PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2017 Câu (4 điểm) 2  x 1  x    x  1  : Cho biểu thức P     x  3x x   3x a) Rút gọn P b) Tìm x  để P có giá trị ngun c) Tìm x để P  Câu (4,5 điểm) a) Giải phương trình: x3  x  x  30  x  2x  x b) Giải bất phương trình sau: x     1 3 x2 x c) Cho biết  Hãy tính giá trị biểu thức: Q  x  x 1 x  x2  Câu (5,0 điểm) a) Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x2  y  8xy  y  x   b) Cho a, b, c  , thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a5  b5  c5 30   1    1  c) Chứng minh rằng:  a   b   c     a   b   c   , b  c  a  a  b  c  a, b, c số thực không nhỏ Câu (4,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng: a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b) BH BE  CH CF  BC BC c) AD.HD  d) Gọi I , K , Q, R chân đường vng góc hạ từ E xuống AB, AD , CF , BC Chứng minh bốn điểm I , K , Q, R nằm đường thẳng Câu (2,0 điểm)Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA, CA lấy theo thứ tự điểm D, E cho BD  CE  BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh AB  CK ĐÁP ÁN Câu a) ĐKXĐ: x  0; x  1 Ta có: x 1 2 2x 2  x 2  x P    x  1     2  x 1  3x x  3x  x   3x 3x  x 1 x 1 2x Vậy P  x 1 b) Ta có: P     x  1Ư    1; 2 x 1 Từ suy x 2;0;3; 1 Kết hợp với ĐKXĐ x 2;3 2x 2x x 1 c) P   1 1  0 x 1 x 1 x 1 Mà x   x  nên x   x    x  1và x  1 Kết hợp với ĐKXĐ 1  x  x  Câu a) Ta có: x3  x  x  30    x  3 x   x  5  x   x    x     x  2    x    x  x  2x  x x 1     6x   2x   6x   2x  3 b) 7  x  7  x  7   Vậy tập nghiệm bất phương trình S   x / x   4  x2  x  x  c) Từ   x  0, : x  x 1 x 2  1 25 21  x  1   x     x   1  1 x x  x 4 x4  x2  1 21  1 Lại có:  x    x      x2 x2 x2   x2 Suy Q   x  x  21 Câu a) x  y  xy  y  x    25 x  25 y  40 xy  10 y  10 x  10    x  y  1   y  1  2 Do  x  y  1   y  1  với x, y 2 Nên  5x  y  1   y  1  Suy x  1; y  1 b) Ta có: a5  a  a  a  1 a  1  a  a  1 a   5 2   a  2 a  1 a. a  1 a     a  1.a. a  1 Do  a   a  1 a  a  1 a   tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2;3;5 , chia hết cho 30 Lại có  a  1 a  a  1 chia hết  a  1 a  a  1 chia hết cho 30 Từ suy a5  a chia hết cho 30 Tương tự b5  b chia hết cho 30 c5  c chia hết cho 30 Từ suy  a5  b5  c5    a  b  c    a5  a    b5  b    c5  c  chia hết cho 30 Mà a  b  c  nên a5  b5  c5 chía hết cho 30   1    1  c)  a   b   c     a   b   c   b  c  a  a  b  c  2 ab  1 bc  1 ca  1  a  1 b  1 c  1    abc abc   ab  1 bc  1 ca  1   a  1 b  1 c  1  a 2b 2c  abc  a  b  c    ab  bc  ca   a 2b 2c  a  b  c   a 2b  b 2c  c 2a    a 2b  b 2c  c 2a   2abc  a  b  c    a  b  c    ab  bc  ca    ab  bc    bc  ca    ca  ab    a  b    b  c    c  a  2 2 2   a  c   b2  1   b  a   c  1   c  b   a  1  (đúng với a, b, c  1) 2 Câu A I E K F Q B D C R AE AB  AF AC Từ suy AEF ABC  c.g.c  BD BH b) BDH BEC ( g.g )    BH BE  BC.BD (1) BE BC CD CH CDH CFB( g.g )    CH CF  BC.CD (2) CF BC a) Ta có: AEB AFC ( g.g )  Từ (1) (2) suy BH BE  CH CF  BC.BD  BC.CD  BC c) Chứng minh DBH Lại có:  DC  DB  DC.DB  DAC ( g.g )  BC  DH DB   DH DA  DC.DB DC DA BC d) Từ giả thiết suy EI / /CF , EK / / BC, EQ / / AB, ER / / AD Áp dụng định lý Talet ta có: AI AE AK *    IK / / DF (3) AF AC AD BF BH BD *    IR / / DF (4) BI BE BR CR CE CQ *    RQ / / DF (5) CD CA CF Từ  3 ;   ;  5 suy bốn điểm I , K , Q, R thẳng hàng Câu Do đó: AD.HD  A K B 1 C O M E D Vẽ hình bình hành ABMC  AB  CM 1 1 Ta có: B1  C1  CMB nên BO tia phân giác CBM 2 Tương tự CO tia phân giác BCM Do MO tia phân giác BMC Suy OM song song với tia phân giác A , suy K , O, M thẳng hàng 1 Ta có: M1  BMC  BAC  K1 2 Nên tam giác KMC cân C  CK  CM Từ (1) (2) suy CK  AB (2)