Đang tải... (xem toàn văn)
ĐỀ TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC VIỆN TOÁN THÁNG 9 – 2012 Môn: Đại số
http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập đề thi cao học môn toán Trung tâm gia sư VIP – hotline: 0989189380 ĐỀ TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC VIỆN TOÁN THÁNG 9 – 2012 Môn: Đại số Câu 1. Trong không gian R 3 cho hệ vecto 1 2 (1; ;5), (2; 1; ), (3; 1;3)S x k x k z 1. Xét tính độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ trên theo tham số k. 2. Cho k = 1. Hãy xét xem vecto (2;3;4)b có thuộc không gian con sinh bởi hệ S không? Câu 2. Cho ánh xạ tuyến tính :f X Y 1. CMR: ảnh của 1 hệ phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính. Kết luận tương tự độc lập tuyến tính có đúng không? Giải thích? 2. Nếu X, Y là những không gian vecto có cùng số chiều hữu hạn thì f là đơn cấu khi và chỉ khi nó là toàn cấu. Câu 3. Cho X là 1 nhóm xyclic hữu hạn cấp n 1. CMR mọi nhóm con của X đều là xyclic 2. CMR X đẳng cấu với nhóm cộng Z n . Câu 4. Xét tập 3 | ,X a b a b Z 1. Chứng tỏ rằng X là miền nguyên với các phép cộng và nhân thông thường. 2. Chứng tỏ rằng 1 3;1 3 , 2 là những phần tử bất khả quy của X. Từ đó suy ra X không là vành chính. Câu 5. Xét vành đa thức Q[x] với Q là trường số hữu tỷ 1. CMR các đa thức bậc 3 trong Q[x] là bất khả quy khi và chỉ khi chúng không có nghiệm thuộc Q. 2. Xét tính bất khả quy của các đa thức sau trong Q[x]: 3 2 ( ) 2 3 5 2f x x x x và 4 3 ( ) 2 1g x x x x http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập đề thi cao học môn toán Trung tâm gia sư VIP – hotline: 0989189380 Môn: Giải tích Câu 1. Chứng minh 2011 1 ( cos sin ) 0 n k k k x a kx b kx Có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn [- ; ],n là 1 số nguyên dương. Câu 2. Tìm cực trị của hàm số 2 2 ax ( , ) 1 by c f x y x y theo a, b, c. Biết rằng 0c Câu 3. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm 1 ( 1)(1 2 ) .(1 ) n nx x x nx trong miền [0; ], >0 Câu 4. Cho 1 2 ( , ),( , )X d Y d là các không gian metric, A là 1 tập hợp hoàn toàn bị chặn trong X. CMR: nếu ánh xạ :f X Y liên tục đều trên X thì f(A) là tập hợp bị chặn trong Y. Câu 5. Giả sử A là 1 toán tử tuyến tính giới nội từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y và A * là toán tử liên hợp của nó. CMR: 1. Nếu A * là 1 toàn ánh thì A là 1 đơn ánh. 2. Nếu A * là 1 đơn ánh thì A(X) là 1 tập trù mật trong Y. Câu 6. Giả sử n e là 1 cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H, Y là 1 không gian Bannach, :A H Y là 1 toán tử tuyến tính giới nội và chuỗi 2 1 n n Ae hội tụ. CMR: A là 1 toán tử compact.