PHỊNG GD&ĐT KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ THI CHÍNH Bài 1.(5 điểm) Cho x, y hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < x + y = a) Rút gọn biểu thức A  y  x  y2 2x y :  xy  x  y 2 x2  y2    x2   y  x  b) Chứng minh rằng: A < - Bài (2 điểm) Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0, Tính gia trị biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014 Bài 3.(2 điểm) Cho số nguyên tố p > Biết có số tự nhiên n cho cách viết thập phân số pn có 20 chữ số Chứng minh 20 chữ số có chữ số giống Bài 4.( điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a điểm N cạnh AB Cho biết tia CN cắt tia DA E, tia Cx vng góc với tia CE cắt tia AB F Gọi M trung điểm đoạn thẳng EF a) Chứng minh CE = CF; b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng; c) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC; d) Xác định vị trí điểm N cạnh AB cho tứ giác ACFE có diện tích gấp lần diện tích hình vng ABCD Bài (3 điểm) a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = b) Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện ≤ a, b, c ≤ a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a2 + b2 + c2 - Hết (Giám thị coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Bài Nội dung Biểu điểm a) Với x + y = 1, biến đổi thu gọn A A y  x  y2 2x y :  xy  x  y 2 x2  y2   y  x x 2 y  x y x  y   2x : xy x  y2 x  y2   x2   y  x   y2  3(điểm) Bài  y  x : y  2x y  x x  y  xy x  y2 2 x  y y  x y  x x  y  y  x y  x y  x x  y   :  :   2 2 xy xy x  y  xy xy y  x x  y  b) A   x - y2 xy 4 x  y2 xy    (vì x > 0; y < x + y = 1) xy 2(điểm) Suy A < - 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 =  [4x2 – 4x(y + z) + (y + z)2]+ (y2 + z2 – 6y – 10z + 34) = Bài  (2x – y – z)2 + (y – 3)2 + (z – 5)2 = …  y = 3; z = 5; x = Khi T = (4 – 4)2014 + (3 – 4)2014 + (5 – 4)2014 = Bài Do p số nguyên tố p > nên p khơng chia hết cho (*) pn có 20 chữ số Các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, gồm 10 chữ số đôi khác Nếu khơng có q nhiều chữ số giống chữ số phải có mặt lần cách viết số pn Như tổng chữ số số pn là: 2(0 + + + + + + + + + 9) = 90  nên pn  Điều mâu thuẫn (*) Vậy số pn phải có chữ số giống E M B A F N D C 2(điểm) 2(điểm) Bài a) Chứng minh CDE = CBF (g.c.g)  CE = CF 2(điểm) b) Chỉ AM  MC  EF  M thuộc đường trung trực BD đoạn AC Vậy B, D, M thẳng hàng c) Chỉ ACE = BCM  EAC ~ MBC (g.g) Chỉ CAE = CBM d) Đặt BN = x  AN = a – x *)Tính SAEFC = SACE + SECF = 2(điểm) 2(điểm) 1 DC.AE  CE 2 - Tính AE: Lý luận để có AE AN AE AN AE ax       AE.a  AE(a  x)  a(a  x) ED DC AE  AD DC AE  a a a(a  x)  AE  x - Tính CE2: Lý luận để có CE2 = CD2 + DE2 = a2 + (a + AE)2 a a  x   a4  CE  a   a   a  x  x  a a  x  Do SAEFC = 2x 2 2 *) Tính SABCD = a2 Lý luận với SAEFC = 3SABCD để có 6x2 – ax – a2 =  (2x – a)(3x + a) =  x  a (vì a, x > 0) KL: N trung điểm AB SAEFC = 3SABCD 2(điểm) Bài a) 3x – y3 =  3x = y3 + (1) - Dễ thấy x = y = nghiệm (1) - Nếu x < 3x = ( n nguyên dương, n = - x) 3n suy < 3x < Mà y3 + số nguyên, suy (1) khơng có nghiệm ngun - Nếu x > 3x  (1)  3x = (y + 1)3 – 3y(y + 1)  (y + 1)3  nên y +  1.5(điểm) Đặt y + = 3k ( k nguyên), suy y = 3k – Thay vào (1) ta được: 3x = (3k – 1)3 + = 9k(3k2 – 3k + 1) nên 3k2 – 3k + ước 1 mà 3k – 3k +  3k – 3k + 1= 3 k     2  x 2 nên 3k2 – 3k + =  3k(3k – 1) =  k = k = Với k = y = - suy 3x = phương trình vơ nghiệm Với k = y = suy 3x = nên x = Vậy cặp số nguyên (x, y)  {(0; 0), (2; 2)} b) Từ giả thiết ≤ a, b, c ≤ suy (2 – a)(2 – b)(2 – c) + abc ≥  – 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) ≥  – 12 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ (vì a + b + c = 3)  2ab + 2bc + 2ac ≥  a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ + a2 + b2 + c2 1.5(điểm)  ( a + b + c)2 ≥ + a2 + b2 + c2  a2 + b2 + c2 ≤ (vì a + b + c = 3) Dấu đẳng thức xảy  (a; b; c) = (0; 1; 2) hoán vị số Vậy P có GTLN  (a; b; c) = (0; 1; 2) hoán vị số Chú ý: - Điểm lấy đến 0.25 - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa