SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT ĐỒNG XỒI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN ĐỀ TÀI: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A/ PHẦN MỞ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong trình giảng dạy cho em học sinh học sinh lớp 12, dạy “GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT” em thường đặt vấn đề là:“Có cách tìm GTLN-GTNN hàm số hay biểu thức” Thực tế vấn đề GTLN-GTNN em bắt đầu học từ chương trình lớp 8, lớp chương trình bậc THPT Các toán tìm GTLN-GTNN phong phú đa dạng, mang nội dung vô sâu sắc việc giáo dục tư tưởng qua môn toán: tìm tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài … toán, để dần hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tối ưu cho công việc cho sống sau II/TÍNH CẤP THIẾT KHI CHỌN ĐỀ TÀI Các toán tìm GTLN-GTNN có vò trí xứng đáng chương trình học dạy trường phổ thông Các toán đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức vận dụng cách hợp lý, nhiều độc đáo Do em học sinh thường gặp nhiều khó khăn việc tìm lời giải, em đâu, vận dụng kiến thức chương trình học ? Mặt khác đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi Đại Học đề thi HSG toán tìm GTLN-GTNN thường xuyên xuất hiện, thí sinh làm thi thường lúng túng việc tìm lời giải Để giúp em bớt gặp khó khăn có cách nhìn chung vấn đề tìm GTLN-GTNN, viết sau nhằm mục đích hệ thống lại phương pháp tìm GTLN-GTNN hàm số hay biểu thức Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp chân thành q thầy cô đồng nghiệp để viết tổng quát hơn, hay NỘI DUNG I : ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA GTNN - GTLN 1/ ĐỊNH NGHĨA: a/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT: Cho hàm số f(x) có miền xác đònh D.Ta nói M giá trò lớn f(x) miền D ,nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau: 1/ f(x)  M x  D 2/ x0  D : f ( x0 )  M Ký hiệu: M = max f(x) xD b/ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT: Cho hàm số f(x) có miền xác đònh D.Ta nói m giá trò nhỏ f(x) miền D ,nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau: 1/ f(x)  m x  D 2/ x0  D : f ( x0 )  m Ký hiệu: m = f(x) xD Chú ý: Khi nói đến GTLN-GTNN hàm số , ta xem xác đònh tập hợp Cùng hàm số , xác đònh tập khác , nói chung GTLN –GTNN tương ứng khác 2/ CÁC TÍNH CHẤT Sau môt số tính chất GTLN-GTNN để học sinh tham khảo xem ví dụ cho toán GTLN-GTNN mà sách giáo khoa chưa đề cập a/ Tính chất 1: Giả sử A  B, ta có : */ max f ( x)  max f ( x) x A xB f ( x)  f ( x) **/ x A xB b/ Tính chất 2: Giả sử D = D1  D2, ta có:   **/ f ( x)  min f ( x), f ( x) */ max f ( x)  max max f ( x), max f ( x) xD xD1 xD xD1 xD2 xD2 c/ Tính chất 3: Nếu f(x)  x  D , ta có: */ max f ( x)  max f ( x) xD xD f ( x)  f ( x) **/ xD xD d/ Tính chất 4: */ max[ f ( x)  g ( x)]  max f ( x)  max g ( x) xD **/ xD xD min[ f ( x)  g ( x)]  f ( x)  g ( x) xD xD xD  f ( x)) e/ Tính chất 5: max f ( x)   min( xD xD f ( x) thì: f/ Tính chất 6: Nếu đặt M = max f ( x) vaø m = xD max f ( x)  max  M , m  xD xD NỘI DUNG 2: HỆ THỐNG LẠI CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌNH GTLN-GTNN PHƯƠNG PHÁP 1: ĐƯA VỀ DẠNG BÌNH PHƯƠNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ: A2  0, dấu xãy A = 1/ KIẾN THỨC Ở CẤP 2: Ở cấp nhìn chung toán thường giải cách đưa dạng bình phương , chẳng hạn ta nhắc lại số dạng sau : Ví dụ 1: Với giá trò x biểu thức : y = x2 – 2x + có giá trò nhỏ (SGK lớp 8) Giải : Hàm số y = x2 – 2x + xác đònh x  R Ta coù : y = x2 – 2x + = (x – 1)2 +  x  R Dấu “=” xãy x – =  x  y = x = Vaäy xR Ví dụ 2: Với giá trò x biểu thức : y = 18 – 6x – x2 có giá trò lớn nhất(SGK lớp 8) Giải: Hàm số y = 18 – 6x – x2 xác đònh x  R Ta coù y = 27 – (x +3)2  27 x  R Dấu “=” xãy x+3 =  x  3 Vaäy max y = 27 x = -3 xR 2/ KIẾN THỨC Ở CẤP 3: Sang cấp phương pháp bình phương ta giải toán sau: Ví dụ 3: Gọi  góc cố đònh cho trước Tìm giá trò nhỏ hàm số : y = tan2(x+  ) + tan2(x -  ) Giaûi: 1 [tan(x+  ) +tan(x -  )]2+ [tan(x+  ) -tan(x -  )]2 2 sin x sin 2  = cos ( x   ) cos ( x   ) cos ( x   ) cos ( x   ) Ta coù : y = sin 2 x  sin 2 = cos ( x   ) cos ( x   ) = 2(sin 2 x  sin 2 ) (cos x  cos 2 ) Nhận xét: + Tử số đạt giá trò nhỏ sin 2x = , cos 2x =  + Mẫu số đạt giá trò lớn (1 + cos  )2 neáu cos   cos 2x = (-1 +cos  )2 cos   cos 2x = -1 2sin 2  tan  Vậy :i/ Nếu cos   miny = (1  cos 2 ) ii/ Neáu cos  < miny = 2sin 2  2cot  (1  cos 2 ) Ví dụ 4:Cho tam giác ABC Tìm giá trò lớn của: P = cosB + 3( cosA + cosC) Giaûi: AC AC B AC cos = cosB + sin cos 2 2 B B A  C = (1 – sin2 ) + sin cos 2 B B  2 sin + sin + 2 B 5  2 3(sin  )   2 2 A  C  cos   A  C  300 Suy : maxP =   B  B  120 sin   2 Ta coù : P = cosB + 6cos Ví dụ 5: Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ f(x,y) = cosx + cosy – cos(x+y) với x;y   ;   Giải: Ta có : f(x,y) = cosx + cosy – cos(x+y) = 2cos x y x y x y cos - cos2 +1 2 x y x y x y - cos cos ] +1 2 x y x y x y x y x y = -2[cos2 - cos cos + cos ] + cos +1 2 2 2 x y x y x y = -2(cos - cos ) + cos +1 2 2 Suy f(x,y)    x, y  R 2  x y cos  Dấu “=” xãy  cos x  y  cos x  y  2    x y  x y  x  sin  sin      x y cos x  y  cos x  y   y    2  2  = -2 [cos2 Mặt khác x;y   ;   cosx  1 ; cosy  1 ; - cos(x+y)  1  f ( x, y )  3 x    x     y    y   Dấu “=” xãy     x  3  x y Vaäy max f(x,y)=  y    x    x   f(x,y) = -3    y    y   PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1/ Bất đẳng thức Cauchy: Nếu a1, a2 ,a3 ,……, an số không âm, ta coù : a1  a2  a3   an n  a1a2 a3 .an n Dấu “=” xảy a1 = a2 = a3 = … = an 2/ Bất đẳng thức Bunhiacopski: Nếu a1, a2 ,a3 ,……, an vaø b1 ,b2 , b3 , … ,bn 2n số tùy ý , ta coù : (a12 +a22 +a32 +….+an2)(b12 + b22 + b32 +… + bn2)  (a1b1 + a2b2 +…….