Sáng kiến kinh nghiệm phần I: đặt vấn đề I lí chọn đề tài Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN năm toán tích phân thiếu học sinh THPT toán tích phân toán khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất , phương pháp tính tích phân Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân cách máy móc là: tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? trình tính tích phân học sinh thường mắc phải sai lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm nhận thấy rõ yếu điểm học sinh mạnh dạn đề xuất sáng kiến : Một số sai lầm thường gặp học sinh tính tích phân Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao giải toán tích phân nói riêng đạt kết cao trình học tập nói chung Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung, tính phức tạp hóa gây nên trở ngại cho học sinh trình tiếp cận víi tÝch ph©n Cïng víi sù tÝch l kinh nghiƯm có thân qua số năm giảng dạy Kết hợp với kiến thức mà lĩnh hội chương trình Đại học Toán mà đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy cô giáo Tôi mạnh dạn chọn đề tài Qua đề tài, mong thân tìm hiểu sâu vấn đề này, tự phân loại số dạng toán tích phân, nêu lên số phương pháp giải cho dạng tập Từ giúp học sinh dễ dàng việc tính tích phân Qua nội dung hy vọng học sinh phát huy khả phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua tập nhỏ Từ hình thành cho học sinh khả tư sáng tạo học tập Nguyễn Khắc Hào Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm II - Nhiệm vụ nghiên cứu : -Các phương pháp tính tích phân : PP đổi biến số, pp tích phân phần, Tích phân hàm số lượng giác, tích phân hàm số vô tỷ - Kỹ tính tích phân dùng bảng nguyên hàm mà học sinh học III Đối tượng nghiên cứu : - Học sinh lớp 12 BT.THPT - Các phương pháp tính tích phân chương trình toán lớp 12 IV Phương pháp nghiên cứu : Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết Dự giờ, kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua học, thể nhiều đối tượng học sinh khác : Học sinh khá, giỏi học sinh trung bình môn Toán V Phạm vi nghiên cứu : Giới hạn vấn đề giảng dạy Nguyên hàm Tích phân chương trình lớp 12 THPT VI phương pháp + Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiÕn thøc cđa häc sinh ®Ĩ tõ ®ã ®­a lời giải toán +Thực nghiệm sư phạm Phần II : nội dung I sở khoa học Dựa nguyên tắc trình nhận thức người từ: sai đến gần đến khái niệm đúng, nguyên tắc dạy học đặc điểm trình nhận thức học sinh II nội dung cụ thể Nguyễn Khắc Hào Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm Một số sai lầm học sinh tính tích phân Bài tập minh hoạ dx (x 1) Bài 1: Tính tích phân: I = * Sai lầm thường gặp : I = 2 dx (x  1) = d ( x  1)  ( x  1) 2 =- x 1 2 = - -1 = - * Nguyên nhân sai lầm : Hàm số y = không xác định x= -1 2;2 suy hàm số không liên ( x 1) tục 2;2 nên không sử dụng công thức newtơn leibnitz cách giải * Lời giải Hàm số y = không xác định x= -1 2;2 suy hàm số không liên ( x 1) tục 2;2 tích phân không tồn * Chú ý học sinh: Khi tÝnh b  f ( x)dx cÇn chó ý xem hàm số y=f(x) có liên tục a; b không? a có áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho không kết luận tích phân không tồn * Một số tập tương tự : Tính tÝch ph©n sau:  1/ dx 0 (x  4) 3/   x e x  x dx x3 1 2/  x( x  1) dx 4/ Bài :Tính tích phân: I = dx cos x  dx  sin x Nguyễn Khắc Hào Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm x 1 t2 2dt th× dx = ; =  t  sin x (1  t ) * Sai lầm thường gặp : Đặt t = tan  2dt dx   sin x =  (1  t )  I=  dx   sin x = =  2(t  1) 2 d(t+1) = 