Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số Mục lục Trang A phần Mở đầu i Lý chọn đề tài II Mục đích sáng kiến kinh nghiệm III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Đối tượng phạm vi nghiên cứu v Phương pháp nghiên cứu B NộI DUNG Chương 1: Giải toán cực trị hàm số miền giá trị Chương 2: Giải toán cực trị hàm số phương pháp hình học C KếT LUậN Và KHUYếN NGHị D TàI LIệU THAM KHảO -1- Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số A PHầN Mở đầu I Lý chọn đề tài: Trong chương trình toán THPT cực trị phần hấp dẫn, lôi tất người học toán làm toán Các toán phong phú đa dạng Vì vậy, toán cực trị hàm số thường xuyên có mặt kì thi tốt nghiệp THPT k× thi häc chän sinh giái quèc gia, quèc tÕ đề thi vào trường CĐ, ĐH Để giải đòi hỏi người học toán làm toán phải linh hoạt vận dụng cách hợp lý toán Tất nhiên đứng trước toán cực trị người có hướng xuất phát riêng Nói có nghĩa có nhiều phương pháp để đến kết cuối toán cực trị Điều quan trọng ta phải lựa chọn phương pháp cho lời giải tối ưu toán Thật khó thú vị ta tìm đường lối đắn để giải Dạy học sinh học toán không cung cấp kiến thức bản, dạng tập vận dụng sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng hình thành cách tư suy luận toán học học sinh thông qua phương pháp giải toán, từ giúp em có lực tư logic, độc lập sáng tạo để hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo học tập phát triển nhân cách học sinh Vì vậy, để giúp em tự tin việc học toán, xây dựng đề tài : Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số Từ giúp người học toán làm toán có thêm công cụ để giải toán cực trị II Mục đích sáng kiến kinh nghiệm -Giúp cho học sinh có nhìn khái quát phương pháp tìm cực trị hàm số, từ hình thành nên phương pháp giải toán -2- Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số -Góp phần đổi phương pháp giảng dạy môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo học sinh Góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá, giỏi môn Toán trường THPT -Góp phần hình thành lòng say mê, hào hứng học tập môn Toán, từ hình thành phát triển lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh - Ngoài ra, đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho bạn đồng nghiệp việc bồi dưỡng HSG, luyện thi ĐH, CĐ III Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt tốt kết đề tài, người nghiên cứu phải làm yêu cầu sau: - Phải nắm thật vững vị trí, mục tiêu, đặc điểm hệ thống chương trình toán học bậc THPT - Có nhìn khái quát lý thuyết toán cực trị hàm nhiều biến bậc đại học áp dụng vào toán học THPT góc nhìn toán học sơ cấp Từ góp phần giúp giáo viên THPT hiểu chất vấn đề, để áp dụng vào đối tượng học sinh cách có hiệu - Nâng cao dần trình độ học toán làm toán học sinh THPT đáp ứng nhu cầu xà hội thời kỳ CNH, HĐH đất nước IV Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số