+anbn)2 Daáu “=” xảy a a1 a2    n b1 b2 bn (với quy ước phân số bi = = 0) bi Ví dụ 1: Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ hàm số : f(x) = x    x xét miền D = [1;5] Giải: Dựa vào tính chất sau bất đẳng thức: Nếu a,b  a  b  a  b Theo tính chất : Nếu f(x)  x  D , ta có ; 1/ max f ( x)  max f ( x) xD xD f ( x)  f ( x) 2/ xD xD Ta thấy hàm số f(x) = x    x  f 2(x) = + ( x  1)(5  x) x  D , nên sử dụng tính chất ta có :  f ( x)  4, x  D Từ ta có :   f (1)  f ( x)   f ( x)  Vậy xD xD Theo bất đẳng thức Cauchy , ta coù : f 2(x) = + ( x  1)(5  x)   [( x  1)  (5  x)]  f ( x)  8, x  D Mặt khác f2(3)=8 Vậy max f ( x)   max f ( x)  2 xD xD Ví dụ 2:Tìm giá trò nhỏ hàm số :f(x) = x100 – 10x10 + 10 với x  R Giải: p dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có : 10 100 10  1    x 100 + 1 1  10 x = 10x so :x100 Suy – 10x10 +   f ( x)  1, x  R Mặt khác f(1) = f ( x)  Vậy xR Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nhọn Tìm gtnn P = tgA + tgB + tgC Giải : Ta có A + B + C =   tg ( A  B)  tg (  C )  tgC  tgA  tgB  tgC  tgAtgBtgC p dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA , tgB , tgC, ta coù : P = tgA + tgB + tgC  3 tgAtgBtgC  P  3 P  27 P  P  P  27  P  3 Dấu “=” xảy tgA = tgB = tgC  A  B  C Vaäy P = 3 tam giác ABC tam giác Ví dụ 4: Tìm giá trò nhỏ y =  (0;1) 1 x x Giải : 2  2x  2x 1 x  x 2x 1 x 2x  x    1 = +  = =2+ 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x Vì x  (0;1)   x > y= Theo baát đẳng thức Cauchy , ta có : 2x 1 x 2x  x 2 2  1 x x 1 x x  y  3 2 2x  x  Dấu “=” xảy  (1  x)  x  x  x    x   1 x x Vaäy y   2 x   x(0;1) Ví dụ 5: Ba đại lượng biến thiên x , y , z thỏa mãn điều kiện : xy+yz+zx = 4.Tìm giá trò nhỏ biểu thức : A = x4 + y4 + z4 Giải: p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : 16 = (xy + yz + zx)2  (x2 + y2 + z2)(y2 + z2 + x2) = (x2 + y2 + z2 )2 Suy : x2 + y2 + z2  Cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta coù : 16  ( x  y  z )2  (12+12+12)(x4+y4+z4)=3(x4+y4+z4) Suy :x4+y4+z4  16 Dấu “=” xảy x = y = z =  Vaäy A = 3 16 x = y = z =  3 Ví dụ 6: Tìm gtln hàm số : y = sinx +  sin x  sin x  sin x Giải: Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : Sinx +  sin x  (12  12 )(sin x   sin x)  Theo baát đẳng thức Cauchy, ta có: sin x  sin x  sin x  sin x  sin x(2  sin x)  (sin x   sin x)  Vaäy y = sinx +  sin x  sin x  sin x  sin x   sin x    sin x   x   k 2, k  Z Dấu “=” xảy sin x  sin x  2 sin x   sin x  Vaäy : max y =  x   k 2, k  Z Ví dụ 7: Tìm giá trò lớn hàm số : y = x2  4 x Giải : + Tập xác đònh hàm số : D = [2;4] Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : y = x    x  12  12 x    x  Dấu “=” xảy x    x  x  Vaäy max y = x = [2;4] Nhận xét : Ở ví dụ ta cần tìm giá trò lớn nên ta sử dụng bất đẳng thức để tìm , với hàm số y = x    x ta cần tìm giá trò lớn giá trò nhỏ cách làm gọn sử dụng đạo hàm để tìm miền giá trò hàm số từ ta tìm GTLN GTNN hàm số Phương pháp sử dụng miền giá trò hàm số phương pháp hay , thuận lợi cho học sinh việc tìm