Một số phơng pháp giải toán cực trị Mở đầu I - Cơ Sở th c tiễn Bất kể một lĩnh vực nào trong cuộc sống cũng có những yếu tố vợt trội, những cá nhân điển hình hay những thành tích cao nhất hay một kỷ lục nào đó mà không ai vợt qua đó là cái "nhất".Trong toán học cũng vậy trong mỗi lĩnh vực lại có những đại lợng "lớn nhất" hay "hỏ nhất" ngời ta thờng gọi là các bài toán cực trị, các bài toán này rất phổ biến trong các đề thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các trờng Cao đẳng, Đại học cũng nh các đề thi học sinh giỏi ở nhiều năm Nội dung các bài toán cực trị rất phong phú đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ. ở bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã đợc làm quen với loại toán này với dạng chuyên đề. Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm một số đồng nghiệp thì thấy nó cũng không dễ dàng với học sinh. Với những lí do nh vậy tôi đã tìm hiểu xây dựng đề tài Một số phơng pháp giải toán cực trị. Với mong muốn đợc trình bày một vài kinh nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong đợc sự đóng góp chân thành để đề tài đợc phát huy hiệu quả. II - Nhiệm vụ của sáng kiến: 1/ Đối tợng và phơng pháp nghiên cứu: - Đối tợng nghiên cứu: Học sinh THCS (chủ yếu là học sinh lớp 8, 9) - Phơng pháp nghiên cứu: + Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh. + Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dỡng học sinh giỏi toán lớp 8, 9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện. + Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy chuyên đề. 1 Một số phơng pháp giải toán cực trị + Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp 2/ Nhiệm vụ của sáng kiến: - Đa ra những kiến thức cơ bản nhất của giá trị cực trị, chỉ ra đợc sai lầm thờng mắc phải. - Đề xuất một số phơng pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải. - Lựa chọn phơng pháp giải hợp lý. Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dới dạng đặc thù riêng lẻ. Mặt khác, cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy đợc khả năng t duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo đợc lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với bài toán cực trị. III - Nội dung sáng kiến: Chơng I: Một số kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Những sai lầm thờng mắc phải khi giải toán cực trị. Chơng II: Một số phơng pháp tìm cực trị 1/ Phơng pháp tam thức bậc hai 2/ Phơng pháp miền giá trị 3/ Phơng pháp bất đẳng thức. 2 Một số phơng pháp giải toán cực trị Chơng I: Kiến thức cơ bản I - Định nghĩa: 1/ Định nghĩa 1: Cho biểu thức , .),( yxf xác định trên miền D , ta nói M là giá trị lớn nhất của , .),( yxf trên D nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn: i) Với ., yx thuộc D thì Myxf , .),( với M là hằng số. ii) Tồn tại ., 00 yx thuộc D sao cho Myxf = , .),( 2/ Định nghĩa 2: Cho biểu thức , .),( yxf xác định trên miền D , ta nói m là giá trị nhỏ nhất của , .),( yxf trên D nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn: i) Với mọi ., yx thuộc D thì myxf , .),( với m là hằng số. ii) Tồn tại ., 00 yx thuộc D sao cho myxf = , .),( . Chú ý: Để tranh sai lầm thờng mắc phải khi làm loại bài toán này, ta cần nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa: Rèn những phản xạ sau: + Chứng tỏ Myxf , .),( hoặc myxf , .),( ) với mọi , ., yx thuộc D + Chỉ ra sự tồn tại ., 00 yx thuộc D để , .),( yxf đạt cực trị. Chú y đến miền giá trị của biến. Ta ký hiệu MaxA là giá trị lớn nhất của MinAA, là giá trị nhỏ nhất của A II - Một số tính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 1/ Tính chất 1: Giả sử BA khi đó ta có: a/ )(max)( xfxfMax BxAx b/ )(min)( xfxfMin Bx Ax 3 Một số phơng pháp giải toán cực trị 2/ Tính chất 2: Nếu 0),( yxf với mọi x thuộc D , ta có: a/ )(max)( 2 xfxfMax DxDx = )(min)( 2 xfxfMin Dx Dx = 3/ Tính chất 3: )()())()(/ 21 xfMaxxfMaxxgxfMaxa DxDxDx ++ )1( )()())()(/ 21 xfMinxfMinxgxfMinb DxDxDx ++ )2( Dấu bằng trong )1( xẩy ra khi có ít nhất một điểm 0 x mà tại đó )(xf và )(xg cùng đạt giá trị lớn nhất. Tơng tự nếu tồn tại 0 x thuộc D mà tại đó gf , cùng đạt giá trị nhỏ nhất thì )2( có dấu bằng. 4/ Tính chất 4: ))((min)( 1 xfxfMax Dx Dx = 5/ Tính chất 5: Nếu đặt )(xfMaxM Dx = , )(min xfm Dx = thì { } mMMaxxfMax DxDx ,)( = . 