Các yêu cầu cơ bản của một hệ tiên đề Có nhiều cách khác nhau để lựa chọn các khái niệm cơ bản và các tiên đề, vì vậy một môn học có thể có nhiều hệ tiên đề khác nhau. Để có thể đóng vai trò nền tảng cho một môn học, mỗi hệ tiên đề cần thoả mãn các hệ tiên đề sau: 1. Tính phi mâu thuẫn Một hệ tiên đề được gọi là phi mâu thuẫn nếu từ hệ tiên đề đó không thể suy ra hai kết quả trái ngược nhau. Nếu một hệ tiên đề có mâu thuẫn thì không thể phân biệt được đúng, sai và lý thuyết dựa trên hệ tiên đề đó trở nên vô nghĩa. Vì vậy, tính phi mâu thuẫn là yêu cầu cơ bản nhất của một hệ tiên đề. 2. Tính độc lập Một hệ tiên đề được gọi là độc lập nếu mỗi tiên đề của hệ không thể chứng minh nhờ các tiên đề còn lại. Như vậy, với yêu cầu này, một hệ tiên đề độc lập là hệ tiên đề mà không thể rút bớt một tiên đề nào, đó là số tối thiểu các khẳng định phải thừa nhận. 3. Tính đầy đủ Một hệ tiên đề được gọi là đầy đủ nếu mọi khẳng định của môn học đều được suy diễn từ nó. Tính phi mẫu thuẫn là yêu cầu bắt buộc của một hệ tiên đề, còn hai yêu cầu tính độc lập và tính đầy đủ trong thực tiễn đôi khi vẫn được châm chước. Chẳng hạn, một hệ tiên đề không độc lập vẫn được dùng cho một lý thuyết nhằm giảm bớt quá trình suy diễn và do đó giúp người học sớm tiếp cận những kiến thức tinh tế của môn học. Sự không mâu thuẫn của một hệ tiên đề Để chứng minh sự không mâu thuẫn của một hệ tiên đề, căn bản không có phương pháp nào khác ngoài phương pháp mô hình. Một hệ tiên đề không mâu thuẫn nếu nó có một mô hình tức là nó có một sự thể hiện của một tập hợp đối tượng trong thực tế và do đó nó có một nội dung rất cụ thể. Một hệ tiên đề mâu thuẫn sẽ không có giá trị gì hết vì từ đó ta có thể suy ra mọi cái đều đúng và đều sai. Vì vậy muốn xây dựng một lí thuyết khoa học nào đó người ta phải quan tâm trước hết tới điều kiện không mâu thuẫn của lí thuyết đó vì đây là điều kiện quan trọng nhất quyết định sự tồn tại của lí thuyết đó. Vấn đề lựa chọn hệ tiên đề Hệ tiên đề không gian véctơ có phải là một hệ tiên đề có tính độc lập hay không? Đây là hệ tiên đề không độc lập. Chúng ta có thể chứng minh được rằng tiên đề thứ tư (tiên đề về tính chất giao hoán của phép cộng véctơ) có thể được chứng minh nhờ các tiên đề còn lại. Vậy tại sao khi xây dựng không gian véctơ người ta vẫn để tiên đề thứ tư này? Một hệ tiên đề không độc lập đôi khi vẫn được châm chước nhằm giảm bớt quá trình suy diễn không cần thiết. Ví dụ ở tiên đề 4 trong hệ tiên đề về không gian véctơ vẫn được dùng để người học có thể dễ dàng nhận thấy cấu trúc đại số của tập các véctơ V với phép công các véctơ là một nhóm Abel. Có người lầm tưởng cho rằng người ta không chứng minh các tiên đề là vì chúng quá hiển nhiên hoặc quá đơn giản. Trước hết chúng ta thấy rằng sự hiển nhiên và đơn giản gắn với trực giác của con người mà những hiểu biết thông qua trực giác chỉ cho chúng ta biết được cái bề ngoài của sự vật mà thôi. Thực tế đã chứng tỏ rằng nếu không có lí luận khoa học thì có nhiều khi chúng ta bị cái bề ngoài đánh lừa mặc dầu cái bề ngoài này cũng mang lại cho chúng ta một số hiểu biết nào đó. Ví dụ nếu dựa vào sự quan sát được địa hình xung quanh, thì chúng ta có thể cho rằng mặt đất là bằng phẳng và không thể cong như bề mặt của một mặt cầu được. Trước Côpécnic người ta cho rằng mặt trời xoay quanh quả đất cũng chỉ vì dựa vào trực giác và con người lúc bấy giờ đã căn cứ vào điều quan sát được hàng ngày mà rút ra kết luận đó. Hơn nữa, phân tích kĩ thì ta thấy rằng sự hiển nhiên và đơn giản còn mang nặng tính chất chủ quan đối với từng người vì một sự việc có thể hiển nhiên đối với người này mà không hiển nhiên đối với người khác, hoặc cùng đối với một người thì hôm nay sự việc đó chưa hiển nhiên nhưng ngày mai trở thành hiển nhiên. Do đó không thể lấy "hiển nhiên và đơn giản" làm tiêu chuẩn để lựa chọn chân lý vì chân lý phải mang tính chất khách quan, khoa học, nằm ngoài ý muốn chủ quan của con người. Cần phải quan niệm rằng tiên đề là những mệnh đề mà tính đúng đắn của nó được công nhận để làm xuất phát điểm cho việc suy diễn lôgíc. Khi ta chứng minh một mệnh đề nào đó tức là ta làm rõ sự liên hệ lôgíc giữa mệnh đề đó với hệ tiên đề. Vì vậy trong việc lựa chọn hệ tiên đề, cần phải coi trọng việc phản ảnh được một cách đầy đủ đúng đắn của thực tế khách quan trong hệ tiên đề đó. Tất nhiên việc lựa chọn hệ tiên đề càng đơn giản cảng hiển nhiên thì càng tốt vì việc này cũng giúp cho việc nhận thức các chân lý khoa học được dễ dàng và thuận tiện hơn. Tóm lại, muốn lựa chọn được một hệ tiên đề hoàn chỉnh và thích hợp đảm bảo được các yêu cầu cần thiết là một việc làm không đơn giản mà cần phải có một quá trình tìm tòi, chọn lọc, nghiên cứu kĩ lưỡng và phải thông qua nhiều thử thách trong thực tiễn. . Các yêu cầu cơ bản của một hệ tiên đề Có nhiều cách khác nhau để lựa chọn các khái niệm cơ bản và các tiên đề, vì vậy một môn học có thể có nhiều hệ tiên. mỗi tiên đề của hệ không thể chứng minh nhờ các tiên đề còn lại. Như vậy, với yêu cầu này, một hệ tiên đề độc lập là hệ tiên đề mà không thể rút bớt một tiên