Lời giải: N.V.Sơn DĐ: 0702626549 GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2018 - 2019 (Li gii gm 05 trang) Câu 1: (4,0 điểm) 2x có đồ thị C Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận đồ x thị C Tiếp tuyến M đồ thị C cắt hai đường tiệm cận đồ thị C hai điểm A B a) Chứng minh M trung điểm đoạn thẳng AB b) Xác định tọa ®é ®iĨm M ®Ĩ chu vi tam gi¸c IAB nhá nhÊt Gi¶i:  2a   Gäi M  a ; a) Ta cã y   a tiếp điểm a 1   x  1 Cho hµm sè y Phương trình tiếp tuyến d đồ thị C điểm M là: y  a  1  x  a  2a  a 1 Gi¶ sư A, B giao điểm d với đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang 2a Suy ra: A 1;  , B  2a  1;   a 1   x A  xB    2a  1  2a  xM  Khi ®ã:   M trung điểm đoạn thẳng AB 2a 4a 2  yM  y A  yB  a 1 a 1  ; IB  a   IA.IB  b) Ta có IA a Tam giác IAB vuông I nªn: IA  IB  AB  IA  IB  IA2  IB  IA.IB  IA.IB   2 VËy chu vi tam gi¸c IAB nhá nhÊt b»ng  2 vµ chØ khi:  a   M  0;1 IA  IB   a 1   a 1  a   M 2;3 Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình 2 cos x  sin x cos  x    sin  x    b) Giải phương trình x    x  1 x    x   x  x    x   x Giải: a) Phương trình tương đương với: 1  2  cos x  sin x  cos x  sin x   sin x   cos x  sin x    sin x  cos x   2       cos x  sin x  cos x  sin x   sin x  cos x  sin x    sin x  cos x    cos x  sin x  1    cos x  sin x   sin x    2 Lời giải đề thi HSG TTHuế năm học 2018 - 2019 *Ta cã 1  tan x  1  x     k  k      *Gi¶i (2): §Ỉt t  cos x  sin x  cos  x      2;   sin x   t t Phương trình trở thành: 4t   t    t  4t     t  (loai ) Víi t  ta cã  x  k 2   cos  x       x     k 2 4   Vậy phương trình ban đầu có họ nghiệm x    k    k ; x  k 2 ; x     k 2 k    u  x  x   u v2 b) Đặt u2  v2  2x   x  v  x    u  v2    u  v2 Phương trình cho trở thành: u  v  v    u  0 2          u  v2  u  v  u  v2  u  v   u  v  u  v   u  v  1 (vn)   u  v    u  v    Víi u  v ta cã x   x  x   x Vậy phương trình cho có nghiệm x Câu 3: (4,0 ®iĨm)  x3  y  x  x  y   a) Giải hệ phương trình: x, y    2 x  y    x  y  x  x  10 y  10  b) Cho tËp A  0;1; 2;3; 4;5;6 Gäi S lµ tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác chọn từ phần tử tập A Chän ngÉu nhiªn sè tõ tËp S Tính xác suất để số chọn chia hết cho 15 Gi¶i: 2 x  y   a) §iỊu kiƯn  3  x  y  Phương trình thứ hệ tương đương:  x  1   x  1  y  y   x  y  1  x  1  y  x  1  y  1     y  x 1 Thay y  x vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình: x x  x3  x  10 x 5x  x  x   x   3x    x x    x   x   x    x     (*) Lời giải: N.V.Sơn DĐ: 0702626549  x  nên VT * nên phương trình (*) vô nghiƯm b) Gäi n  a1a2 a3a4 a5 lµ số tự nhiên cần tìm, chữ số lÊy tõ tËp A *Sè phÇn tư cđa tËp S số số tự nhiên có chữ số với chữ số khác lấy từ tập A Ta cã n  S   A64  2160 Do  *Do n chia hÕt cho 15 nªn n chia hÕt cho vµ Suy ra: a5  hc a5  TH1: a5   n  a1a2 a3a4 ®ã sè a1 , a2 , a3 , a4 lÊy tõ tËp 1; 2;3; 4;5; 6 Khi ®ã ®Ĩ n chia hÕt cho th×  a1  a2  a3  a4  Do sè a1 , a2 , a3 , a4 lÊy tõ tËp 1; 2;3; 4;5; 6 nên xảy 2TH sau: i) Trong số gåm: hai sè chia hÕt cho 3, mét sè chia d­ 1, mét sè chia d­ Cã tÊt c¶: A42 2.2.2  96 sè ii) Trong sè ®ã gåm: hai sè chia d­ 1, hai sè chia d­ Cã tÊt c¶: A42 2.2  48 sè TH2: a5   n  a1a2 a3a4 ®ã sè a1 , a2 , a3 , a4 lÊy tõ tËp 0;1; 2;3; 4;6 Khi để n chia hết cho a1  a2  a3  a4  chia d­ Do sè a1 , a2 , a3 , a4 lấy từ tập 0;1; 2;3; 4;6 nên xảy 2TH sau: iii) Trong sè ®ã gåm: ba sè chia hÕt cho 3, mét sè chia d­ *NÕu a1  th× a2 , a3 , a4 số ba số 0; 6;1 , 0;6; 4 nªn cã 3! 