SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC, GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ĐỐI VỚI HỌC SINH LỚP 10 Ở TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG Người thực hiện: Nguyễn Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HÓA NĂM 2016 MỤC LỤC Tiêu đề A MỞ ĐẦU………………….…………………………………… B NỘI DUNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM…………………… I THỰC TRẠNG……………………………………………… II CƠ SỞ LÝ LUẬN……………………………… III BÀI TỐN MINH HỌA…………………………………… Một số tốn bất đẳng thức, chứng minh….……… Một số toán phương trình………………………… Một số tốn bất phương trình ……….…………… Một số tập tương tự………………….……………… IV KIỂM NGHIỆM…………………………………………… C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ……………………………………… D TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………… Trang 4 6 10 14 16 17 18 19 A MỞ ĐẦU Hiện nay, tiến hành đổi giáo dục phổ thông Mục tiêu cấp học hướng đến việc hình thành lực nhận thức, lực hành động, lực giải vấn đề, lực thích ứng cho học sinh, phát huy tính tích cực, chủ động, độc lập sáng tạo nhận thức người học, bồi dưỡng lực tự học, gắn học với hành, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh Trong mơn Tốn trường phổ thơng tốn chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình bất phương trình đại số ngày quan tâm mức có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vào vẻ đẹp, tính độc đáo phương pháp giải chúng Bài tập bất đẳng thức, phương trình bất phương trình đại số phong phú đa dạng nội dung phương pháp giải Để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình bất phương trình đại số xuất phát từ nhiều kiến thức khác giải nhiều phương pháp khác nhau, có phương pháp sử dụng tọa độ hình học để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình bất phương trình đại số Với mục đích thay đổi hình thức tốn đại số thơng thường thành tốn sử dụng tọa độ hình học để giải Phương pháp khơng phải chìa khố vạn để giải cho toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình bất phương trình đại số chưa phương pháp phương pháp thích hợp lại có nét lý thú độc đáo riêng nó, giúp học sinh thấy liên hệ mật thiết, qua lại phân mơn mơn Tốn với Đó nội dung mà muốn đề cập đến phạm vi sáng kiến kinh nghiệm này: “Hướng dẫn học sinh sử dụng tọa độ hình học phẳng để chứng minh số bất đẳng thức, giải số phương trình bất phương trình đại số nhằm nâng cao chất lượng học sinh lớp 10 trường THPT” B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I THỰC TRẠNG Trong năm học 2015-2016 phân công giảng dạy mơn Tốn lớp 10A6, 10A7 trường THPT Nông Cống Tôi nhận thấy: Hầu hết học sinh ngại gặp toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình bất phương trình đại số Có học sinh có khả giải toán này, đa số em khơng thể tự nhìn hướng giải toán Qua kết khảo sát lớp 10A6, 10A7 trường THPT Nông cống 3, thu kết sau: Lớp Điểm Giỏi Điểm Khá ĐiểmTB Điểm Yếu Điểm Kém SL SL tỷ lệ SL SL SL tỷ lệ tỷ lệ tỷ lệ tỷ lệ 10A6 1/45 2,2% 4/45 8,9% 14/45 31,1% 19/45 42,2% 7/45 15,6% 10A7 1/47 2,1% 6/47 12,8% 18/47 38,3% 17/47 36,2% 5/47 