Đang tải... (xem toàn văn)
Trong các bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp, công thức khai triển nhị thức Newtow luôn tỏ ra là công cụ hỗ trợ đắc lực nhất, ngoài ra các phương pháp như sử dụng đạo hàm, lấy tích phân cũng là các phương pháp hay được nhiều người ưa thích và thường xuyên sử dụng. Tuy nhiên các phương pháp này chủ yếu chú trọng vào biểu thức hình thức của bài toán mà quên đi bản chất của bài toán tổ hợp và vô tình làm mất đi vẻ đẹp tự nhiên vốn có của nó. Chuyên đề này HK cùng các bạn khám phá một con đường mới, có thể xem là tinh hoa của dạng toán này, vừa có thể giải quyết trọn vẹn các bài toán tổ hợp vừa không làm mất đi vẻ đẹp tự nhiên của các bài toán ấy.
Chuyên đề 11 Trong toán chứng minh đẳng thức tổ hợp, công thức khai triển nhị thức Newtow tỏ công cụ hỗ trợ đắc lực nhất, phương pháp sử dụng đạo hàm, lấy tích phân phương pháp hay nhiều người ưa thích thường xuyên sử dụng Tuy nhiên phương pháp chủ yếu trọng vào biểu thức hình thức tốn mà qn chất tốn tổ hợp vơ tình làm vẻ đẹp tự nhiên vốn có Chuyên đề HK bạn khám phá đường mới, xem tinh hoa dạng tốn này, vừa giải trọn vẹn tốn tổ hợp vừa khơng làm vẻ đẹp tự nhiên toán 11.1 Tổ hợp chập - số tổ hợp chập Definition 2.1 Cho tập hợp có n phần tử phân biệt, tập gồm k phần tử phân biệt tập hợp gọi tổ hợp chập k phần tử n phần tử (gọi tắt tổ hợp chập k n) Proposition 2.1 Số tổ hợp chập k n n k = n! Ta kí hiệu k!(n − k)! n! k!(n − k)! 165 Đi tìm chuyên đề sơ cấp hay Definition 2.2 Cho tập hợp có n phần tử phân biệt Mỗi cách chọn k phần tử khơng phân biệt từ n phần tử (một phần tử chọn lại nhiều lần) gọi tổ hợp lặp k phần tử n phần tử Proposition 2.2 Số tổ hợp lặp k phần tử n phần tử n+k−1 k Definition 2.3 Cho tập hợp có n phần tử phân biệt, tập gồm k phần tử riêng biệt có phân biệt thứ tự tập hợp gọi chỉnh hợp chập k phần tử n phần tử (gọi tắt chỉnh hợp chập k n) Proposition 2.3 Số chỉnh hợp chập k phần tử n phần tử n! n = k! (n − k)! k Definition 2.4 Cho tập hợp có n phần tử phân biệt Mỗi cách chọn k phần tử khơng phân biệt từ n phần tử có phân biệt thứ tự (một phần tử chọn lại nhiều lần) gọi chỉnh hợp lặp k phần tử n phần tử Proposition 2.4 Số chỉnh hợp lặp k phần tử n phần tử nk Definition 2.5 Cho tập hợp có n phần tử phân biệt xếp thứ tự Mỗi cách lại thứ tự phần tử gọi hoán vị n phần tử Proposition 2.5 Số hoán vị n phần tử n! Definition 2.6 Cho tập có n phần tử, có ni phần tử loại i giống hệt (i = 1, 2, , k; n1 + n2 + · · · + nk = n) Mỗi cách xếp có thứ tự n phần tử cho gọi hoán vị lặp n HK - ydp151094@gmail.com 166 Đi tìm chuyên đề sơ cấp hay Proposition 2.6 Cho tập có n phần tử, có ni phần tử loại i giống hệt (i = 1, 2, , k; n1 + n2 + · · · + nk = n) Số hoán vị lặp n phần tử n! n1 !n2 ! nk ! 11.2 Bài tập ví dụ Example 2.5 Cho n số nguyên dương CMR n k=0 n k = 2n Proof Giả sử ta cần bỏ n bóng vào hộp A B Với ≤ k ≤ n, có Cnk cách chọn k bóng bỏ vào hộp A n − k bóng bỏ vào hộp n n B Như vậy, có tất cách bỏ bóng k k=0 Bây giờ, với bóng tùy ý, có khả bỏ vào hôp A bỏ vào hộp B Như vậy, có 2n cách bỏ bóng Từ lập luận ta suy n k=0 n k = 2n Đó đpcm Example 2.6 (Hệ thức Pascal) Chứng minh với n k số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n, ta ln có n n + k k−1 = n+1 k Proof Giả sử ta cần lấy k bóng hộp gồm n + bóng, n+1 có n bóng xanh bóng đỏ Khi có cách lấy k HK - ydp151094@gmail.com 167 Đi tìm chuyên đề sơ cấp hay Mặt khác, ta xét sau: Có n k cách lấy k bóng mà khơng n cách lấy k bóng có bóng đỏ k−1 Khi tổng số cách lấy có bóng đỏ n n + k k−1 Như n n + k k−1 Đó đpcm = n+1 k Example 2.7 Chứng minh hệ thức n n k k k=1 =n 2n − n−1 Proof Giả sử ta có 2n người