Ôn thi học kỳ II – Lớp 11 ĐỀ SỐ 1 Bài 1: Chứng minh rằng với * n∈ ¥ , ta có các đẳng thức: (3 1) 2 5 8 . 3 1 2 n n n + + + + + − = Bài 2: Cho cấp số nhân (u n ) có 6u 2 + u 5 = 1 và 3u 3 + 2u 4 = - 1. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó. Bài 3: Tính các giới hạn sau 1/ 2 2 3 1 lim 4 1 x x x L x x →+∞ − − = − + 2/ 3 2 5 (2 n) (2 1) = lim 1 4 n M n − + − 3/ 2 2 1 lim 2 1 x x x N x x → − = − − 4/ 2 4 7 lim 3 2 x x x x P x →−∞ + + + = − Bài 4: Định m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1  − − +  =  −  − ≤  2 1 2 2 Õu x > 1 ( ) 1 1 Õu x 1 x x n f x x mx n Bài 5: Tính các đạo hàm sau 1/ 2 ( ) os(2 1)f x c x= + 2/ 2 1 1 x y x   − =  ÷ +   Bài 6: Cho (C) là đồ thị của hàm số 3 2 ( ) 2 1y f x x x x= = − + − . a. Giải bất phương trình '( ) 0f x < . b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại (1; 1)M − Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA⊥(ABCD). Gọi I là trung điểm của cạnh SC a) Chứng minh AI ⊥ BD b) (BID) ⊥ (ABCD) c) Tính diện tích tam giác BID biết SA = AB = a. Bài 8: Chứng minh hàn số 6 6 2 2 sin cos 3sin cosy x x x x= + + có đạo hàm bằng 0 Bài 9: Chứng minh rằng phương trình 3 5 7 0x x− + = có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( ) 3; 2− − . Bài 10: Chứng minh tany x= thỏa mãn hệ thức 2 ' 1 0y y− − = ThS. Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 Trang 1 Ôn thi học kỳ II – Lớp 11 ĐỀ SỐ 2 Bài 1: Chứng minh rằng với * n∈ ¥ , ta có các đẳng thức: ( ) ( ) 2 2 2 2 * 1 2 1 1 2 3 . , 6 n n n n n + + + + + + = ∈ ¥ Bài 2: Tìm bốn số nguyên lập thành một cấp số cộng, biết tổng của bốn số đó bằng 8 và tích của bốn số đó bằng 15 − Bài 3: Tính các giới hạn sau 2 2 1 2 2 lim(2 5 4); lim 2 x x x x x x x + →− → − − + − ( ) 2 lim 5 1 5 x x x →+∞ + − 3 2 3 2 2 2 lim 2 3 2 → − − − − − − x x x x x x x . Bài 4: Cho hàm số ( ) 2 2 2 2 khi x>2 4 x 1 khi x 2  + −  = −   + ≤  x f x x a Tìm a để hàm số ( ) f x liên tục tại điểm 2x = . Bài 5: Tính các đạo hàm sau 1/ 2 1 cos2 1 cos2 x y x +   =  ÷ −   2/ tany x x= Bài 6: Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 4 3 f x x x= − + £ . a) Tìm x sao cho ( ) 0f x ′ < . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) £ biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 2 5 0x y+ − = . Bài 7: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , có cạnh SA a= và SA vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB và SD . a) Chứng minh ( ) BC SAB⊥ và ( ) SC AHK⊥ . b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD . Bài 8: Giải phương trình f’(x) = 0 biết ( ) 3 cos sinx 2 5f x x x= + − − Bài 9: Chứng minh rằng phương trình 3 5 7 0x x− + = có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( ) 3; 2− − . Bài 10: Chứng minh cot 2y x= thỏa mãn hệ thức 2 ' 2 2 0y y+ + = ThS. Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 Trang 2 ễn thi hc k II Lp 11 S 3 Bi 1: Chng minh rng vi * n Ơ , ta cú cỏc ng thc: ( ) 2 2 2 2 4 1 1 3 . (2 1) 3 n n n + + + = Bi 2: Cho (u n ) l cp s cng, cú u 2 + u 5 = 42 v u 4 + u 9 = 66. Hóy tớnh tng 346 s hng u tiờn ca cp s cng ú. Bi 3: Tớnh cỏc gii hn sau 1. 