GTLN –GTNN PHƯƠNG PHÁP : SỬ DỤNG MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ : KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1/Cho hàm số y = f(x) xác đònh D , có miền giá trò T y0  T  phương trình y0 = f(x) có nghiệm x  D  m  y0  M ( dấu “=” xảy được) f ( x)  m vaø max f ( x)  M Khi xD xD 2/ Phương trình : asinx + bcosx = c có nghiệm a2 + b2  c2 Như để tìm GTLN –GTNN hàm số theo phương pháp ta quy việc tìm điều kiện để phương trình ( có thêm điều kiện phụ ) có nghiệm Ví dụ 1: Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ hàm số :y = 2x 1 x x4 Giải: + Tập xác đònh D = R.Gọi T tập giá trò hàm số Gọi y0  T  phương trình y0 = 2x 1 có nghiệm x  R x x4  phương trình :y0x2 + (y0 – 2)x + 4y0 + 1= (1) có nghiệm x  R Ta xét hai trường hợp : /  Nếu y0  (1) có nghiệm    15 y0  y0    Neáu y0 = (1)  - 2x + =  x  4  19 4  19  y0  ( y0  0) 15 15 4  19 4  19  y0  Kết hợp hai trường hợp ta có pt (1) có nghiệm  15 15 4  19 4  19 y Vậy max y  x  R xR 15 15  Ví dụ 2: Xác đònh tham số a b cho hàm số : y = lớn đạt giá trò nhỏ -1 Giải:+ Tập xác đònh D = R ax  b đạt giá trò x2  Giải: Tập xác đònh : D = [1;5] f/(x) = 1  x  x 1   x 1  x  x x 1 1  x   x3 5  x  x  f/(x) =   x  x    BBT: x - f/(x) + f(x) 2 Suy : x  [1;5] +   f ( x)  2 x  Vaäy: f ( x)   , max f ( x)  2 x  x[1;5]  x  x[1;5] Ví dụ 3:Tìm giá trò lớn hàm số :y = sinx + sin 2x Giải: Miền xác đònh: D = R y/ = cosx + 6cos 2x = 12cos2x + cosx –  cos x  y/ =   cos x    5 sinx =   y  sin x  6sin x cos x   3 3 7  y  sin x  6sin x cos x   2/ Với cosx = - sinx =  5 cos x  ,sin x  Vaäy : max y  xD 3 1/ Với cosx = Chú ý : Trong ví dụ sau xét hàm số cho theo biến x ta khó xét tính đơn điệu hàm số , đặt ẩn phụ t ta đưa hàm số dạng hàm số theo biến t quen thuộc với học sinh lớp 12 dạng hàm số mà em khảo sát vẽ đồ thò chương trình lớp 12 Ví dụ 4:Với giá trò x ,hàm số sau đạt giá trò nhỏ nhất: y = lg2x + lg x  2 Giaûi: Miền xác đònh D = (0;+  ) Đặt t = lg2x , t  0.Khi y = t + y/ = - t2 (t  1)(t  3)   t  (t  2) (t  2) Do hàm số đồng biến [0;+  ) Suy y(t)  y (0)  y Vaäy : xD 2 , t  x 1 Giải: Hàm số xác đònh với x  R Ñaët t = sinx , t  [1;1] t 1 xác đònh [1;1] t  t 1 t  t  2t y/ = , y/ =   (t  t  1) t  2  (1;1) y(0) = , y(1) = , y(-1) = Vaäy : max y  t   sin x   x  k  (k  Z) Khi y = xR y  t  1  sin x  1  x   xR   k 2 (k  Z) Ví dụ 6: Tìm giá trò nhỏ hàm số : y = x  1  2( x  )  x x Giải: Hàm số xác đònh với x  Đặt t = x + x t  t  2 , điều kiện : t    Khi y = t2 – 2t + = g(t) BBT: x y/ y - + y/ = 2t – =  t  -2 - 11 + + + + x y  y  g (2)  t   x    x  Vaäy: x0 t 2 Ví dụ 7: Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ hàm số : y= cos x  2sin x  cos x  sin x  x  (;  ) Nhận xét : Ở toán ta giải theo phương pháp miền giá trò hàm số ta x hàm số đạt GTLN , GTNN.Như ta không trả lời yêu cầu đề Vì ta phải giải cách đặt ẩn phụ Giải: Đặt t = tg x , x  (;  ) neân t  R 1 t2 2t , sin x  