2 x tan   2 = tan  1 +c t 1 tan   tan không xác định nên tích phân không tồn *Nguyên nhân sai lầm: Đặt t = tan x x x  0;   t¹i x = tan nghĩa 2 * Lời giải đúng: I= dx sin x =  dx    cos x   2   x  d      x  2 4   tan   0 = tan  tan 2    2 4 2 x cos    2 4  * Chó ý ®èi với học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục a; b *Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: dx 1/ sin x Bµi 3: TÝnh I=  dx  cos x 2/  x  6x dx * Sai lầm thường gặp: I=   x  3  6x  dx =   x  3 dx    x  3d  x  3  x 0    4 2 * Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi x 3  x  víi x  0;4 lµ không tương đương Nguyễn Khắc Hào Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm * Lời giải ®óng: I=  x  6x  dx 4 0 =  x  32 dx   x  d x  3    x  3d x  3   x  3d x  3  x  3 =- 2  x  3    5 2 * Chó ý ®èi víi häc sinh: 2n  f x 2 n I=  f x  n  1, n  N  b 2n   f x  2n b f x dx ta phải xét dấu hàm sè f(x) trªn a; b råi dïng tÝnh chÊt  a a tích phân tách I thành tổng phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối Một số tËp t­¬ng tù: 1/ I =    sin x dx ; 3/ I =    x    dx x     2/ I =  x  x  x dx 4/ I =   tan x  cot x  dx Bµi 4: TÝnh I = x 1 dx 2x * Sai lầm thường gặp: I= d  x  1  x  1 1 1  arctan x  1 01  arctan  arctan   * Nguyên nhân sai lầm : Học sinh không học khái niƯm arctgx s¸ch gi¸o khoa hiƯn thêi * Lêi giải đúng: Đặt : x+1 = tant dx tan t dt Đổi cận: Nguyễn Khắc Hào Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiƯm  Khi ®ã : I =  x -1 t 1  tan t dt  tan t     dt  t  0   * Chú ý học sinh: Các khái niệm arcsinx , arctgx không trình bày sách giáo khoa hiƯn thêi Häc sinh cã thĨ ®äc thÊy mét số tập áp dụng khái niệm sách tham khảo, sách viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000 đến khái niệm sách giáo khoa nên học sinh không áp dụng phương pháp Vì gặp tích phân dạng b 1 x dx ta dùng phương pháp ®ỉi biÕn sè ®Ỉt t = tanx hc t = cotx ; a b  a 1 x2 dx đặt x = sint x = cost *Một số tập tương tự: 1/ I =  Bµi 5: x  16 dx x TÝnh :I = 2/ I =  x3 1 x2 2x  2x  0 x  dx 3/ I =  x dx  x8 dx *Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt  x3 sin t dx   dt cos t x2 Đổi cận: x Nguyễn Khắc Hào 1/4 Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm t ? * Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân hàm số có chứa x thường đặt x = sint tích phân gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x = không tìm xác t = ? * Lời giải đúng: x Đặt : t = x dt = 1 x2 dx  tdt  xdx §ỉi cËn: I = 15 x3 1 x2 x 1/4 t 15 = dx 15 1  t tdt  1  t dt   t  t     t   15  15 15 15  33 15        192 192   * Chó ý ®èi víi học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa x thường đặt x = sint gặp tích phân hàm số có chứa 1+x2 đặt x = tant cần ý đến cận tích phân cận giá trị lượng giác góc đặc biệt làm theo phương pháp không phải nghĩ đếnphương pháp khác *Một số tập tương tự: 1/ tÝnh I =  Bµi 6: TÝnh I = Nguyễn Khắc Hào x3 x 2/ tÝnh I = dx x dx x2 1 x2 1  dx 1  x Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm   1   x   x  dx * Sai lÇm th­êng m¾c: I =   2   1  x x    x2 x 1 Đặt t = x+ dt  1  x  x2  dx  §ỉi cËn: x -1 t -2 2 dt 1 = (  )dt =(ln t  -ln t  ) 2 t 2 t  2 t  I= = ln 2 2  ln 2 2  ln 2  ln t t 2 2 2 2 1 x2 x sai 1;1 chøa x = nªn 1 x4 x x2 * Nguyên nhân sai lầm: chia tử mẫu cho x = * Lời giải đúng: xét hàm số F(x) = F(x) Do ®ã I = = 2 ln 2 x2  x 1 x2  x 1 (ln x2  x 1 x2  x 1 )  x2 1 x4 1 x2 1 x2  x 1 = dx ln  2 x2  x 1 1  x 1  ln 2 2 *Chó ý ®èi víi häc sinh: Khi tính tích phân cần chia