Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức 1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ:  Căn bậc hai số thực a số thực x cho x  a  Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu số thực khơng âm x mà bình phương a : a  x      ax x  a   Với hai số thực khơng âm a, b ta có:  Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: A0 A + A2  A   A0  A + a a  b ab A2 B  A B  A B với A, B  ; A2 B  A B   A B với A  0; B  + + A  B A.B  B2 A.B với AB  0, B  B M M A với A  ;(Đây gọi phép khử thức mẫu)  A A   M A B M  với A, B  0, A  B (Đây gọi phép A B A B trục thức mẫu) + 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n 1.2.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  Căn bậc số a kí hiệu  Cho a  R; a  x  x3   Mỗi số thực a có bậc  Nếu a  a   Nếu a  a   Nếu a  a   a  a 3a với b   b 3b  ab  a b với a, b  ab a  b  A B  A3 B    3 A  B A  B 3 3 a số x cho x  a a AB với B  B A B3  A3 B AB  B với A   B A B A2 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n Cho số a  R, n  N ; n  Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a  Trường hợp n số lẻ: n  2k  1, k  N Mọi số thực a có bậc lẻ nhất: k 1 a  x  x k 1  a , a  k 1 a  , a  a  , a  k 1 a  Trường hợp n số chẵn: n  2k , k  N k 1  Mọi số thực a  có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi bậc 2k số học a ) Căn bậc chẵn âm kí hiệu  2k a , 2k a  x  x  x 2k  a ; 2 k a  x  x  x 2k  a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Mọi số thực a  bậc chẵn Một số ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích biểu thức sau thành tích: a) P  x  b) P  x3  3 c) P  x  x  Lời giải:    x  a) P   x   x    x  x   x   b) P   x       2x    3x  c) P   x  1  x   x  x  1 x  x  1 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) A  x  x  x  x  b) B  x  x   x  x  x  c) C     10  Lời giải: 1  a) A  x  x  x   x   x    x  2  + Nếu x 1  x  + Nếu x 1   x  x x 1  x   A 2 x 1  x  A2 x 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) B  4x  4x 1  4x  4x 1  4x 1  4x 1   4x 1  4x 1  Hay B      4x 1 1   4x 1   4x 1 1  4x 1 1 4x 1 1  4x 1  + Nếu 4x 1 1   4x 1   x  x    x   suy B  x  + Nếu 4x 1 1   4x 1   1  x  4 x     x   suy B   c) Để ý rằng:      74  2 Suy C     10(2  3)    28  10  9 5 5   Hay C    5(5  3)   25     Ví dụ 3) Chứng minh: a) A     số nguyên 84 84 số nguyên ( Trích đề TS vào lớp  1 9 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006) b) B   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word c) Chứng minh rằng: x  a  a a  8a  a  8a   a với 3 3 số tự nhiên  d) Tính x  y biết x  x  2015  y   y  2015  2015 Lời giải: a) Dễ thấy A  0, Tacó A   72  72          14  2.5  Suy A  2 b) Áp dụng đẳng thức:  u  v   u  v3  3uv  u  v  Ta có: 3   84 84  84 84 84 84    1  B3     1 1  3  1   9  9 9       84 84   1  Hay  1  9     84  84  84 3 B   3 1     B  B   3  B  B   B  B  B     81  1    B  1  B  B    mà B  B    B     suy B  2  Vậy B số nguyên 2 c) Áp dụng đẳng thức:  u  v   u  v3  3uv  u  v  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta có x3  2a  1  2a  x  x3   2a  1 x  2a    x  1  x  x  2a   Xét đa thức bậc hai x  x  2a với    8a  + Khi a  1 ta có x    8 + Khi a  , ta có    8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x  Vậy với a  a  8a  a  8a  1  a  ta có: x  a  3 3 số tự nhiên d) Nhận xét:  x  2015  x   x  2015  x  x  2015  x  2015 Kết hợp với giả thiết ta suy x  2015  x  y  2015  y  y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y  x  y  Ví dụ 4) a) Cho x   10    10  Tính giá trị biểu thức: P x  x3  x  x  12 x  x  12 b) Cho x   Tính giá trị biểu thức B  x  x  x  3x  1942 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016) c) Cho x    Tính giá trị biểu thức: P  x  x  x  x  x  2015 Giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) Ta có:   x    10    10      10   10     x2        1  8   1      1  x   Từ ta suy  x  1   x  x  x Ta biến đổi: P   x    x  x   12 x  x  12 42  3.4  12  1  12 b) Ta có x     x  1   x3  3x  3x   Ta biến đổi biểu thức P thành: P  x ( x3  3x  3x  3)  x  x3  3x  3x  3   x3  3x  3x  3  1945  1945 c) Để ý rằng: x  22   ta nhân thêm vế với  để tận dụng đẳng thức: a3  b3   a  b   a  ab  b  Khi ta có:   1    1    1 x   x  x   x  1 x  3 3 3   x  1  x3  3x  3x   Ta biến đổi: P  x5  x  x3  x  x  2015   x  x  1 x3  3x  3x  1  2016  2016 Ví dụ 5) Cho x, y, z  xy  yz  zx  a) Tính giá trị biểu thức: 1  y 1  z   y 1  z 1  x   z 1  x 1  y  Px  x2 b) Chứng minh rằng: 2 2 1 y2 x y z    2 1 x 1 y 1 z2 1 z2 xy 1  x 1  y 1  z  2 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) Để ý rằng:  x  x  xy  yz  zx  ( x  y)( x  z ) Tương tự  y ;1  z ta có: 1  y 1  z   x  y  x  y  z  z  x  z  y   x y  z   x  x  y  x  z   x2 Suy P  x  y  z   y  z  x   z  x  y    xy  yz  zx   b) Tương tự câu a) Ta có: x y z x y z      2 1 x 1 y 1 z  x  y  x  z   x  y  y  z   z  y  z  x   x  y  z  y  z  x  z  x  y xy    x  y  y  z  z  x   x  y  y  z  z  x  xy 1  x 1  y 1  z  2 Ví dụ 6) a) Tìm x1 , x2 , , xn thỏa mãn: x12  12  x2  22   n xn  n   x1  x22   xn2  4n  n  với n nguyên dương Tính 2n   n  f (1)  f (2)   f (40) b) Cho f (n)  Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với:    x12  12    x2  22     xn  n  n  0 Hay x1  2, x2  2.22 , , xn  2.n2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  x  y  4n  b) Đặt x  2n  1, y  2n    xy  4n   x2  y   Suy  x  xy  y x3  y 3 f ( n)     x  y3    2n  1  x y x y 2 Áp dụng vào tốn ta có: f 1  f     f  40    33  13  53  33     813  13  364        2n  1    813  793   Ví dụ 7) 1     Đề thi 1 3 79  80 a) Chứng minh rằng: chuyên ĐHSP 2011 b) Chứng minh rằng: 1 1        1   2 3 n n 1 n 1   1 1       n  với n số nguyên dương n  c) Chứng minh: n   Lời giải: 1 ,    1 3 79  80 1 B    2 4 80  81 a) Xét A  Dễ thấy A  B Ta có A  B  1 1      1 2 3 79  80 80  81 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Mặt khác ta có: Suy A  B  k  k 1     2    k 1  k k 1  k        k 1  k   k 1  k  81  80  81   Do A  B suy A  A  B   A  b) Để ý rằng: 1 1 với    k k 1 2k k  k (k  1) k   k   k nguyên dương Suy   1       VT  1          1     2 2  3 n 1  n 1    n  c) Đặt P  Ta có: 1 1      n n  n 1  2 với số tự nhiên n    n n n  n 1 Từ suy    2   2 n 1  n n n  n 1 n 1  n   n  n 1 n n 1  n    T     Do đó:      n  n  