có n nam n nữ Ta cần thành lập đội gồm n người, yêu cầu có đội trưởng nam 2n − Ta có n cách chọn đội trưởng cách chọn n − đội viên Do đó, n−1 2n − có tất n cách thành lập đội n−1 Ta chọn k người nam (1 ≤ k ≤ n) n − k người nữ, sau đó, chọn đội trưởng k người nam Khi có n n k k k=1 n n−k n n = k k k=1 cách thành lập đội Như n n k k k=1 =n Đó đpcm HK - ydp151094@gmail.com 168 2n − n−1 Đi tìm chuyên đề sơ cấp hay Example 2.8 (Hockey-stick identity) Chứng minh với n k số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n, ta ln có n i=k i k = n+1 k+1 Proof Giả sử ta cần tìm số tập tập hợp gồm n+1 phần tử phân biệt X = {x1 , x2 , , xn+1 } Ta xét trường hợp sau đây: ∗ Có 1 n k = n k n−1 = k chứa phần tử xn ∗ Có tập chứa phần tử xn+1 n−1 k tập không chứa phần tử xn+1 k k = tập không chứa phần tử xk+2 , , xn , xn+1 k k chứa phần tử xk+1 ∗ Có n Như có i=k i k tập Mà số tập gồm k + phần tử tập X n+1 Do k+1 n i=k i k = n+1 k+1 Đó đpcm n số cách phân hoạch tập hợp k có n phần tử làm k tập khác rỗng Chứng minh rằng: Example 2.9 (Số Bell) Ta định nghĩa HK - ydp151094@gmail.com 169 Đi tìm chuyên đề sơ cấp hay a) n+1 k n b) i=k n i = i k n k−1 = n +k n+1 i+1 k Proof a) Xét tập X = {x1 , x2 , , xn+1 } Khi phân hoạch tập X thành k tập khác rỗng có hai trường hợp sau đây: ∗ Trường hợp 1: Tập {x1 } thuộc phân hoạch Khi đó, số phân hoạch số cách phân hoạch tập {x2 , , xn+1 } thành k − tập khác rỗng, n k−1 ∗ Trường hợp 2: Tập {x1 } không thuộc phân hoạch Khi đó, ta phân hoạch tập {x2 , , xn+1 } thành k tập khác rỗng bỏ phần tử x1 vào tập Do đó, số phân hoạch trường hợp k n k Như n+1 k = n k−1 +k n k b) Giả sử nhóm gồm n + người có người nhóm trưởng n+1 số cách chia nhóm thành k + nhóm nhỏ mà k+1 nhóm có người Ta thấy k nhóm khơng chứa nhóm trưởng có k người nhiều n người Như vậy, ta cần chọn j người n người để thành lập k nhóm khơng chứa nhóm trưởng, k ≤ j ≤ n HK - ydp151094@gmail.com 170 Đi tìm chuyên đề sơ cấp hay Số cách chia nhóm là: n j n j j=k k Như n j=k n j j k = n+1 k+1 Đó đpcm Example 2.10 Chứng minh với n số nguyên dương tùy ý ta ln có n i3 = i=1 n+1 n+1 n+1 +6 + Proof Chọn số k nằm n sau từ tập {0, , k − 1} ta chọn số có hồn lại Tổng số cách chọn n i3 i=1 Bộ số ta chọn có dạng (x1 , x2 , x3 , x4 ) ≤ x1 ≤ n ≤ x2 , x3 , x4 < x1 Ta xét trường hợp sau đây: ∗ Nếu tất số x2 , x3 , x4 khác có 3! n+1 số ∗ Nếu số x2 , x3 , x4 có số có 3! 2 n+1 số ∗ Nếu x2 = x3 = x4 có Như n i3 = i=1 n+1 n+1 n+1 n+1 +6 + Đó đpcm HK - ydp151094@gmail.com số 171 Đi tìm chuyên đề sơ cấp hay 11.3 Bài tập đề nghị BT 2.5 Cho n, r, k số tự nhiên thỏa mãn k ≤ r ≤ n CMR n r r k n−k r−k n k = BT 2.6 Cho k < n hai số tự nhiên CMR n i=0 k+i i k+n+1 n = BT 2.7 Cho n số tự nhiên CMR n i i=1 n i = n2n−1 BT 2.8 (ĐHYD TP Hồ Chí Minh 2000) Cho n số tự nhiên CMR n i=1 n 2n 2i − 2n 2i = i=0 BT 2.9 (Đẳng thức Vandermonde) Cho m, n, r số tự nhiên thỏa mãn r ≤ m, r ≤ n CMR r i=0 m r−i n i = n+m r BT 2.10 Cho n số tự nhiên CMR n i=0 n i = 2n n BT 2.11 CMR Số tổ hợp lặp k phần tử n phần tử n+k−1 k HK - ydp151094@gmail.com 172 ... bóng đỏ Khi có cách lấy k HK - ydp151094@gmail.com 167 Đi tìm chuyên đề sơ cấp hay Mặt khác, ta xét sau: Có n k cách lấy k bóng mà khơng n cách lấy k bóng có bóng đỏ k−1 Khi tổng số cách lấy có... thành lập đội gồm n người, yêu cầu có đội trưởng nam 2n − Ta có n cách chọn đội trưởng cách chọn n − đội viên Do đó, n−1 2n − có tất n cách thành lập đội n−1 Ta chọn k người nam (1 ≤ k ≤ n) n − k... phần tử n! n1 !n2 ! nk ! 11.2 Bài tập ví dụ Example 2.5 Cho n số nguyên dương CMR n k=0 n k = 2n Proof Giả sử ta cần bỏ n bóng vào hộp A B Với ≤ k ≤ n, có Cnk cách chọn k bóng bỏ vào hộp A