trường THPT - Phạm vi nghiên cứu học sinh khối lớp 10 trường THPT Yên LÃng Sáng kiến kinh nghiệm gồm chương Chương 1: Giải toán cực trị hàm số miền giá trị Chương 2: Giải toán cực trị hàm số phương pháp hình học Trong chương sau phần trình bày lý thuyết số tập đưa nhằm minh họa cho lý thuyết đà đưa -3- Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số V Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn dạy học Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số chương trình toán học THPT - Nghiên cứu khó khăn học sinh việc giải toán cực trị hàm số, từ tìm hướng giải Đề tài tiến hành nghiên cứu, thực nghiệm lớp 10 trường THPT Yên LÃng Đặc biệt lớp chọn, lớp chuyên đề Đề tài tài liệu tốt cho bạn học sinh khối 12 chuẩn bị thi vào §H, C§ vµ lun thi häc sinh giái -4- Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số B NộI DUNG Chương 1: Giải toán cực trị hàm số miền giá trị 1.1 Phương pháp chung Muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y f x miền D ta làm sau : Gọi y0 giá trị tuỳ hàm số D điều có nghĩa hệ sau cã f  x   y  nghiÖm  x  D 1.1 1.2  Tuú tõng d¹ng bµi cđa hƯ 1.1 , 1.2  mµ ta cã ®iỊu kiƯn cã nghiƯm thÝch hỵp Trong nhiỊu tr­êng hỵp ®iỊu kiƯn Êy (sau biÕn ®ỉi vµ rót gän đưa dạng) y0 (1.3) Vì y0 giá trị f(x), nên từ (1.3) thu f x   vµ maxf  x    xD xD Như để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số dùng phương pháp này, ta quy việc tìm điều kiện để phương trình (thêm điều kiện phụ) có nghiệm 1.2 Kết điều tra khảo sát thực tiễn giải pháp Để thực đề tài cho lớp làm số toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sau: Bài tập 1.1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 2x + 10x + f ( x) = , xẻ 3x + 2x + Lời giải đúng: Gọi y0 giá trị tuỳ ý hàm số Khi phương trình sau có nghiệm -5- Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số 2x  10x   y0 3x  2x  (1.4) Do 3x + 2x + > 0, "x ẻ nên từ (1.4)  2x  10x   3x y  2xy  y   3y   x  2x  y    y   * 3y    y f(x) nhận giá trị (1.5) y   vËy (1.5) hiĨn nhiªn có nghiệm tức với giá trị x Ỵ  * 3y   y (1.5) phương trình bậc hai x Do (1.5) cã nghiƯm vµ chØ   2y 20  19y  35   5  y0 Kết hợp hai trường hợp ta y  y0  (1.6) Tõ (1.6) ta suy maxf (x) = 7, minf (x) = xỴ xỴ Líp 10A1 cã 18/45 häc sinh cho lời giải đúng, 15 học sinh có lời giải sai 12 học sinh lời giải Lớp 10A2có 15/45 học sinh cho lời giải đúng, 24 học sinh có lời giải sai 11 học sinh không cã lêi gi¶i Líp 10A4 cã 10/46 häc sinh cho lời giải đúng, 26 học sinh có lời giải sai 10 học sinh lời giải Bài toán toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số mức độ trung bình số học sinh có lời giải Những học sinh có lời giải sai tính nhầm số không định hướng đựơc cách giải Để khắc phục sai lầm ta làm sau : Bước 1: Nêu phương pháp chung để làm toán cực trị hàm phân thức Bước 2: Cung cấp cho học sinh cách giải biện luận phương trình bậc Bước 3: Cung cấp cho học sinh cách giải bất phương trình bậc Bước 4: Cung cấp cho học sinh cách giải toán so sánh nghiệm Bước 5: Phân tích sai lầm gặp phải gặp dạng toán -6- Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số Sau đưa nhận xét cho học sinh làm tâp 1.2 ta thu kết lớp sau: Bài tập 1.