hay         n   n   T  1       n  n     2  Hay n   T  n  Ví dụ 8) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 10 Câu 15 (Đề thi năm 2014 – 2015 chun Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)  x 7  x 3 Cho biểu thức A    x   x   x  x   : x 10 x    x  0, x   1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Câu 16 (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội) 1) Tính giá trị biểu thức A  x 1 , x  x 1  x 1  x2 2) Cho biểu thức P   với x  x    x   x 1  x2 x a) Chứng minh P  x 1 x b) Tìm giá trị x để P  x  Câu 17) Cho a       Chứng minh a  2a   Câu 18) Cho a   10    10  Tính giá trị biểu thức: T  a  4a  a  6a  a  2a  12 Câu 19) Giả thiết x, y, z  xy  yz  zx  a Chứng minh rằng:  a  y  a  z   y  a  z   a  x  x a  x2 2 a  y2  a  x  a  y   2a z a  z2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 17 Câu 20 Cho a    61  46  a) Chứng minh rằng: a  14a   b) Giả sử f  x   x  x  14 x  28 x  x  19 Tính f  a  Câu 21 Cho a  38  17  38  17 Giả sử có đa thức f  x    x3  3x  1940  Câu 22 Cho biểu thức f  n   2016 Hãy tính f  a  2n   n  n  1 n  n 1 Tính tổng S  f 1  f    f  3   f  2016  Câu 23) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 1 1      2 n Câu 24) Chứng minh với số nguyên dương n  , ta có 1 1 65      3 n 54 Câu 25) Chứng minh rằng: 43 1 44      44   2002 2001  2001 2002 45 (Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002) Câu 26) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 1     1 2 1 3  2 n 1  n  1 n   n n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 18 Câu 27) Chứng minh với số nguyên dương n  , ta có: 10 3n  3n  1  12 3n 3n  3 n  LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1) Lời giải: 1) Với x  64 ta có A  B      64    64  x 1 x  x  x 1 x  x x  x Với x  , ta có:   x x  2x  1  x xx x 1 A 2 x 2 x   :   B x x 1 x 2 x 1 x 1  x  x   x  x    x  (do x  ) Lời giải: 36  10   36  1) Với x  36 , ta có A  2) Với x  0, x  16 ta có:     x x 4 x 4 B   x  16 x  16  3) Biểu thức B  A  1      x   x  16  x  x 2    x  16  x  16  x  16  x  16  x 2 x 4 x 2    x  16  x 2  x  16 B  A  1 nguyên, x nguyên x  16 ước , mà U    1; 2 Ta có bảng giá trị tương ứng: Kết hợp điều kiện, để B  A  1 nguyên x  14;15;16;17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 19 3) Lời giải: A   x  x  10 x  x  25    x 5 x 5 x 5 A x x 10 x    x  x  25 x 5    x 5        x  5 x  5 x   10 x  x  10 x  25 x 5  x 5 x 5   x 5  x 5 Với x  ta có: x 5  A x  Vậy  2   35 4) Lời giải: 1) P  x   x 3  x  x 3    x   3x  x 3   x 3   x    x  36 (thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 3 3) Với x  0, P     Pmax  x  (TM) x 3 03 2) P   Lời giải: A  5 5   52 1  5     2  5   2  2   1  1   3   3  3   1   15    15   5 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 20  552  x     B    : 1    x  0 x 3  x x3 x   x3 x   x   x 2      : x 3  x x x 3  x 3    x 1  : x 3           x  3      x  x  3  x 1 x 2  x  x x  Lời giải: Với x  x  ta có:   x 3 x 3 x 9  x 3  A  3  x 3 x x 3  x 9         21 4  62 3 42   6 2 21      3     15 15 2 15    15 15  60 B      15 15   7) Lời giải: Với điều kiện cho thì: P 2x  x 2 x     