Phát triển tư biện chứng cho học sinh giỏi thông qua khai thác hệ thống tập hình học khơng gian “PHÁT HIỆN VÀ BỒI DƯỠNG NĂNG KHIẾU TỐN HỌC TRONG DẠY HỌC TỐN” Mơn Tốn môn khoa học bản, tảng để phát triển tư trí tuệ người Thực tế cho thấy nhà Tốn học thường có tư khoa học rõ ràng làm công tác nghiên cứu khoa học tốt, Từ thời cổ đại đến nay, nhà Toán học thường có sáng tạo vĩ đại lĩnh vực khoa học khác vật lý, thiên văn, hóa học, văn học, triết học… Chính phát bồi dưỡng học sinh khiếu Toán việc làm quan trọng đòi hỏi người giáo viên dạy học Tốn có kế hoạch kỹ lưỡng Trước hết cần tham mưu tốt với BGH nhà trường có kế hoạch chung cho công tác phát bồi dưỡng học sinh khiếu tốn Việc quan trọng giúp cơng việc hồn thành tốt Một việc làm tổ chức thi tuyển phân loại đối tượng học sinh Tùy theo lực học sinh mà có biện pháp bồi dưỡng cụ thể Bước trình dạy học cần trọng phương pháp giảng dạy phát huy tính tích cực học sinh, cần bồi dưỡng cho em có tình Khơng có hành động tích cực Khơng có niềm tin thành cơng Khơng phát huy tốt tiềm Mơn Tốn học thật chán Khơng hu hoạch kết cao Khơng có niềm tin=> thất bại Có hành động tích cực Niềm tin thành cơng Phát huy tốt tiềm Đam mê mơn Tốn học Thu hoạch kết cao Đam mê+niềm tin= thành cơng cảm tốt đẹp với mơn Tốn Khi em có niềm tin tình cảm tốt với mơn em tiếp thu tốt Để làm việc vấn đề khó giáo viên Trước hết người dạy toán cần phải yêu nghề, yêu học sinh đam mê mơn Tốn học Khơng nên dạy học theo kiểu đổ kiến thức vào đầu học sinh đổ nước vào bình mà cần ý gợi mở để học sinh khám phá biết nghiên cứu khoa học Cần vận dụng tốt phương pháp dạy học tích cực, nắm kỹ cách tiếp cận dạy học môn Tốn Cần phát huy tính sáng tạo, kích thích tò mò khám phá học sinh Điều quan trọng phải biết tự nâng cao kỹ giải tốn cho thân, phải biết tìm tòi, khám phá nhiều dạng tập, phải biết cách khai thác tiềm sách giáo khoa cách có hiệu Từ tốn quen thuộc ta biến đổi giả thiết, thay đổi kết luận tạo tốn mới, kích thích tò mò học sinh Để làm đòi hỏi người thầy phải có kiến thức vững vàng, có lực, siêng năng, sáng tạo Trong chương trình tốn lớp 10 THPT học sinh học hệ thức lượng tam giác vng Các tốn chứng minh tính đại lượng hình học sử dụng hệ thức nhiều Trong đề thi OLYMPIC phần hình học không gian hay khai thác vấn đề Để bồi dưỡng cho học sinh giỏi cần phải có kế hoạch chu đáo, phần hệ thống tập phải xếp trật tự thật hợp lý Giáo viên phải tìm tòi, sáng tạo dạng tập từ đơn giản đến phức tạp, từ hình học phẳng hình học khơng gian, phần phải có gợi mở chuyển hóa để học sinh khám phá sâu toán Bằng cách thay đổi số chiều khơng gian, thay đổi vai trò đối tượng tốn học để có tốn cách giải dựa kiến thức toán biết Từ toán tuyển tập 10 năm đề thi Olympic 30 tháng lớp 11, cố gắng khai thác, đào sâu, sáng tác tốn khác nhằm có hệ thống toán vận dụng hệ thức lượng đơn giản học sinh biết đến Theo hướng này, giáo viên có phương pháp khai thác tốn cách triệt để Từ toán gốc, vận dụng hình thức biến đổi khác nhau, tạo loạt toán từ đơn giản đến phức tạp Trong phần sau hình vẽ tơi dùng Photoshop để vẽ nên hình vẽ đẹp, xác dùng công cụ vẽ Winword Trong Mathtype Equation khơng có ký hiệu ký hiệu đồng dạng mà có ký hiệu , thật khơng xác tơi tự vẽ ký hiệu để dùng Kính gửi thầy xem có thể, tơi kính nhờ thầy sửa chữa chổ thiếu sót Bài tốn Từ hệ thức lượng tam giác vuông: Cho tam giác OAB vuông O CMR 1   OH OA2 OB Chứng minh OA2  OB OA2OB ( AB AH )( AB.BH )   OH   OH  2 2 OH OA OB OA  OB AB  OH  AH BH  OH BH (Do  BOH  AH OH  OAH) Bài toán Cho tam giác OAB vuông O Gọi  ,  góc tạo