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số x  2x  víi x Ỵ  y x 2x Bài giải Lấy y thuộc miền giá trị hàm số $x ẻ để cho phương trình x  2x  cã nghiÖm  (y  1)x  2(y  1)x  2(y  1)  cã nghiÖm y0  x  2x  TH1: y0 =  x=0 y  y  y  TH2:      2    y  1   y  1  y  6y   y    3  2  y   2 VËy  2  y   2 Tõ ®ã suy max Y =  2 x  y0  y 1   ; minY=3-2 x   y0 y0 Kết thu lớp sau: Học sinh lúng túng coi y lµ h»ng sè x lµ biÕn sè Thứ hai, nhân vế đưa phương trình bậc Tìm điều kiện có nghiệm phương trình häc sinh ë líp 10A2, 10A4 cßn lóng tóng TÊt lời giải sai mắc phải nhận xét Ngoài học sinh không max, đặt đâu Các học sinh lời cách biện luận phương trình bậc Lớp 10A1 có 35 học sinh cho lời giải đúng, 10 học sinh có lời giải sai (77,8%-22,2%) Líp 10A2 cã 28 häc sinh cã lêi giải đúng( 62.2%); 12 lời giải sai (26,7%) học sinh lời giải (11,1%) Lớp 10A4 có 25 học sinh cho lời giải đúng(54,3%), 14 học sinh có lời giải sai (30,4%) học sinh lời giải(15,3%) Bài toán toán tương tự toán 1, sau hướng dẫn phương pháp tìm cực trị đà có nhiều học sinh làm được, bên cạnh nhiều học sinh làm sai làm -7- Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số Nhận xét: Phương pháp miền giá trị áp dụng để tìm Ymax, Ymin a1x b1x c1 phân thức có dạng y a x  b x  c2 víi b 22  4a c2 Từ phân tích cho học sinh làm số tập áp dụng sau: Bài tập 1.3: Tìm giá trị lớn nhất, nhá nhÊt cđa hµm sè f x   4x  3x 1  x  2 Bài giải Gọi y0 giá trị tuỳ ý hàm số f(x) Khi phương trình sau có nghiÖm  4x  3x Èn x 1  x  2  y0 (1.7) (1.7)   y   x   y   x  y   (1.8) * NÕu y0 = phương trình (1.8) trở thành x  vËy (1.8) cã nghiÖm x = * Nếu y phương trình (1.8) cã nghiÖm  hÖ sau cã nghiÖm  y   t   y   t  y    t  Ta cã    y     y    2y     y  Viet ta cã P  (1.9) (1.10) Khi ®ã theo ®Þnh lý y0    VËy c¸c nghiƯm cđa ( 1.9) cïng dÊu, tõ ®ã ®Ĩ hƯ y0  (1.9), (1.10) cã nghiƯm điều kiện :  y      y0   S  y0 2  y   2  y -8- Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số Kết hợp hai trường hợp, phương trình (1.8) có nghiệm Như ta max f (x) = , minf (x) =    y0  NhËn xÐt: Khi cho häc sinh lµm tập ta cần lưu ý sau: Hàm phân thức có dạng trùng phương bậc nên nghiệm phương trình điều kiện phải dương Bài 1.4 ( ta mở rộng 1.3) Tìm giá trị lín nhÊt, nhá nhÊt cđa hµm sè y x 2x đoạn [0,2] x  2x  NhËn xÐt: Bµi tËp tËp nµy có dạng miền xác định D = [0,2] Bài giải Lấy y thuộc miền giá trị hàm số x D để cho phương trình y0  x  2x  cã nghiÖm x  2x   (y  1)x  2(y  1)x  2(y  1) (1.11) có nghiệm đoạn [0,2] Bài