10,6% Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Toán nhà trường THPT giúp học sinh đạt kết cao kì thi tơi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh sử dụng tọa độ hình học phẳng để chứng minh số bất đẳng thức, giải số phương trình bất phương trình đại số nhằm nâng cao chất lượng học sinh lớp 10 trường THPT” Nhằm đơn giản toán đại số, khắc sâu kiến thức hình học hình thành kỹ giải tốn chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình bất phương trình II CƠ SỞ LÝ LUẬN Kiến thức Khi sử dụng phương pháp tọa độ hình học phẳng để chứng minh số bất đẳng thức giải số phương trình bất phương trình đại số em học sinh cần ôn lại kiến thức khoảng cách hai điểm, bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức véc tơ (SGK hình học 10 sách giáo viên hình học 10) để nhanh chóng nhận dạng tiếp cận với phương pháp  Bất đẳng thức tam giác: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC, CA, AB tương ứng a, b, c Ta ln có: + |b – c| < a < b + c hay |CA – AB| < BC < CA + AB + AB  ( xB  x A )  ( yB  y A ) + Cho điểm A, B, C bất kì, ta ln có  |AC – AB|  BC  AC + AB (*) Dấu “=” xảy AC  AB  BC  AB, AC hướng   Dấu “=” xảy BC  AC  AB  AB, AC ngược hướng   Suy ra, dấu “=” (*) xảy AB, AC phương Như ta chọn A, B, C có tọa độ thích hợp dĩ nhiên liên quan đến bất đẳng thức, chứng minh sử dụng bất đẳng thức suy kết  Bất đẳng thức véc tơ: 2 Cho u  a; b , v   x; y  khác véc tơ khơng Khi đó:   a  k x u , + , v hướng  u  k v, k    b  ky    a  k x u , v ngược hướng  u  k v, k    ,  b  ky       + | u | | v |  u  v  u  v k  k  Bất đẳng thức u  v  u  v đúng, dấu “=” xảy u ngược hướng Dấu “=” bất đẳng thức u  v  u  v xảy     u.v ax  by + cos(u , v)     u.v a  b2 x2  y   c os( u , v)   Do |ax  by | a b x  y 2 | ax  by | 2    v u , v   u , v hướng 1 a  b x  y (*) Bất đẳng thức (*) gọi bất đẳng thức Bunhiacôpxki (*)   a  b x  y  ax  by  a  b x  y Trong đó: Dấu “=” bất đẳng thức  a  b x  y ngược hướng 2 2    ax  by xảy u , v   Dấu “=” đẳng thức ax  by  a  b x  y xảy u , v hướng      u v  u v + Dấu “=” xảy  u , v hướng Các bước thực Bước 1: Khéo léo biến đổi bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình dạng có chứa   u a  b để đặt  (a; b)  ( x A  xB )  ( y A  yB ) đặt A( x A ; y A ), B ( xB ; yB )  2 ac  bd a  b2 c2  d ac  bd a  b2 c2  d   đặt u  ( a; b), v  (c; d ) Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức tam giác bất đẳng thức véc tơ để giải đưa kết luận III BÀI TOÁN MINH HỌA Một số toán bất đẳng thức, chứng minh: Bài toán 1.Chứng minh với số a, b, c ta có: a  ab  b  a  ac  c  b  bc  c Giải Ta nhận thấy:  b   3b  a  ab  b     a         2 2 3c   c   2 a  ac  c     a          2 3c 3b   c b  b  bc  c             2  2 2  b  Xét tọa độ điểm A(a; 0), B   ; 3b   ,C   c 3c    ;   Ta có:   2  b   3b  2 AB     a      a  ab  b     2 3c   c   2 AC     a       a  ac  c     2 3c 3b   c b  2 BC            b  bc  c 2 2     Từ BC  AB + AC suy ra: a  ab  b  a  ac  c  b  bc  c (đpcm) Bài toán Cho a > c > b > c > Chứng minh: c(a  c)  c(b  c)  ab  u Giải Xét véc tơ   c; b  c , v     