UBND HUYỆN GIA VIỄN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: TỐN Năm học: 2014-2015 Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Câu (5 điểm)  x2  x  2 x2 Cho biểu thức A    1     x  8  x  x  x   x x  a) Tìm x để giá trị A xác định Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu (4 điểm) Giải phương trình sau: a) x  x    x  x     b) y  4x  y  x1   x  x  x  16 x  72 x  x  20 x  12 x  42    c) x2 x 8 x4 x6 Câu (3 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để p số nguyên tố biết: p  n3  n2  n  2) Tìm a, b cho f ( x)  ax3  bx  10 x  chia hết cho đa thức g ( x)  x  x  ab 3) Cho 4a  b2  5ab 2a  b  Tính P  4a  b Câu (6,5 điểm) Cho hình vng ABCD, tia đối tia CD lấy điểm M  CM  CD  , vẽ hình vng CMNP (P nằm B C), DP cắt BM H, MP cắt BD K a) Chứng minh: DH vng góc với BM PC PH KP b) Tính Q    BC DH MK c) Chứng minh: MP.MK  DK BD  DM Câu (1,5 điểm)  x y x2 y 1) Cho x, y  Chứng minh :    3   y x  y x 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B  xy  x   y    12 x  24 x  y  18 y  2045 ĐÁP ÁN Câu a) 2 x    Giá trị A xác định  8  x  x  x3  x    x  4 2 x  8   x   4   x   x   x      x    x     x  x   x    Ta có:  x2  x   2x2 A  1     2x  8  4x  2x  x  x x   x2  x   x2  x   2x2      2 x2   x     x   x   x     x   x    x   x2 x2  x  2x  x2  x2  4   x  2 x  x3  x  x  x x  x  1   x  1  x2  x2  4   x    x  x2  4  x2  4   x   x   x  1  x  x2 2x b) x 1 *   x  x  x  2 x mà x x 2x  x  1(tm)  2x  x    x  1(tm) x 1 Vậy A    x  x  1 2x Câu a) x  x  2  x2  2x  2     x  x  x  x       x2  x    x2  x      x  x  1    x  1   x    x  1 Vậy phương trình cho có nghiệm x  1 b) y  x  y  x1    y  y    x   2.2 x     y  1   x  1  y 1   y  1  x  2    x  Vậy phương trình cho có nghiệm  x; y    0; 1 c) x  x  x  16 x  72 x  x  20 x  12 x  42    (1) x2 x 8 x4 x6 ĐKXĐ: x  2; x  4; x  6; x  8 1  x  2   2 x 2 x   x   x    x   x  8 2  x  8  8  x  4  4  x  6  6 x2 x8 x4 x6  x2  x8  x4  x6 x2 x8 x4 x6     x2 x4 x6 x8 x   x  x  48  x  48    x   x    x   x  8 x  x  x     (tm) x  x   x  x  8 x   40 x            Vậy phương trình cho có nghiệm x  0; x  5 Câu 1) Biến đổi p   n2  1  n  1 Nếu n  0;1 không thỏa mãn đề Nếu n  thỏa mãn đề p   22  1   1  Nếu n  không thỏa mãn đề p có từ ước trở lên 1; n   n2   n   Vậy n  p  n3  n2  n  1là số nguyên tố 2) *g ( x)  x  x    x  1 x   * f ( x)  ax3  bx  10 x  g ( x)  f ( x)  ax3  bx  10 x    x  1 x   Q  x  (1) - Thay x1  1; x2  vào 1 ta có: a  b   8a  4b  16   a  b  8 a  Vậy f  x   ax3  bx  10 x  g  x    b  8 3) Biến đổi được: b  a 4a  b2  5ab   4a  b  a  b    b  a Mà 2a  b   4a  2b  b nên a  b a2  Ta có: P  4a  a Vậy 4a  b2  5ab 2a  b  P  x   Câu A B K H N P D C M a) Chứng minh : DH vng góc với BM Chứng minh được: CD  BC; PC  CM ; DCB  BCM  900  DPC  BMC  c.g.c   BHP  900 PC DM PC SPDM b) Chứng minh được: MP  BD    BC DM BC SBDM 1 DB.KP S DB.KP S PH PH PBM 2 Tương tự   ;   PBD DH DB.MK S BDM DH DB.MK S BDM 2 S  S PBM  S PBD  Q  PDM  S BDM (1) c) Chứng minh: MCP MKD  g.g   MP.MK  MC.MD Chứng minh: DBC DKM ( g.g )  DK BD  DC.DM   Từ 1 &    MP.MK  DK BD  DM  MC  DC   MP.MK  DK BD  DM Câu 1) x y   với x, y  y x x y x y     0;    y x y x Học sinh chứng minh x y  x y         1  y x  y x   x y  x y x2 y         2.     y x  y x  y x  x y x2 y     3   y x  y x Dấu "  " xảy  x  y  2) B  xy  x   y    12 x  24 x  y  18 y  2045 *) x2  x    x  1   x  x   với x  y  y    y  3   y  y  12  với y   B  xy  x   y    12 x  24 x  y  18 y  2045   x  x  y  y   12  x  x    y  y   36  2009   x  x  y  y  12    y  y  12   2009   x  x  3 y  y  12   2009 Từ 1 ,   ,  3  B  2.3  2009  B  2015 *) B  2015  x  1& y  3 x  *) MinB  2015    y  3 (3) (1) (2)