x x   x   x   2 x x Lời giải: Ta có: A  1 1     1 2 3 120  121 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 21  1  1  1    2 2  2     120  121 120  121  120  121 1 2 120  121    1 1 1       121  120  1  121  10 (1)  2   2 k k k k  k 1 1 Do B     35 Với k  * , ta có:  k 1  k          36  35   B     36    1    10 (2) Từ (1) (2) suy B  A B2 Lời giải: x3  y x y x y 1) P   x  xy  y  x  y  x  y  x  y 2) Với x     y     Thay vào P ta được: P    1 2  3    1  3  3 10.Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 22  Ta có: Q       a b   a b a b   b b  2a a  a a b b a b   a  b   3  b b  2a a  a  b a  ab  b  a  b a  ab  b a   a a  3a b  3b a  b b  2a a  3a  ab ba     a b a a b 3a a  3a b  3b a  3a a  3a b  3b a   a  b a  ab  b   a b   a b  0   (ĐPCM) 11 Lời giải: A   x  x  x  x  19 x  x   x 9 x  x  12 x  x x 2 x  x  19 x 5   x 3 x 4 x 3 x 4    x  x   x  x  19  x  x  15  x 3  x 4      x  3 x 1  x  4 x 4 x 1 x 3 12 Lời giải:   1 x x 2 x Với       4 x 2 x 2 x 4 x 4 x 4 x 2 x 1 A    x   x  16 (nhận) Vậy A  x  16 3 2 x A 13 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 23 1) ĐKXĐ: x  3 x xx   x 3  x x 3  x x 1 P    x   3  x   x x x 1 x3    x  x2 x3 3  x  3  x x 1 Vì P   x  x     x  3  x       x     x     x    x  Vậy x  x  2) Phương trình hoành độ giao điểm  P   d  là: x  mx   có   m   với m , nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2  m x1 x2  1   x1  x2    m   x12  x22  x1 x2  m2 2   x1  x2   x1 x2  m2   x1  x2    1  m2 2   x1  x2   m2   với m  x1  x2  với m (ĐPCM) 14 Lời giải: a  a  a  16  a  16     a  0, a  16 1) Biểu thức C có nghĩa khi:   a   a  16  a   a   Rút gọn a 2 a 2    C   a  16 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4      a  4  a  a   a    a  4 a  4  a  4 a  4  a2   a 4 2 a4 a a 4  a 4  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 24  a   a 4 a 4   a 4   a a 4 2) Giá trị C a   Ta có:  a  a  94  44 5  2 Vậy C   a a 4    a 2    52 2 2   94 24 2  15 Lời giải: 1) Với x  0, x  biểu thức có nghĩa ta có:  x 7  3 A      : x  2 x  x  x    x  10 x    : x 3 x  x  2  x  2 x  1 x  x  2 x 3 x   x  x  x  2 x         2 x 1  x 2  x 7 Vậy với x  0, x  A  2) Ta có A x x 1 x  0, x  0, x  nên A  x  0, x  0, x  x 1 x 5 5    , x  0, x    A  , kết hợp với A 2 x 1 2 x 1   nhận giá trị số nguyên A 1, 2 A   x  x 1  x  1  x  thỏa mãn điều kiện A   x  x   x   x  không thỏa mãn điều kiện http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 25 Vậy với x  A nhận giá trị nguyên 16 Lời giải: 1) Với x  ta có A  1  1 2) a)  x2 x P  x x 2       x 1    x 1      x 1 x   x   x 1    x 1 x 2   x 1 x x 1 x b) Theo câu a) P  x 2  x 5 x x   x  x  x  x   x   2P  x      1 1  x 2  x  0 x   x 2  17 Giải:    Do a  nên a2               62  1  62    1     a   Do  a  1  hay a  2a   18 Giải:   a   16  10        8 a     1    Vì a  nên a   Do  a  1  hay a  2a  Biểu diễn T  2  2a    a  2a   a  2a  12  42  3.4    12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 26 19 Giải: Ta có: a  x  x  xy  yz  zx   x  y  x  z  Tương tự ta có: a  y   y  x  y  z  ; a  z   z  x  z  y  Từ ta có:  a  y  a  z   x  x  y  y  z  z  x  z  y   x x  y