tử mẫu hàm số cho x cần để ý đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = III Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: 1/Kết từ thực tiễn: Nguyễn Khắc Hào Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng tích phân nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích toán tích phân từ hàm số dấu tích phân,cận tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp sở giáo viên đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải trình suy luận,trong bước tính tích phân từ hướng em đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập tích phân sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 số đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng trung học chuyên nghiệp năm trước em thận trọng tìm trình bày lời giải giải lượng lớn tập 2/Kết thực nghiệm: Sáng kiến áp dụng năm học 2009-2010 Bài kiểm tra hai đối tượng lớp 12A(49 học sinh) không ¸p dơng s¸ng kiÕn vµo 12B(47 häc sinh) ¸p dơng sáng kiến sau: Xếp loại giỏi Tb Yếu 12A 50% 40% 10% 0% 12B 0% 0% 40% 60% ối tượng Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng thú đặc biệt giải toán tích phân em tính tích phân thận trọng hiểu chất vấn đề không tính rập khuôn cách máy móc trước, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh phần III : kết luận kiến nghị I kết luận: Nghiên cứu, phân tích số sai lầm cđa häc sinh tÝnh tÝch ph©n cã ý nghÜa lớn trình dạy học áp dụng sáng kiến giúp học Nguyễn Khắc Hào Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm sinh nhìn thấy điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo vấn đề từ phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực chủ động cđng cè trau råi thªm kiÕn thøc vỊ tÝnh tÝch phân từ làm chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập kỳ thi tuyển sinh vào trường đại học, cao đẳng , THCN II Kiến nghị: Hiện Trung Tâm GDTX Yên phong có số sách tham khảo nhiên chưa có sách tham khảo viết sai lầm học sinh giải toán Vì Trung Tâm cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo loại để học sinh tìm tòi sai lầm thường mắc giải toán để em tránh sai lầm làm tập tài liệu tham khảo Hướng dẫn ôn tập môn Toán lớp 12 ( Phạm Vĩnh Phúc- Chủ biên - NXB Giáo dục Việt Nam - 2009) Phương pháp giải toán Tích phân Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam NXB Trẻ ) Phương pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên Trần Chí Trung NXB Giáo Dục) Sách giáo khoa Giải tích 12 (Trần Văn Hạo - Tổng Chủ biên NXB GD 2008) Nguyễn Khắc Hào 10 Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức Lê BÝch Ngäc – NXB Hµ Néi – 2005) Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán ( Trần Phương Nguyễn Đức Tấn NXB Hà Néi – 2004) mơc lơc trang phÇn I : më đầu I Đặt vấn đề II Phương pháp nghiên cứu phần II : Nội dung I C¬ së khoa häc II Néi dung thĨ III Hiệu sáng kiến phần III: Kết luận - kiến nghị Nguyễn Khắc Hào 11 Trung tâm GDTX Yên Phong ... kiến kinh nghiệm II - Nhiệm vụ nghiên cứu : -Các phương pháp tính tích phân : PP đổi biến số, pp tích phân phần, Tích phân hàm số lượng giác, tích phân hàm số vô tỷ - Kỹ tính tích phân dùng bảng... Mét sè sai lÇm cđa häc sinh tính tích phân Bài tập minh hoạ dx (x 1) Bài 1: Tính tích phân: I = * Sai lầm thường gặp : I = 2 dx 2 (x  1) = d ( x  1)  ( x  1) 2 =- x 1 2 = - -1 = - * Nguyên... dạng tích phân nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích toán tích phân từ hàm số dấu tích phân,cận tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp sở giáo viên đưa sai lầm