toán quay trở tìm tham số y0 để pt (1.11) có nghiệm đoạn [0,2] Ta có tr­êng hỵp sau: f(x)= (y  1)x  2(y  1)x  2(y  1) TH1: a = hay y0 = ®ã x=0   0,2  → y0=1 tho¶ m·n TH2: a  TH2.1: f(0)=2(y0-1), f(2)=10y0-2 f(0)f(2)   2(y  1) 10y     -9-  y0  Mét sè phương pháp giải toán cực trị hàm số     y  1 f(0)  TH2.2:  x1  x    y  1 f(2)  0  0  s   y 20  6y    2(y  1)    (y  1) 10y     0   y    y0   3  2  y   2  y  1      2  y0  5   y      y   Vậy miền giá trị hàm số 2 y0 Ymax=1 đạt x = , Ymin = 3-2 đạt x= Bài tập 1.5 : Cho hàm sè f  x   x  px q x2 Tìm p, q để max f  x   9, minf  x Bài giải Gọi y0 giá trị tuỳ ý hàm số, phương trình x  px  q  y0 x2  (1.12) có nghiệm ẩn x Phương trình (1.12)   y  1 x  px  y  q  (1.13) * NÕu y0 = th× (1.13) cã nghiƯm p  p = q = * Nếu y phương trình ( 1.13) cã nghiÖm      4y 20   q  1 y  p  4q    XÐt phương trình 4t q t  p  4q  - 10 - (1.14) (1.15) Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số t 20 3t Với điều kiện (1.18 ) gọi x0 nghiƯm cđa (1.17) suy x   thay vào (1.16) ta 4y t 20  t  (1.19) Do t 20  t   víi t nên hiển nhiên với điều kiện (1.18) (1.19) có nghiệm, nghĩa (1.18) điều kiện để hệ (1.16),(1.17) cã nghiÖm Nh­ vËy max f  x,y   D 3 3 , minf  x,y  2 D Bài tập tương tự dành cho häc sinh vỊ tù lµm ( cã h­íng dÉn) Bµi 1.7 Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ hàm số y  x2  x  x2  x 1 Hướng dẫn : Làm tương tự 1.3(Đs : y maxf  x   1, minf  x   ) 3 x   1 x Bài 1.8 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhÊt cđa hµm sè y  x   1 x 1 H­íng dÉn: 2t  x    2  t2 Do x    x  nên ta đặt với t  t  1 x    t2 7t  12t  Khi ®ã ta cã y  ,víi  t  5t  16t  ( §/s :ymax= t=0  x=-3 ; ymin= t=1  x=1 ) x  xy  2y Bài 1.9 :Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ cđa hµm sè A= x  xy  y     t2  t  x 72 72 ®ã A  ( §/s:Amax= ,Amin= ) t  t 1 y 3 Bài 1.10 : Tìm giá trị lớn hµm sè f  x,y   x  y Hưóng dẫn: Đăt t= Xét miền D   x,y  : x  4y  H­íng dÉn : Ta cịng gi¶ sư t0 giá trị tuỳ ý hàm số f(x,y) Điều có nghĩa hệ sau ( ẩn x, Èn y) cã nghiƯm - 12 - Mét sè ph­¬ng pháp giải toán cực trị hàm số x  y  t  2  x  y  t  x  4y     2 x  y  t x  4y    x 4y Từ ta tìm miền giá trị t0 hệ toán quay dạng 1.6 ta áp dụng nguyên lý phân rà để tìm tìm giá trị lớn hàm số - 13 - Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số Chương : Giải toán cực trị hàm số phương pháp hình học 2.1 Cơ sở lý thuyết Bất đẳng thức tam giác 1.Với điểm A, B , C ta có : + AB BC AC ( Dấu đẳng thức xảy B nằm đoạn AC ) + AB AC BC (Dấu đẳng thức xảy C nằm đoạn AB ) Cách áp dụng : + Đưa hàm số đà cho dạng : f  x,y   x  a  y  b (a, b lµ hăng số ) +Sau định hệ trục toạ ®é, chän ®iÓm A , B , C cã toạ độ xác định cuối sử dụng hai bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, nhá nhÊt cđa hµm sè ABC :AB  BC  AC  AB  BC 2.2 KÕt điều tra khảo sát thực tiễn giải pháp Để thực đề tài cho lớp làm số toán cực trị kết sau: Bài 2.1 Tìm giá trị nhá nhÊt cđa hµm sè f ( x ) = x + x + + x - x + "x ẻ Bài giải Ta có: f  x   x  x   x  x  2       1  3   x      0       x      2            Trong mỈt phẳng tọa độ Oxy , xét điểm: - 14 - Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số 3 A   ;  ,B  ;  ,C  x;0  2 2     1  3  Khi ®ã ta cã AC   x      2    y 1  3  BC   x       2    AB    3 2 B x O 2  x C 1 2 A  A,B,C , ta có bất đẳng thức: AC BC AB 2 ổ ửữ ổỗ ửữ ổ ửữ ổỗ 1 3ử ỗỗx + ữữ + ỗỗ ữữ + ỗỗx - ữữ + ỗỗ- ữữữ 2, "x ẻ ỗố ỗố ứ çè ÷ø ø èç ÷ø 2 Û f (x) ³ 2, "x Ỵ  DÊu “=” x¶y  C   AB  , ta thÊy O  AB  C  O Hay f    2 VËy: f (x) = 2, "x Ỵ  NhËn xÐt: Líp 10A1 cã 15/45 học sinh cho lời giải đúng, 28 học sinh có lời giải sai 12 học sinh lêi gi¶i Líp 10A2 cã 10/45 häc sinh cho lêi giải đúng, 25 học sinh có lời giải sai 15 học sinh lời giải - 15 - Một số phương pháp giải toán cực trị hµm sè Líp 10A4 cã 2/46 häc sinh cho lêi giải đúng, 24 học sinh có lời giải sai 20 học sinh lời giải Bài toán toán tìm giá trị nhỏ hàm thức mức độ đa số học sinh chưa có lời giải Những học sinh có lời giải sai tính nhầm chưa hình dung phương pháp giải Để khắc phục sai lầm ta làm sau: Bước 1: Cung cấp cho học sinh phương pháp tìm cực trị phương pháp hình học.( Như phần lý thuyết đà cung cấp) Bước 2:Phân tích cho học sinh áp dụng phương pháp tìm cực trị hình học vào đại số( Khi biểu thức có dạng tổng bình phương) Bước 3: áp dụng số bất đẳng thức hình học Bước 4: Học sinh phải nắm vững phần phương pháp toạ độ hình học phẳng Bước 5: Thông qua cách làm học sinh phân tích số sai lầm gặp phải làm dạng toán Sau giáo viên hướng dẫn cho học sinh làm tập sau: Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ cđa hµm sè: f  x   x  x   x  3x  , với x ẻ Lời giải đúng: 2  1  3 3  Ta cã thÓ viÕt: f  x    x       x    2      2  1  3 3      x   0    x    0    2         Víi hai ®iĨm M  x1 ;y1  , N x ;y mặt phẳng toạ độ, ta có: MN x x1    y  y  2 2 y A( ; ) 2 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , đặt: 1 3  1 A ; ;  , C  x;0  , B  2 2    O x C(x;0)  - 16 - 2 x C0 B( ; ) 2 Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số  3  CA   x       2    Khi ®ã ta cã: 2  3    CB   x    0         2  1  3 AB        2 2 2     VËy: f  x   CA  CB A,B,C , lu«n cã bÊt ®¼ng thøc: CA  CB  AB Û f (x) 2, " ẻ Mặt khác, giả sử AB cắt Ox C Ta có: C A  C B  AB Nh­ vậy, đặt x OC f  x   Do ®ã: f (x) = 2, "x Ỵ  Sau h­íng dÉn học sinh cho làm tập kết qu¶ nh­ sau: Líp 10A1 cã 40 häc sinh cho lời giải (88,9%),5 học sinh có lời giải sai (11,2%) Líp 10A2 cã 37 häc sinh cã lêi gi¶i ®óng (82,2%); lêi gi¶i sai (17,8%) Líp 10A4 cã 30 học sinh cho lời giải (65,2%), 11 học sinh có lời giải sai (23,9%) học sinh lời giải (10,9%) Như sau hướng dẫn phương pháp tìm cực trị phương pháp hình học đa số học sinh