ĐỀ BÀI Câu ( điểm) Tìm số tự nhiên n để: a) A  n3  n2  n  số nguyên tố n4  3n3  2n2  6n  b) B  có giá trị số nguyên n2  c) D  n5  n  số phương Câu (5 điểm) Chứng minh rằng: a) a b c    biết abc  ab  a  bc  b  ac  c  b) Với a  b  c  a  b4  c   ab  bc  ca  a b2 c c b a c)      b c a b a c Câu (5 điểm) Giải phương trình sau: a) x  214 x  132 x  54   6 86 84 82 b) x 8x  1  x  1  c) x2  y  x  y  10  với x, y nguyên dương Câu (5 diểm) Cho hình thang ABCD  AB / /CD  , O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E, cắt BC F a) Chứng minh : Diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC b) Chứng minh: 1   AB CD EF c) Gọi K điểm thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng qua K chia đơi diện tích tam giác DEF ĐÁP ÁN Câu a) A  n3  n2  n    n2  1  n  1 Để A nguyên tố n    n  Khi A  b) B  n2  3n  n 2 B có giá trị nguyên  n2  n2    n  1(ktm) n  ước tự nhiên    n    n  (tm)  Vậy với n  B có giá trị nguyên c) D  n5  n   n  n  1   n  n  1 n  1  n  1   n  n  1 n  1  n    5   n  n  1 n  1 n   n    5n  n  1 n  1  Mà n  n  1 n  1 n   n   (tích số tự nhiên liên tiếp) Và 5n  n  1 n  1 Vậy D chia dư Do D có tận nên D số phương Vậy khơng có giá trị n để D số phương Câu a) a b c ac abc c      ab  a  bc  b  ac  c  abc  ac  c abc  abc  ac ac  c  ac abc c abc  ac      1  ac  c c   ac ac  c  abc  ac  b) a  b  c   a  b  c   ab  ac  bc    a  b  c  2  ab  ac  bc  (1)  a  b  c   a 2b  a 2c  b 2c    a 2b  a 2c  b 2c   8abc  a  b  c  (Vì a  b  c  )   ab  ac  bc    a 2b2  a 2c  b2c  (2) Từ (1) (2)  a  b4  c   ab  ac  bc  c) Áp dụng bất đẳng thức x  y  xy Dấu xảy x  y a b2 a b a    2 b c b c c a2 c2 a c c    b2 a b a b c2 b2 c b b    a2 c2 a c a Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: 2  a b2 c  c2 a c b a c b a b 2     2          c a  c a c b a c b a b b Dấu "  " xảy a  b  c Câu a) x  214 x  132 x  54   6 86 84 82  x  214   x  132   x  54    1    2    3   86   84   82  x  300 x  300 x  300    0 86 84 82 1     x  300        x  300   x  300  86 84 82  Vậy S  300 b) 2 x  x  1  x  1    64 x  16 x  18 x  x     64 x  16 x  1 64 x  16 x   72 Đặt 64 x  16 x  k Ta có:  k  0,5 k  0,5  72  k  72,25  k  8,5 Với k  8,5 ta có phương trình :  x  64 x  16 x     x  1 x  1     x  1  Với k  8,5 ta có phương trình: 64 x  16 x    8 x  1   (vô nghiệm) 1  Vậy S   ;   2 4 2 c) x  y  x  y  10    x  x  1   y  y       x  1   y      x  y  1 x  y  3  Vì x, y nguyên dương nên x  y   x  y  x   x  y   x  y     y 1 2 Phương trình có nghiệm dương  x; y    3;1 Câu B A E F K O I N M D a) Vì AB / /CD  SDAB  SCBA (cùng đáy đường cao)  SDAB  S AOB  SCBA  S AOB hay S AOD  SBOC EO AO b) Vì EO / / DC   Mặt khác AB / / DC DC AC C AB AO AB AO AB AO EO AB        DC OC AB  BC AO  OC AB  BC AC DC AB  DC EF AB AB  DC 1        DC AB  DC AB.DC EF DC AB EF c) Dựng trung tuyến EM , dựng EN / / MK  N  DF  Kẻ đường thẳng KN đường phải dựng Chứng minh: SEDM  SEFM (1) Gọi giao điểm EM KN I SIKE  SIMN   Từ (1) (2) suy SDEKN  SKFN 