Chơng 4. Đồ thị Chơng 4 Đồ thị I. Các khái niệm và định nghĩa 1. Đồ thị hữu hạn Bộ G = <V, E> với V là tập hợp hữu hạn gọi là tập đỉnh, E VxV là tập cung. Một cung e E có dạng (u,v) với u, v là các đỉnh thuộc tập V. Đồ thị vô hớng : mọi cặp (u,v) không có thứ tự Đồ thị có hớng : mọi cặp (u,v) có thứ tự. Đơn đồ thị : Qua mỗi cặp đỉnh có không quá một cung. Đa đồ thị : Qua mỗi cặp đỉnh có thể có nhiều cung. Trong giáo trình ta chỉ xét đồ thị hữu hạn và nói gọn là đồ thị. Giả sử u,v là các đỉnh và e = (u, v) là một cung của đồ thị. u, v đợc gọi là kề nhau hay liền kề. u, e (v, e) đợc gọi là liên thuộc. Nếu e là vô hớng thì u,v đợc gọi là đỉnh mút của e. Nếu e là có hớng thì u đợc gọi là đỉnh đầu và v là đỉnh cuối. e đợc gọi là cung ra của u và là cung vào của v. Nếu u = v thì cung (u,u) đợc gọi là một khuyên. Nếu u không kề với bất kỳ đỉnh nào thì gọi là đỉnh cô lập Nếu u kề với một đỉnh duy nhất thì gọi là đỉnh treo 2. Bậc đỉnh, bậc đồ thị : Lấy u là đỉnh bất kỳ của V Bậc của đỉnh u : Là số cung kề nhau với u, đợc ký hiệu là m(u). Ngoài ra còn kí hiệu m+ (u), m-(u) để chỉ số cung vào và ra của u ( m(u) = m+(u) + m-(u). Qui ớc đối với một khuyên : đợc tính 1 cho bậc vào và 1 cho bậc ra và 2 cho bậc chung. Bậc của đồ thị : Là tổng bậc của tất cả các đỉnh. Tức m(G) = m(u) = m + (u) + m - (u). Ví dụ 1 : với đỉnh cô lập m(x) = m+(x) = m-(x) = 0 với đỉnh treo m(x) = 1 và m+(x) = 0, m-(x) = 1 hoặc m+(x) = 1, m-(x) = 0. Định lý 1 : Với G không có đỉnh cô lập thì m(G) = 2|E| và m+(G) = m-(G) = |E| Ví dụ 2 : Một đồ thị có 10 đỉnh bậc 6 sẽ có 30 cung. Định lý 2 : Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị luôn luôn chẵn. 1 Chơng 4. Đồ thị Ví dụ 3 : Không tồn tại đồ thị 10 đỉnh với số bậc lần lợt là 10 số nguyên đầu tiên. 3. Đồ thị con và hợp đồ thị a. Đồ thị con : G 1 = (V 1 , E 1 ) là đồ thị con của G = (V, E) nếu V 1 V và E 1 E. b. Hợp 2 đồ thị : V 1 V 2 , E 1 E 2 . 4. Đồ thị nền : Là đồ thị vô hớng nhận đợc từ đồ thị có hớng. 5. Một số dạng đồ thị đặc biệt a. Đồ thị đầy đủ n đỉnh, kí hiệu K n Đồ thị vòng n đỉnh kí hiệu C n Đồ thị hình bánh xe (n + 1) đỉnh. Kí hiệu W n . Đồ thị khối n chiều (2 n đỉnh). Kí hiệu Q n . c. Lớp đồ thị phân đôi P m,n : ví dụ các vòng C n là phân đôi, các bánh xe W n \ C n là phân đôi đầy đủ. d. Lớp đồ thị phẳng : ví dụ các C n , W n là phẳng và K n , Q n (n > 4) là ngợc lại. Chú ý : Các phân loại trên là không rời nhau tức mỗi đồ thị có thể thuộc các lớp khác nhau. II. Cỏc ph ng phỏp bi u di n th 1. Bằng hình học 2. Bằng ma trận 1. Ma trận kề M G : Là ma trận vuông cấp n = |V|. vô hớng là ma trận đối xứng với v ij = d là số cạnh nối v i , v j . Có khuyên nếu phần tử chéo bằng 1. Nếu d 1 đồ thị đơn. có hớng : không đối xứng. 2. Ma trận liên thuộc : các dòng là đỉnh và cột là cung. Đồ thị bội có nhiều cột giống nhau vì các cung nối liền các đỉnh giống nhau. 3. Sự đẳng cấu của các đồ thị Hai đồ thị đơn G 1 = (V 1 , E 1 ) và G 2 = (V 2 , E 2 ) là đẳng cấu nếu tồn tại song ánh f : V 1 V 2 bảo toàn các cung. Tức : (a,b) E 1 (f(a), f(b)) E 2 . Từ tính đẳng cấu ta suy ra một số bất biến nh : |V 1 | = |V 2 |; |E 1 | = |E 2 | Tính liền kề, bậc của đỉnh, bậc của đỉnh liền kề, số đỉnh, số cạnh. Để chứng minh đẳng cấu cần tìm hàm f thoả tính chất trên bằng cách lập ra hai ma trận kề tơng ứng của 2 đồ thị, nếu chúng bằng nhau thì đẳng cấu, nếu không thì cha kết luận. Để chứng minh không đẳng cấu ta chỉ ra một trong các bất biến trên không thoả. 2 Chơng 4. Đồ thị Ví dụ 4 : ; ; III. Tớnh liờn thụng 1. Đờng đi và chu trình a. Định nghĩa Một đờng đi độ dài n từ u đến v là dãy các đỉnh và cạnh xen kẽ : u = x 0 e 1 x 1 e 2 . e n x n = v, trong đó e i = (x i-1 , x i ) Nếu đồ thị là đơn thì đồng nhất dãy đỉnh. Đờng đi là đơn nếu mỗi cạnh qua một lần. Đờng đi là sơ cấp nếu mỗi đỉnh qua một lần (không cắt nhau). Một chu trình (đơn, sơ cấp) nếu u = v. Định lý 3 : Cho G = (V,E) và (u,v) E. Khi đó số đờng đi từ u đến v với độ dài k là phần tử m ij của ma trận tích M k G . Trong đó M G là ma trận kề của đồ thị G. Chứng minh : Qui nạp theo k và tích ma trận 2. Tính liên thông Một đồ thị vô hớng gọi là liên thông nếu có đờng đi giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của đồ thị. Ví dụ 5 : mạng máy tính, mạng giao thông. Một đồ thị có hớng gọi là liên thông yếu nếu nó không liên thông nhng đồ thị nền của nó là liên thông. Tính liên thông của đồ thị có hớng còn gọi là liên thông mạnh. Định lý 4 : Giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của một đồ thị vô hớng liên thông luôn có đờng đi đơn. 3 Chơng 4. Đồ thị Chứng minh : Chứng minh trực tiếp bằng cách lấy đờng đi bất kỳ và bỏ đoạn lặp lại (G liên thông). Hoặc dùng phản chứng bằng đờng đi ngắn nhất trong các đờng đi nối u và v. 3. Thành phần liên thông Một đồ thị không liên thông là hợp của 2 hay nhiều đồ thị con liên thông không có đỉnh chung gọi là thành phần liên thông của đồ thị. Nh vậy đồ thị liên thông có số thành phần liên thông là 1. Điểm nối : Nếu xoá nó (và các cạnh liên thuộc) sẽ làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị Cầu : Là một cung có tính chất tơng tự điểm nối. Nh vậy xoá điểm nối hoặc cầu của một đồ thị liên thông sẽ làm mất tính liên thông của đồ thị. Có thể sử dụng các đặc trng này nh một bất biến để tìm đẳng cấu và ánh xạ f. IV. Euler v Hamilton 1. Đờng đi và chu trình Euler a. Đặt vấn đề Bài toán cầu Konisberg (thành phố thuộc Phổ, bây giờ là Kaliningrad, Nga) Vẽ một nét phong th 2. Định nghĩa Đờng đi Euler : Là đờng đi đơn qua tất cả các cạnh của đồ thị và mỗi cạnh chỉ qua một lần. Chu trình Euler : Là đờng đi Euler với đỉnh đầu trùng đỉnh cuối. Định lý 5 : Một đồ thị liên thông có chu trình Euler khi và chỉ khi mọi đỉnh của nó có bậc chẵn. Chứng minh : Cần : Vì đờng đi vào và ra nên mỗi đỉnh xuất hiện một số chẵn lần. Đủ : Chứng minh bằng phơng pháp kiến thiết, bằng cách xuất phát từ đỉnh có bậc lớn nhất. Đi qua các cung sao cho chu trình tạo đợc là dài nhất có thể. Loại chu trình này ra khỏi đồ thị. Do các đỉnh đều có bậc chẵn nên đồ thị còn lại cũng có bậc chẵn. Tiếp tục quá trình cho đến khi đồ thị còn lại là rỗng. Hợp tất cả các chu trình xây dựng đợc ta đợc chu trình Euler. 4 A B D C Chơng 4. Đồ thị Ví dụ : Bao th Thanh mã tấu Mohamed Cầu Konigsberg Đồ thị bất kỳ Định lý 6 : Một đồ thị có đờng đi Euler nếu và chỉ nếu có duy nhất 2 đỉnh bậc lẻ. Chứng minh : Hệ quả của định lý 5. 2. Đờng đi Hamilton a. Đặt vấn đề : Bài toán ngời đa th, ngời du lịch, ngời chào hàng. 2. Định nghĩa Đờng đi Hamilton : đờng đi qua tất cả các đỉnh mỗi đỉnh duy nhất một lần. Chu trình Hamilton : Là đờng đi Hamilton với điểm đầu trùng với điểm cuối. Định lý 7 : Một đồ thị liên thông n đỉnh (trong đó n 3) sẽ có chu trình Hamilton nếu bậc của mỗi đỉnh n/2. Ví dụ : 5 Chơng 4. Đồ thị Bài toán "vòng quanh thế giới" Hình đa giác (minh hoạ cho định lý 7 chỉ đủ chứ không cần) Đồ thị phân đôi với số đỉnh lẻ là không có chu trình Hamilton Đồ thị bất kỳ. Có chu trình Không chu trình, có đđi Không chu trình, không đờng đi V. bài toán đờng đi ngắn nhất 1. Đồ thị có trọng số Cho đồ thị G = (V, E) và một hàm w : E R. Với bất kỳ e E, w(e) đợc gọi là phí tổn hay trọng số khi đi từ đỉnh này đến đỉnh kia của đồ thị dọc theo cung e. Độ dài của đờng đi là tổng trọng số các cung. Trong trờng hợp trọng số của mỗi cung bằng 1, thì độ dài đờng đi là số cung. Ví dụ 6 : Độ dài đờng liên tỉnh Độ dài mạng máy tính Giá vé máy bay 2. Bài toán đờng đi ngắn nhất Bài toán đặt ra là tìm đờng đi ngắn nhất giữa 2 điểm bất kỳ trong đồ thị, tức đờng đi với tổng chi phí nhỏ nhất Thuật toán Dijkstra : Giả sử cần tìm đờng đi ngắn nhất giữa 2 đỉnh a và z của đồ thị G. T tởng của thuật toán là lần lợt tìm đờng đi ngắn nhất từ a tới đỉnh trung gian đầu tiên, tìm đờng đi ngắn nhất từ a tới đỉnh trung gian tiếp theo, quá trình đợc lặp lại cho đến khi đạt đợc đỉnh z. Cụ thể : Mô tả thuật toán : Giả thiết G = (V, E) và ta cần tìm đờng đi ngắn nhất từ a đến z. ở bớc lặp thứ k ta gán cho đỉnh v của đồ thị một nhãn gồm 2 thành phần : P k (v) : Danh sách các đỉnh của đờng đi ngắn nhất từ a đến v đợc tìm thấy ở bớc lặp thứ k. L k (v) : Độ dài của đờng đi ngắn nhất