Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1999 Đại học khoa học tự nhiên Bài Cho số a, b, c tháa m·n ®iỊu kiƯn: { a+b+c = a + b + c = 14 HÃy tính giá trị biểu thức P = + a + b + c Bµi a) Giải phơng trình x + − x = 2x − 1  x + y + x + y =  b) Giải hệ phơng trình : xy + = xy Bài Tìm tất số nguyên dơng n cho n2 + 9n – chia hÕt cho n + 11 Bài Cho vòng tròn (C) điểm I nằm vòng tròn Dựng qua I hai dây cung MIN, EIF Gọi M, N, E, F trung ®iĨm cđa IM, IN, IE, IF a) Chøng minh : tứ giác MENF tứ giác nội tiếp b) Giả sử I thay đổi, dây cung MIN, EIF thay đổi Chứng minh vòng tròn ngoại tiếp tứ giác MENF có bán kính không đổi c) Giả sử I cố định, day cung MIN, EIF thay đổi nhng vuông góc với Tìm vị trí dây cung MIN, EIF cho tứ giác MENF có diện tích lớn Bài Các số dơng x, y thay đổi thỏa mÃn điều kiện: x + y = Tìm giá trị nhỏ biÓu  thøc : P =  x +    ÷ y + ữ y2 x Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên toán 1992 Đại học tổng hợp Bài a) Giải phơng trình (1 + x)4 = 2(1 + x4)  x + xy + y = b) Giải hệ phơng trình y22 + yz + z22 = 28  z + xz + x =  Bµi a) Phân tích đa thức x 5x thành tích đa thức bậc hai đa thức bậc ba với hệ số nguyên b) áp dụng kết để rút gọn biểu thức P = − + − 125 Bài Cho ABC Chứng minh với điểm M ta có MA ≤ MB + MC Bµi Cho ∠ xOy cè định Hai điểm A, B khác O lần lợt chạy Ox Oy tơng ứng cho OA.OB = 3.OA 2.OB Chứng minh đờng thẳng AB đI qua điểm cố định Bài Cho hai số nguyên dơng m, n thỏa mÃn m > n m không chia hết cho n Biết số d chia m cho n b»ng sè d chia m + n cho m – n H·y tÝnh tỷ số m n Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1996 Đại học khoa học tự nhiên Bµi Bµi Bµi Bµi 1 ( x + )6 − ( x + ) − x x Cho x > h·y tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3 (x + ) + x + x x  1 + 2− = y x Giải hệ phơng trình  + 2− =  y x Chứng minh với n nguyên dơng ta cã : n3 + 5n M a b3 c Cho a, b, c > Chøng minh r»ng : + + ≥ ab + bc + ca b c a Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi M, N, P, Q điểm lần lợt nằm cạnh AB, BC, CD, DA a) Chøng minh r»ng 2a2 ≤ MN2 + NP2 +PQ2 + QM2 ≤ 4a2 b) Gi¶ sử M điểm cố định cạnh AB HÃy xác định vị trí điểm N, P, Q lần lợt cạnh BC, CD, DA cho MNPQ hình vuông Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 2000 Đại học khoa học tự nhiên 1 + + + 1.2 2.3 1999.2000  x  x + y2 + y = b) GiảI hệ phơng trình : x x + + =3 y y   Bài a) Tính S = Bài a) Giải phơng trình x + x3 + x + x + = + x − b) Tìm tất giá trị a để phơng trình x ( 4a + 11 ) x + 4a + = có nghiệm nguyên Bài Cho đờng tròn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD), tiÕp xóc víi c¹nh AB t¹i E với cạnh CD F nh hình a) Chứng minh r»ng BE DF = AE CF A b) Cho AB = a, CB = b (a < b), BE = 2AE TÝnh diƯn tÝch h×nh thang ABCD D Bµi Cho x, y lµ hai sè thùc bÊt kì khác không Chứng minh ( E F 4x2 y2 x2 y + + ) ≥ Dấu đẳng thức xảy ? ( x + y )8 