đà biết vận dụng làm tập Với phương pháp trên, sai lầm chủ yếu học sinh mắc phải dụng đưa toán đại số toán hình học Một số học sinh lúng túng đặt toạ độ tương ứng để đưa toán độ độ dài tam giác Từ phân tích ta cho học sinh áp dụng làm số tập vận dụng sau: Bài 2.3 Tìm giá trị lớn hàm số: Lời giải đúng: Ta cã: f x  f (x) = x - 6x + 34 - x - 6x + 10, "x Ỵ   x  3  25   x  3 - 17 - 1  x   52   x 12 Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số f   Víi x  , dựng ABC vuông A,AC 5,AB x Trên cạnh AC , ta lấy điểm D cho AD  Theo ®Ýnh lý Pitago, ta cã: B BC  AB  AC  x   52 BD  AB  AD  x   12 x3 A D Trong BCD , ta lu«n cã BC  BD  DC  x   52  x   12  Vậy x f x   f  x   x  Suy max f (x) = xẻ Nhận xét: Bài toán dạng hiệu hai biểu thức, ta áp dụng hiệu hai cạnh nhỏ cạnh thứ Bài 2.4 Tìm giá trị lớn nhỏ nhỏ nhÊt cđa hµm sè f  x;y   4x  3y XÐt trªn miỊn D   x;y  : x  y  16  8x 6y Bài giải x;y D , ta cã x  y  16  8x  6y  x  8x  16  y  6y     x     y    32 2 VËy   x;y D điểm nằm đường tròn có tâm I 4;3 , bán kính R  Khi ®ã   x;y   D , ta cã: x2  y2 f  x;y   4x  3y   x  y  16    2 - 18 - C Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số Nối OI cắt đường tròn D M1 , M Khi ®ã   x;y   D , ta cã: OM  OM1  OI  M1 I    M  x;y D y  Mmin OM  x;y D  M  m ax OM  OM  OI  M I    M2 M  x;y D  Mmx;yaxD OM  64 I M1 Mặt khác, ta có: OM  x  y   x  y  64 O x Suy ra:  f  x;y   36 VËy: m ax f  x;y   36; f  x;y   M  x;y D M x;y D Bài 2.5: Tìm giá trị lín nhÊt cđa hµm sè f  x,y,z,t    x  2y   z  2t   xz  yt trªn miỊn D   x,y,z,t  : x  y z t Bài giải Ta viết lại hàm f x,y,z,t nh­ sau f  x,y,z,t    x  1   y   2  z  1   t    2 x  2  y  t   2   x,y,z,t  D điểm M x;y , N z;t nằm đường tròn gốc O bán kính R hệ trục toạ độ Oxy , xÐt ®iĨm P( 1; 2) VËy P (1; 2) nằm đường tròn D y Khi đó, ta cã:  x  1   y    x  z  y  t   z  1   t   2  MP  NP  MN P(1;2) x M O M - 19 - Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số với x;y;z;t D Do MNP nội tiếp đường tròn 0; Mặt khác, tam giác nội tiếp đường tròn tam giác tam giác tam giác có chu vi lớn MNP nội tiếp đường tròn có bán kính cạnh có độ dài: a 15 Vậy: f  x,y,z,t   30 30   max f  x;y;z;t   ,  x;y;z;t   D 2 Bµi 2.6 Tìm giá trị lớn hàm số: f(x,y,z,t)  z  t  2xz  2yt  XÐt trªn miỊn D  (x,y,z,t) : x  y  , z  t Bài giải (x,y,z,t) D , ta cã: v f(x,y,z,t)  (z  x)2  (y  t)2  x  y   (z  x)2  (y  t)2 N0 (x,y,z,t) D tập hợp điểm M(x,y) nằm v u2 N(z;t) đường tròn tâm O(0;0), bán kính R = 1; M0 Tập hợp điểm N(z,t) nằm parabol: v=u2+3 Khi đó, ta cã: MN  (z  x)2  (t  y)2  f(x,y,z,t) VËy: MN2 = M0N0 = , M(x;y) 1 O Víi M0(0;1) ; N0(0;3) 1 Do ®ã, ta cã : f(x,y,z,t)  4.