Tương   x  x  y  x  z  a  x2  a  z  a  x   y tự: y a  y2  z  x; z  a  x  a  y   z 2 a  z2  x  y  Vậy VT  x  y  z   y  z  x   z  x  y    xy  yz  zx   2a 20 Giải: a) Vì 61  46  1    1 Từ a         a2   2   a   10  a  14a   b) Do f  x    x  14 x    x    x  14a   nên ta f  a   21 Giải: Vì a3  38  17  38  17  3.3 38  17 38 17  a3  76  3a  a3  3a  76  f  a    76  1940  22 Nhân tử mẫu f  n  với 2012  20162016 n   n , ta được: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 27 f  n    n  1 n   n n Cho n từ đến 2016 , ta được: f 1  2  1; f    3  2; ; f  2016   2017 2017  2016 2016 Từ suy ra: S  f 1  f    f  3   f  2016   2017 2017  23 Giải: Vì n số nguyên dương nên:  1 1       (1) Mặt 2 n khác, với k  ta có: 4    2  2   Cho k  2,3, 4, , n ta có: k 4k 4k   2k  2k   4 2 2       2 2 4.2 4.2  2.2  2.2  4 2 2       2 4.3 4.3  2.3  2.3  4 2 2       2 4.4 4.4  2.4  2.4  ………… 4 2 2  2     n 4n 4n  2n  2n  n  n  Cộng vế với vế ta được: 1 1 2         1  (2) Từ (1) (2) suy 2 n 2n  3 điều phải chứng minh 24 Giải: 1 1     Thực làm trội phân số vế trái 3 n cách làm giảm mẫu, ta có: Đặt P  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 28 2 1     , k  k k  k  k  1 k  1  k  1 k k  k  1 Cho k  4,5, , n  1   1   1 1  2P                    3.4 4.5   4.5 5.6    n  1 n n  n  1  65 251 1 251 65       Do P  (đpcm) 108 3.4 n  n  1 108 3.4 27 64 25 Giải: Đặt Sn  1    1   n  1 n  n n  Để ý :  k  1  k  1 k  k k    k  1 k  k k    , k   k  k  1 k  k k   k  1 k  k  k  1 k k 1 Cho k  1, 2, , n cộng vế với vế ta có: Sn  1 1 1        1 2 n n 1 n 1 Do S 2001   2002 Như ta phải chứng minh: 43 44 1  1     44 45 2002 45 2002 44  44  2002  45  1936  2002  2025 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 29 26 Giải: Để giải tốn ta cần có bổ đề sau: Bổ đề: với số thực dương x, y ta có: x y  y x  x x  y y Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương x y  y x  x x y y  x x  y y x y y x 0 x      x y y x y   y  x    x  y x y    x y 0  Bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề ta có:  n  1   n  1 Vì thế:  n   n n  n n    n  1 n 1  n   n n n n    n  1 n 1     2 1 3  2  n  1 n   n n 1 Mà theo kết câu 25    n 1 1  n  n  n   thì: 1 1     1 Vậy 1  n 1  n  1 n  n n  toán chứng minh Câu 27) Giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 30 Để ý phân số có tử mẫu đơn vị, nên ta nghĩ đến đẳng thức n n 1    n2  n2  n   n  2 Kí hiệu n2 n 10 3n  3n  P  Ta có: 12 3n 3n   10 3n  3n   10 3n  3n   P     3n 3n   12 3n 3n    12  3n  3n  10 3n  3n       3n 3n    10 3n  3n   12 1 3n  3n  3n 3n  1    3 10 3n  3n 3n  3n  3  3n  3  n  1 Từ suy P  Bất đẳng thức chứng minh n 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 31 ... 1 1     1 2 3 12 0  12 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 21  1  1   1    2 2  2     12 0  12 1 12 0  12 1  12 0  12 1 1 2 12 0  12 1...  4x 1  4x 1  Hay B      4x 1 1   4x 1   4x 1 1  4x 1 1 4x 1 1  4x 1  + Nếu 4x 1 1   4x 1   x  x    x   suy B  x  + Nếu 4x 1 1   4x 1   1  x...  1 1 1       12 1  12 0  1  12 1  10 (1)  2   2 k k k k  k 1 1 Do B     35 Với k  * , ta có:  k 1  k          36  35   B     36    1    10