y x B C Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1998 Đại học khoa học tự nhiên Bài a) GiảI phơng trình x + + x =  x + xy + y = b) GiảI hệ phơng trình :  x + x y + y = 21  a − 3ab = 19 Bài Các số a, b thỏa mÃn điều kiÖn : b3 − 3ba = 98  H·y tính giá trị biểu thức P = a2 + b2 Bài Cho số a, b, c [0,1] Chứng minh {Mờ} Bài Cho đờng tròn (O) bán kính R hai điểm A, B cố định (O) cho AB < 2R Giả sử M điểm thay đổi cung lớn ằ đờng tròn AB a) Kẻ từ B đờng tròn vuông góc với AM, đờng thẳng cắt AM I (O) N Gọi J trung điểm MN Chứng minh M thay đổi đờng tròn điểm I, J nằm đờng tròn cố định b) Xác định vị trí M để chu vi AMB lớn Bài a) Tìm số nguyên dơng n cho số n + 26 n 11 lập phơng số nguyên dơng b) Cho số x, y, z thay đổi thảo mÃn ®iỊu kiƯn x2 + y2 +z2 = H·y t×m giá trị lớn biểu thức P = xy + yz + zx + ( x ( y − z )2 + y ( z − x )2 + z ( x − y )2 ) Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1993-1994 Đại học tổng hợp Bài a) GiảI phơng trình x + x + 1 + x+ = 2  x + xy + 12 y = b) GiảI hệ phơng tr×nh : 8 y + x = 12 Bài Tìm max biểu thức : A = x2y(4 – x – y) x y thay đổi thỏa mÃn điều kiện : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ Bài Cho hình thoi ABCD Gọi R, r lần lợt bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD, ABC a độ dài cạnh hình thoi Chứng minh 1 + = 2 R r a Bài Tìm tất số nguyên dơng a, b, c đôI mét kh¸c cho biĨu thøc 1 1 1 A= + + + + + nhËn giá trị nguyên dơng a b c ab ac bc Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1991-1992 Đại học tổng hợp Bài a) Rút gọn biểu thức A = 3 − 44 + 16 b) Phân tích biêu thức P = (x – y)5 + (y-z)5 +(z - x )5 thành nhân tử Bài a) Cho số a, b, c, x, y, z thảo mÃn điều kiÖn  a + b + c =  x + y + z = x y z  + + =0 a b c h·y tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A = xa2 + yb2 + zc2 b) Cho số a, b, c, d số không âm nhỏ Chøng minh r»ng ≤ a + b + c + d – ab – bc – cd – da Khi đẳng thức xảy dấu Bài Cho trớc a, d số nguyên dơng Xét số có dạng : a, a + d, a + 2d, … , a + nd, … Chứng minh số có số mà chữ số 1991 Bài Trong hội thảo khoa học có 100 ngời tham gia Giả sử ngời ®Ịu quen biÕt víi Ýt nhÊt 67 ngêi Chøng minh tìm đợc nhóm ngời mà ngời nhóm quen biết Bài Cho hình vuông ABCD Lấy điểm M nằm hình vuông cho MAB = MBA = 150 Chøng minh r»ng ∆ MCD ®Ịu Bài HÃy xây dựng tập hợp gồm điểm có tính chất : Đờng trung trực đoạn thẳng nối hai điểm đI qua hai điểm tập hợp Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên Lý 1989-1990 x + x + 36 Bài Tìm tất giá trị nguyên x để biêu thức nguyên 2x + Bài Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + Bµi a) Chøng minh với số nguyên dơng m biểu thức m2 + m + không phảI số phơng b) Chứng minh với số nguyên dơng m m(m + 1) tích số nguyên liên tiếp Bài Cho ABC vuông cân A CM trung tuyến Từ A vẽ đờng vuông góc với MC cắt BC H TÝnh tØ sè BH HC Bµi Cã thành