a  c; c  Khi đó:   cos u , v  u.v u v  Mà c  a  c b  c  c c (a  c)  (b  c) c a b c(a  c)  c(b  c) cosu , v      c a  c  b  c c ab  c(a  c)  c(b  c) ab 1 c(a  c)  c(b  c)  ab  c(a  c)  c(b  c)  ab (đpcm)   u , v hướng Dấu “=” xảy  c c  a  c b  c  ab  ac  bc Hoặc: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki (Bất đẳng thức (*) ) cho số c , a  c , b  c , c , ta có: | c (a  c)  (b  c) c | c  a  c b  c  c  c(a  c)  c(b  c)  a b  ab (đpcm) Bài toán Chứng minh bất đẳng thức sau: x  x  13  x  x  10  17 Giải Biến đổi bất đẳng thức x  x  13  x  x  10  17  (2  x)  (3)  (3  x)  12  (3  2)  (1  3) Xét tọa độ điểm A(x; 0), B(2; -3), C(3; 1)  AB  2  x;3  Ta có:  AC  3  x;1  BC  1;4   AB  (2  x)  (3)  x  x  13 2  AC  (3  x)   x  x  10 BC  (3  2)  (1  3)  17 Ta ln có: AB  AC  BC  x  x  13  x  x  10  17   Dấu “=” xảy AB, AC ngược hướng, tức 2  x  k (3  x) ,     k k   (2 – x).1 = (3 – x).(–3)  x  11 Bài toán Chứng minh với x ta có: 1  x  x   x  x   Giải Biến đổi bất đẳng thức: 1  x  x   x  x   2 2 1   3    3  1    x         x     1 2        1 3  3 A (  x ;0), B  ;  , C   ;  Xét điểm 2 2     Ta có: 2 1   3 AB    x      x  x  2    2    3 AC     x      x  x      2 3  1  BC          1   2  Sử dụng bất đẳng thức AB  AC  BC suy ra: x2  x   x2  x    1  x  x   x  x     Dấu “=” xảy AB, AC phương, tức 1 1           x         x   2 2      (vơ lí) 2 Do dấu “=” khơng xảy Vậy 1  x  x   x  x   (đpcm) Bài toán Chứng minh x   1;3 ta ln có: 10   x  x   10 Giải Tập xác định D   1;3   Xét hai véc tơ: u   4; 3 , v    x; x 1  Khi đó:   cos u , v     Mà cos u, v   u.v u v   x  x   3  x    x  1  x  x  10  x  x    10   x  x   10   Dấu “=”  10   x  x  xảy u, v ngược hướng, 10   Dấu “=”  x  x   10 xảy u, v hướng   u Hay , v phương, tức x   3  x (khơng xảy ra) Do dấu “=” khơng xảy Vậy 10   x  x   10 (đpcm) Một số toán phương trình: Bài tốn 1.Giải phương trình: x  x  32  x  x  18  Giải Tập xác định D  R Biến đổi phương trình dạng: ( x  3)  ( x  4)  3  (4) A( x  4; 4), B ( x  3;3), O(0;0)  x     4  Xét điểm Khi đó:  OA     OB    AB     x  3  x     4   x  3 2   32   32  x  x  32 x  x  18 ( x  3)  ( x  4)  3  (4) 2  50  Ta ln có: OA  OB  AB  x  x  32  x  x  18    Dấu “=” xảy OA, OB ngược hướng, tức  x   k ( x  3) ,    k  k   3( x  4)  4( x  3)  x  Từ suy ra, phương trình có nghiệm x  24 24 Bài toán Giải phương trình: x  x   x  10 x  50  Giải Tập xác định D  R Phương trình biến đổi dạng:  x      1 2   x  5    5 2        1 2 10 ... chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình bất phương trình II CƠ SỞ LÝ LUẬN Kiến thức Khi sử dụng phương pháp tọa độ hình học phẳng để chứng minh số bất đẳng thức giải số phương trình bất phương. .. Tốn với Đó nội dung mà tơi muốn đề cập đến phạm vi sáng kiến kinh nghiệm này: Hướng dẫn học sinh sử dụng tọa độ hình học phẳng để chứng minh số bất đẳng thức, giải số phương trình bất phương trình. .. minh số bất đẳng thức, giải số phương trình bất phương trình đại số nhằm nâng cao chất lượng học sinh lớp 10 trường THPT” Nhằm đơn giản toán đại số, khắc sâu kiến thức hình học hình thành kỹ giải