6/ Tính chất 6: Giả sử { } 0)(; 1 = xfDxD và { } 0)(; 2 = xfDxD thì { } )(min);(max)( 2 1 xfxfMinxfMin Dx DxDx = Khi dạy phần này, giáo viên nên hớng dẫn học sinh chứng minh các tính chất (dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức và tránh đợc sai lầm khi vận dụng giải bài tập. Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ cũng phải tìm TXĐ. Cùng một hàm số )(xf nhng xét trên hai TXĐ khác nhau thì nói chung giá trị lớn nhất tơng ứng khác nhau. Để cho phù hợp với chơng trình các lớp phổ thông cơ sở, ta giả thiết là các bài toán đang xét đều tồn tại giá trị cực trị trên một tập hợp nào đó. 4 Một số phơng pháp giải toán cực trị III - Những sai lầm thờng gặp khi giải toán cực trị: 1/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 544 3 2 + = xx A Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Ta có: xxxx +=+ ,44)12(544 22 x xx + , 4 3 544 3 2 2 1 4 3 == xAMax Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhng khi khẳng định A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất mà cha đa ra nhận xét tử mẫu là các số dơng. Ta đa ra một ví dụ: Xét biểu thức 4 1 2 = x B Với lập luận phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất do mẫu nhỏ nhất bằng 4 khi 0 = x , ta sẽ đi đến: 4 1 max = B không phải là giá trị lớn nhất của B , chẳng hạn với 3 = x thì 4 1 5 1 . Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên. Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 44)12(544 22 +=+ xxx nên tử và mẫu của A là các số dơng. Hoặc từ nhận xét trên suy ra 0 > A , do đó A lớn nhất khi và chỉ khi A 1 nhỏ nhất 544 2 + xx nhỏ nhất. Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: 22 yxA += biết 4 =+ yx Lời giải sai: Ta có: xyyxA 2 22 += Do đó A nhỏ nhất xyyx 2 22 =+ 2 == yx Khi đó 822 22 =+= MinA 5 Một số phơng pháp giải toán cực trị Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhng lập luận mắc sai lầm. Ta mới chứng minh đợc ),(),( yxgyxf , chứ cha chứng minh đợc myxf ),( với m là hằng số. Ta đa ra một vị dụ: Với lập luận nh trên, từ bất đẳng thức đúng 44 2 xx sẽ suy ra: 2 x nhỏ nhất 20)2(44 22 === xxxx . Dẫn đến: 24 2 == xMinx Dễ thấy kết quả đúng phải là: min 00 2 == xx Cách giải đúng: Ta có: 1624)( 2222 =++=+ yxyxyx )1( Ta lại có: 020)( 222 + yxyxyx )2( Từ )1( , )2( : 816)(2 2222 ++ yxyx Vậy 28 === yxMinA 2/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2: VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: xxA += Lời giải sai: 4 1 2 1 4 1 4 1 2 += ++=+= xxxxxA Vậy 4 1 = MinA Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh , 4 1 )( xf cha chỉ ra trờng hợp xẩy ra dấu đẳng thức . 4 1 )( xf Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi , 2 1 = x vô lý. Lời giải đúng: Để tồn tại x phải có 0 x Do đó 0 += xxA Min 00 == xA VD2: Tìm giá trị lớn nhất của: ))(()( xzxyyxxyzA +++= Với 0,, zyx và 1 =++ zyx 6 Một số phơng pháp giải toán cực trị Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 2 )(4 baab + 1)()(4 2 =+++ zyxzyx 1)()(4 2 =+++ xzyxzx 1)()(4 2 =+++ yxzyxx Nhân từng vế (do hai vế đều không âm) 1)))((64 +++ xzxyyxxyz 64 1 = MaxA Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ cha chỉ ra đợc trờng hợp xẩy ra dấu