3!  12 sè *NÕu a1  th× a2 , a3 , a4 số ba số 0;3;1 , 0;3; 4 nªn cã 3! 3!  12 sè *NÕu a1 a1 a2 , a3 , a4 số ba số 0;3;6 nên có 3! 3! 12 số Có tất cả: 36 sè iv) Trong sè ®ã gåm: mét sè chia hÕt cho 3, hai sè chia d­ 1, mét sè chia d­ *NÕu a1  a1 a2 , a3 , a4 số ba số 1; 2; nªn cã 3! 3!  12 sè *NÕu a1  a2 , a3 , a4 số bé ba sè 2; 4; 6 , 2; 4;3 , 2; 4;0 nªn cã 3.3!  18 sè *NÕu a1 a1 tương tự ®Ịu cã 18 sè tháa m·n Cã tÊt c¶: 12  18.3  66 sè 96  48  36 66 41 Vậy xác suất cần tính là: 2160 360 Bài 4: (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x y 19 đường tròn  C  : x  y  x  y  Tõ mét ®iĨm M nằm đường thẳng kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn C với A, B hai tiếp điểm Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB biết AB 10 Giải: *Các tam giác IAM , IBM tam giác vuông nên đường tròn đường kính IM qua hai điểm A, B nên đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB đường tròn đường kính IM *Đường tròn C có tâm I 2;1 bán kính R  Lời giải đề thi HSG TTHuế năm học 2018 - 2019 2 Ta cã IH  IA  AH   5  10  10 IA2     IM   10  IH   A I M H B 2  5a  19   5a  19   1  10 Gäi M  a;    Ta cã IM  10   a          M  3; 2  a      139 72 Giải 139 a M ;   29 29  29  5 *Với M 3; trung điểm IM ; , phương trình đường tròn đường kính IM là: 2 2  1  x   y   2  2   139 72   197 37  *Víi M  ;  th× trung điểm IM ; , phương trình đường tròn đường kính 29 29 58 26  2 197   37   IM lµ:  x    y    58   26   Bµi 5: (3,0 điểm) Cho tam giác OAB có AB a Trên đường thẳng d qua O vuông góc với mặt phẳng OAB lấy mét ®iĨm M cho OM  x Gäi E , F hình chiếu vuông góc A lên MB OB Đường thẳng EF cắt đường thẳng d N a) Chứng minh AN BM b) Xác định x theo a ®Ĩ thĨ tÝch khèi tø diƯn ABMN nhá nhÊt tính giá trị nhỏ Giải: AF  OB M a) Ta cã   AF  MB AF OM Mà AE MB nên BM   AEF  Do AN   AEF nên AN BM E b) Theo câu a) ta cã:          AN BM   ON  OA OM  OB  O  OM ON  OA.OB.cos 60   ON  F B OA.OB.cos 60 a  OM 2x N A Lời giải: N.V.Sơn DĐ: 0702626549 1 a2  a2  a2  a2  x   x  Do MN   OAB  nªn VABMN  MN SOAB      3  2x  12  2x  Theo bÊt đẳng thức Cô-si thì: x Suy ra: VABMN a2 a2  x  2a 2x 2x a3 12 VËy thĨ tÝch lín nhÊt cđa khèi tø diƯn ABMN lµ a3 a2 a  x x  12 2x Bµi 6: (2,0 điểm) 1 2018 Tìm giá trị lớn x y z 1 3029 biÓu thøc P     2x  y  z x  y  z x  y  2z Gi¶i: 11 *Xét bất đẳng thức phụ: víi mäi a, b  ab 4 a b *Dùng bất đẳng thức ta có: 1 1 1  2 1          x  y  z  x  y    x  z   x  y x  z  16  x y z  Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn 1 1 1 1 1 2     ;      x  y  z 16  x y z  x  y  z 16  x y z   1  3029 2018 3029 Suy ra: P          2019 4 x y z Tương tự ta có: Vậy giá trị lớn P 2019 đạt chØ x  y  z  2018 HẾT - ...Lời giải đề thi HSG TTHuế năm học 2018 - 2019 *Ta cã 1  tan x  1  x     k  k  *Giải (2): Đặt t cos x ... AMB đường tròn đường kính IM *Đường tròn C có tâm I 2;1 bán kính R Lời giải đề thi HSG TTHuế năm học 2018 - 2019 2 Ta cã IH  IA  AH   5  10  10 IA2     IM   10  IH   A I...  2x  12 2x Theo bất đẳng thức Cô-si thì: x  Suy ra: VABMN  a2 a2  x  2a 2x 2x a3 12 VËy thĨ tÝch lín nhÊt cđa khèi tø diƯn ABMN lµ a3 a2 a  x x 12 2x Bài 6: (2,0 điểm) 1 2018 Tìm