phố, thành phố có thnàh phố liên lạc đợc víi Chøng minh r»ng thµnh nãi tồn thành phố liên lạc đợc với Bài Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng1) a) GiảI phơng trình x + + x = + x − x3 + y + x − y =  b) T×m nghiệm nguyên cảu hệ y x − xy + y − x = Cho số thực dơng a b thỏa mÃn a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 HÃy tính giá trị biểu thức P = a2004 + b2004 Bµi Cho ∆ ABC cã AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm Đờng cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành phần HÃy tính diện tích phần Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn, có hai đờng chéo AC, BD vuông góc với H (H không trùng với tâm cảu đờng tròn ) Gọi M N lần lợt chân đờng vuông góc hạ từ H xuống đờng thẳng AB BC; P Q lần lợt giao điểm đờng thẳng MH NH với đờng thẳng CD DA Chứng minh đờng thẳng PQ song song với đờng thẳng AC bốn ®iĨm M, N, P, Q n»m trªn cïng mét ®êng tròn Bài Tìm giá trị nhỏ biĨu thøc Bµi x10 y10 Q = ( + ) + ( x16 + y16 ) − (1 + x y )2 y x Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng 2) Bài giảI phơng trình x + x = ( x + y )( x + y ) = 15 Bài GiảI hệ phơng trình ( x y )( x y ) =  ( x3 + y ) − ( x + y ) P= Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức với x, y số thực lớn ( x 1)( y 1) Bài Cho hình vuông ABCD điểm M nằm hình vuông a) Tìm tất vị trí M cho ∠ MAB = ∠ MBC = ∠ MCD = MDA b) Xét điểm M nằm đờng chéo AC Gọi N chân đờng vuông góc hạ từ M xuống AB O trung điểm đoạn AM Chứng minh tỉ số OB có giá trị không đổi CN M di chuyển đờng chéo AC c) Với giả thiết M nằm đờng chéo AC, xét đờng tròn (S) (S) có đờng kính tơng ứng AM CN Hai tiếp tun chung cđa (S) vµ (S’) tiÕp xóc víi (S’) P Q Chứng minh đờng thẳng PQ tiÕp xóc víi (S) Bµi Víi sè thùc a, ta định nghĩa phần nguyên số a số nguyên lớn không vợt a kí hiệu lµ [a] D·y sè x0, x1, x2 …, xn, … đợc xác định công thức n +  n  xn =  −  Hái 200 sè {x1, x2, …, x199} cã bao nhiªu sè kh¸c ?    2 Đề thi thử vào THPT Chu Văn An 2004 Bài Cho biÓu thøc P = ( 3+ x 2+ x 2− x 4x + ):( − − ) 2− x x−2 x 2− x 2+ x x− a) Rót gän P b) Cho x−3 = −11 HÃy tính giá trị P 4x2 Cho phơng trình mx2 – 2x – 4m – = (1) a) Tìm m để phơng trình (1) nhận x = nghiệm, hÃy tìm nghiệm lại b) Với m Chứng minh phơng trình (1) cã hai nghiƯm x1, x2 ph©n biƯt Gäi A, B lần lợt điểm biểu diễn nghiệm x1, x2 trục số Chứng minh độ dài đoạn thẳng AB không đổi (Không lắm) Bài Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB điểm M di động đờng tròn (M khác A, B) Gọi CD lần lợt điểm cung nhỏ AM vµ BM a) Chøng minh r»ng CD = R đờng thẳng CD tiếp xúc với đờng tròn cố định b) Gọi P hình chiếu vuông góc điểm D lên đờng thẳng AM đờng thẳng OD cắt dây BM Q cắt đờng tròn (O) giao điểm thứ hai S Tứ giác APQS hình ? Tại ? c) đờng thẳng đI qua A vuông góc với đờng thẳng MC cắt đờng thẳng OC H Gọi E trung ®iĨm cđa AM Chøng minh r»ng HC = 2OE d) Giả sử bán kính đờng tròn nội tiếp MAB Gọi MK đờng cao hạ từ M đến AB Chứng minh : Bài 1 1 + + 〈 MK + MA MA + MB MB + 2MK 10 §Ị thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2003 Đại học khoa học tự nhiên(vòng 2) Bài Cho phơng trình x4 + 2mx2 + = Tìm giá trị tham số m để phơng trình có nghiệm ph©n biƯt x1, x2, x3, x4 tháa m·n x14 + x24 + x34 + x44 = 32 2 x + xy − y − x + y + = Bài Giải hệ phơng trình :  x + y + x + y = Bài Tìm sè nguyªn x, y tháa m·n x2 + xy + y2 = x2y2 Bài đờng tròn (O) nội tiÕp ∆ ABC tiÕp xóc víi BC, CA, AB t¬ng ứng D, E, F Đờng tròn tâm (O) bàng tiÕp gãc ∠ BAC cđa ∆ ABC tiÕp xóc với BC phần kéo dài AB, AC tơng øng t¹i P, M, N a) Chøng minh r»ng : BP = CD b) Trên đờng thẳng MN lấy ®iĨm I vµ K cho CK // AB, BI // AC Chứng minh : tứ giác BICE BKCF hình bình hành c) Gọi (S) đờng tròn qua I, K, P Chứng minh (S) tiÕp xóc víi BC, BI, CK 2 Bµi Số thực x thay đổi thỏa mÃn điều kiện : x + (3 − x ) ≥ T×m cña P = x + (3 − x )4 + x (3 − x )2 Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2003 Đại học khoa học tự nhiên Bài Giải phơng trình ( x + − x + 2)(1 + x + x + 110 ) = 2 x + yx = Bµi Giải hệ phơng trình y + xy =  2 Bµi Tím số nguyên x, y thỏa mÃn đẳng thức : y x + x + y + = x + y + xy Bµi Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R M, N hai điểm nửa đờng tròn (O) cho M thuộc cung AN tổng khoảng cách từ A, B đến đờng thẳng MN R a) Tính độ dài MN theo R b) Gọi giao điểm hai dây AN BM I Giao điểm đờng thẳng AM BN K Chøng minh r»ng ®iĨm M, N, I, K nằm đờng tròn , Tính bán kính đờng tròn theo R c) Tìm giá trị lín nhÊt cđa diƯn tÝch ∆ KAB theo R M, N thay đổi nhng thỏa mÃn giả thiết toán Bài Cho x, y, z số thực thỏa mÃn điều kiện : x + y + z + xy + yz + zx = Chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 11 Bài Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002 Đại học khoa học tự nhiên a) Giải phơng trình : x 3x + + x + = x + x − + x − b) T×m nghiệm nguyên phơng trình : x + xy + y =  x + y + xy = Giải hệ phơng trình : x3 + y = x + y {M} Bài Cho mời số nguyên dơng 1, 2, , 10 Sắp xếp 10 số cách tùy ý vào hàng Cộng số với số thứ tự hàng ta đợc 10 tổng Chứng minh 10 tổng tồn hai tổng có chữ số tận giống Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = Bµi 4a 3b or 5b 16c + + Trong a, b+ca a+cb a+bc b, c độ dài ba cạnh tam giác Bài Đờng tròn (C) tâm I nội tiếp ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tơng ứng A, B, C a) Gọi giao điểm đờng tròn (C) với đoạn IA, IB, IC lần lợt M, N, P Chứng minh đờng thẳng AM, BN, CP đồng quy b) Ko dài đoạn AI cắt đờng tròn ngoại tiếp ABC D (khác A) Chøng minh r»ng IB.IC = r ®ã r bán kính đờng tròn (C) ID Bài Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002 Đại học khoa học tự nhiên a) Giải phơng trình : + x + − x = { +1 b) Giải hệ phơng trình : ( x x +)()y++y1)y=+81) + xy = 17 x( ( Bµi Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh phơng trình x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = vô nghiệm Bài Tìm tất số nguyên n cho n2 + 2002 số phơng Bài Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨt thøc: S = 1 + + Trong x, y, z + xy + yz + zx số dơng thay ®ỉi tháa m·n ®iỊu kiƯn x2 + y2 + z2 Bài Cho hình vuông ABCD M điểm thay đổi cạnh BC (M không trùng với B) N điểm thay đổi cạnh CD (N kh«ng trïng D) cho ∠ MAN = ∠ MAB + NAD a) BD cắt AN, AM tơng ứng p Q Chứng minh điểm P, Q, M, C, N nằm đờng tròn b) Chứng minh đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định M N thay đổi c) Ký hiệu diện tích APQ S diện tích tứ giác PQMN S Chứng minh tỷ số S không đổi M, N thay đổi S' 12 Bài Bài Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001 Đại học khoa học tự nhiên Tìm gia trị nguyên x, y thỏa mÃn đẳng thức: (y + 2)x2 + = y2 a) Giải phơng trình : x(3x + 1) − x( x − 1) = x  x + xy + = x + y b) Giải hệ phơng trình :  x + y =  Bài Cho nửa vòng tròn đờng kính AB=2a Trên đoạn AB lấy điểm M Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa vòng tròn, ta kẻ tia Mx vµ My cho ∠ AMx =∠ BMy =300 Tia Mx cắt nửa vòng tròn E, tia My cắt nửa vòng tròn F Kẻ EE, FF vuông gãc víi AB a) Cho AM= a/2, tÝnh diƯn tÝch hình thang vuông EEFF theo a b) Khi M di động AB Chứng minh đờng thẳng EF tiếp xúc với vòng tròn cố định 1 1  1  x( + ) + y ( + ) + z ( + ) = Bài Giả sử x, y, z c¸c sè thùc kh¸c tháa m·n :  y z z x x y  x3 + y3 + z =  1 H·y tÝnh giá trị P = + + x y z Bài Với x, y, z số thực dơng, hÃy tìm giá trị lớn biểu thøc: xyz M= ( x + y )( y + z )( z + x ) 13 Đề thi vào 10 năm 1989-1990 Hà Nội Bài Xét biểu thức A = − ( 5x − − 1+ 2x 4x − 1− 2x ): x −1 4x + 4x + a) Rót gän A b) Tìm giá trị x để A = -1/2 Bài Một ô tô dự định từ A ®Õn B víi vËn tèc 50 km/h Sau đợc 2/3 quÃng đờng với vận tốc đó, đờng khó nên ngời lái xe phải giảm vận tốc 10 km quÃng đờng lại Do ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quÃng đờng AB Bài Cho hình vuông ABCD điểm E cạnh BC Tia Ax AE cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI AEF kéo dài cắt cạnh CD K Đờng thẳng qua E song song với AB cắt AI G a) Chøng minh r»ng AE = AF b) Chøng minh tứ giác EGFK hình thoi c) Chứng minh hai tam giác AKF , CAF đồng dạng AF2 = KF.CF d) Giả sử E chạy cạnh BC Chứng minh EK = BE + điều kiện chu vi ECK không đổi Bài Tìm giá trị x để biểu thức y = x x + 1989 đạt giá trị nhỏ tìm giá trị x2 14 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên năm học 2000-2001 (1) Bài Tìm n nguyên dơng thỏa mÃn : Bµi Cho biĨu thøc A= 1 1 2000 (1 + )(1 + )(1 + ) (1 + )= 1.3 2.4 3.5 n( n + 2) 2001 x+4 x−4 + x−4 x−4 16 − +1 x2 x a) Với giá trị x A xác định b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ c) Tìm giá trị nguyên x để A nguyên Bài Cho ABC cạnh a Điểm Q di động