1 t 1 t2 t  2t  Suy y = t t 3 t  y  3t  2t  / /  ,y 0 y =   2  (t  t  3) t y 11   Khi : cosx = BBT: x - y/ - + + - y Vaäy: 11 x   x  2 với tg  (  ;  ) 4 x 4 y  t   tg   x   với tg    (  ;  ) 11 3 max y  t   tg Ví dụ 8: Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ hàm số : y= cos x  sin x Giải: Hàm số có chu kỳ T =  Vì y  tính chất chẵn , lẻ hàm số sinx , cosx nên ta cần xét hàm số y= cos x  sin x miền xác đònh D = [0;   ] Đặt t = cosx + sinx = cos( x  ) Vì  x   1 t  2 Ta coù : y2 = t + 2t   f (t ) y/ (t) = + 2t 2t   , t  [1; 2] Do với t  [1; 2] hàm số y= cos x  sin x hàm đồng biến y  y (1)  , max y  y ( 2)  2 Vậy : xD xD PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ VÀ HÌNH HỌC KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Trong tất đường gấp khúc nối hai điểm A , B cho trước đường thẳng nối hai điểm A , B có độ dài nhỏ  Trong tam giác , tổng hai cạnh lớn cạnh thứ ba  Cho điểm M đường thẳng d cho trước , độ dài đoạn vuông góc kẻ từ M xuống d ngắn đường xiên kẻ từ M xuống đường thẳng  Trong tam giác nội tiếp đường tròn tam giác có chu vi diện tích lớn Trong thực tế phương pháp tìm GTLN-GTNN phương pháp hình học , làm quen nhiều cấp , chẳng hạn : “ Trong tam giác có cạnh đáy diện tích , tam giác có chu vi nhỏ nhất”hay “ Chứng minh tam giác có cạnh đáy diện tích , tam giác cân có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.” Như toán tìm GTLN-GTNN phép biến đổi quy kiện hình học mà phương pháp đồ thò hình học ta dễ dàng giải sử dụng phương pháp Ví dụ 1: Tìm giá trò lớn hàm số : y= f(x)= x  x  34  x  x  10 miền xác đònh D = R B Giải: Ta vieát f (x) = A D x   52  x   12 Khi : f(3) = Dựng tam giácABC vuông taïi A, AC = , AB = x  C Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD = Theo đònh lý Pitago, ta có : BC = AB  AC  BD = x   52 AB  AD  x   12 Trong tam giác BCD ta có: BC – BD < DC Tức : x   52  x   12 < Vaäy : f(x) < , x  , f(3) = Từ suy : max f ( x)  xR Ví dụ 2:Tìm giá trò nhỏ hàm số: f(x) = x  x   x  x  miền xác đònh D = R Giải : y - B -1 C O Ta coù : A f(x) = ( x  )2  ( 3 )  ( x  )2  ( )2 2 2 = [ x  ( )]2  [0  ( - 3 )]  ( x  )  (0  ) (1) 2 Xét điểm A(- ;  3 ) , B( ; ) vaø C (0;x) mặt phẳng tọa độ Oxy 2 Từ (1) ta có : f(x) = CA + CB Rõ ràng : CA + CB  AB với AB =  ( 3)2  Vaäy : f(x)  x  R Dấu “=” xảy  ba điểm A , B , C thẳng hàng  C  O f ( x)  Vaäy : xR Ví dụ 3: Tìm giá trò lớn giá trò nhỏ hàm số : f(x,y) = 4x + 3y có miền xác đònh D = ( x, y ) : x  y  16  x  y x Giải: Nếu (x,y)  D ta có : x2 + y2 +16 = 8x + 6y  ( x  4)2  ( y  3)2  Vaäy D đường tròn tâm O1( 4; 3), bán kính R = M M2 O1 M1 O Khi (x,y)  D ta coù : f(x,y) = 4x + 3y = x x  y  16   ( x2  y ) 2 (1) Xét điểm M(x;y) D Nối OO1 cắt đường tròn D M1 , M2 OM  OM  OO1  MO1    Khi : M ( x ; y )D max OM  OM  OO1  O1M    M ( x ; y )D Vì x2 + y2 = OM2 nên từ (1) ta suy : max f ( x, y )  40 vaø f ( x, y )  10 M ( x ; y )D M ( x ; y )D PHƯƠNG PHÁP 7: PHƯƠNG PHÁP VECTƠ KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1/ Các đẳng thức vectơ:   Trong không gian n chiều , cho hai vectô : a  (a1 ; a2 ; ; an ) , b  (b1 ; b2 ; ; bn )   Khi : * a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; ; an  bn )   * a  b  (a1  b1; a2  b2 ; ; an  bn )  * k a  (ka1; ka2 ; ; kan ) với k  R  * a.b  a1b1  a2b2   anbn      * a.b  a b cos(a, b)  * a  a12  a2   an 2/ Các bất đẳng thức :    * a.b  a b         * ab  a  b * ab  a  b Dạng 1: sử dụng bất đẳng thức :    a.b  a b Ví dụ 1: Tìm giá trò lớn hàm số : y = Giải:  Xét hai vectơ: a  (0;1)   a 1 vaø   x2 2x 2x   Mặt khác : a.b  2 1 x 1 x  x2    x Do a.b  a b  1 x 1   Dấu “=” xảy  a phương với b x   x2     x  1 x  1 Vaäy : max y =   x  1 x x 1   x2 2x b( ; )  x2  x2   b 1 Ví dụ 2: Cho x2 + y2 = 1.Tìm giá trò lớn biểu thức : A = Giải:  Xét hai vectơ : a  (0;1)  vaø b  ( y  3x ; ) 2 y 2 y 3x 2 y   a 1  y 1 3x b ( ) ( ) 2 y 2 y  b y2  y  1 (2  y )  y 1 3x 3x Mặt khác : a.b    2 y 2 y 2 y x y  1 x    3x 3x Do a.b  a b  1  A  1 2 y 2 y   Daáu “=” xảy  a phương với b 2 y      3x 2  y      a.b  a b  2x 1  x2  y     x     y    Vaäy : max A =  x    Ví dụ 3: Tìm giá trò lớn biểu thức :A = sinx.siny.sinz +cosx.cosy.cosz Giải:   Xét hai vectơ: a  (sin x.sin y;cos x.cos y ) vaø b  (sin z;cos z )   a.b = sinx.siny.sinz + cosx.cosy.cosz   a b  sin x.sin y  cos x.cos y sin z  cos z = sin x.sin y  cos x.cos y    Do a.b  a b  sinx.siny.sinz + cosx.cosy.cosz  sin x.sin y  cos x.cos y  A  sin x.sin y  cos x.cos y  (sin x  cos x).(sin y  cos y ) 1 (1  sin 2 x).(1  sin 2 y )  2 cos x  cos x  1 cos x  1 cos x  Dấu “=” xảy  cos y   cos y  1  cos y   cos y  1 cos z  cos z  cos z  1 cos z  1      Vaäy : max A = Ví dụ 4: Tìm giá trò lớn hàm số : y= sinx +  sin x  (sin x)  sin x Giải:  Xét hai vectơ : u  (sin x;1;  sin x )   v  (1;  sin x ;sin x)   u  sin x    sin x    v    sin x  sin x  Mặt khác : u.v  sin x   sin x  (sin x)  sin x    Do u.v  u v  sinx +  sin x  (sin x)  sin x    Dấu “=” xảy  u, v hướng  sin x  sin x   sin x  sin x  y3 sin x   2   sin x  sin x    sin x   x   k 2  (k  Z ) Vaäy : max y= x=  k 2 (k  Z ) Ví dụ 5: Gọi  ,  ,  ba góc tạo đường chéo hình hộp chữ nhật với ba cạnh phát xuất từ đỉnh cos   cos   cos   Tìm giá trò lớn biểu thức : A = cos    cos    cos   Giaûi:  Xét hai vectơ : u  ( cos   1; cos   1; cos   1)   u  cos    cos    cos      v  vaø v  (1;1;1)  Mặt khác : u.v = cos    cos    cos      Do u.v  u v  cos    cos    cos    21  A  21   Dấu “=” xảy  u, v hướng cos   cos   cos      1  cos   cos   cos   Vaäy : max A = 21     Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức : a  b  a  b Nhận xét chung : Phân tích đề cách khéo léo để chọn tọa độ vectơ thích hợp giải toán nhẹ nhàng Ví dụ 1: Tìm giá trò nhỏ hàm số : y = x  x   x  x  Giải: Nhận xét : x2 – 2x + = (1 – x)2 +22 , x2 + 2x + = (x+1)2 +22 Suy ta chọn