2 1 2 lim 1 x x x x 2. + 4 lim 2 3 12 x x x 3. + 3 7 1 lim 3 x x x 4. + 2 3 1 2 lim 9 x x x Bi 4: 1/ Xột tớnh liờn tc ca hm s sau trờn tp xỏc nh ca nú. + > = + 2 5 6 3 ( ) 3 2 1 3 x x khi x f x x x khi x 2/ Chng minh rng phng trỡnh sau cú ớt nht hai nghim : + + = 3 2 2 5 1 0x x x . Bi 5: 1/ Tỡm o hm ca cỏc hm s sau : a . = + 2 1y x x b . = + 2 3 (2 5) y x c. 2 1 y x x = ữ 2/ Cho hm s = + 1 1 x y x . a. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s ti im cú honh x = - 2. b. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s bit tip tuyn song song vi d : y = 2 2 x . Bi 6: Cho hm s 3 2 1 3 y x x= cú th ( C ). Vit phng trỡnh tip tuyn ca ( C ) i qua A (3;0) Bi 7: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a , SA vuụng gúc vi ỏy , SA = a 2 . 1. Chng minh rng cỏc mt bờn hỡnh chúp l nhng tam giỏc vuụng. 2. CMR (SAC) (SBD) . 3. Tớnh gúc gia SC v mp ( SAB ) . 4. Tớnh gúc gia hai mt phng ( SBD ) v ( ABCD ) . Bi 8: Gii phng trỡnh ' 0y = trong trng hp sau: sin 2 2cosy x x= Bi 9: Chứng minh rằng hàm số 2 2y x x= thoả mãn hệ thức y 3 .y+ 1 = 0. Bi 10: nh a sao cho f(x) = cos2x - a sin 2 x + 2cos 2 x khụng ph thuc x ThS. Phan Ngc Thnh 0914.234.978 Trang 3 Ôn thi học kỳ II – Lớp 11 ĐỀ SỐ 4 Bài 1: Chứng minh rằng với * n∈ ¥ , ta có các đẳng thức: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 4 . (2 ) 3 n n n n + + + + + = Bài 2: Cho cấp số nhân (u n ) có 6u 2 + u 5 = 1 và 3u 3 + 2u 4 = - 1. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó. Bài 3: Tính các giới hạn sau 1 . →−∞ − − + + 2 1 3 lim 2 7 x x x x x 2 . →+ ∞ − − + 3 lim ( 2 5 1) x x x 3 . + → − − 5 2 11 lim 5 x x x 4. → + − + 3 2 0 1 1 lim x x x x . Bài 4: 1/ Cho hàm số 2 4 4 2 2 2 ( ) 1 2 1 2 3 5 1 1 x khi x x f x ax a khi x x x khi x  − − >  −   = + − − ≤ ≤   + + < −    a∈ ¡ 1) Chứng tỏ hàm số f(x) liên tục tại x = 2 với mọi số thực a. 2) Xác định tất cả các số thực a để hàm số f(x) liên tục trên toàn tập xác định. 2/ Chứng minh rằng phương trình : − − − = 2 5 (1 ) 3 1 0m x x luôn có nghiệm với mọi m. Bài 5: 1/ Tìm đạo hàm của các hàm số : a . y = − + − 2 2 2 2 1 x x x b . y = +1 2 tan x . 2/ Cho hàm số y = − + 4 2 3x x ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) . a . Tại điểm có tung độ bằng 3 . b . Vuông góc với d : x - 2y – 3 = 0 . Bài 6: Giải phương trình ' 0y = trong trường hợp sau: 2 cos siny x x= + Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( )SB ABCD⊥ , SB = 3a. Trên cạnh AD lấy điểm M ( ;M A M D≠ ≠ ). 1) Chứng minh rằng: AC SD ⊥ . 2) Xác định và tính góc giữa SA và mp(SBD). 3) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M đồng thời song song với DC và SB. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P). Thiết diện đó là hình gì? Bài 8: Giải phương trình ' 0y = trong trường hợp sau: sin 2 2cosy x x= − Bài 9: Cho f( x ) = − − + = 3 64 60 3 16 0x x x . Giải phương trình f ‘(x) = 0 Bài 10: Chứng minh rằng phương trình x 5 -3x 4 + 5x-2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (-2 ;5 ) ThS. Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 Trang 4 Ôn thi học kỳ II – Lớp 11 ĐỀ SỐ 5 Bài 1: Chứng minh rằng với * n∈ ¥ , ta có các đẳng thức: ( ) 2 2 2 2 4 1 1 3 . (2 1) 3 n n n − + + + − = Bài 2: 1/ Với giá trị nào của a thì dãy số (u n ), với 2 1 n na u n + = + là dãy tăng? Dãy giảm? 2/ Cho cấp số cộng ( ) 4 9 7 10 29 íi 41 n u u u v u u + =   + =  . Tính 20 u và 16 S . Bài 3: Tính các giới hạn sau 1. − + − →−∞ 3 2 lim ( 5 2 3)x x x 2. + →− + + 1 3 2 lim 1 x x x 3. → − + − 2 2 lim 7 3 x x x 4. → + − 3 0 ( 3) 27 lim x x x 5.   − +  ÷ +   3 4 1 lim 2.4 2 n n n n Bài 4: 1/ Cho hàm số:  − >  =  −  ≤  1 1 ( ) 1 3 1 x khi x f x x ax khi x . Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1. 2/ CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: + + = 3 1000 0,1 0x x Bài 5: 1/ Tìm đạo hàm của các hàm số : 1. − + = + 2 2 6 5 2 4 x x y x 2. − + = + 2 2 3 2 1 x x y x 3. + = − sin cos sin cos x x y x x 4. y = sin(cosx) 2/ Cho hàm số y= x 3 -3x +1 a. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm x=2; b. Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 45x - y + 4=0 c. Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= - 1 9 x + 1 d. Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua điểm M( 2 ; 1 3 − ) Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a . a) Chứng minh (SAB) vuông góc (SBC). b) Tính khoảng cách giữa : AD và SC . c) Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(P) Bài 8: Tính ' 6 f π    ÷   biết cos ( ) cos2 x f x x = Bài 9: Cho hàm số: + + = 2 2 2 2 x x y . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’ 2 ĐỀ SỐ 6 ThS. Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 Trang 5 Ôn thi học kỳ II – Lớp 11 Bài 1: Chứng minh rằng với * n∈ ¥ , ta có các đẳng thức: ( ) 2 2 3 3 3 3 * 1 1 2 3 . , 4 n n n n + + + + + = ∈ ¥ Bài 2: 1/ Hãy xét tính tăng – giảm của các dãy số sau 1 1 n n u n + − = 2/ Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau 17 20 2 2 17 20 9 153 − =    + =   u u u u Bài 3: Tính các giới hạn sau a) − + − → 2 3 4 1 lim 1 1 x x x x b) − + →− 2 9 lim 3 3 x x x c) − → + − 2 lim 2 7 3 x x x d) + − →−∞ + 2 2 3 lim 2 1 x x x x e) + →− + + 1 3 2 lim 1 x x x f) − →− + + 1 3 2 lim 1 x x x Bài 4: 1/ Cho hàm số  − − ≠  = −    2 2 khi x 2 ( ) 2 m khi x = 2 x x f x x . a, Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3 b, Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ? c, Tìm m để hàm số liện tục trên tập xác định của nó? 2/ Chứng minh phương trình x 5 -3x 4 + 5x-2= 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (-2 ;5 ) Bài 5: 1/ Tìm đạo hàm của các hàm số : a) = + − + 3 2 3 2 1 3 x y x x b) = − + 2 3 ( 1)( 2)y x x c) ( ) = + 10 3 6y x d) = + 2 2 1 ( 1) y x e) = + 2 2y x x f)   + =  ÷ −   4 2 2 2 1 3 x y x 2/ Cho đường cong (C): 2 2 x y x + = − . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) a) tại điểm có hoành độ bằng 1 b) tại điểm có tung độ bằng 1 3 c) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4 − Bài 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc BAD = 60 0 và SA = SB = SD = a a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) b) Chứng minh tam giác SAC vuông c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) ĐỀ SỐ 7 ThS. Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 Trang 6 Ôn thi học kỳ II – Lớp 11 Bài 1: Chứng minh rằng với * n∈ ¥ , ta có các đẳng thức: 2 1.2 2.5 . .(3 1) ( 1)n n n n+ + + − = + Bài 2: 1/ Chứng minh rằng dãy số (u n ) với 7 5 5 7 n n u n + = + tăng và bị chặn 2/ Cho (u n ) là cấp số cộng tăng, có u 1 3 + u 15 3 = 302094 và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585. Hãy tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó. Bài 3: Tính các giới hạn sau a/. Tìm →− − − + 2 1 2 lim 2 2 x x x x + + + − + 2 1 1 3 3.5 lim 4.5 5.3 n n n n b/ Tính đạo hàm của hàm số: + = − cos sin x x y x x Bài 4: 1/ Cho hàm số: 3 2 5y x x x= + + − có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 5 2009 0x y− + = . 2/ Tìm a, b để hàm số: 2 2 5 6 7 ( 2) ( ) 3 ( 2) x x x f x ax a x  − + ≥  =  + <   liên tục tại x = 2. Bài 5: 1/ Cho f(x) = x 2 sin (x – 2) . Tìm f ‘ (2) 2/ Viết thêm 3 số vào giữa hai số 1 2 và 8 để được câp số cộng có 5 số hạng, tính tổng các số hạng của cấp số cộng đó 3/ CMR phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2x 3 - 10x = 7 Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông cân tại C. AC = a; SA = x. a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC). b) Chứng minh ( ) ( )SAC SBC⊥ . Tính khoảng cách từ A đến (SBC). c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB). d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC Bài 7: Tính các giới hạn 1/ 0 sin5 lim x x x → 2/ 2 0 1 cos3 lim x x x → − 3/ 0 sin 2009 lim sin 2010 x x x → ĐỀ SỐ 8 ThS. Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 Trang 7 Ôn thi học kỳ II – Lớp 11 Bài 1: Chứng minh rằng với * n∈ ¥ , ta có các đẳng thức: 2 * 1 3 5 . (2 1) ,n n n+ + + + − = ∈ ¥ Bài 2: 1/ Chứng minh rằng dãy số (u n ) với 1 1 1 . 1.2 2.3 ( 1). n u n n = + + + − bị chặn trên 2/ Cho cấp số nhân (u n ) có 2 5 3 3 1 3 8 5 5 0 189 u u u u  − =   + =   . Hãy tính tổng của 12 số hạng đầu tiên. Bài 3: Tính các giới hạn sau →+∞ →+∞ − + − − − 2 2 x 3 5 3 1/ lim 2/ lim 2 2 3 x x x x x x 3/ → − − − 5 1 2 lim 5 x x x 4/ →0 sin 3x lim sin 5x x Bài 4: 1/ Cho đường cong (C) = − + 3 2 3 2y x x . Viết phương trình tiếp tuyến của (C): a) Tại điểm có hoành độ bằng 2. b) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng = − + 1 1 3 y x . 2/ Tìm a để hàm số liên tục tại x=1.  − + − ≠  = +   +  3 2 2 2 khi x 1 ( ) 3 3 khi x = 1 x x x f x x a x a 3/ Chứng minh rằng phương trình + − + + = 4 3 2 3 1 0x x x x có nghiệm thuộc −( 1;1) . Bài 5: a) Tính đạo hàm của các hàm số sau: ( ) −   • = + − • = + • =  ÷ −   2 2 2 3 1 sin 1 x x y x x y x x y x x b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số = tany x c) Tính vi phân của hàm số y = sinx . cosx Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ⊥ ( )SA ABCD và = 6SA a . a) Chứng minh : ⊥ ⊥,( ) ( )BD SC SBD SAC . b) Tính d(A,(SBD)) c) Tính góc giữa SC và (ABCD) Bài 7: Cho hàm số 2 4 4 2 2 2 ( ) 1 2 1 2 3 5 1 1 x khi x x f x ax a khi x x x khi x  − − >  −   = + − − ≤ ≤   + + < −    a ∈ ¡ 1) Chứng tỏ hàm số f(x) liên tục tại x = 2 với mọi số thực a. 2) Xác định tất cả các số thực a để hàm số f(x) liên tục trên toàn tập xác định. ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN LỚP 11 - HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2008 – 2009 ThS. Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 Trang 8 Ôn thi học kỳ II – Lớp 11 Thời gian : 120’ ( không kể thời gian phát đề ) Bài 1: 1/ Cho a, b, c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng: (ab + bc + ca) 3 = abc(a + b + c) 3 2/ Tìm số hạng thứ nhất và công sai của cấp số cộng 5 3 2 4 4 . 3 u u u u − = −   = −  Bài 2: Tính các giới hạn sau 1/ + + + − + 2 1 1 3 3.5 lim 4.5 5.3 n n n n 2/ 0 sin 2009 lim sin 2010 x x x → 3/ + − →−∞ + 2 2 3 lim 2 1 x x x x 4/ → − − − 5 1 2 lim 5 x x x 5/ → + − 3 0 ( 3) 27 lim x x x Bài 3: 1/ Cho hàm số  − − ≠  = −    2 2 khi x 2 ( ) 2 m khi x = 2 x x f x x . a, Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3 b, Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ? c, Tìm m để hàm số liện tục trên tập xác định của nó? 2/ Chứng minh phương trình x 5 -3x 4 + 5x-2= 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (-2 ;5 ) Bài 4: Cho đường cong (C ) = − + 3 2 3 2y x x . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) 1/ Tại điểm có tung độ bằng 2. 2/ Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng = − + 1 1 3 y x . Bài 5: Cho hàm số: + + = 2 2 2 2 x x y . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’ 2 Bài 6: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc với mp(ABC), 3SA a= . M là một điểm tùy ý trên cạnh AB, đặt AM = x ( 0 < x < a ), gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. 1/ Thiết diện tạo bởi mp(P) với tứ diện SABC là hình gì? 2/ Tính diện tích của thiết diện đó? 3/ Tìm vị trí của điểm M để diện tích của thiết diện lớn nhất. Bài 7: Chứng minh hàn số 6 6 2 2 sin cos 3sin cosy x x x x= + + có đạo hàm bằng 0 --------------------Hết------------------ ThS. Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 Trang 9 . minh hàn số 6 6 2 2 sin cos 3sin cosy x x x x= + + có đạo hàm bằng 0 -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - Hết -- - -- - -- - -- - -- - -- - ThS. Phan Ngọc Thạnh 0914 .23 4.978 Trang 9. + 3 2 3 2 1 3 x y x x b) = − + 2 3 ( 1)( 2) y x x c) ( ) = + 10 3 6y x d) = + 2 2 1 ( 1) y x e) = + 2 2y x x f)   + =  ÷ −   4 2 2 2 1 3 x y x 2/ Cho