 Tóm Tắt Lý Thuyết Đại Số  CHƯƠNG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC QUY TẮC  Chúng ta biết cách nhân đơn thức với đơn thức, ví dụ: − 3x3 y − 5xy3 = 15x4 y ( )( )  Ta tiếp tục với phép nhân đơn thức sau: 2x với đa thức 4x − , NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC  Vậy, phép nhân đơn thức A với đa thức B1 + B2 minh họa bởi: A(B1 + B2) = A.B1 + A.B2  Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức v ới hạng tử đa thức cộng tích với  Mở rộng: A(B1 + B2 + … + Bn) = A.B1 + A.B2 + … + A.Bn (B1 + B2 + … + Bn)A = B1.A + B2.A + … + Bn.A NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC  QUY TẮC  Ta bắt đầu với phép nhân 2x + y với đa thức 2x – y, sau:  Vậy phép nhân đa thức A1 + A2 với đa thức B1 + B2 minh họa bởi: (A1 + A2)(B1 + B2) = A1.(B1 + B2) + A2.(B1 + B2) = A1.B1 + A1.B2 + A2.B1 + A2.B2  Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng t c đa thức với hạng tử đa thức tích với (tại thơng thường cần thực phép rút gọn)  NHÂN HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP  Để minh họa quy tắc “Nhân hai đa thức biến xếp”, bắt đầu với phép nhân đa thức P = x – 3x + với Q = 2x +  Vậy ta được: P.Q = (x2 – 3x + 2)(2x + 3) = 2x3 – 3x2 – 5x +  Muốn nhân hai đa thức biến xếp, ta trình bày sau:  Đa thức viết đa thức Page of 15  Tóm Tắt Lý Thuyết Đại Số   Kết phép nhân số hạng đa thức thứ hai với đa thức thứ viết riêng dòng  Các đơn thức đồng dạng xếp vào cột  Cộng theo cột  Chúng ta bắt đầu với yêu cầu thực phép tính: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ PHÂN TÍCH THÀNH TÍCH ĐA THỨC  Như hai lần thực phép tính có dạng: (A – B)(A + B) kết thu A – B2, từ nảy sinh câu hỏi: “Tại khơng ghi nhận đẳng thức (A – B)(A + B) = A – B2 để việc tính tốn đơn giản hơn?”  Cụ thể, ta có ngay: (x – 2)(x + 2) = x2 – 22 = x2 – (2x2 – x)(2x2 + x) = (2x2)2 – x2 = 4x4 – x2  HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ  Bình phương tổng: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2  Bình phương hiệu: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2  Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A – B)(A + B)  Lập phương tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3  Lập phương hiệu: (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3  Tổng hai lập phương: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)  Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)  Việc biến đổi: 2x − 16x = 2x.x − 8.2x = 2x ( x − 8) x − y = ( x − y )( x + y ) (1) xy + 2x + 3y + = x ( y + 2) + 3( y + ) = ( y + )( x + 3) (2) (3) gọi phân tích đa thức thành nhân tử  Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thành thừa số) phép biến đổi đa thức cho trước thành tích đ ơn thức đa thức A = A1 A A n Kí hiệu: (4)  Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung – Minh họa (1)  Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức – Minh họa (2) Page of 15  Tóm Tắt Lý Thuyết Đại Số   Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử - Minh họa (3)  Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử  Phương pháp 5: Phân tích đa thức thành nhân tử cách thêm bớt hạng tử thích hợp  Phương pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp  MỞ ĐẦU  Trước tiên cần biết: ≠ “Với hai đa thức A B 0, ta nói A chia hết cho B tìm đa thức C cho A = B.C”  Trong đó, A gọi đa thức bị chia, B gọi đa th ức chia Q gọi đa thức thương, kí hiệu: A Q= Q = A:B B  Ở đây, sử dụng kết bi ết ch ương trình l ớp là: x m : x n = x m −n , ∀x ≠ 0, m, n ∈ N, m ≥ n CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC  Dễ thấy kết mở rộng tự nhiên cho đa thức A sau: A m : A n = A m−n , ∀A ≠ 0, m, n ∈ N, m ≥ n  CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC  Ta bắt đầu với phép chia đơn thức 15x 3y2 cho đơn thức 3xy2 sau:  Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia h ết cho B) ta thực sau:  Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn thức B  Chia lũy thừa A cho lũy thừa biến B  Nhân kết tìm với CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC  Ta bắt đầu với phép tính chia đa thức 3x + 15x2y – 9xy3 cho đơn thức 3x, sau:  Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp h ạng t c Page of 15  Tóm Tắt Lý Thuyết Đại Số  A chia hết cho B) ta chia hạng tử A cho B r ồi c ộng k ết với  PHÉP CHIA HẾT  Để minh họa quy tắc “Chia hai đa thức biến xếp”, sử dụng mẫu:  Bắt đầu với phép chia đa thức P = 3x – 5x – cho đa thức Q = 3x + 1, ta thực theo thứ tự bước 1, 2, 3, 4, 5, sau: PHÉP CHIA HẾT  Nhận thấy, số dư cuối 0, phép chia h ết ta được: (3x2 – 5x – 2) : (3x + 1) = x –  Muốn chia đa thức A cho đa thức B (trường hợp A B đa thức biến xếp) ta thực sau: Bước 1: Đặt phép chia Bước 2: Chia hạng tử bậc cao đa thức bị chia cho h ạng t bậc cao đa thức chia, giả sử nhận thương C1 Bước 3: Lấy C1 nhân với đa thức chia, kết nhận viết đa thức bị chia Thực phép trừ hai đa thức để nhận số dư Bước 4: Đặt vai trò số dư số bị chia, ta quay trở l ại bước cho t ới nhận số dư có bậc nhỏ số chia  PHÉP CHIA CÓ DƯ  Trong trường hợp số dư nhận đa thức khác có bậc nhỏ đa thức chia, ta khẳng định phép chia phép chia có dư  Chú ý: Người ta chứng minh rằng, hai đa thức c ≠ biến tùy ý A B, B 0, tồn hai đa thức Q R cho: A = B.Q + R, với R = bậc R nhỏ bậc B  Với R = 0, ta nói A chia hết cho B ≠  Với R 0, ta nói A khơng chia hết cho B (phép chia có dư) https : //giaidethi24h.net Page of 15 ... phương tổng: (A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3  Lập phương hiệu: (A – B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3  Tổng hai lập phương: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)  Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = (A – B)(A2... + AB + B2)  Việc biến đổi: 2x − 16 x = 2x.x − 8. 2x = 2x ( x − 8) x − y = ( x − y )( x + y ) (1) xy + 2x + 3y + = x ( y + 2) + 3( y + ) = ( y + )( x + 3) (2) (3) gọi phân tích đa thức thành nhân... đa thức P = 3x – 5x – cho đa thức Q = 3x + 1, ta thực theo thứ tự bước 1, 2, 3, 4, 5, sau: PHÉP CHIA HẾT  Nhận thấy, số dư cuối 0, phép chia h ết ta được: (3x2 – 5x – 2) : (3x + 1) = x –  Muốn