(x,y,z,t)  D  f(x,y,z,t)   D f(0,1,0,3)  (0,1,0,3)  D - 20 - u Mét sè phương pháp giải toán cực trị hàm số Bài 2.7 Tìm giá trị lớn hàm số: f(x,y,z) = x (1 – y) +y(1 – z) + z( 1- x) XÐt trªn miỊn D  (x,y,z) ;  x  ;  y  ; z Bài giải Dựng ABC với cạnh đó: S ABC Trên AB, BC, CA ta đặt đoạn: A AM = x ; BN = z ; CP = y Do  x,y,z nên M trùng A B x P M y N cã thĨ trïng B hc C P trùng C A Lúc này, ta cã: S AMP B z  AM.AP.sin ¢ Hoàn toàn tương tự, ta có: S BMN S CNP  N C z(1  x) y(1 z) Mặt khác, ta có: S CNP  S BMN  S CNP  S ABC 3 3 x 1  y   z 1  x   y 1  z     x,y,z   D 4 4  x 1  y   z 1  x   y 1  z     x,y,z   D  f  x,y,z   VËy lµ  f 1,0,0     x,y,z   D Do ®ã max f  x,y,z    x,y,z D - 21 -  S AMP  Mét số phương pháp giải toán cực trị hàm số Bài tập tương tự cho học sinh nhà làm: ( có hướng dẫn) Bài 2.8 Tìm giá trị lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa hµm sè : f(x;y)  x  y XÐt trªn miỊn : D  (x;y) : x  2y   0;x  y   0;2x  y   0 f(x;y)  20; (min f(x;y)  ( §s (max x;y )D x;y )D 16 ) Bµi 2.9 Cho hµm sè f (y) = y - 4y + + y - 6y + 10 "y ẻ Tìm giá trị nhỏ hàm f (y) Hướng dẫn Hàm số f (y) viết l¹i d­íi d¹ng f (y) = (y - 2) + 22 + (y - 3) + 12 2 Sau hệ trục toạ độ ta chọn điểm A  1;2  ;B  2;3  ;M 1;y , áp dụng bất đẳng thức tam giác AM BM AB Suy giá trị nhỏ nhÊt cđa f (y) ( §s f (y) = 10 )  Bµi 2.10 Cho hµm sè f (x) = x + + x + 16 "x ẻ Tìm giá trị nhỏ hàm sè f (x) H­íng dÉn : Trong hƯ to¹ ®é Oxy , xÐt c¸c ®iĨm A  0;3  ;B  0;4  ;M  x;0  ¸p dơng bất đẳng thức tam giác AM BM AB Từ suy giá trị nhỏ ( Đs minf (x) = ) Bài 2.11 Cho hµm sè f (x) = x - 6x + 13 + x - 12x + 45 "x ẻ Tìm giá trị nhỏ hàm sè f (x) H­íng dÉn : Ta viÕt l¹i hµm f (x) = (x - 3) + + (x - 6) + Trong hƯ to¹ ®é Oxy, xÐt c¸c ®iĨm A  3;4  ;B  6; 1 ;M  x;2  ¸p dơng bÊt đẳng thức tam giác AM BM AB - 22 - Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số ( Đs minf (x) = 34 )  Bµi 2.12 Cho hµm sè f (x) = 2x - 10x + 25 + 2x - x + 24 "x ẻ Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x) Hướng dẫn : Ta viết lại hàm f (x) = (x - 5) + x + (2 - x) + x 2   Trong hệ toạ độ Oxy , xét điểm A 0;5  ;B 6;0 ;M  x;x  ¸p dụng bất đẳng thức tam giác AM BM AB suy giá trị nhỏ ( Đs minf (x) = )  Bµi 2.13 Cho hµm sè f (x) = 5x - 8x + 13 + 5x - x + "x Ỵ  Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x) Hướng dẫn : Ta viết lại hàm f (x) = (x + 2) + (3 - 2x) + (x - 2) + (-2x) 2 2 Trong hệ toạ độ Oxy , xét điểm A 2; 1 ;B  2;2  ;M  x;2  2x áp dụng bất đẳng thức tam giác AM BM AB suy giá trị nhỏ ( Đs minf (x) = ) Bài 2.14 Cho hµm sè f (x) = 10x - 12x + 10 + 10x - 20 x + 20 "x ẻ Tìm giá trị nhỏ hàm sè f (x) H­íng dÉn : Ta viÕt l¹i f (x) = (x - 3) + (3x - 1) + (x + 2) + (3x - 4) 2 Trong hệ toạ độ Oxy , xét điểm A  3;2  ;B  2; 1 ;M  x;3 x áp dụng bất đẳng thøc tam gi¸c AM  BM  AB suy giá trị nhỏ - 23 - Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số C Phần kết luận khuyến nghị Kết luận đánh giá Sau tổ chức dạy học theo phương phỏp đề xuất lớp 10A1 n=45 häc sinh, líp 10A2 n=45 häc sinh, líp 10A4 n=46 học sinh (HS) Qua