từ a đến v ở bớc lặp thứ k. Ngoài ra ta cũng sử dụng S k là tập chứa các đỉnh mà thuật toán đã chọn sau k bớc. Giả sử sau bớc lặp thứ m đỉnh z đợc chọn. Khi đó ta có P m (z) và L m (z) là nghiệm cần tìm. B ớc khởi tạo : P 0 (a) = {a} và P(v) = (v a). L 0 (a) = 0 và L 0 (v) = (v a). S 0 = . Các b ớc lặp : Giả sử sau k bớc ta đã có tập S k , các tập P k (v) và các độ dài L k (v). ở bớc k+1 ta sẽ thực hiện : Chọn đỉnh thêm vào tập S k thành S k+1 : Chọn trong số các đỉnh còn lại (V\S k ) với nhãn bé nhất. Nếu đỉnh đợc chọn là z thì dừng. 6 Chơng 4. Đồ thị Gán nhãn : Sau khi chọn đỉnh mới (giả sử là u) ta tiến hành gán lại nhãn cho tất cả các đỉnh còn lại v. L k+1 (v) = min{L k (v), L k (u) + w(u,v)}. P k+1 (v) = if (L k+1 (v) = L k (v)) then P k (v) else P k (u)|<v> Dới đây là thủ tục cụ thể : Procedure Dijkstra; Begin L(v 1 ) = , L(a) = 0, S = ; While z S do Begin u := đỉnh không thuộc S và có nhãn L(u) min; S := S {u} For v S do Begin If L(u) + w(u,v) < L(v) then L(v) = L(u) + w(u,v) End; End; End; {L(z) = min } Ví dụ 7 S a c b d e A a 0 # # # # # B a - ab 4 acb 3 # # # C a - ac 2 # # # # D a - ad - acd 10 acbd 8 # # E a - ae - ace 12 ace 12 acbde 10 # Z a - az - az - az - acbdz 14 acbdez 13 Ví dụ 8 : Lấy ví dụ trên nhng đổi cd = 4. Bảng đợc lập gọn hơn bằng cách bỏ cột khởi tạo. Bỏ các ô có giá trị và bỏ các ô đi sau #. S a c b d e a # b ab 4 acb 3 # c ac 2 # 7 a b c d e z 4 2 1 5 8 10 6 2 3 Chơng 4. Đồ thị d acd 6 Acd 6 # e ace 12 Ace 12 acde 8 # z acdz 12 acdez 11 VI. Đồ thị phẳng 1. Định nghĩa 2. Công thức Euler Định lý 8 : r = e v + 2. Chứng minh : Ví dụ : 20 đỉnh bậc 3 Minh hoạ với Hệ quả 1 : Nếu đồ thị là phẳng và v 3 thì e 3v 6. Chứng minh : Ta có bậc của miền ít nhất là 3. Tổng bậc là 20 2e = r)Rdeg( R 3 2e/3 r e v + 2 2e/3 e 3v 6. áp dụng : K 5 không phẳng vì e = 10, v = 5 không thoả hệ quả 1. Hệ quả 2 : Trong đồ thị phẳng có v 3 và không có chu trình độ dài 3 thì e 2v 4. Chứng minh : Nh hệ quả 1 với chú ý bậc của miền 4. áp dụng : K 3,3 không phẳng. 3. Định lý Kuratowski (1930) a. Phép phân chia sơ cấp 2. Định lý : Đồ thị phẳng khi và chỉ khi chứa đồ thị con đồng phôi với K 5 hoặc K 3,3 . 4. Bài toán tô màu VII. Tập ổn định trong 1. Tập ổn định trong Cho G = (V, E) và A V đợc gọi là tập ổn định trong của đồ thị nếu bất kỳ 2 đỉnh nào của A cũng không kề nhau. Tập A là ổn định trong cực đại nếu nó không thể thêm bất kỳ đỉnh nào khác mà không phá vỡ tính ổn định trong. Kí hiệu (G) = số phần tử của tập ổn định trong lớn nhất = số ổn định trong 8 Chơng 4. Đồ thị Ví dụ 9 : 2. Tập ổn định ngoài Cho G = (V, E) và B V đợc gọi là tập ổn định ngoài của đồ thị nếu bất kỳ đỉnh nào thuộc V\B cũng có đỉnh của B kề nó. Tập B là ổn định ngoài