đẳng thức. Điều kiện để 64 1 = A là: Cách giải đúng: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 3 .31 xyzzyx ++= )1( 3 ))()((.3)()()(2 xzzyyxxzzyyx ++++++++= )2( Nhân từng vế )1( với )2( do 2 vế đều không âm) 3 3 9 2 .92 AA 3 1 9 2 3 === = zyxMaxA 7 =++ =+ =+ =+ 0,, 1 zyx zyx yxz xzy zyx =++ === 0,, 1 0 zyx zyx zyx mâu thuẩn Một số phơng pháp giải toán cực trị Chơng II: một số phơng pháp tìm cực trị 1/ Phơng pháp tam thức bậc hai I - Nội dung: Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai về dạng bình phơng một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do. II - Các ví dụ: Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai 1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của 18 2 += xxA 2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của 142 2 += xxB 3/ Tìm giá trị nếu có của 143 2 += xxC 4/ Cho tam thức bậc hai cbxaxP =+= 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu 0 > a Tìm giá trị lớn nhất của P nếu 0 < a HD giải: Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai. 1/ 1515)4(18 22 =+= xxxA 415min == xA 2/ 11)1(2142 22 =+= xxxB 11min == xB 3/ 3 7 3 7 3 2 3143 2 2 + =+= xxxC 3 2 3 7 max == xC 4/ c acb a b xa a c x a b xacbxaxP 4 4 2 2 2 22 = ++=++= 8 Một số phơng pháp giải toán cực trị + Nếu a b x a acb Pa 24 4 min:0 2 = => + Nếu a b x a acb Pa 24 4 max:0 2 = =< Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao: VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của 22 )1( ++= xxA HD: )1( 2 ++ xxMinMinA Bài toán trên là dạng đặc biệt của bài toán sau: [ ] )()( 2 NkxfB k = VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của )7)(4)(3( = xxxxC HD: Dùng phơng pháp đổi biến. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là hằng số, có mẫu là tam thức bậc hai. VD: Tìm giá trị lớn nhất của 544 3 2 + = xx M Dạng này phải chú ý đến dấu của tử thức. Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là bình phơng nhị thức: VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 )1( 1 + ++ = x xx P HD: 2 )1( 1 1 1 1 + + + = x x P Đặt , 1 1 + = x y có 4 3 4 3 2 1 1 2 2 + =+= yyyP 1 2 1 4 3 === xyMinP 9 Một số phơng pháp giải toán cực trị Cách 2: Viết N dới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm: 4 3 1(2 1 4 3 )1(4 444 2 2 2 + += + + = x x x xx P 1 4 3 == xMinP Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức quan hệ giữa các biến: VD: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 3 yxxyA = Biết yx, là nghiệm của phơng trình: 1025 =+ yx Giải: Ta có: 2 510 1025 x yyx ==+ )10016059( 4 1 2 += xxA 25 59 160 4 59 2 += x 25 3481 6400 59 80 4 59 2 + = x 25 59 1600 59 80 4 59 2 + = x 59 125 59 80 4 59 59 125 2 = xA Vậy = = = 59 95 59 80 59 125 max y x A 10 [...]... 3 Côsi với 5 2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: (1;1); (3 x; số x 1 không âm: y = 3x + 2 9 x 2 HD: áp dụng bất đẳng thức Bunhia với với 2 9 x 2 ) 3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =5 1 4 x 1 4/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: N = x +x 1 5/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a/ A= b/ x 2 2 x +1 + x 2 6 x + 9 B= x +9 6 x + x +1 2 x IV - Tiểu kết: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đối... pháp giải toán cực trị Mở rộng: Từ bài toán trên ta có thể ra các bài toán sau: 1/ Tìm miền giá trị của hàm số: y = x + x 2 + + + x 2004 1 2/ Chứng minh bất đẳng thức: y = x 1 + x 2 + + x 2004 10 6 3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x + x 2 + + x 2002 1 III - Bài tập tự giải: 1/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: HD: áp dụng 1 x 1 x 1+ x 1+ x 1+ x ; ; ; ; 2 2 3 3 3 bất đẳng thức A = (1 ... giải toán cực trị III - Một số bài tập tự giải: 1/ Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức sau: 2 a/ A = 4 x 20 x + 35 2 b/ B = 2 x + 3x + 1 2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: a/ A = ( x 1)( x 2( x 3)( x 5) P = 2x 2 + 5 y 2 B = x 2 2x + y 2 + 4 y + 5 ã y = 7 3 với Q = a 3 + b 3 + ab b/ với a + b = 1 IV - Tiểu kết: Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phơng pháp tam thức bậc... nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) M , x D M = Maxf (x) fx(0x) DM: f,(xx0 = DM m = Min f (x) x0 D : f ( x0 = m 13 Một số phơng pháp giải toán cực trị Nh vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) trên miền D nào đó, ta tiến hành theo hai bớc: + Chứng minh một bất đẳng thức + Tìm x 0 D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức tìm đợc trở thành đẳng thức Nếu... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Ta có: Giải: A = x + x x + x = 2 3 2 3 1 MinA = 1 ( x 2)(3 x) 0 x 3 Chú ý: Giải bài toán linh hoạt khi biến đổi x 3 = 3 x để áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Cách khác: Xét khoảng giá trị của x VD4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x + x 2 + + x 2000 1 a +b a + b Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức: với 1000 cặp giá trị tuyệt... x +1 2/ Tìm điều kiện để phơng trình sau có nghiệm (vô nghiệm): x2 x +1 m =0 x2 + x +1 3/ Cho phơng trình: ( 3m x1 , x 2 Tìm giá trị 2 + 2m + 1) x 2 ( 2m 2 + 10m + 3) x 1 = 0 lớn nhất của tổng có 2 nghiệm x1 + x 2 III - Bài tập tự giải: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau: a/ y = x2 + x + 1 x2 + 1 b/ y = x2 + x + 1 x2 + 1 IV - tiểu kết: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một... những biểu thức có thể đa về hàm số bằng phơng pháp miền giá trị thờng đợc đa về phơng trình và tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm Phơng pháp này có u điểm là tìm cực trị thông qua việc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm, thông qua việc này giúp cho học sinh rèn kỹ năng giải phơng trình 3/ Phơng pháp sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc 1/ Nôi dung phơng pháp: Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị. .. bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị Rèn kỹ năng giải toán, đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai 2/ Phơng pháp miền giá trị của hàm số: I - Nội dung phơng pháp: Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số x D Gọi y0 f ( x ) với là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ... pháp giải toán cực trị Kết quả áp dụng Quá trình nghiên cứu, trực tiếp giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi, phần chuyên đề Toán cực trị đã phát huy tính tích cực sáng tạo của học sinh - học sinh không còn cảm thấy ngại mà ngợc lại còn rất hứng thú khi gặp những bài toán về cực trị Kết quả thể hiện nh sau: Khi cha áp dụng: Đối với 9B năm học 2006 - 2007 số học sinh đạt điểm giỏi môn toán của 9B chỉ đạt... thì n( a1b1 + a 2 b2 a n bn ) (a1 + a 2 + a n ).(b1 + b2 + bn ) Dấu bằng xẩy ra ai = a j hoặc bi = b j ; a i , b j tuỳ ý III - Các ví dụ: VD1: Cho biểu thức xy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x4 + y4 + z 4 Giải áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpsxki đối với ( x, y , z ) và ( y , z , x ) 1 = ( xy + yz + zx) 2 ( x 2 + y 2 + z 2 )( y 2 + z 2 + x 2 ) 1 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 Mặt . )92;3();1;1( 2 xx 3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1415 = xM 4/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 += xxN 5/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a/ 9612. Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức quan hệ giữa các biến: VD: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 3 yxxyA = Biết yx, là nghiệm của