hai vectơ có tọa độ thích hợp cho y tổng độ lớn hai vectơ   Xét hai vectơ: a  (1  x; 2)  a  (1  x)   x  x    b  ( x  1; 2)  b  ( x  1)   x  x         c  ab  Maø : c  a  b  (2; 4)     Do : a  b  a  b  x2  2x   x2  2x    y2   Dấu “=” xảy  a, b hướng  1 x  1 x  x  Vaäy : y = x = Ví dụ 2: Tìm giá trò nhỏ biểu thức : A = cos x.cos y  sin ( x  y )  4sin x.sin y  sin ( x  y ) Giải: Nhận xét : Ta chọn hai vectơ có tọa độ thích hợp cho A tổng độ lớn hai vectơ   Xét hai vectơ: a  (2 cos x.cos y;sin( x  y ))  a  cos x.cos y  sin ( x  y )     b  (2sin x.sin y;sin( x  y ))   b  4sin x.sin y  sin ( x  y ) Maø : c  a  b  (2sin x.sin y  2cos x.cos y;2sin( x  y ))  (2cos( x  y );2sin( x  y ))     c  a  b  4[cos ( x  y )  sin ( x  y )]      p dụng bất đẳng thức : a  b  a  b  cos x.cos y  sin ( x  y )  4sin x.sin y  sin ( x  y )   A2 Dấu “=” xảy  x  y  k  Vaäy : A = x  y  k  (k  Z ) (k  Z ) Ví dụ : Tìm giá trò nhỏ biểu thức : A = cos x  cos y  sin x  sin y Giải: Nhận xét : Ta chọn ba vectơ có tọa độ thích hợp cho A tổng độ lớn ba vectơ   Xét ba vectô : a  (cos x;cos y )  a  cos x  cos y   b  (sin x;0)  b  sin x   c  (0;sin y )  c  sin y    Maø : a  b  c  (cos x  sin x;cos y  sin y )  (1;1)     abc        p dụng bất đẳng thức : a  b  c  a  b  c  cos x  cos y  sin x  sin y   A  x  k (k , m  Z )  y  m  x  k  (k , m  Z )  y  m Dấu “=” xảy   Vậy : A = Ví dụ 4: Tìm giá trò nhỏ biểu thức : A = x   x  xy  y   y  y  10 Giải:  Xét ba vectơ : a  ( x; 2)   a  x2    b  ( y  x;1)  b  ( y  x)   x  xy  y    c  (3  y;1)  c  (3  y )   y  y  10         Maø : d  a  b  c  (3; 4)  d  a  b  c        p dụng bất đẳng thức : a  b  c  a  b  c  x   x  xy  y   y  y  10   A5    Dấu “=” xảy  a, b, c hướng  x   x  2( y  x)    y  x  3 y y     x  Vaäy : A =  y   Ví dụ 5: Tìm giá trò lớn hàm số : y = x  x   x  12 x  136 Nhận xét : Ta chọn hai vectơ có tọa độ thích hợp cho y giá trò tuyệt đối hiệu độ lớn hai vectơ Giải:   Xét hai vectơ : a  ( x  1; 2)  a  ( x  1)2   x  x    b  ( x  6;10)  b       Maø : c  a  b  (5; 8)  c  a  b   p dụng bất đẳng thức : a  b   ( x  6)  100  x  12 x  136  89    a b  c  x  x   x  12 x  136  89  y  89   Dấu “=” xảy  a, b hướng Vậy : max y =  x   5( x  1) x 89 x   Ví dụ 6: Cho n số thực : a1, a2 , …., an Tìm giá trò nhỏ biểu thức : A = (1  a1 )2   (a1  a2 )2    (an 1  an )2   (n   an )2  Giải:  Xét ( n + ) vectô : v1  (a1  1;1)   v1  (a1  1)   (1  a1 )    vk  (ak  ak 1 ;1)  vk  (ak  ak 1 )  (k  2, n)   1  (n   an ;1)  1  (n   an )      Khi ñoù : d  v1  v2   1  (n  1; n  1)      d  v1  v2   1  (n  1) p dụng bất đẳng thức :       v1  v2   1  v1  v2   1  (1  a1 )   (a1  a2 )    (an 1  an )   (n   an )   (n  1)  A  (n  1)    Dấu “=” xảy  v1 , v2 , , 1 hướng  a1   a2  a1   an  an 1  n   an  ak  k  , k  1, n Vaäy : A = ( n +1 ) NỘI DUNG 3: MỘT SỐ ĐỀ THI ĐỂ HỌC SINH THAM KHẢO Đề 1: Cho ba số dương a, b, c thỏa abc = Tìm giá trò nhỏ cuûa : P= bc ac ab   