PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2014 Thời gian : 150 phút (không kể giao đề) 2  x 1  x  Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức P      x  1  :  x  3x x   3x a) Rút gọn P b) Tìm x  để P có giá trị ngun c) Tìm x để P  Câu (4,5 điểm) a) Giải phương trình : x3  6x2  x  30  b) Giải bất phương trình sau: x   x 1 2x  x   1 3 x2 x c) Cho biết  Hãy tìm giá trị biểu thức Q  x  x2  x  x 1 Câu (5,0 điểm) a) Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức 5x2  y  8xy  y  x   b) Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh:  a5  b5  c5  30 1  1     c) Chứng minh  a    b   c     a   b   c   , a, b, c  b  c  a  a  b  c số thực không nhỏ Câu (4,5điểm) Cho tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF cắt tai H Chứng minh rằng: a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b) BH BE  CH CF  BC c) AD.HD  BC d) Gọi I, K, Q, R chân đường vng góc hạ từ E xuống AB, AD, CF, BC Chứng minh bốn điểm I, K, Q, R nằm đường thẳng Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA, CA lấy theo thứ tự điểm D, E cho BD  CE  BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh AB = CK ….hết… ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỐN HOẰNG HĨA Câu a) ĐKXĐ: x  0; x  1 x 1    Ta có: P     ( x  1)      2   3x x  3x x   x   3x 3x  x 1 x 1 Vậy P  2 x 2 x 2x 2x x 1 b) Ta có P    x 1  x  1U (2)  1; 2 Từ suy x 2;0;3; 1 , kết hợp với điều kiện x 2;3 2x 2x x 1 1 1   0 x 1 x 1 x 1 Mà x 1  x  nên x 1  x x    x  x  1 c) P   Kết hợp với ĐKXĐ 1  x  x  Câu x  a) Ta có : x  x  x  30    x  3 x   x  5    x  2  x  Vậy S  2;3;5 x 1 b) x    2x  x    x   x   x   x   x  7  x   Vậy tập nghiệm bất phương trình : S   x / x   c) Từ x2  x  x    x  0, x x2  x   x  1 25 21 1   x     x   1  1  x x  x 4 x4  x2  1 1 21  Lại có :  x2     x     x x x  Suy Q  x2  x  x  21 7   4 Câu a)5 x  y  xy  y  x    25 x  25 y  40 xy  10 y  10 x  10    x  y  1   y  1  2 Do  5x  y  12   y  12  với x, y Nên  5x  y  12   y  12  Suy x  1; y  1 b) Ta có: a5  a  a  a  1  a  1  a  a  1  a      a   a  1 a  a  1  a     a  1 a  a  1 Do  a  2 a  1 a  a  1  a  2 tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, 5, chia hết cho 30 Lại có  a  1 a  a  1 chia hết  a  1 a  a  1 chia hết cho 30 Từ suy a  a chia hết cho 30 5 Tương tự b  b chia hết cho 30 c  c chia hết cho 30 5 5 5 Từ suy  a  b  c    a  b  c    a  a   b  b    c  c  chia hết cho 30 5 Mà a  b  c  nên a  b  c chia hết cho 30   1    1  c)  a   b   c     a   b   c   b  c  a  a  b  c  2 ab  1 bc  1 ca  1  a  1 b  1 c  1    abc abc   ab  1 bc  1 ca  1   a  1 b  1 c  1  a 2b 2c  abc  a  b  c    ab  bc  ca   a 2b 2c  a  b  c   a 2b  b 2c  c a    a 2b  b 2c  c a   2abc  a  b  c    a  b  c    ab  bc  ca    ab  bc    bc  ca    ca  ab    a  b    b  c    c  a  2 2 2   a  c   b2  1   b  a   c  1   c  b   a  1  (đúng với a, b , c  ) 2 Câu A E F H B C D a) Ta có: AEB AE AB  AF AC ABC (c.g.c) AFC ( g.g )  Từ suy AEF BD BH b) BDH BEC ( g.g )  BE  BC  BH BE  BC.BD (1) CD CH   CH CF  BC.CD (2) CF BC Từ (1) (2) suy BH BE  CH CF  BC.BD  BC.CD  BC DH DB  DBH  DAC ( g g )    DH DA  DC.DB c) Chứng minh DC DA CDH Lại có CFB ( g.g )   DC  DB  DC.DB   BC BC AD HD  Do đó: d) A I F E K H Q B D R Từ giả thiết suy EI / /CF , EK / / BC, EQ / / AB, ER / / AD Áp dụng định lý Ta let ta có: AI AE AK    IK / / DF (3) AF AC AD BF BH BD *    IR / / DF (4) BI BE BR CR CE CQ *    RQ / / DF (5) CD CA CF * Từ (3) (4) (5) suy bốn điểm I, K, Q, R thẳng hàng C Câu A B C O M D Vẽ hình bình hành ABMC  AB  CM (1) 1 B  C  CBM nên BO tia phân giác CBM 1 Ta có : 2 Tương tự CO tia phân giác BCM Do MO tia phân giác BMC Suy OM song song với tia phân giác góc A, suy K, O, M thẳng hàng E 1 Ta có : M1  BMC  BAC  K1 nên tam giác KMC cân C  CK  CM (2) Từ (1) (2) suy CK  AB ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỐN HOẰNG HĨA Câu a) ĐKXĐ: x  0; x  1 x 1    Ta có: P     ( x  1)      2