ĐỀ THI OLYMPIC HUYỆN MƠN TỐN LỚP Năm học 2015-2016 (Thời gian làm : 120 phút) Bài Phân tích thành nhân tử: x4  x2  x  Bài Cho x, y, z số thực khơng âm Tìm giá trị nhỏ : x  y  z biết x  y  z  Bài Cho x, y, a, b số thực thỏa mãn: x4 y x2  y   x  y  a b ab Chứng minh: x 2006 y 2006   a1003 b1003  a  b 1003 Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: ab bc ca 1      bc  a ac  b ab  c a b c Bài Cho tam giác vuông cân ABC  AB  AC  Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM  2MA , nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đường thẳng Bx vng góc với AB, Bx lấy điểm N cho BN  AB Đường thẳng MC cắt NA E , đường thẳng BE cắt đường thẳng AC F a) Chứng minh AF  AM b) Gọi H trung điểm FC Chứng minh EH  BM ĐÁP ÁN Bài x4  6x2  x   x  x3  x3  x  x  x  3x   x3  x    x ( x  2)  x  x     x     x    x3  x  x  3   x    x3  x  x  x  x  3   x    x  x  3  x  x  3   x  3    x   x  3  x  x  1 Bài Áp dụng cơng thức Bunhiacopski ta có: 2  x  y  z    x  y  z    3 x  y  z     x  y  z   27  x  y  z   16  27  x  y  z   x  y  z  Vậy GTNN x  y  z 16 27 16 x yz 27 Bài Từ giả thiết suy ra: 4 x y  a b x   y2  ab   bx  ay   a  b   ab  x  y   b x  a y  2abx y    bx  ay   x2 y x2  y  bx  ay      a b ab ab 2006 2006 2006 x y x y 2006  1003  1003   1003  1003  (dpcm) 1003 1003 a b a b a  b a  b 2 Bài Ký hiệu vế trái A, vế phải B, xét hiệu A  B ab bc ca      bc  a a ac  b b ab  c c a  ab  bc  a b  bc  ac  b c  ac  ab  c    a  bc  a  b  ac  b  c  ab  c   ba  c a  bc  a   c b  a  b  ac  b   a c  b  c  ab  c  Do a, b, c bình đẳng nên giả sử a  b  c, b  a  c   0, c  b  a   , a c  b  a3  b3  c3  abc  a3  abc  b3  abc  c3   A B   b  ac  b  a b  c  b  ac  b Mà ba  c    c b  a  b  ac  b   a c  b c  ab  c  ba  c a  bc  a   a b  c  c  ab  c  1 nên A  B  đpcm  b  ac  b  c  ab  c   ba  c b  ac  b  ab  ac ac  ab  b  ac  b  c  ab  c  Bài K F A E M N C B a) Đường thẳng EC cắt đường thẳng BN K Ta có: AC  AB  gt  , KB  AB  gt   FC / / KB AF AE   AF AC AF AC AB NB EN      AF   AC AE  NB NK AB NK NK  NK EN  AC AM AC AB       AB BK MB KN  NB KN  2 AB    AB  KN  AB  KN  AB KN  AB 2 1 (2) AB AB   AF  AM (Đpcm) Từ (1) (2)  AF  AB b) Từ chứng minh suy AFB  AMC  ABF  ACM Mà ABF  AFB  900  ACM  AFB  900  FEC  900  EH  Mà FH  FA  AH  FC  FH AC AC AC    BM  EH  BM  dfcm  3