Hệ phương trình hai ẩn I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Bài toán: Giải và biện luận hệ phương trình: 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + =   + =  Cách giải: b1. Tính các đònh thức: 1 1 2 2 a b D a b = ; 1 1 x 2 2 c b D c b = ; 1 1 y 2 2 a c D a c = b2. Ta có: i/. D 0 ≠ : Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x D x D = , y D y D = ii/. ( ) x y D 0 D 0 hoặc D 0 =    ≠ ≠   : Hệ phương trình vô nghiệm iii/. x y D D D 0 = = = : Hệ phương trình có thể vô nghiệm, có thể vô số nghiệm ( nên thay giá trò cụ thể vào hệ phương trình rồi kết luận ) 2. Các ví dụ: VD1: Cho hệ phương trình: x my 3m mx y 2m 1 + =   + = +  (I) 1. Giải và biện luận hệ (I) 2. Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất (x 0 ; y 0 ), tìm các giá trò nguyên của m sao cho x 0 và y 0 là những số nguyên. VD2: Cho hệ phương trình: 2 mx 4y m 4 x (m 3)y 2m 3  + = +  + + = +  1. Với các giá trò nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn điều kiện x y ≥ ? 2. Với các giá trò của m đã tìm được, hãy tìm giá trò nhỏ nhất của tổng x + y. ( ĐH An Ninh 98 ) VD3: Giải và biện luận hệ phương trình (1 sina)x cosa.y cosa cosa.x (1 sina)y sina − + =   + − =  VD4: Tìm các giá trò của b sao cho với mọi a R ∈ thì hệ phương trình có nghiệm Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Page 1 2 x 2ay b ax (1 a)y b + =   + − =  ( ĐH Công Đoàn 98 ) 3. Bài tập làm thêm: B1. Giải và biện luận hệ phương trình 2 3 2 3 (a 1)x (a 1)y a 1 (a 1)x (a 1)y a 1  − + − = −   + + + = +   B2. Cho hệ phương trình mx 2y m 1 2x my 2m 5 + = +   + = +  a). Giải và biện luận hệ phương trình b). Khi hệ có nghiệm (x; y), hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập đối với m. B3. Cho hệ phương trình 2 ax y b x ay c c + =   + = +  a). Giải và biện luận hệ phương trình b). Tìm b sao cho với mọi a, luôn tìm được c để hệ phương trình có nghiệm II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 1. Dạng: f(x;y) 0 g(x;y) 0 =   =  (1), trong đó: f(x;y) và g(x;y) là các biểu thức đối xứng theo x; y 2. Nhận dạng: Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì hệ không đổi. Tức là: f(x;y) 0 g(x;y) 0 =   =  thay x bởi y và thay y bởi x ¬ → f(y;x) 0 g(y;x) 0 =   =  Chẳng hạn: hệ phương trình 2 2 x y xy 11 x y 3(x y) 28 + + =   + + + =  3. Cách giải: b1. Dùng ẩn số phụ: Đặt S = x + y , P = xy. Ta được: F(S;P) 0 G(S;P) 0 =   =  (2) b2. Giải hệ phương trình (2) + Nếu S 0 , P 0 là một nghiệm của hệ (2) thì nghiệm x, y của hệ (1) là nghiệm của hệ 0 0 x y S xy P + =   =  Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Page 2 + Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: t 2 – S 0 .t + P 0 = 0 (3) b3. Kết luận 4. Chú ý: a). Hệ (1) có nghiệm (x; y) ⇔ Hệ (2) có nghiệm (S 0 ; P 0 ) ⇔ 2 S 4P 0 − ≥ b). Nếu 2 0 0 S 4P 0 − > thì phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt 2 0 0 0 1 S S 4P t 2 − − = và 2 0 0 0 2 S S 4P t 2 − + = Khi đó hệ (1) có hai nghiệm tương ứng 1 2 x t y t =   =  và 2 1 x t y t =   =  c). Nếu 2 0 0 S 4P 0 − = thì phương trình (3) có nghiệm kép 0 1 2 S t t 2 = = Khi đó hệ (1) có 1 nghiệm tương ứng 0 S x y 2 = = d). Do tính đối xứng, “ nếu (x 0 ; y 0 ) là một nghiệm của hệ (1) thì (y 0 ; x 0 ) cũng là một nghiệm của hệ (1)” . Do đó: Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm này có dạng (x 0 ; x 0 ) e). Các biểu thức đối xứng thông dụng: ( ) 2 2 2 2 x y x y 2xy S 2P + = + − = − ( ) ( ) 3 3 3 3 x y x y 3xy x y S 3SP + = + − + = − ( ) ( ) 4 4 4 2 2 2 2 x y x y 4xy x y 6x y + = + − + − 4 2 2 S 4P(S 2P) 6P= − − − 4 2 2 S 4S P 2P = − + f). Đôi khi cần đặt điều kiện để hệ phương trình có nghóa ( ẩn ở mẫu ) 5. Các ví dụ: VD1: Giải hệ phương trình 2 2 3 3 x y xy 30 x y 35  + =   + =   ( ĐH Mỏ – Đòa chất 98 ) VD2: Ch hệ phương trình 2 2 x xy y 2m 1 x y xy m(m 1) + + = +   + = +  (I) ( ĐHQG Hà Nội 99 ) 1. Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình (I) luôn luôn có nghiệm 2. Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất. VD3: Tìm các giá trò của a để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm 2 2 2 x y 2(1 a) (x y) 4  + = +   + =   ( ĐH Y Dược TpHCM 98 ) 6. Bài tập làm thêm Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Page 3 B1. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 1 1 x y 5 x y 1 1 x y 9 x y  + + + =     + + + =   ( ĐH Ngoại thương 97, khối D ) B2. Cho hệ phương trình 2 2 2 x y m x y 6 m + =   + = −  ( Báo chí, Tuyên truyền 98, khối D ) 1. Giải hệ phương trình khi m = 1 2. Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm B3. Cho hệ phương trình 2 2 2 x y m 1 x y xy 2m m 3 + = +   + = − −  ( ĐH Su phạm Quy Nhơn 99 ) 1. Giải hệ phương trình với m = 3 2. Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình trên luôn có nghiệm B4. Giải hệ phương trình 2 2 4 2 2 4 x y 5 x x y y 13  + =   − + =   ( ĐH Ngoại thương 98 ) B5. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 1 (x y)(1 ) 5 xy 1 (x y )(1 ) 49 x y  + + =     + + =   ( ĐH Ngoại thương 99, khối A ) B6. Cho hệ phương trình 2 2 x y x y 8 xy(x 1)(y 1) m  + + + =  + + =  ( ĐH Ngoại thương 97, khối A ) 1. Giải hệ phương trình khi m = 12 2. Xác đònh m để hệ phương trình đã cho có nghiệm B7. Giải hệ phương trình 2 2 x y xy 11 x y 3(x y) 28 + + =   + + + =  ( ĐHQGHCM 2000, khối D ) B8. Giải hệ phương trình 2 2 4 4 2 2 x y xy 7 x y x y 21  + + =   + + =   ( ĐH Sưphạm HàNội 2000, khối B ) B9. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2x 2y 3x 3y 6 0 x y xy 19 0  + + + − =   + − =   B10. Giải hệ phương trình 4 4 x y 5 x y 97 + =   + =  Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Page 4 III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 1. Dạng: ( ) ( ) f(x;y) 0 1 f(y;x) 0 2  =   =   2. Nhận dạng: Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại. Ta có: ( ) ( ) thay x bởi y và thay y bởi x f(x;y) 0 1 f(y;x) 0 2= ¬ → = Chẳng hạn: hệ phương trình 2 2 x 2x 3y 0 y 2y 3x 0  − − =   − − =   3. Cách giải: b1. Biến đổi ( ) ( ) f(x;y) 0 1 f(y;x) 0 2  =   =   ⇔ f(x;y) 0 f(x;y) f(y;x) 0 =   − =  ⇔ f(x;y) 0 (x y).g(x;y) 0 =   − =  ⇔ ( ) ( ) x y A f(x;y) 0 g(x;y) 0 B f(x;y) 0  =    =    =    =    b2. Giải hệ phương trình (A) và (B) Chú ý: Có thể biến đổi hệ (B) về hệ phương trình đối xứng loại 1 để giải như sau: ( ) g(x;y) 0 B f(x;y) 0 =   =  ⇔ ( ) g(x;y) 0 C f(x;y) f(y;x) 0 =   + =  ( Hệ (C) là hệ đối xứng loại 1 ) b3. Kết luận 4. Các ví dụ: VD1: Giải hệ phương trình 1 3 2x y x 1 3 2y x y  + =     + =   ( ĐHQG Hà Nội 99, khối B ) Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Page 5 VD2: Cho hệ phương trình 3 2 2 3 2 2 x y 7x mx y x 7y my  = + −   = + −   ( ĐHSưphạm Vinh 99 ) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất VD3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 2 2 xy x m(y 1) xy y m(x 1)  + = −   + = −   ( ĐH Hàng hải 97 ) VD4: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 y 2 3y x x 2 3x y  + =    +  =   ( ĐH khối B 2003 ) 5. Bài tập làm thêm: B1. Giải hệ phương trình 3 3 x 3x 8y y 3y 8x  = +   = +   ( ĐHQG Hà Nội 98 ) B2. Giải hệ phương trình 4y x 3y x 4x y 3x y  − =     − =   ( ĐHQG Hà Nội 97 ) B3. Cho hệ phương trình 2 3 2 2 3 2 y x 4x ax x y 4y ay  = − +   = − +   ( ĐHQG TpHCM 96 ) Xác đònh a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất B4. Giải hệ phương trình 3 3 x 7x 3y y 7y 3x  = +   = +   B5. Cho hệ phương trình 2 2 y (x y) 2m x (y x) 2m  − + =   − + =   1. Giải hệ phương trình khi m = 0 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất B6. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2x 3x y 2 2y 3y x 2  − = −   − = −   ( ĐHQG Hà Nội 2000) Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Page 6 B7. Giải hệ phương trình 2 2 1 2x y y 1 2y x x  = +     = +   ( HV Chính trò 2001 ) B8. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( ) 2 2 x 1 y a y 1 x a  + = +   + = +   ( ĐH Sưphạm HCM 2001 ) B9. Cho hệ phương trình 2 2 xy x m(y 1) xy y m(x 1)  + = −   + = −   ( ĐH Hàng hải 97 ) 1. Giải hệ phương trình khi m = –1 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất B10. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 2 3 2 2 3 2 y x 4x ax x y 4y ay  = − +   = − +   IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 1. Dạng: 1 1 2 2 f (x;y) g (x;y) f (x;y) g (x;y) =   =  (I), với: 1 2 1 2 f (x;y),f (x;y) : hai đa thức đẳng cấp cùng bậc g (x;y),g (x;y) : hai đa thức đẳng cấp cùng bậc      + Đa thức hai biến x và y có dạng: n n 1 n 2 2 n 1 n n n 1 n 2 1 0 P(x;y) a x a x y a x y a xy a y − − − − − = + + + + + L + Trong đó: n là số nguyên dương ( ) n N* ∈ và các hệ số 0 1 n a ,a , .,a không đồng thời bằng 0 được gọi là đa thức dẳng cấp bậc n 2. Cách giải: b1. Giải hệ (I) khi x = 0 b2. Giải hệ (I) khi x 0 ≠ + Đặt y = t.x , ta được: F(x;t) 0 G(x;t) 0 =   =  (II) KHỬ x → h(t) 0 = 0 Giải phương trình t t → = + Thay t = t 0 vào (II), ta có: 0 0 F(x;t ) 0 G(x;t ) 0 =   =  (III) Giải hệ (III) 0 x x → = 0 0 0 Thế t , x tìm y 0 0 0 y t .x → = b3. Kết luận 3. Chú ý: 3.1. Theo cách giải nêu trên, ta có thể giải hệ (I) như sau: b1. Giải hệ (I) khi y = 0 Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Page 7 b2. Giải hệ (I) khi y 0 ≠ . Đặt x = t.y ( làm tương tự như trên ) b3. Kết luận 3.2. Đối với hệ đẳng cấp bậc hai, ta có thêm phương pháp giải như sau: b1. Sử dụng phép biến đổi tương đương, khử y 2 ( hoặc khử x 2 ). Từ đó tính y theo x ( hoặc tính x theo y ) b2. Sử dụng phép thế, ta được phương trình bậc 4 trùng phương. b3. Giải phương trình bậc 4 trùng phương nói trên và kết luận 4. Các ví dụ: VD1: Giải hệ phương trình 3 3 x y 7 xy(x y) 2 ì ï - = ï í ï - = ï ỵ (QGHN 97) VD2: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2y(x y ) 3x x(x y ) 10 ì ï - = ï í ï + = ï ỵ ( Mỏ đòa chất 97 ) VD3: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 x 2xy 3y 9 2x 13xy 15y 0  − + =   − + =   ( ĐH Ngân hàng 2001 ) VD4: Cho hệ phương trình 2 2 2 2 3x 2xy y 11 x 2xy 3y m 17 ì ï + + = ï í ï + + = + ï ỵ (QGHCM 98 ) 1. Giải hệ phương trình khi m = 0 2. Xác đònh m để hệ phương trình có nghiệm 5. Bài tập làm thêm: B1. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 3x 5xy 4y 3 9y 11xy 8x 6  − − = −   + − =   ( ĐH Kiến trúc HCM 95 ) B2. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 x 3y 2xy 9 2x 2xy y 2  + + =   + + =   ( ĐH SưphạmHCM 2000 ) B3. Giải hệ phương trình 2 2 2 3x 2xy 16 x 3xy 2y 8  − =   − − =   ( ĐH Hàng hải 2000 ) B4. Giải hệ phương trình 3 3 2 2 y x 7 2x y 3xy 16  − =   + =   ( ĐH Kiến trúc HàNội 98 ) B5. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 6x xy 2y 56 5x xy y 49  − − =   − − =   Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Page 8 V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC 1. Cách giải: Dùng các phép biến đổi, đưa về hệ phương trình đã biết cách giải. Thường gặp các trường hợp như sau: + Trường hợp 1: Nếu biểu thò được một ẩn theo các ẩn còn lại thì ta dùng phép thế + Trường hợp 2: Nếu biến đổi được một phương trình của hệ thành phương trình tích số thì ta phân tích hệ đã cho thành nhiều hệ đơn giản + Trường hợp 3: Nếu phát hiện trong hệ có những biểu thức đồng dạng thì ta dùng ẩn số phụ 2. Các ví dụ: VD1: Cho hệ phương trình 2 x y m (x 1)y xy m(y 2) ì + = ï ï í ï + + = + ï ỵ ( ĐHQGHCM 97 ) 1. Giải hệ phương trình khi m = 4 2. Tìm m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm VD2: Cho hệ phương trình 2 2 2 2 x y a(x y) x y a x y bxy 3 ì ï - + + = - + ï í ï + + = ï ỵ (HV Kỹ thuật QS 98 ) 1. Giải hệ khi a = b = 1 2. Xác đònh a, b để hệ có nhiều hơn 4 nghiệm phân biệt VD3: Giải hệ phương trình 2 2 xy 3x 2y 16 x y 2x 4y 33 ì - - = ï ï í ï + - - = ï ỵ ( ĐHGTVT 99 ) VD4: Giải hệ phương trình 3 1 1 x y x y 2y x 1  − = −    = +  ( ĐH 2003, khối A ) 3. Bài tập làm thêm: B1. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 x 3x y y 5 2x y 3  + + =   + =   ( ĐH Hồng Đức 99 ) Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Page 9 B2. Giải hệ phương trình 1 9 (x y)(2 ) xy 2 1 5 (x y)(2 ) xy 2  + − =     − + =   B3. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 x y 3x 4y 1 3x 2y 9x 8y 3  + − + =   − − − =   ( ĐH Sưphạm HàNội 99 ) B4. Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 2x y 5(4x y ) 6 2x y 0 1 2x y 3 2x y  + − − + − =   + + =  −  ( ĐH Xâydựng 97 ) B5. Giải hệ phương trình x y z 6 xy yz zx 12 2 2 2 3 x y z   + + =   + + =    + + =   ( ĐH Thủy sản 98 ) B6. Giải hệ phương trình a). 2 2 2x y 5 x y 10 + =   + =  b). 3 3 x y 1 x y 3(x y) + = −   − = −  c). 2 2 2x y 6 x 3xy y 10 − =   − + =  d). 2 2 x y 2 x y 34 − =   + =  e). 2 2 2 2 x 4y 17 x xy 4y 0  + =   − + =   f). 2 2 3(x y) x y xy 2  − = −  =  g). 2 2 x y 2xy 8 2 x y 4  + + =   + =   h). x y y x 30 x x y y 35  + =   + =   B7. Giải hệ phương trình a). 2 2 x y 40 xy z 0 x y 8  + =  − =   + =  b). x y z 9 xy yz zx 27 1 1 1 1 x y z   + + =   + + =    + + =   c). 2 2 2 x y z 13 x y z 61 xy zx 3yz + + =   + + =   + =  B8. Giải và biện luận hệ phương trình a). 2 2 x y m x y 2x 2 + =   − + =  b). 2 2x y m xy 2y 3y − =   + =  B9. Giải hệ phương trình a). 2 2 x 2x y 1 x y 1  − + =   + =   b). 3 x 5y 9 0 2x y 7 0  + + =   − − =   c). 2 2 x 2xy 3y 0 x x y y 2  + − =   + =   d). 2 2 x 2xy 3y 0 x x y y 2  + − =   + = −   Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Page 10 . Giải và biện luận hệ phương trình b). Tìm b sao cho với mọi a, luôn tìm được c để hệ phương trình có nghiệm II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 1. Dạng:. thế, ta được phương trình bậc 4 trùng phương. b3. Giải phương trình bậc 4 trùng phương nói trên và kết luận 4. Các ví dụ: VD1: Giải hệ phương trình 3 3 x