PHỊNG GD & ĐT HUYỆN THƯỜNG TÍN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Mơn: TỐN Năm học: 2014-2015 Bài (6 điểm) Cho biểu thức 2x  2x   21  x  x  P   1 : 2 x  12 x  13 x  x  20 x  x  x    a) Rút gọn P c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P  Bài (3 điểm) Giải phương trình 15 x   a)   12    x  3x   x  3x   148  x 169  x 186  x 199  x b)     10 25 23 21 19 c) x    Bài (2 điểm) Một người xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu người tăng vận tốc thêm 5km / h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định người Bài (7 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng C qua P a) Tứ giác AMDB hình ? b) Gọi E F hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF / / AC ba điểm E, F , P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P PD d) Giả sử CP  BD CP  2,4cm,  Tính cạnh hình chữ nhật PB 16 ABCD Bài (2 điểm) a) Chứng minh : 20092008  20112010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1    x  y  xy b) Tính giá trị P x  ĐÁP ÁN Bài x  12 x    x  1 x   13x  x  20   x    x  21  x  x    x   x  x  x    x  1 x  3  3  Điều kiện x   ; ; ; ;4 2 2  2x  a) Rút gọn P  2x   x   b) x     x  1 ) x   .P  2 ) x    P  c) Ta có: 1 Vậy P     x  Ư    1; 2;1;2 x 5 x   2  x  (tm) x   1  x  (ktm) x    x  (tm) x    x  (tm) 2x  d) P  1 2x  x 5 Ta có:  0 x5 0 x 5 Để P  x 5 Với x  P  Bài a) 15 x     12    x  3x   x  3x     15 x    12.   DK : x  4; x  x  x   x   x  1      3.15 x   x   x  1  3.12  x  1  12  x   3 x   x  (tm)  3x  x       x    x  4(tm) Vậy S  0 b) 148  x 169  x 186  x 199  x     10 25 23 21 19  148  x   169  x   186  x   199  x    1    2    3    4   25   23   21   19  1 1   123  x      0  25 23 21 19  1 1 Do     nên 123  x   x  123 25 23 21 19 Vậy S  123 c) x2 3 5 Ta có: x   0x  x    nên x    x   Phương trình viết dạng: x2 35  x2 2 ) x    x  ) x   2  x  S  0;4 Bài Gọi khoảng cách A B x  km  ( x  0) x 3x     km / h   3h 20'  h  10   3 3x Vận tốc người xe gắn máy tăng lên 5km / h là:   km / h  10 Theo đề ta có phương trình:  3x      x  x  150 (tm)  10  Vậy khoảng cách A B 150  km  3.150 Vận tốc dự định  45  km / h  10 Vận tốc dự định người xe gắn máy là: Bài C D P M I E F A B a) Gọi O giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD  PO đường trung bình tam giác CAM  AM / / PO  tứ giác AMDB hình thang b) Do AM / / BD nên OBA  MAE (đồng vị ) Tam giác AOB cân O nên OBA  OAB Gọi I giao điểm đường chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên IAE  IEA Từ chứng minh : FEA  OAB , EF / / AC (1) (2) Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP / / AC Từ (1) (2) suy ba điểm E,F,P thẳng hàng MF AD  c) MAF DBA g  g  nên không đổi FA AB PD PD PB d) Nếu    k  PD  9k , PB  16k PB 16 16 CP PB Nếu CP  BD CBD DCP( g.g )   PD CP Do đó: CP2  PB.PD hay  2,4   9.16k  k  0,2 PD  9k  1,8cm PB  16k  3,2cm BD  5cm Chứng minh BC  BP.BD  16 Do BC  4cm; CD  3cm Bài a) Ta có: 20092008  20112010   20092008  1   20112010  1 Vì 20092008    2009  1  20092007    2010. . chia hết cho 2010 (1) Vì 20112010    2011  1  20112009  .  2010.  chia hết cho 2010 (2) Từ (1) (2) ta có đpcm b) 1   2  x  y  xy 1  1   1        0 2  x  xy  y  xy     x y  x y x  y   0 2  x  xy  y  xy        y  x   xy  1   1  x 1  y  2  2 Vì x  1; y   xy   xy   (2)  BĐT (2) nên BĐT (1) Dấu "  " xảy x  y