2 a b  a c b a  b c c a  c 2b Đề 2: Cho f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)3 – 2sin 2x + m Tính theo m giá trò lớn f(x) Từ tìm m cho f2(x)  3, x Đề 3: Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ hàm số : y = 2sin8x + cos42x Đề 4: Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ hàm số : y = x +  x2 (Khoái B : 2003) Đề 5: Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ hàm số : y = x6 + 4(1 – x2)3 ( dự bò khối B : 2003) Đề 6: Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ hàm số : y = sin5x + cosx ( dự bò khối A : 2003) Đề 7: Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ hàm số : y= x 1 x2  đoạn [-1; 2] (Khối D : 2003) Đề 8: Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ hàm số : ln x y= đoạn [1 ; e2] ( Khối B : 2004) x  x  my   4m Đề 9: Gọi (x;y) nghiệm hệ phương trình :  với m tham mx  y  3m  số Tìm giá trò lớn biểu thức : A = x2 + y2 -2x m thay đổi (dự bò khối A:2004) Đề 10: Cho hàm số f(x) = ex – sinx + x2 Tìm giá trò nhỏ hàm số f(x) Chứng minh phương trình f(x) = có ba nghiệm (dự bò khối B:2004) III/ PHẦN KẾT LUẬN Các toán GTLN-GTNN toán phong phú , đa dạng , đòi hỏi người giải phải biết cách nhìn , nhiều toán có lời giải lời giải nhờ việc khai thác đắn đặc điểm dạng toán Nhìn lượng chất tập sách giáo khoa , không đủ cho em học sinh rèn luyện Do viết cầu nối giúp em nhìn vấn đề cách hệ thống , khái quát , làm hành trang cho em kỳ thi Khi dạy cho học sinh chuyên đề , thấy em thích thú , gặp đề tương tự em vận dụng cách giải cách linh hoạt , có đề em lại giải nhiều cách khác Mặt khác dạng toán luyện thi em thường xuyên đụng đến toán tìm GTLN-GTNN ( ví dụ : tìm tham số m để phương trình có nghiệm, tìm m để hàm số f(x) đơn điệu khoảng (a;b),…)khi chuyên đề hữu ích cho em em giải toán luyện thi đạt kết tốt IV/ TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1/ Sách giáo khoa Giải Tích 12 Ngô Thúc Lanh 2/ Sách Giải Tích nâng cao Phan Huy Khải 3/ Chuyên đề khảo sát hàm số Ngô Tấn Lực 4/ Giá trò lớn , giá trò nhỏ Nguễy văn Nho 5/ Các phương pháp kỹ thuật đặc biệt giải toán THPT Nguyễn văn Q 6/ Các toán phương pháp vectơ Nguyễn Mộng Hy NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ TOÁN ... Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ hàm số : y = sin5x + cosx ( dự bò khối A : 2003) Đề 7: Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ hàm số : y= x 1 x2  đoạn [-1 ; 2] (Khối D : 2003) Đề 8: Tìm giá trò lớn , giá. .. x Đề 3: Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ hàm số : y = 2sin8x + cos42x Đề 4: Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ hàm số : y = x +  x2 (Khối B : 2003) Đề 5: Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ hàm số : y = x6...  x  1   y   2 y/ =  x  x     x -  -1 - -1 + y/ + - + y + + + + 3+2 Vaäy : y   2 x  1  (0;1) Ví dụ 2: Tìm giá trò lớn , giá trò nhỏ hàm số : f(x) = x    x xeùt miền D =