AC, điểm P di động tia đối tia CB cho AQ BP = a2 Đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BQ M a) Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp đờng tròn b) Tìm giá trị lín nhÊt cđa MA + MC theo a a b c a b c + + < + + b+a c+b a+c b+c c+a a+b 6+ Bµi Cho a, b, c > Chøng minh r»ng Bµi Chøng minh r»ng sin750 = 15 §Ị thi tun sinh vào lớp 10 chuyên năm học 2000-2001 (2) Bài Cho biÓu thøc P = ( x −1 x +1 x − ):( − − ) x + x − 1− x x + x − a) Rót gän P b) Chøng minh P < với giá trị x Bài Hai vòi nớc chảy vào bể sau 48 phút đầy Nu chảy thời gian nh lợng nớc vòi II 2/3 lơng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể Bài Chứng minh phơng tr×nh : x − x + = cã hai nghiƯm x1 = − vµ x2 = + Bài Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R điểm M di động nửa đờng tròn ( M kh«ng trïng víi A, B) Ngêi ta vÏ mét đờng tròn tâm E tiếp xúc với đờng tròn (O) M tiếp xúc với đờng kính AB Đờng tròn (E) cắt MA, MB lần lợt điểm thø hai lµ C, D a) Chøng minh r»ng ba điểm C, E, D thẳng hàng b) Chứng minh đờng thẳng MN qua điểm cố định K tích KM.KN không đổi c) Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA lần lợt P Q Xác định vị trí M để diện tích NPQ đạt giá trị lớn chứng tỏ chu vi NPQ đại giá trị nhỏ d) Tìm quỹ tích điểm E 16 Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001 Đại học khoa học tự nhiên Bài a) Cho f(x) = ax2 + bx + c cã tÝnh chÊt f(x) nhận giá trị nguyên x số nguyên hỏi hệ số a, b, c có thiết phải số nguyên hay không ? Tại ? b) Tìm số nguyên không âm x, y thỏa mÃn đẳng thức : x = y + y Bài Giải phơng trình x + = x − x + 14  ax + by =  ax + by = Bài Cho số thực a, b, x, y tháa m·n hÖ :  ax3 + by =  4  ax + by = 17 Tính giá trị biểu thøc A = ax5 + by vµ B = ax 2001 + by 2001 Bài Cho đoạn thẳng Ab có trung điểm O Gọi d, d đờng thẳng vuông góc với AB tơng ứng A, B Một góc vuông đỉnh O có cạnh cắt d M, cạnh cắt d N kẻ OH MN Vòng tròn ngoại tiếp MHB cắt d điểm thứ hai E khác M MB cắt NA I, đờng thẳng HI cắt EB ë K Chøng minh r»ng K n»m trªn mét đờng tròn cố đinh góc vuông uqay quanh đỉnh O Bài Cho 2001 đồng tiền, đồng tiền đợc sơn mặt màu đỏ mặt màu xanh Xếp 2001 đồng tiền theo vòng tròn cho tất đồng tiền có mặt xanh ngửa lên phía Cho phép lần đổi mặt đồng thời đồng tiền liên tiếp cạnh Hỏi với cánh làm nh sau số hữu hạn lần ta làm cho tất đồng tiền có mặt đỏ ngửa lên phía đợc hay không ? Tại ? 17 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2003-2004 Đại học s phạm HN Bài Chứng minh biểu thức sau có giá trị không phụ vào x A= x+ − + − x 9− 2+ + x Bài Với số nguyên dơng n, ®Ỉt Pn = 1.2.3….n Chøng minh r»ng a) + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3 +….