UBND THÀNH PHỐ MĨNG CÁI PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2012 Bài (4,0 điểm)  x2  x  2 x2 Cho biểu thức M    1      2x  8  4x  2x  x   x x  a) Rút gọn M b) Tìm x nguyên để M có giá trị số nguyên dương c) Tìm x để M  3 Bài (6,0 điểm) a) Cho x, y hai số dương x2010  y 2010  x2011  y 2011  x2012  y 2012 Tính giá trị biểu thức S  x 2020  y 2020 b) Giải phương trình: x  2015 x  2007 x  2006 x  2018    2010 2012 2011 2013 c) Tìm x y thỏa mãn: y   x  1  y  x  1 Bài (4,0 điểm) bc ac ab    a  b  c với số dương a, b, c a b c b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức L  x4  x3  x2  12 x  20 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A  AC  AB  Vẽ đường cao AH  H  BC  a) Chứng minh Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH  HA Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC P a) Chứng minh : Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC b) Gọi Q trung điểm BP Chứng minh tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC c) Tia AQ cắt BC I Chứng minh AH BC  1 HB IB ĐÁP ÁN Câu a) x    x    0;8  x  x  x3    x   x    x  M xác định  x  2; x   x2  x  x2  x  2x2  M     x2  4   x   x2  4  x2   x    2x    x   4x2   x   x2  4  x  x2  4   x   x2  4  x  1 x   x2  x  1 x    x  x2 2x b) Với x  2; x  0, M có giá trị nguyên dương  M  dương  2M  x 1 có giá trị nguyên 2x 2x    nguyên dương 2x x x  ;2M     x ước  x  1(Thỏa mãn điều kiện) x x 1 Thử lại: Với x  ta có: M  có giá trị 1(Thỏa mãn) 2x x 1 Với x  1 ta có: M  có giá trị (khơng thỏa mãn) 2x Vậy x  c) M  3  x  2; x  0; x 1  3 2x x 1 x 1 7x 1  3  3  0 2x 2x 2x 7 x   Ta có:  x   7 x   1 Giải x  x   2 x  x  1 Kết hợp với điều kiện ta có: M  3   x  x  Câu 2a) Có x 2012  y 2012   x 2011  y 2011   x  y    x 2010  y 2010 .xy Do x, y hai số dương x2010  y 2010  x2011  y 2011  x 2012  y 2012 Nên x2010  y 2010  x2011  y 2011  x 2012  y 2012  m  x 1 m  m  x  y   mxy   x  y  xy   x  11  y      y 1 Với x   y 2010  y 2011  y  (loại) y  Với y   x2010  x 2011  x  0(ktm) x  2b x  2015 x  2007 x  2006 x  2018    2010 2012 2011 2013  x  2015   x  2007   x  2006   x  2018    1    1    1    1  2010   2012   2011   2013  x5 x5 x5 x5     0 2010 2012 2011 2013 1     x  5     0  2010 2012 2011 2013  1 1    x   Do     0 2010 2012 2011 2013   2c y   x  1  y  x  1  y  y  x  1   x  1    y  y  x  1   x  1    x  x  1      y  x  1   x  1  2  y  x 1  x    x 1  y  Câu 3a Với số dương a, b, c ta có: bc ac ab  bc    ac    ab   a  b  c   abc a b c abc abc abc 2   bc    ac    ab   a 2bc  b ac  c 2ab 2   bc    ac    ab   2a 2bc  2b ac  2c ab  2 2 2 2   ac   2a 2bc   ab     bc   2b 2ac   ab     ac   2c 2ab   bc            ac  ab    bc  ab    ac  bc   2 BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh 3b L  x  x3  x  12 x  20  x  x3  x  3x  12 x  12   x  x  x     x  x      x    x  3  Do  x    0(x);  x  3   x   L  x Đẳng thức xảy   x     x  Vậy với x  L có giá trị nhỏ Giá trị nhỏ L Câu I K B H Q P a) PK / / AH  CKP Suy AKC A CAB  BPC  c.g.c  C CK CA  CP CB (1) b) AKH vuông cân H  K1  450 Từ (1)  K1  P1  450  BAP vuông cân A  BP  AB Chứng minh BHA BAC  BH AB  AB BC BH AB BH AB BH AB      AB BC AB BC AB BC BH BP BH BQ      BP  BQ  BP BC BP BC BH BQ BHQ BPC có:  ; PBC chung  BHQ BPC  c.g.c  BP BC  c) BAP vuông cân A, AQ trung tuyến nên phân giác  AI IC AC  (2) phân giác ABC  IB AB AC AH ABC HBA   (3) AB HB Từ (2) (3) ta có: IC AH IB  BC AH BC AH    1  IB HB IB HB IB HB AH BC    1 dfcm  HB IB