TRƯỜNG THCS BẠCH SAM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Mơn: TỐN Năm học: 2016-2017 Bài (2 điểm)  x   2x  Cho biểu thức : C     : 2   1 x x 1 1 x  x 1 a) Rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B số nguyên Bài (2 điểm) a) Tìm số nguyên a b để đa thức A x   x  3x3  ax  b chia hết cho đa thức B  x   x  3x  b) Cho x, y, z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P x y z   yz zx x y Câu (2 điểm) a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: x2  y  z  18x  z  y  20  a b c x2 y z x y z b) Cho       Chứng minh rằng:    x y z a b c a b c Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AC  AB), đường cao AH Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C , vẽ hình vng AHKE Gọi P giao điểm AC KE a) Chứng minh ABP vuông cân b) Gọi Q đỉnh thứ tư hình bình hành APQB, gọi I giao điểm BP AQ Chứng minh H , I , E thẳng hàng c) Tứ giác HEKQ hình ? Câu (1 điểm) Tính diện tích hình thang ABCD  AB / /CD  , biết AB  42cm, A  450 ; B  600 , chiều cao hình thang 18cm ĐÁP ÁN Câu 1 2  x   2x  C    : 2  1 x x 1 1 x  x 1  x  1  x    x  x  1 x  1   2x 1  x 1  x  a) ĐKXĐ: x  1; x   2 2x  b) B có giá trị nguyên x số nguyên 2 có giá trị ngun 2x   x  1(ktm)  x  0(tm) 2 x     x   1  x  Ư(2)     x  (tm)  2 x   2    x  1 (tm)  x   2   x   Đối chiếu ĐK có  x  thỏa mãn   x    Câu a) Ta có: A( x)  B  x . x  1   a  3 x  b  a   a  Để A( x) B( x)   b   b  4 b) Đặt y  z  a; z  x  b; x  y  c  x  y  z  x a  b  c a bc abc ;y  ;z  2 abc a  b  c a  b  c a  b  c   2a 2b 2c 1 b c a c a b   1          2 a a b b c c   b a   c a   b c    3                 a b   a c   c b  P MinP  abc x y  z Câu a) x  y  z  18 x  z  y  20    x  18 x     y  y     z  z  1    x  1   y  3   z  1  * 2 Do:  x  1  0;  y  3  0;  z  1  2 Nên : *  x  1; y  3; z  1 Vậy  x, y, z   1;3; 1 b) Từ: a b c ayz  bxz  cxy   0   ayz  bxz  cxy  x y z xyz Ta có: x y z x y z   1     1 a b c a b c x2 y z  xy xz yz      2.    1 a b c  ab ac bc  x2 y z cxy  bxz  ayz    1 a b c abc x2 y z     1 dfcm  a b c  Câu A E P I B H K C Q a) Chứng minh được: BHA  PEA( g.c.g )  AB  AP mà BAP  900 ( gt ) BPA vng cân b) Ta có: HA  HK  H nằm đường trung trực AK Ta có: AE  KE  E nằm dường trung trực KA PBK vng có IB  IP (tính chất đường chéo hình bình hành ABQP)  IK  IP  IB * Ta có ABQP hình bình hành (giả thiết), có BA  AP ( BPA vng cân A)  APQB hình thoi, mà BAP  900  gt   APQB hình vuông nên PI  IA ** Từ *** suy IK  IA nên I nằm đường trung trực AK Vậy H , I , E thẳng hàng c) Ta có: APQB hình vng  cmt  nên AP  BQ mà IK  AKQ có AI  IQ (tính chất đường chéo hình vng) PB AQ  IK  2 AQ (cmt )  AKQ vuông K  AK  KQ mà AK  HE (EAHK hình vng)  QK / / HE Mà IK  Vậy HEKQ hình thang Câu A' D C A B' B Qua A B kẻ AA ' BB ' vng góc với CD Tứ giác ABB ' A ' hình chữ nhật AA '  BB '  18cm, A ' AB  900 DAB  450  A ' AD  450 Do A ' AD vng cân  A' D  A' A  18cm B ' BA  900 , CBA  600  B ' BC  300 tam giác vng B ' BC ta có B ' C  BC Theo định lý Pytago ta có: B ' C  BC  B ' B  B 'C  4B 'C  B ' B2  3B ' C  B ' B B ' B 18  B 'C   (cm) 3 Suy : CD  A ' B ' A ' D  B ' C  42  18  Vậy S ABCD  18 18  24  (cm) 3 1 18   AB  CD .A ' A   42  24  .18  498,6  cm2  2 3