất bị biến đổi lượng chất lại khơng bị biến đổi Do 3 x  x0 t  30 Từ (3.2) ta có: x  x0 e30t Từ ta có k  ln Khi với t đo giây lượng chất khơng 30 Khi bị biến đổi xác định phương trình: x  x0exp( t ln 3) 30 Tại t = 60 thì: x  x exp( 0x 30 60ln 3)  exp(2ln 3) 3.1.2 Sự phát triển dịch bệnh: Phương trình vi phân dùng để dự báo phát triển dân số, vật nuôi, vi khuẩn chịu tác động yếu tố khách quan Hàm số logarit mô tả thành phần tác động thành phần ngăn cản, dùng để dự báo tốc độ phát triển dịch bệnh Gọi N  N(t) số người nhiễm bệnh thời điểm t, P tổng thể người (hằng số), c số phát triển Ta có phương trình vi phân mô sau: dN  cPN  cN dt Giả sử thành phố có 50.000 dân bị lây nhiễm AIDS Virut 100 người nhiễm bệnh lây lan lúc ban đầu thống kê cho thấy có 1000 người mắc bệnh sau 10 tuần - Viết phương trình vi phân mơ tả giải phương trình - Dự báo xem nửa số dân thành phố mắc phải AIDS Giải: - Phương trình vi phân mô tả: dN  50000PN  cN dt Ta có: Hay dN  dt 50000cN  cN dN    dt 50000cN  cN ln N  ln 50000  N  t  C1  50000c 50000 N (t)  1 50000C1 e50000c.t Thay t = 0, N(0) = 100 ta được: 50000  C 1 499 1 50000C1 50000 50000  N (t)  499 1 50000 100   e50000c.t 50000 50000 1 499.e 50000c.t Thay t = 10, N(10) = 1000 ta được: 1000  Khi đó: 50000 1 50000c.t 499.e c  0, 46416.e  c 49 50000 ln( ) 499 5 N (t)  50000 1 499.e0,232080.t - Dự báo xem nửa dân số thành phố mắc pải AIDS Dựa vào hàm N(t), giải phương trình N(t)  25000 Tìm t: 25000  t  26,76924  27 50000 1 0,232080.t 499.e e 0,232080.t  499 tuần 3.2 Trong lý kinh tế (tăng trưởng hàng hóa giá cả) Xét mơ hình kinh tế thị trường hàng hóa định.Giả sử giá P, nguồn cung S nhu cầu D hàng hóa hàm thời gian biến thiên giá tỉ lệ với độ chênh nhu cầu nguồn cung Nghĩa là: dP  k(D  S) dt (3.3) Giả sử số k dương giá tăng nhu cầu vượt q nguồn cung Nhiều mơ hình khác thị trường hàng hóa kết phụ thuộc vào tính chất hàm cung hàm cầu Ví dụ, giả sử: D  c  dP S  a  (3.4) bP Trong a, b, c số dương Ta có phương trình vi phân tuyến tính P: dP  k  (c  a)  (d  (3.5) b)P  dt (3.3) phản ánh xu hướng nhu cầu giảm giá tăng nguồn cung tăng giá tăng.Giả sử  P c để D không âm d Từ (3.4) ta có: dP  k(d  b)P  k(c  (3.6) a) dt Nghiệm tổng quát (3.5) là: P(t)  C1e k (d b)t c a d  b Giả sử t = P  P0 Khi ta có: P 0 C1  c a db Do đó: c C P a d b Vì P(t)  (P  ).e c a db k (d b)t c ad b (3.7) Phương trình (3.7) với giả định (3.3) (3.4) giá ổn định giá trịa c  t lớn d b KẾT LUẬN Trên em trình bày xong tồn khóa luận là: “Một số dạng phương trình vi phân áp dụng để giải tốn vật lý” Trong khóa luận em trình bày số ứng dụng phương trình vi phân vật lý, khoa học đời sống Tuy nhiên thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn khoa để khóa luận em hoàn thiện Qua em xin chân thành cảm ơn cô Nguyễn Thị Phương Lan – giảng viên trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình giúp đỡ hướng dẫn em để em hồn thành tốt khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO 1, Phương pháp tốn lí, Đỗ Đình Thanh, NXB Giáo dục 2, Cơ lý thuyết, Nguyễn Hữu Mình, NXB Đại học Quốc gia 3, Bài tập Vật lí lý thuyết, tập 1, Nguyễn Hữu Mình, NXB Giáo dục năm 1983 4, Tốn cao cấp, tập 3, Nguyễn Đình Trí, NXB Giáo dục 5, Khóa luận “ Một số ứng dụng phương trình vi phân” - Cao Thị Thanh Huệ - Sư phạm Toán – trường ĐHSP Hà Nội 6, http://cohtran.blogspot.com/2012/11/nhung-ung-dung-cua-phuong-trinh-viphan.html 7, Introduction to classical mechanics, David Morin (Sách dịch), ĐHKHTNHN 2013 8, Mathematical Methods for Physics and Engineering, K F Riley, M P Hobson and S J Bence, Cambridge University Press, 2006 ... Một số dạng phương trình vi phân áp dụng để giải toán vật lí để nghiên cứu Khóa luận bao gồm nội dung:  Chương 1: Phương trình vi phân  Chương 2: Áp dụng phương trình vi phân để giải số toán. .. phân - Một số tốn vật lí áp dụng phương trình vi phân Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dạng phương trình vi phân - Nghiên cứu tốn vật lý sử dụng phương trình vi phân để giải Phương pháp nghiên... 3: Một số ứng dụng khoa học đời sống Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu dạng phương trình vi phân - Ứng dụng giải toán vật lí phương trình vi phân Đối tượng nghiên cứu - Các dạng phương trình vi phân