đường cao OH với hai cạnh OA, OB CMR a) cos 2  cos   sin   sin   cos 2 b) 3 cos   sin  sin    sin   sin   2    OH OH OH OH 2 Chứng minh: a) cos  cos     cos   cos    OA OB OA2 OB OH OH    cos   cos     OH    OH 1 2 2  OA OB OH  OA OB  2 Sin 2  sin   (1  cos 2 )  (1  cos  )   (cos 2  cos  )    b) Đặt a  sin  ; b  sin  ta có a+b=1 cos 2   a; cos    b a b BĐT cần chứng minh trở thành 31a  31b   a  b  3   3 6a 6b 3 a b          (1  a )  (1  2b)    a b 3a 3b 3a 3a 3b 3b 3a 3b 3   3 3 (a  b  2a )  b (a  b  2b)   a (b  a )  b (a  b)  a 3 3 1 1   a  b  (b  a )  bất đẳng thức ln hàm số y  x hàm 3  1  3a 3b   1  số giảm nên ta có:      b  a   1   3a 3b  ab a  b 3  ab Dấu xảy  a=b  cos   cos  hay  OAB vuông cân O Vì tam giác vng, với góc  ,  đề cho ta ln có cos 2  cos   sin   sin   nên ta biến đổi thành Bài toán Cho tam giác OAB vuông O Gọi  ,  góc tạo đường cao OH với hai cạnh OA, OB CMR sin  3 sin   cos 2 cos    cos   cos   2    Cách giải tương tự khác cách đặt chút sau: Đặt a  cos 2 ; b  cos  ta có a+b=1 sin    a; sin    b phần lại làm tương tự Bài tốn Bây ta mở rộng không gian: Cho tứ diện OABC vuông O, đường cao OH CMR 1 1    2 OH OA OB OC Chứng minh: BC  OA    BC  AH BC  OH  Gọi I giao điểm BC AH, ta có OI  BC Áp dụng toán vào  OBC,  OAI ta có 1 1 1 (*),     Thay (*) vào ta có ĐPCM 2 2 OI OB OC OH OA OI Bài toán Cho tứ diện OABC vuông O Gọi  ,  ,  lấn lượt góc tạo đường cao xuất phát từ O với cạnh OA, OB,OC CMR 3sin   3sin   3sin   cos 2 32cos   cos  32cos   cos  32cos  2 2 2 (4.1) Chứng minh: Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác vng AOH, BOH, COH ta có: OH OH OH   OA OB OC OH OH OH 2 2  cos   cos   cos     OA2 OB OC cos  cos   cos   Áp dụng kết tốn vào ta có cos 2  cos   cos   Đặt a  cos  ; b  cos  ; c  cos 2 ta có a+b+c=1 sin    a; sin    b; sin    c , BĐT cần chứng minh (4.1) trở thành  3 9a 9b 9c 1       (1  a )  (1  b )  (1  3c)  3a 3b 3c 3a 3b 3c 3a 3b 3c 1 ( b  c  a )  ( a  c  b )  (a  b  2c)  3a 3b 3c 1 1 1 1 1 1   a  b  b  a    b  c  c  b   c  a   a  c   3  3  3  Bất đẳng thức sau hàm số y  hàm số giảm nên ta có: 3x 1  3a 3b   1        b  a   Dấu xảy 1   3a 3b  ab a  b 3  ab a=b=c  cos   cos   cos  hay tứ diện OABC vuông cân O Chú ý ta thay vai trò hàm sin hàm cosin phải để ý cos 2  cos   cos   sin   sin   sin   (1  cos 2 )  (1  cos  )  (1  cos 2 )    Do ta có tốn cách giải tương tự: Bài tốn Cho tứ diện OABC vng O Gọi  ,  ,  lấn lượt góc tạo đường cao xuất phát từ O với cạnh OA, OB,OC CMR 2(3cos   3cos   3cos  )  sin  32sin   sin  32sin   sin  32sin 2 2 2 Cách giải tương tự: sin   sin   sin   Đặt a  sin  ; b  sin  ; c  sin  ta có a+b+c=2 cos 2   a; cos    b; cos 2   c , BĐT cần chứng minh trở thành 1  3  9a 9b 9c  a  b  c   a  b  c  a (2  3a )  b (2  3b)  c (2  3c)  3 3 3 3   1 (b  c  2a )  b (a  c  2b)  c (a  b  2c)  a 3 1 1 1 1 1 1   a  b   b  a    b  c   c  b    c  a   a  c   bất đẳng thức 3  3  3  ln hàm số y  hàm số giảm, bước lại y hệt 3x  ... chương trình tốn lớp 10 THPT học sinh học hệ thức lượng tam giác vuông Các tốn chứng minh tính đại lượng hình học sử dụng hệ thức nhiều Trong đề thi OLYMPIC phần hình học khơng gian hay khai thác... cho học sinh giỏi cần phải có kế hoạch chu đáo, phần hệ thống tập phải xếp trật tự thật hợp lý Giáo viên phải tìm tòi, sáng tạo dạng tập từ đơn giản đến phức tạp, từ hình học phẳng hình học khơng... phải yêu nghề, yêu học sinh đam mê môn Tốn học Khơng nên dạy học theo kiểu đổ kiến thức vào đầu học sinh đổ nước vào bình mà cần ý gợi mở để học sinh khám phá biết nghiên cứu khoa học Cần vận dụng