+ n.Pn = Pn+1 n −1 b) P + P + P + + P < 1 n Bài Tìm số nguyên dơng n cho hai sè x = 2n + 2003 vµ y = 3n + 2005 số chình phơng ( x − x + a + 5)( x − x + a )( x − − a − 1) = Bµi Xét phơng trình ẩn x : a) Giải phơng trình ứng với a = -1 b) Tìm a để phơng trình có ba nghiệm phân biệt Bài Qua điểm M tùy ý đà cho đáy lớn AB hình thang ABCD ta kẻ đờng thẳng song song với hai đờng chéo AC BD Các đờng thẳng song song cắt hai cạnh BC AD lần lợt E F Đoạn EF cắt AC BD I J tơng ứng a) Chứng minh H trung điểm IJ H trung điểm EF b) Trong trờng hợp AB = 2CD, hÃy vị trí điểm M AB cho EJ = JI = IF 18 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2004 Đại học s phạm HN Bài Cho x, y, z ba số dơng thay đổi thỏa mÃn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc : P = 1 + + x y z Bài Tìm tất ba số dơng thỏa mÃn hệ phơng trình :  x 2004 = y + z  2004 = z + x6 2 y 2004 2z = x6 + y Bài Giải phơng trình : 2( x )( x ) 3( x − 1)( x − ) 4( x − 1)( x − ) + + = 3x + (1 − )(1 − ) ( − 1)( − ) ( − 1)( − ) Bµi Mỗi ba số nguyên dơng (x,y,z) thỏa mÃn phơng trình x2+y2+z2=3xyz đợc gọi nghiệm nguyên dơng phơng trình a) HÃy nghiệm nguyên dơng khác phơng trình đà cho b) Chứng minh phơng trình đà cho có vô số nghiệm nguyên dơng Bài Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O) Một đờng thẳng d thay đổi qua A cắt tiếp tuyến B C đờng tròn (O) tơng ứng M N Giả sử d cắt lại đờng tròn (O) E (khác A), MC cắt BN F Chứng minh : a) ACN đồng dạng với MBA MBC đồng dạng với BCN b) tứ giác BMEF tứ giác nội tiếp c) Đờng thẳng EF ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh d thay ®ỉi nhng qua A 19 Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2005 Đại học khoa học tự nhiên { x + y + xy = Bài Giải hệ phơng trình : x + y = Bài Giải phơng trình : x + x + + − x = 11 Bài Tìm nghiệm nguyên phơng trình : x2 + 17y2 + +34xy + 51(x + y) = 1740 Bài Cho hai đờng tròn (O) (O) nằm Một tiếp tuyến chung hai đờng tròn tiếp xúc với (O) A (O) B Một tiếp tuyến chung hai đờng tròn cắt AB I, tiếp xúc (O) C (O) D Biết C nằm I D a) Hai đờng thẳng OC OB cắt M Chứng minh OM > OM b) Ký hiệu (S) đờng tròn qua A, C, B (S) đờng tròn qua A, D, B Đờng thẳng CD cắt (S) E khác C cắt (S) F khác D Chứng minh AF BE Bài Giả sử x, y, z số dơng thay đổi tháa m·n ®iỊu kiƯn xy2z2 + x2z + y = 3z2 HÃy tìm giá trị lớn biểu thøc : P = z4 + z ( x4 + y4 ) 20 ... ®ỉi nhng vÉn tháa mÃn giả thi? ??t toán Bài Cho x, y, z số thực thỏa mÃn điều kiện : x + y + z + xy + yz + zx = Chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 11 Bài Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002 Đại học... tích điểm E 16 Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001 Đại học khoa học tự nhiên Bài a) Cho f(x) = ax2 + bx + c cã tính chất f(x) nhận giá trị nguyên x số nguyên hỏi hệ số a, b, c có thi? ??t phải số... cạnh AB HÃy xác định vị trí điểm N, P, Q lần lợt cạnh BC, CD, DA cho MNPQ hình vuông Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 2000 Đại học khoa häc tù nhiªn 1 + + + 1.2 2.3 1999.2000  x  x + y2 + y =