PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn - Lớp ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Gồm có 01 trang) Ngày thi Câu (4 điểm) Cho biểu thức : A  ( 2 x x2 2 x x  3x   ):( ) 2 x x 4 2 x x  x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu (4 điểm) a) Chứng minh f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + b) Tìm số phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị Câu (4 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương: x  xy  y  169 b) Giải phương trình sau: 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA' HB' HC'   a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB  BC  CA)  c) Chứng minh rằng: AA'2  BB'2  CC'2 Câu (2 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc  Chứng minh : 1    a (b  c) b (c  a) c (a  b) - HẾT -Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GD&ĐT Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn - Lớp Nội dung a) ĐKXĐ : 2  x   x  x       x  2 2  x   x  3x   x   2 x  x3  A( 0.5đ  x x2 2 x x  3x (2  x)  x  (2  x) x (2  x)   ):( 3)    x x   x 2x  x (2  x)(2  x) x( x  3) x2  8x x(2  x)  (2  x)(2  x) x  (4,0đ)  0.5đ Vậy với x  0, x  2, x  A  4x x 3 b) Với x  0, x  3, x  2 : A   4x2 0 x 3 Vậy với x > A > x   x7     x   4  x  11(TMDKXD)   x  3( KTMDKXD) 121 Với x = 11 A = c) 0.5đ 0.25đ x( x  2) x(2  x) x2  (2  x)(2  x)( x  3) x   x 3   x  3(TMDKXD) Điểm 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 99 88 77 11 a) Ta có: f(x) – g(x) = x – x + x – x + x – x + + x – x 90 80 0.5đ 10 + – = x (x – 1) + x (x – 1) + + x(x – 1) chia hết cho x10 – 0.5đ Mà x10 – = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + + x + 1) chia hết cho x9 + x8 + x7 + + x + 0.5đ Suy f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 99 88 77 11 (4,0đ) Nên f(x) = x + x + x + + x + chia hết cho g(x) = x + 0.5đ x+ x + + x + 0.5đ b) Đặt abcd  k ta có ab  cd  k  N, 32  k < 100 Suy : 101 cd = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10) 0.5đ  k + 10  101 k – 10  101 0.5đ Mà (k – 10; 101) =  k + 10  101 Vì 32  k < 100 nên 42  k + 10 < 110  k + 10 = 101  k =91  0.5đ abcd = 912 = 8281 a) x  xy  y  169  x  y 2  y  169  132   12  52  Do x, y  Z  y   y  bị loại, xét ba khả năng: 2 x  y  0; y  13  x; y   26;13 (4,0đ) x  y  5; y  12  x; y   29;12 va 19;12 x  y  12; y   x; y   22;5 va  2;5 loại Vậy phương trình có nghiệm (26;13), (29;12), (19;12), (22;5) b) x2+9x+20= ( x+4)( x+5) ; x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ; x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; ĐKXĐ : x  4; x  5; x  6; x  7 Phương trình trở thành : 1 1    ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18 1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 0.75đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ (0,25 điểm 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 1   x  x  18 0.25đ  18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0  x=-13; x=2 ( TM) Từ tìm x=-13; x=2 0.25đ A C’ H N x B’ M I A’ C 0.5đ B D (6,0đ) a) S HBC S ABC HA'.BC HA'   ; AA' AA'.BC S HAB HC'  Tương tự: ; S ABC CC' S HAC HB'  S ABC BB' HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC      1  AA' BB' CC' SABC SABC SABC 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC 0.5đ  ;  ;  IC AC NB BI MA AI 0.5đ BI AN CM AB AI IC AB IC   1 IC NB MA AC BI AI AC BI 0.5đ  BI AN.CM  BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ 0.5đ A C’ N x B’ H M I A’ C B D - Xét điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD -  BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 2  AB + AD  (BC+CD) AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2 4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2 4BB’2  (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2 (AB  BC  CA) 4 AA'2  BB'2  CC'2 (Đẳng thức xảy  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC   ABC đều) 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với  a, b, c  R x, y, z > ta có a b2 c2  a  b  c     x y z x yz a b c Dấu “=” xảy    x y z (2,0đ) Thật vậy, với a, b  R x, y > ta có a b2  a  b    x y x y   a y  b x   x  y   xy  a  b  2 (*) 0.5đ (**)   bx  ay   (luôn đúng) Dấu “=” xảy  a b  x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a b2 c  a  b  c  a  b  c       x y z x y z x yz 2 0.5đ Dấu “=” xảy  a b c   x y z 1 2 1 Ta có:    a  b  c a (b  c) b (c  a) c (a  b) ab  ac bc  ab ac  bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 1 1 1     a  b2  c2   a b c   ab  ac bc  ab ac  bc 2(ab  bc  ac) 1 1     a b c 1 1 2    a b c 0.5đ (Vì abc  ) 1 2 11 1 a Hay  b  c      ab  ac bc  ab ac  bc  a b c  1 2 1 Mà    nên a  b  c  ab  ac bc  ab ac  bc a b c 1 Vậy Dấu xảy    a (b  c) b (c  a) c (a  b) 0.5đ a=b=c=1 (đpcm) Chú ý: Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình Chấm cho điểm phần, điểm tồn tổng điểm thành phần khơng làm tròn