cực tiểu nếu nó không thể bớt bất kỳ đỉnh nào khác mà không phá vỡ tính ổn định ngoài. Kí hiệu (G) = số phần tử của tập ổn định ngoài cự tiểu = số ổn định ngoài Ví dụ 10 : Thuật toán tìm số ổn định ngoài Bớc 1 : Xây dựng ánh xạ : V 2 V với (v) là tập đỉnh kề của v (kể cả v). Bớc 2 : Xác định B V bé nhất sao cho (B) = V. Khi đó B và (B) là cái cần tìm. 3. Sắc số a. Định nghĩa : Sắc số của đồ thị là số màu tối thiểu cần có để tô màu các đỉnh sao cho hai đỉnh kề nhau phải có màu khác nhau. Kí hiệu là (G). Định lý 9 : (G) = 2 khi và chỉ khi đồ thị không có chu trình độ dài lẻ. Chứng minh : Bằng cách tô màu xen kẽ xanh, đỏ dọc theo chu trình. Ví dụ : C n và K m,n . Định lý 10: (G) (G) n. Chứng minh : Ta thấy V đợc phân hoạch thành m = (G) tập V i (tập có màu i) ổn định trong. Mặt khác |V i | (G). Do đó : |V| = |V 1 | + . + |V m | m. (G) = (G)(G) Định lý 11 : (Định lý 4 màu) Có thể dùng không quá 4 màu để tô đồ thị phẳng. 9 Chơng 4. Đồ thị Bài tập I. các yếu tố cơ sở 1. Có thể tồn tại một giải bóng đá tổ chức theo thể thức vòng tròn có tổng số các l ợt trận đấu là một số lẻ ? 2. Vẽ các đồ thị đơn 5 đỉnh với số bậc lần lợt nh sau : a. 3, 4, 4, 4, 3 b. 0, 1, 2, 3, 3 c. 1, 1, 1, 1, 2 3. Với các giá trị nào của n các đồ thị sau là phân đôi : K n , C n , W n , Q n . 4. Gọi G là đồ thị có v đỉnh và e cạnh. M, m là bậc lớn nhất và nhỏ nhất của các đỉnh. Chứng minh rằng m 2e/v M. 5. Chứng minh rằng nếu G là đồ thị đơn phân đôi thì e v 2 /4. 6. Nêu ý nghĩa tổng các phần tử trên một hàng (cột) của ma trận kề của đồ thị có hớng (vô h- ớng). 7. Tơng tự câu 6 với ma trận liên thuộc. 8. Chứng minh rằng phép đẳng cấu của các đồ thị đơn là quan hệ tơng đơng. 9. Các đồ thị sau có đẳng cấu ? a. (001)(001)(110) và (011)(100)(100) b. (0101)(1001)(0001)(1110) và (0111)(1001)(1001)(1110) c. (0110)(1001)(1001)(0110) và (0101)(1000)(0001)(1010) 10. Hãy tìm số đờng đi độ dài 2, 3, 4, 5 giữa 2 đỉnh kề nhau bất kỳ trong đồ thị K 3,3 . II. đồ thị liên thông 11. Chứng minh rằng đồ thị liên thông với n đỉnh có ít nhất n-1 cạnh 12. Cho R là quan hệ trên tập đỉnh V của đơn đồ thị sao cho (u,v) R nếu và chỉ nếu u = v hoặc có đờng đi từ u tới v. 13. Chứng minh rằng trong một đơn đồ thị luôn luôn tồn tại đờng đi nối hai đỉnh bậc lẻ bất kỳ. 14. Giả thiết v là đỉnh mút của một cầu. Chứng minh rằng v là điểm nối nếu và chỉ nếu nó không là đỉnh treo. 15. Chứng minh rằng một cạnh trong đơn đồ thị là cầu nếu và chỉ nếu cạnh này không xuất hiện trong bất kỳ chu trình đơn naò của đồ thị. 16. Chứng minh rằng đơn đồ thị n đỉnh là liên thông nếu |E| (n-1)(n-2)/2 cạnh. III. Đờng đi và chu trình euler, hamilton 17. Thiết kế thuật toán xây dựng đờng đi, chu trình Euler trong đồ thị có hớng. 10