số liệu ta thấy dạy học sinh có nhìn khái quát hoá dạng toán cực trị học sinh hiểu vận dụng làm tập tốt hơn, điển hình đầu điểm cao nhiều Nội dung SKKN tác giả vùi công nghiên cứu trao đổi thông qua trình học cao học, giảng dạy trường THPT Yên LÃng trao đổi giúp ®ì cđa ®ång nghiƯp ban bÌ, sư dơng mét sè kiến thức toán học cao cấp giải tích lồi, phương pháp tìm cực trị hàm nhiều biến ứng dụng vào giải toán THPT kiến thức toán học sơ cấp Và đà mang lại số kết tích cực đáng khích lệ Nội dung sáng kiến kinh nghiệm đà trình bày cách có hệ thống kiến thức cụ thể chi tiết dạng toán phương pháp tìm cực trị chương trình toán THPT Thông qua SKKN học sinh đà tự tin nhiều học toán từ tạo tính ham học, sáng tạo trình học tư toán 2.Khuyến nghị: Cần nâng cao tư học toán học sinh thông qua phương pháp giải có tính hệ thống Cần giúp học sinh có nhìn khái quát thông qua phương pháp giải, đưa nhận xét có tính xác, phù hợp từ hình thành nên tính tự giác, tích cực, chủ động học tập học sinh Cần xây dựng hệ thống phương pháp giải, dạng tập tương ứng Kiến thức áp dụng cho học sinh giỏi Giảng dạy lớp mũi nhọn trường - 24 - Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số SKKN áp dụng rộng rÃi để bồi dưỡng học sinh giỏi toán, luyện thi ĐH, CĐ Chúng ta đà biết toán tìm cực trị toán phong phú đa dạng Đòi hỏi vận dụng kiến thức cách linh hoạt nội dung đáng lo ngại người học toán làm toán.Trong SKKN đà đưa số công cụ để giải toán tìm cực trị hàm số Mặc dù toán cực trị có nhiều phương pháp giải khuôn khổ SKKN lực thân nhiều hạn chế nên SKKN chưa nêu hết đầy đủ hệ thống phương pháp để giải chúng Tôi kính mong đồng nghiệp đóng góp ý kiến để SKKN hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! Mê Linh, ngày 20/05/2010 Ng­êi thùc hiƯn Th.s Ngun Duy Tr­êng - 25 - Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số D Tài liệu tham khảo 1.Đỗ Văn L­u, Phan Huy Kh¶i , Gi¶i tÝch låi, Nxb khoa häc vµ kÜ thuËt , Hµ Néi Phan Huy Khải (2002), Các toán cực trị hàm số, Nxb Hà Nội Võ Giang Mai, Võ Khắc Thường, Lê Quang Tuấn, ứng dụng tính chất hàm số để giải toán: Bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất, Nxb Thanh Hoá Tạp chí toán học tuổi trẻ(NXBGD) - 26 - ... phương pháp tìm cực trị hàm số, từ hình thành nên phương pháp giải toán -2- Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số -Góp phần đổi phương pháp giảng dạy môn theo hướng phát huy tính tích cực, ... đưa -3- Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số V Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn dạy học Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số chương trình toán học THPT... sinh giái -4- Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số B NộI DUNG Chương 1: Giải toán cực trị hàm số miền giá trị 1.1 Phương pháp chung Muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y f x